CC BY
3o
R
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
(E)ISSN: 2181-1784 4(8), Sep., 2024 www.oriens.uz
T-CHEGARALANGAN FAZO HAQIDA HAQIDA AYRIM
MULOHAZALAR
Karimov Sardor Yashinovich
Toshkent davlat texnika universiteti Olmaliq filiali Matematika va tabiiy fanlar kafedrasi assistenti. [email protected]
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada shu kunga qadar topologiya fanining ochiq muammolaridan biri T-chegaralangan fazolarning T2 (Hausdorff fazosi) shartni qanoatlantirsa, T3 (Regulyar fazo) ham bo 'lishi isbotlangan va T4 (Normal fazo) bo 'Imasligiga qarshi misol ko 'rsatilgan va lokal kuchsiz zichlik va lokal zichlik o 'rtasidagi munosabat o 'rganilgan.
Kalit so'zlar: T-chegaralangan fazo, T2 (Hausdorff fazosi), T3 (Regulyar fazo), T4 (Normal fazo). Lokal kuchsiz zichlik, lokal zichlik.
Bu yerda x-kardinal son.
Ta'rif 1. Biror topologik fazo (X, r)ning har qanday quwati x dan oshmagan qism to'plamining yopig'i kompakt bo'lsa, bu fazo x-chegaralangan deyiladi.
Ta'rif 2. Topologiyada kompaktlik shuni anglatadiki, to'plamning har qanday ochiq qoplamasidan chekli qoplama tanlab olish mumkin.
Ta'rif 3. Fazodagi har qanday ikkita turli nuqta uchun ularni ajratadigan kesishmaydigan ochiq to'plamlar mavjud bo'lsa, bu fazoga T2 (Hausdorff fazosi) deyiladi. Ya'ni, har bir x y uchun shunday U va V ochiq to'plamlar topiladiki x G Ux, y E Vy , va U n V = 0.
Ta'rif 4. Fazoda har qanday yopiq to'plam va unga tegishli bo'lmagan nuqta uchun ularni ajratadigan kesishmaydigan ochiq to'plamlar mavjud bo'lsa, bu fazoga T3 (Regulyar fazo) deyiladi. Ya'ni,x E Ux, A £ vA Va U n V = 0U, shuningdek, V ochiq to'plami A ni qoplaydi.
Ta'rif 5. Topologik fazo x ning biror nuqtasi xex atrofida zieh to'plam d g xd mavjud bo'lsa, ya'ni har qanday u ochiq atrof uchun u n d * 0U bu d to'plami x atrofida zich deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, har qanday ochiq to'plam U^X ichida zich to'plamdan kamida bitta nuqta mavjud bo'lsa, bu to'plam lokal zich bo'ladi.
Ta'rif 6. Topologik fazo x ning biror nuqtasi xex atrofida to'plam a c x mavjud bo'lsa va buA to'plamning har bir ochiq atrofida (kichikroq to'plamlarda) zich to'plam mavjud bo'lsa, u holda bu to'plam lokal kuchsiz zich deyiladi.
Oriental Renaissance: Innovative, (E)ISSN: 2181-1784
educational, natural and social sciences 4(8), Sep., 2024
Research BIB / Index Copernicus www.oriens.uz
Teorema 1. Agar (X, r) topologik fazo x-chegaralangan va T2 (Hausdorff) bo'lsa, u holda bu fazo T3 (Regulyar) ham bo'ladi. Ya'ni, har qanday yopiq to'plam va undan tashqaridagi nuqtani o'zaro ajratuvchi ochiq to'plamlar topish mumkin.
T-chegaralanganlik fazoning quvvati T-dan oshmagan qismlari uchun yopiq qismi kompakt bo'lishini talab qiladi. Bu shuni anglatadiki, agar to'plam quvvati jihatidan cheklangan bo'lsa, uning yopig'i kompakt bo'ladi.
Bu xossa juda muhim, chunki kompakt to'plamlar va ularning xossalari keyinchalik T3 fazoda yopiq to'plamlarni va nuqtalarni ajratish imkonini beradi.
Bizga ma'lumki, Hausdorff fazoning xossalaridan biri shuki, kompakt to'plamlar yopiq bo'ladi va ular ham nuqtalardan ajratilishi mumkin. Shuning uchun, har qanday kompakt to'plam va nuqta uchun ularni ajratish mumkin.
Endi biz fazo T-chegaralangan ekanligini hisobga olamiz.
Agar bizga biror yopiq to'plam A va undan tashqaridagi nuqta x f¿ Ax berilsa, biz A ning quvvati T-dan oshmagan qismini olamiz (yoki to'plamning o'zini, agar u kichik bo'lsa). Bu to'plamning yopig'i kompakt bo'ladi, chunki fazo t -chegaralangan.
Endi, bu to'plam kompakt bo'lgani uchun, biz Hausdorff fazoning xossasidan foydalanib, A va x nuqtasini o'zaro kesishmaydigan ochiq to'plamlar bilan ajratishimiz mumkin. Hausdorff xossasi tufayli, biz A ni qoplaydigan ochiq to'plam V va x ni qoplaydigan ochiq to'plam U topamiz, shundayki:
• x g u'
Bu regulyarlik (T3) sharti uchun talabni qanoatlantiradi.
Yuqorida A ning yopiq bo'lishini hisobga oldik. Agar A yopiq bo'lmasa, biz uning yopig'ini olamiz, chunki Hausdorff fazoda yopiq bo'lgan kompakt to'plamlar bilan ishlash qulay. Shunday qilib, har qanday nuqta va yopiq to'plam uchun ularni ajratish mumkin bo'ladi.
Shunday qilib, agar T-chegaralangan fazo T2 (Hausdorff) bo'lsa, u holda bu fazo T3 (Regulyar) ham bo'ladi, ya'ni har qanday yopiq to'plam va undan tashqaridagi nuqtani o'zaro kesishmaydigan ochiq to'plamlar bilan ajratish mumkin.
Endi T-chegaralangan fazolarning T2 (Hausdorff fazosi) shartni qanoatlantirsa, T4 (Normal fazo) bo'lmasligiga qarshi misolni ko'rib chiqsak.
W X WQ ko'paytmani qaraymiz. Bu yerda H o barcha sanoqli tartib sonlar fazosi va W esa < w1 bo'lgan barcha ordinal sonlar fazosi. Ma'lumki W va H o fazolar x-
o
R
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences
Research BIB / Index Copernicus
(E)ISSN: 2181-1784 4(8), Sep., 2024 www.oriens.uz
chegaralangan va T2 (Hausdorff fazosi) shartni qanoatlantiradi. Ammo W XWQ ko'paytma Normal fazo shartlarini saqlamaydi.
Shunday qilib, fazo T2 (Hausdorff fazosi) shartni qanoatlantirsa, T4 (Normal fazo) shartlarini qanoatlantirmaydi.
Teorema 2. Agar (X, t) topologik fazo x-chegaralangan bo'lsa, u holda ¡d.X = hvd.X bo'ladi.
Isbot. Bizga ma'lumki, % -chegaralangan fazoda har qanday quwati t -dan oshmagan to'plamning yopig'i kompakt bo'ladi. Bu fazodagi cheklangan quvvatli to'plamlar kompaktlik xossasiga ega bo'lishini bildiradi.
Lokal kuchsiz zichlik deganda, biror nuqta xe x uchun, nuqtaning atrofiga mos keladigan to'plamda zich bo'lgan kichikroq qism topilishi tushuniladi. Bu shuni anglatadiki, har qanday u c x ochiq atrof uchun bizda d c u zieh to'plam mavjud bo'ladi. Bu xossa shuni bildiradiki, a lokal kuchsiz zieh bo'lsa, u holda har qanday nuqtaning ochiq atrofi ichida zich bo'lgan kichikroq to'plamlar topish mumkin.
Endi lokal zichlikni isbotlashga o'tamiz. Lokal zichlikning ma'nosi shundan iboratki, har qanday ochiq atrof ichida to'plamning o'zi zich bo'ladi. Agar a c x lokal kuchsiz zich bo'lsa, unda har bir ochiq atrof ichida uning kichik qismlaridan zich to'plam topiladi.
t -chegaralanganlik shuni ta'minlaydiki, har bir quwati r -dan oshmagan to'plamning yopig'i kompakt bo'lishi kerak. Demak, ,4-ning kichikroq qismlaridan zich to'plamni topish mumkin bo'lsa, bu to'plamning yopig'i kompakt bo'ladi.
Endi har qanday ochiq atrofda ,4-ning zieh qismlarini topish orqali, biz A-ning o'zi ham zich bo'lishini ta'minlaymiz. Bu shuni anglatadiki, lokal kuchsiz zichlik aslida lokal zichlikni ta'minlaydi, chunki har bir ochiq atrofda a -ning kichik qismlaridan zich to'plam topiladi va bu xossa butun ,4-ni zieh qilib beradi.
Bundan ko'rinadiki, IdX = IwdX.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR (REFERENCES):
1. O. Okunev, The minitightness of products, Topology and its applications 208 (2016) pp. 10-16.
2. R. Engelking, General topology, Helderman Verlag Berlin, 1989.
3. Mamadaliev Nodirbek, Karimov Sardor. ON t -BOUNDED SPACES. "Problems of Modern Mathematics" 70th anniversary of A.A. Borubaev, June 15 -19,
4. Adilbek Zaitov, Sardor Karimov. x-chegaralangan fazolarning sust zichligi haqida. Analizning zamonaviy muammolari 2-3 iyun Qarshi 2023 yil
2021.
