ОБ ОДНОЙ ПОЛУПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ТРЁХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.6

ОБ ОДНОЙ ПОЛУПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ТРЁХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА ВТОРОГО ПОРЯДКА В _НЕОГРАНИЧЕННОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ_

Б.Сипатдинова* [email protected]

Ключевые слова: уравнение смешанного типа второго рода, полупериодическая краевая задача, преобразование Фурье, обратное преобразование Фурье, пространства

Соболева Ж, интеграл энергия, единственность решения, методы "е -регуляризации", априорных оценок, существование решения, гладкость решения.

Введение. Как известно, в работе А.В.Бицадзе показано, что задача Дирихле для уравнения смешанного типа некорректна [1]. Естественно возникает вопрос: нельзя ли заменить условия задачи Дирихле другими условиями, охватывающими всю границу, которые обеспечивают корректность задачи? Впервые такие краевые задачи (нелокальные краевые задачи) для уравнения смешанного типа были предложены и изучены в работах Ф.И.Франкля при решении газодинамической задачи [2]. Как близкие по постановке к изучаемым, задачи для уравнения смешанного типа второго рода в ограниченных областях исследована в работах [3-7, 15].

Такие задачи для уравнения смешанного типа первого рода в трехмерном случае (в частности, для уравнения Трикоми) в неограниченной области изучены в работе [8].

Для уравнений смешанного типа второго рода второго порядка в неограниченных областях полупериодические краевые задачи в трёхмерном случае практически не исследованы.

С этой целью в данной работе, используя результаты работ [6,7], изучены однозначная разрешимость и гладкость обобщенного решения одной полупериодической краевой задачи для трёхмерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в неограниченном параллелепипеде.

В области

О = (0,1) х (0,Т) х Я = Я = {(х,г,г);х е (0,1),0 < г < Т < +<ю,7 е Я},

рассмотрим уравнение смешанного типа второго рода второго порядка: Ьи = К (г)ии-Ди+а(х, г) иг + с (х, г) и = / (х, г, г), (1)

где Ди = ихх + и- оператор Лапласа, и пусть К (0) = К (Т ) = 0.

* Бийбиназ Сипатдинова - PhD базовый докторант Института математики имени В.И.Романовского АН РУз. 38

Уравнение (1) относится к уравнениям смешанного типа второго рода второго порядка, так как на знак функции К (г) по переменной г внутри отрезка [0, Т ] не налагается никаких ограничений [9].

Пусть все коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие функции в Q. Постановка задачи и основной результат.

Постановка задачи. Найти обобщённое решение и(х,г,7) уравнения (1) из

пространства Ж 2,3(О), удовлетворяющее следующим полупериодическим краевым условиям

Я=о=4=т, (2)

и1х=0 = и1х=1 = 0. (3)

В дальнейшем будем считать, что и(х, г, г) и щ (л, /, 2) ^ 0 при | z да, и(л, г, г)

абсолютно интегрируема по 2 на R при любом (л, /) в Q. (4)

Для решения поставленной задачи в дальнейшем нам необходимо ввести определения нескольких функциональных пространств и соответствующие обозначения. Обозначим через

+да

и(х,г,Л) = (2я)~1/2 | и(х,г,г)в~аЧг

—да

преобразование Фурье, функции и(х, г, г) — по переменным г, а через

+да

■ ч — N—1/2

и (

/(x, t, z) = (2^)"1/2 J U(x, t,1) ei1zdz

обозначим обратное преобразование Фурье. Теперь с помощью преобразования Фурье определим пространство Ж'/(О) с нормой

+да

Щ * (О) = (2^)—1/2 • | (1+ М2)* -I Iй (x, а)|^ (Q) dЛ,

—да (А)

где s, I — любые конечные положительные целые числа, а норма в пространстве

Соболева определяется следующим образом

2

= X J Da3

\W2(Q)

2

dxdt,

а — это мультииндекс, Оа - обобщённая производная по переменным х и 1.

Очевидно, что пространство Ж ^(О) с нормой (А) является банаховым пространством [10-14].

Определение 1. Обобщённым решением задачи (1)-(4) будем называть функцию 2 3

и(х, г, г) е Ж>, (О), удовлетворяющую уравнению (1) почти всюду в области О, с условиями (2)-(4).

Теорема 1. (Основной результат). Пусть выполнены указанные выше условия для коэффициентов уравнения (1), кроме того, пусть 2а— К( + /К > ^ > 0,

jc(x,t) - ct(x,t) >S2 > 0, для всех (x,t) e Q, где j = const > 0, a(x,0) = a(x,T),

c (x,0) = c (x,T), для всех x e [0,1]. Тогда для любой функции f e W^ (G), такой, что f (x,0, z) = f (x,T, z), существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(4) из

2 3

пространства W 2 (G), и для решения задачи (1)-(4) справедливы следующие оценки:

^ IIHIW21,3(G) < fllW20,3(G); i|2

п) Mw22,3(g) < fllw2,3(G).

В дальнейшем через с^ обозначим положительные, вообще говоря, разные постоянные

числа, отличные от нуля.

Единственность решения задачи, связанной с преобразованием фурье. Применяя для задачи (1)-(4) преобразование Фурье, получим в области Q = (0,1) х (0,Т) следующую задачу

л Л

Lu = K(t)utt - uxx + а(x, t) nt + (c (x, t) + Л )n = f (x, t,X), (5)

Я=0 = Я =T , (6)

Й1 x=0 = Й1 x=1 = 0, (7)

/\ _1 /О 1* _7 T

где Ae R = (-да,да); f (x,t,A) = (2ж)~ I f (x,t,z)e~ л dz- преобразование

—да

Фурье по переменной z функции f (x, t, z).

В работах [6,7] в случае, когда A = 0, изучена однозначная разрешимость

обобщённого решения задачи (5)-(7) в многомерных пространствах Соболева W m+2(Q),

m = 0,1,2,...

В случае, когда Аф 0, решение задачи (5)-(7) u(x, t,A) и правая часть уравнения (5)

f (x, t,А) зависят от параметра А. С возрастанием А ^+да может расти правая часть

уравнения (5), поэтому возникает вопрос как в этом случае можно получить априорные оценки, обеспечивающие однозначную разрешимость задачи (5)-(7).

Сначала при фиксированном A e R, используя результаты работы [6,7], получим необходимые оценки для решения задачи (5)-(7).

В дальнейшем эти результаты используем для исследования задачи (1)-(4) в неограниченных областях.

Теорема 2. Пусть выполнены указанные выше условия для коэффициентов уравнения (1), кроме того, пусть 2а(x, t) — Kt (x, t) + juK(x, t) > §2 > 0, j c(x, t) — ct (x, t) >S2 > 0,

для всех (x, t) e Q, где J = const > 0, c(x,0) < c(x,T), для всех x e [0,1]. Тогда если для

любой функции f (x, t,A) e L2(Q) существует решение задачи (5)-(7) в пространстве

W2 (Q), то оно единственно.

Доказательство. Докажем единственность решения задачи (5)-(7) с помощью интеграла энергии.

Пусть существует решение задачи (5)-(7) из W2 (Q).

40

Рассмотрим тождество:

(LU,(2ût + jUÛ))q = (f,(2ût + irn^ , (8)

где л = const > 0.

В силу условий теоремы 2, интегрируя по частям тождество (8), легко получить следующее неравенство

jbû •( 2ût + ли ) dxdt > Ц(2а - Kt + ¡K ) • û2 + л û2 + ¡X2u2 +

)2 . .. ч 2-2

x

Q QK

+(^c - ct) • и2}dQ - u\|2 - Kt(C[0Tr] |Щ\2 -

2 -1|| ||2 и-i|2 Г („2 , i2\*2 )j ^ (9)

c iia\c(Q) imiо+J \Kut et- uxutex+и&+(c+л > et]ds >

dQ

> S0 J {Mt2 + и2 + и 2}dxdt,

б

где e =(et = cos(e,t);ex =cos(e,x)), e — единичный вектор внешней нормали к dQ . Условия теоремы 2 обеспечивают неотрицательность интеграла по области Q . Так как решение задачи (5)-(7) удовлетворяет краевым условиям (6),(7) что граничные интегралы обратятся в нуль. В правой части неравенства (9), используя неравенство Коши, с С [14], учитывая условия теоремы 2 и выбирая коэффициенты ^ - 3с > 5ю > 0,

.2_-1 v \ ^ л ts _ ill ts II2 1Ы12 I

S2 -JU& K >S2Q > 0, K = max|||KJC[0T]5||a\\C(Q)J S0 = min{Sw,^,S20,Á = 0},

получим из неравенства (9) необходимую первую априорную оценку

м2

WcQ )

f

2

, (10)

L2 (Q )

Il "ILi,™ ^ c

L2 (Q )

rl ,

из которой следует единственность решения задачи (5)-(7) из Ж (Q). Теорема 2 доказана.

Уравнение составного типа с малым параметром. Разрешимость задачи (5)-(7) докажем методом "8 -регуляризации", а именно, в области Q = (0,1) х (0Т) рассмотрим семейство уравнений составного типа с малым параметром д Л Л

^ ие=—е^]Ьие+ L ие= / (x, I ,Л) (11)

дг

и с полупериодическими краевыми условиями

О? ? = О? йв\;q = 0,1,2, (12)

Us\ х=0 = и8 х=1 = (13)

д q "и/

где 8 — малое положительное число, =-, а = 1,2; О0w = w.

г д га

Ниже используем семейство уравнений составного типа с малым параметром (11) в качестве «8 -регуляризирующего» уравнения для системы уравнений смешанного типа второго рода второго порядка (5) [6-9,16,17].

Определим пространства функций

41

I 9 д л

W(Q) = u ;UseW22(Q),-AUS eL2(Q)},

д t

удовлетворяющих соответствующим условиям (12),(13) с конечной нормой

2

\Ur

2

W (Q)

д A -—Au д t £

+ u

ell2 '

(В)

Очевидно, что пространство W (Q) с нормой (В) является банаховым пространством [13,14].

Определение 2. Решением задачи (11)-(12) будем называть функцию {us(x,t,Л)} e W(Q), удовлетворяющую уравнению (11).

Теорема 3. Пусть выполнены указанные выше условия для коэффициентов уравнения (11), кроме того, пусть 2а- |Kf| + juK > S1 > 0, J c(x, t) - ct (x, t) >S2 > 0, для всех

(x,t) e Q, где j = const > 0, а(x,0) = а(x,T), c (x,0) = c(x,T), для всех x e[0,1].

Тогда для любой функции f (x, t,Л) eW2(Q), такой, что f (x,0,X) = f (x,T,Л), существует единственное обобщенное решение задачи (11)-(13) из пространства W(Q) и для нее справедливы следующие оценки

III)

IV)

s-

Ustt 112 +|\Uext\ I2 ) + | К if ^ c:

f

д_ dt

A U

2

+ lKll2 ^ c4

f

Доказательство. Доказательство теоремы 3 осуществляется поэтапно с использованием метода Галеркина и получением соответствующих априорных оценок [6,7]. Сначала докажем III) — третью оценку.

Рассмотрим тождество:

|Lsus •(2й^ + /ш^= | f •(2й^ + /ш^ dxdt. (14)

<2 б

Интегрируя по частям тождество (14), учитывая условия теоремы 3 и краевые условия (12),(13), нетрудно получить Ш)-третью априорную оценку, аналогичную оценке (10), откуда следует единственность обобщенного решения задачи (11)-(13).

Теперь докажем справедливость IV) — четвертой оценки.

Для этого рассмотрим тождество:

—21Lsйs • Рйе dxdt = — 21f •Рйе dxdt, (15)

б б

л (д л л

где Рйр = —Ли

Интегрируя по частям тождество (15), с учетом условий теоремы 3 и краевые условия (12), (13) получим следующее неравенство

UUstt +Uusxx 2 У

0

2

0

2

1

0

22 >s дАйр 2

II ftll 0 41AI ] e +

dt 0

+J{( 2a - Kt ) u2stt + (2a + Kt + ) й^ + +

Q

+(лс - ct) й2 + 2лХ 2u° + ¡Х 2u]x I dxdt +

4 j [(K(t)й1и 4 KuL + 2{leJe» - 2akAu + "L - UL + 2сйе (й ett + "exx))^

„2 2л2|| K|

+

dQ

+ (-2KUeUUeXt - 2UJet 4 ^efiext ) ] ds - 7°

11[0,Г ]

exx || о

ett 0

Z J.

О ,=1

где (7,0" 1 — коэффициенты неравенства Коши с О , У (, = 1,3) — интегралы по области, - интеграл по границе. Учитывая условий теоремы 3, краевые условия (12), (13), что У. > 0 и У2 = 0. Теперь выбирая коэффициенты ( — 7о > ( > 0,

— ЛЛ ||^||[0 т< 1 > ^ю > 0, <50 = шт{510,Л0,52, Л = 0} и применяя неравенству Коши с О в правую часть неравенство (16), получим необходимую четвертую априорную оценку:

e

д . Л — А и е

dt е

2

I иЛI2 - с3

f

2

(17)

Из доказанных оценок получаем однозначную разрешимость задачи (11)-(13) из пространства Ж (в).

Теорема 3 доказана.

Разрешимость задачи (5)-(7).

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 2,3. Тогда обобщенное решение

2

задачи (5) - (7) существует и оно единственно в (в).

2

Доказательство. Единственность решения задачи (5)-(7) в пространстве (в)

доказана в теореме 2. Теперь докажем существование решения задачи (5)-(7) в Ж[ (в). Для этого рассмотрим в области в уравнение (11) и краевые условия (12),(13) при е > 0. Так как выполнены все условия теоремы 3, то существует единственное обобщенное решение задачи (11)-(13) в Ж (в) при е > 0 и для него справедливы третья и четвертая оценки. Отсюда следует, по известной теореме о слабой компактности [15,18], что из множества функций {¿/е(X,t,X)} ,е> 0 можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность функций,

такую, что {м^. (X, t,Л) й(X, t,Л) при е, ^ 0 в Ж (в). Покажем, что предельная

/V /V Л 2

функция й(X, t, Л) удовлетворяет уравнению Ьи = / (уравнению (5)) почти всюду в Ж2 (в). В самом деле, так как последовательность {и^. (X, t ,Л)| слабо сходится в Ж (в), а

c

4

1

0

последовательность {*/8— Аи8(х,г,Л)} равномерно ограничена в Ь2((), а оператор Ь

дг

линейный, то имеем

д д

Ьи — f = Ьи — Ьйс +£;—А йс = Ь (и — ис ) + —А йс . (18)

8 г дг 8 ' дг 8

Из равенства (18), переходя к пределу при 8 ^ 0, получим единственное обобщенное

2

решение задачи (5)-(7) из пространства Соболева Ж (() [6,7,9]. Таким образом, Теорема 4 доказана.

Доказательство теоремы 1. Теперь перейдем к доказательству теоремы 1 об

2 3

однозначной разрешимости обобщенного решения задачи (1)-(4) из пространства Ж , ((). В теореме 2 для решения задачи (5)-(7) доказана справедливость оценки (10), то есть следующее неравенство

1.2

ИIw2(Q) * c1

. (10)

L 2( Q )

/

Чтобы доказать, что иг е ¿2(О), нам необходимо умножить неравенство (10) на

_2У2 | |2 з

(2л) • (1 + \Л\ ) и интегрировать по Л от —да до +да, тогда получим

IIW^G)=(2-)-1/2 •/(1+И2)3 •! I -IIW2(Q )dI< (19)

< (2<f1/2 • С1 J (1+ |2)3 •( f

2

2

L2(Q) dX = С1 IIW20,3(G),

откуда следуют выполнение первой априорной оценки теоремы 1 и единственность

2 3

регулярного обобщенного решения задачи (1)-(4) из Ж , (О).

Так же, используя условия теоремы-3,4 при фиксированном Л, с предельным

переходом при 8 ^ 0, в четвертой априорной оценке нетрудно получить для решения задачи

(5)-(7) выполнение - оценки

следующей

||2

II "I) < С2

f

2

1 • (20)

w2(Q )

Чтобы доказать, что игг е ¿2(О), нам необходимо умножить неравенство (20) на

_2У2 | |2 з

(2л) • (1 + Л ) и, интегрируя по Л от —да до +да, получаем

+да

И^(О) = <2л)—1/2 •/ (1+ 1Л2)3 -IIи1 1ж22(() Л

(22)

< (2^)-1/2 • С2 J (1+ 1I2)3 • f

d1 = c,||f| £,1,3,

W1(Q)dI С2IWC,3(G),

откуда следуют справедливость второй оценки теоремы 1 и существование нного решения задачи

Теорема 1 доказана.

2 3

обобщенного решения задачи (1)-(4) из пространства W2 , (G).

+ж

Гладкость обобщенного решения задачи (1)-(4). Теперь обратимся к исследованию гладкости обобщенного решения задачи (1)-(4) в пространствах Ш т+2,5(О), где т, £ — целые конечные числа, такие, что т > 0, £ > 3.

Ниже, для простоты, предположим, что коэффициенты уравнения (1) достаточно дифференцируемые функции в замкнутой области Q.

Теорема 5. Пусть выполнены все условия теоремы 1, кроме того, пусть

Тогда для любой функции / еШ 2 , (О), такой, что (* = 0,1,2,3,..., т), существует, притом единственное, обобщенное решение задачи (1)-(4) из

пространства где 2, £ — любые целые конечные положительные числа, такие, что £ > т + 3, т = 0,1,2,.....

Доказательство. Отметим, что в работах [6,7] для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка (5) исследована гладкость обобщенного решения полупериодической

краевой задачи (6),(7) в пространствах Соболева Ш т+2^) и доказаны соответствующие

оценки

..о - 2

\\U\\wm+2(Q) < Cm+\

f л (m = 0,1,2,3,4,...). (22)

J W2m+1(Q) V " ' ' ' ) ( )

Чтобы доказать, что 1и е ^(О), где £ > т + 3, т = 0,1,2,..., и применить теорему вложения Соболева, нам необходимо умножить неравенство (22) на

(2 л) • (1 + Щ )£ и интегрировать по Я от —да до тогда получаем

+<»

||2 1/2 Гл , * II*||2

l|u|lWm'+2-'(o)=W'4 (1+W)' 'I lUllWm+2(Q)dя<

-X

+х

(23)

< (2^)-1/2 • Ст+1 (1 + HV • f

2 .. ..2

Wm+1(Q) dX~ Ст+1УЬш+1,s(G).

Отсюда получаем существование единственного обобщенн ого решения задачи (1)-(4)

из пространства

Теорема 5 доказана.

Заключение. В статье исследуются методами «£ -регуляризации» и априорных оценок, с применением преобразования Фурье, однозначная разрешимость и гладкость обобщенного решения одной полупериодической краевой задачи для трехмерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в неограниченном параллелепипеде.

Литература:

1. Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа. ДАН СССР, 1953, Т.122, №2, 167-170 с.

2. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике: Москва. 1973. 711 с.

3. Терехов А.Н. Нелокальные краевые задачи для уравнений переменного типа. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. 148-158 с.

45

4. Глазатов С.Н. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в прямоугольнике Сиб. мат. журн., 1985, Т26, №6,162-164 с.

5. Джамалов С.З. О корректности одной нелокальной краевой задачи с постоянными коэффициентами для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в пространстве. Мат. заметки СВФУ, 2017. №4, 17-28 с.

6. Джамалов С.З. О гладкости одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения смешанного типа второго рода в пространстве. Журнал Средне волжского мат общества. 2019, Т.21, №1, 24-33 с.

7. Джамалов С.З. Нелокальные краевые и обратные задачи для уравнений смешанного типа. Монография. Ташкент. 2021 г, 176 с.

8. Dzhamalov S.Z., Ashurov R.R., Turakulov Sh.Kh. On a nonlocal boundary value problem of periodic type for the three-dimensional Tricomi equation in an unbounded prismatic domain. Bulletin of the Institute of Mathematics. (4), (3), 52-59 (2021).

9. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983. 84 с.

10. Лионс Ж.Л., Мадженес E. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.Мир. 1971. 372 с.

11. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. Москва: Мир. 1965. 380 с.

12. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва: Наука. 1977. 456 с.

13. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва: Наука. 1988. 335 с.

14. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М. 1973. 407 с.

15. Каратопраклиева М.Г. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения смешанного типа. Дифференциальные уравнения, 1991, Т.27, №1, 68-79 с.

16. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990. 132 с.

17. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Ленинград: ЛГУ, 1990.

18. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 494 с.

ЧЕГАРАЛАНМАГАН ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД КУРИНИШИДАГИ СОХАДА ИККИНЧИ ТУР ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ УЧ УЛЧОВЛИ АРАЛАШ ТИПДАГИ ТЕНГЛАМА УЧУН ЯРИМ ДАВРИЙ ЧЕГАРАВИЙМАСАЛА ХАЩДА

Ушбу мацолада чегараланмаган параллелепипед куринишидаги соуада иккинчи тур иккинчи тартибли уч улчовли аралаш типдаги тенглама учун яримдаврий чегаравий шартли чизицли масаланинг корректлиги урганилади. Ушбу масалани ягона эчимини топиш учун "е-регуляризация", априор ба^олаш, Галеркин усулларидан фойдаланиб масаланинг бир цийматли ечимга эга эканлиги исботланади.

ОБ ОДНОЙ ПОЛУПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ТРЁХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ

В статье исследуется корректность и однозначная разрешимость задачи с полупериодическими краевыми условиями для трехмерного уравнения смешанного типа второго типа в неограниченном параллелепипеде. Для доказательства однозначной

46_

pa3pewuMOcmb 3aàanu ucnom3yrnmcH Memoàbi anpuopnoû o^HKU, "s-рeгуnнризации", Memod ranepKuna.

ABOUT ONE HALF-PERIODIC BUNDARY VALUE PROBLEM FOR A THREE-

DIMENSIONAL EQUATION OF MIXED TYPE OF THE SECOND KIND IN AN

UNLIMITED PARALLELEPIPED

The article investigates the correctness and unique solvability of a problem with semi-periodic boundary conditions for a three-dimensional mixed equation of the second type in an unbounded parallelepiped. To prove the unique solvability of the problem, methods of a priori estimation, "s-regularization", and Galerkin's method are used