CC BY
2ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517.956.6
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 13
ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ С ПОЛУПЕРИОДИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ТРЁХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ
Джамалов Сироджиддин Зухриддинович, д.ф.-м.н., профессор
siroj63 amail. ru
Туракулов Хамидулло Шамсиддинович, PhD докторант
hamidtsh87@,gmail. com
Институт математики имени В.И. Романовского при академии наук РУ
Мамбетсапаев Курбанияз Айниязович mr. kurbaniyaz@gmail. com Филиал Российского Государственного Университета нефти и газа имени
И.М. Губкина в Ташкенте Ташкент, Узбекистан
Аннотация: В данной статье рассматриваются вопросы корректности одной линейной обратной задачи для трехмерного уравнения Трикоми в неограниченном паралилепипеде.
Для доказательства единственности обобщённого решения используется метод интегралов энергии. Для доказательства существования обобщённого решения сначала используется преобразование Фурье и в результате получается новая задача на плоскости, а для разрешимости этой задачи используется методы "е -регуляризации" и априорных оценок. Используя эти методы, и равенство Парсеваля, докажем единственность, существование и гладкость обобщённого решения одной нелокальной краевой задачи периодического типа для трехмерного уравнения смешанного типа первого рода второго порядка.
Ключевые слова: обобщенная решение, модельное уравнения Трикоми, полупериодическая краевая задача, преобразование Фурье, методы "S ~регуляризации"и априорных оценок.
ON A LINEAR INVERSE PROBLEM WITH SEMI-PERIODIC BOUNDARY CONDITIONS FOR THE THREE-DIMENTIONAL TRICOMI EQUATION IN THE
UNBOUNDED PARALLELEPIPED
Dzamalov Sirojiddin Zuhriddinovich, d.ph-m.s., professor
siroj63 a mail. ru
Turakulov Hamidullo Shamsiddinovich, PhD. Stud.
hamidtsh87@,gmail. com.
Institute of mathematics named after V.I.Romanovsky Academia of Science of
the Republic of Uzbekistan Mambetsapaev Kurbaniyaz Ayniyazovich mr. kurbaniyazagmail. com
The Branch of the Russian State University of Oil and Gas named after I.M. Gubkin in
Tashkent Tashkent, Uzbekistan.
Abstract: This article discusses the correctness of a linear inverse problem for the three-dimensional Tricomi equation in an unbounded parallelepiped.
To prove the uniqueness of the generalized solution, the method of energy is used. To prove the existence of a generalized solution, the Fourier transform is first used, and as a result, a new problem in the plane is obtained, and for the solvability of this problem, the methods of "е -regularization" and a priori estimates are used. Using
69
these methods and Parseval 's equality, we prove the uniqueness, existence and smoothness of a generalized solution of a non-local boundary value problem ofperiodic type for a three-dimentional mixed-type equation of the first kind of the second order.
Key words: generalized solution, Tricomi model equation, semi-periodic boundary value problem, Fourier transform, methods of "e -regularization" and a priori estimates.
В процессе исследования нелокальных задач была выявлена тесная взаимосвязь задач с нелокальными краевыми условиями и обратными задачами. К настоящему времени достаточно хорошо изучены обратные задачи для классических уравнений таких как, параболических, эллиптических и гиперболических типов. [1,2]. Для уравнений смешанного типа, как первого, так и второго рода в ограниченных областях изучено в работах. [4].
В неограниченых областях прямые задачи с нелокалными краевыми условиями изучены в работах [1-3], а обратные задачи с нелокальными краевыми условиями изучены в работах [3,4]. Используя результаты этих работ, в данной работе, для исследования однозначное разрешимости обратных задач для трехмерного уравнения Трикоми в неограниченном паралилепипеде предлагается метод, который основан на сведение обратной задачи к прямым полупериодическым краевым задачам для семейство нагруженных интегро-дифференциальных уравнений Трикоми в ограниченной прямоугольной области.
В области
G = (-1,1) X (0, T) XR = QXR = {(X, t, z); x е (-1,1),0 < t < T < z е R.} рассмотрим трехмерное уравнение Трикоми:
Lu = xutt - Au + а (x, t) щ + b (x, t) u = f(x, t, z), (1)
где Au = Uxx + Uzz - оператор Лапласа. Здесь (x, t, z) = g (x, t, z) + h (x, t) • f (x, t, z), g (x, t, z) и f (x, t, z) -заданные функции, а функция h( x, t) подлежит определению.
Линейная обратная задача. Найти функции ( u(x, t, z), h(x, t) ) удовлетворяющие уравнению (1) в области G , такие что, функция u (x, t, z) удовлетворяет следующим полупериодическыми краевым условиям
АЧ=0 = A4=T , (2)
u| , = u| . = 0 (3)
lx=-1 lx=1 v '
„ „ дPu 0 при p = 0,1, где Dpu =-, D t u = u.
д tp
Далее будем считать, что u(x, t, z) и uz (x, t, z) ^ 0 при | z да, u(x, t, z) абсолютно
интегрируема по z на R при любом (x, t) в Q (4)
с дополнительным условием
u(x,tJQ) = (pQ(x,t), где (0eR (5)
и с функций h(x, t) принадлежит классу
U = {(u, h)\ u е W22 3 (G ); h е W22(Q)}
Здесь W 23(G) Банахово пространство с нормой
+да
11<»со) = (2^)—1/2 ■ I (1+|Щ2)3 1и(ищ^ ¿щ
—да
где Ж 2(0 — пространство Соболева с нормой
И 2=И ш) = я-Ц2**.
Здесь X — мультииндекс, — обобщённая производная по переменным х и г,
+да
и(х, г, К) = (2^)—1/21 и(х, г, г) е"^
—да
преобразование Фурье по переменной г, функции и( х, г, г).
Определение 1. Обобщённым решением задачи (1)-(5) будем называть функцию и(X, г, 2) Е и, удовлетворяющую уравнению (1) почти всюду с условиями (2)-(5).
Пусть все коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие функции в области G, и пусть выполнены следующие условия относительно коэффициентов, правой части и заданной функции ф0(X,г); Условие 1:
периодичность: а(х, 0) = а(х, Т); с(х, 0) = с(х, Т). периодически условие: g(х,0, г) = g(х, Т, г), /(х,0, г) = /(х, Т, г),
гладкость: /(х,г,= Л(х,г) е с^ш |/0(х,г)| > , > 0; / е ж23,3(0), g е ж?(0).
Условие 2: % (х, г) е Ж (0); Б! % [=0 = Б! % , ? = 0,1,2; ^ |х=—1 = % Ь = 0
Однозначное разрешимость задачи (1)-(5) докажем с помощью преобразованием Фурье, т.е для нахождение решение задачи (1)-(5), применяем преобразование Фурье по переменной г, для задачи (1)-(5).
Для того чтобы сформулировать основной результат, необходимо выполнить некоторые формальности построения.
Рассмотрим следы уравнения (1) при 2, =
Щх, г,г0) = хиа (х, г, г 0) - и„ (л / А) - (-МЛ) +
Теперь, учитывая условие (5) и то, что /0 ^ 0 , определим формально неизвестную функцию Н(х, г) в виде интеграла
1 1 +с0 к(х,г) =-[Ф0 +-= Г А2еш°й(х^,А)с1А]
Л( х, г) ^2ж—да
где Ф0 = ^0^0 — 10% = Щи хх + а (x, IМг + Ь (x, IМ, а для определения функций
и (х, г ,К), в области 0 = (—1,1) х (0, Т) получим нагруженных интегро-дифференциальных уравнений Трикоми:
LU = xUtt — й+ а (x, t) ut + x, t) + A = g(x, t, A) +
+
/ (x, t ,A),
/o( x
, t)
с полупериодическыми краевыми условиями:
DfU^DfpT;p = 0,1
й , = й\ = 0
lx=—1 lx=1
(7)
(8)
где, Ae Я = (-W,»),
/(x, t, A) = (2^)—1/2 J /(x, t, z) e"iAWz
- преобразование Фурье по переменной £, функции /(х, t, z) . Основными результатом является
Теорема 1 (Основной результат). Пусть выполнены вышеуказанные условия 1 и 2 для коэффициентов уравнение (1), кроме того пусть существует положительное число /Л ,
т.ч, 2а(х, t) -/х > В1 > 0, Ь (х, t) + /Ь(х, t) > Ь2 > 0, ц < 0, для всех (х,t) е д, и пусть существует положительные числа с, с(с 1) — (коэффициенты неравенство Коши) такие, что для Ь0 = ш1п{51, Ь2} где с(с—) = 14/V >0, имеют оценки Ь0 — с(с_1) = 8> 0;
1 7 АЧл
М\\А1»{О) ^, М = c0nst(mSll ll/^lco.
,1(Q)) да = 1°C1C2C3, C = — J t(Q) тт
>(1+и2)3
< +да,
Ci(i 2,3) коэффициенты теоремы вложения Соболева. Тогда функции
+да
и(x,t,z) = (2^)—1/2 J й(x,t,A)eiAzJA,
—да
1 1 +OD
h(x,t) =---[Ф0+-^= (* A2eM°u(x,t,A)dA~\
/o( x, t) —да
(9) (10)
являются единственным решением линейной обратной задачи (1)-(5) из указанного класса
и.
Литература
1. Аниканов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука,1978. - 120 с.
2. Джамалов С.З. Нелокальные краевые и обратные задачи для уравнений смешанного типа // Монография. -Ташкент, 2021. - 176 с.
3. S.Z.Dzhamalov, R.R.Ashurov, Kh.Sh. Turakulov. The Linear Inverse Problem for the Three- Dimensional Tricomi Equation in a Prismatic Unbounded Domain // Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, 42(15). - P. 3606-3615.
4. S.Z.Dzhamalov, M.G.Aliev, Kh.Sh. Turakulov. On a linear inverse problem for the three-dimensional Tricomi equation with nonlocal boundary conditions of periodic type in a prismatic unbounded domain. // Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. Math. 2022, (42)(1). - P.1-12.
