Частные решения линеаризованной системы уравнений газовой динамики при учёте действия силы Кориолиса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63 + 533.6 DOI 10.24147/2222-8772.2020.1.82-93

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРИ УЧЁТЕ ДЕЙСТВИЯ СИЛЫ КОРИОЛИСА

Снежинский физико-технический институт Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Снежинск, Россия

Аннотация. Для системы уравнений газовой динамики при учете действия силы Кориолиса проведена линеаризация в случае когда не учитывается действие силы тяжести. Найдены частные решения в виде бегущих волн.

Ключевые слова: система уравнений газовой динамики, сила Кориолиса, линеаризация, точные решения.

Введение

Природные восходящие закрученные потоки: торнадо, тропические циклоны, огненные вихри — представляют собой сложные и еще достаточно мало изученные явления с точки зрения их возникновения и продолжительного функционирования. Надежное теоретическое изучение этих потоков возможно только с использованием системы уравнений газовой динамики при учетё действия сил тяжести и Кориолиса.

В монографиях [1-5] (более подробную библиографию см. в [3,4]) с использованием этой математической модели — система уравнений газовой динамики при учете действия сил тяжести и Кориолиса — и с применением методологии характеристической задачи Коши [6-8] проведены аналитические и численные исследования течений воздуха в природных восходящих закрученных потоках.

В силу нелинейности системы уравнений газовой динамики построение её решений является достаточно трудоёмким. Это и послужило причиной линеаризации системы уравнений газовой динамики на ее точных решениях [9].

Далее в работе в случае неучета действия силы тяжести приведена линеаризованная на точном решении линейная система уравнений с частными производными. Неучет действия силы тяжести возможен при исследовании газодинамических течений в придонных частях природных восходящих закрученных потоков, в которых параметры газа несильно зависят от высоты. Также

С.П. Баутин

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: [email protected] А.А. Бугаенко аспирант, e-mail: [email protected] И.Ю. Крутова к.ф.-м.н., доцент, e-mail: [email protected]

в работе в случае отсутствия силы тяжести для полученной линеаризованной системы построено несколько конкретных решений.

1. Линеаризация системы уравнений газовой динамики

Система уравнений газовой динамики в изэнтропическом случае для идеального политропного газа с уравнением состояния р = р1 при учете действия силы Кориолиса и силы тяжести имеет следующий вид [1-5]:

(7 -1)

Съ + Угсх + у2су + ь3сх +--2-с (^ + у2у + ^) = 0,

2

Vit + V1V1X + v2v\y + v3víz + --— ccx = av2 - bv3,

V2t + ViV2x + V2V2y + V3V2Z + 7-7ГCCy = -aVi

(7 - 1)

2

(7 - 1)

2

(1)

V3t + Viv3x + V2V3y + v3v3z + 7-— cc^ = bvi - g.

(7 - 1)

Здесь: p — давление газа; p — плотность газа; 7 = const > 1 — показатель политропы идеального газа; с = p(l-1)/2 — скорость звука газа; V = (v1,v2,v3) вектор скорости газа с его проекциями на декартовы оси Ox, Оу, Oz;

Q = ( 0; П2; П3 ); П2 = Hcos ф; П3 = П sinф,

— вектор угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси; ф — широта точки, в которой находится начало декартовой системы координат (x,y,z), вращающейся вместе с Землей; a = 2П3; b = 2П2; g = (0,0, -g), g = const > 0 — ускорение свободного падения. В данной работе g = 0.

В системе (1) с помощью масштабных значений скорости, скорости звука, времени и расстояния — uoo, coo, too, roo — стандартным образом [1-5] введены безразмерные переменные:

f =

foo

где f* и f00 — соответственно размерное и масштабное значения безразмерной величины f. При этом положено, что

_ , _ Гоо

Uoo = Coo; too = -.

Uoo

У системы (1) в случае g = 0 имеется точное решение:

с =1; vi = V2 = V3 = 0. (2)

Линеаризация системы (1) на точном решении (2) состоит в том, что решение этой системы представляется в виде

с =1 + с; V = V,

и эти выражения подставляются в систему (1).

Слагаемые, не содержащие тильдованных функций и тильдованных производных, взаимно уничтожаются, поскольку выражения (2) задают точное решение системы (1).

Затем нелинейные выражения с тильдованными функциями и тильдован-ными производными отбрасываются. В результате получается следующая линейная система уравнений с частными производными, где для простоты знак тильды опущен [9]:

Ъ +

(7 - 1)

Уи +

Щь +

2 V

2

(7 - 1)

2

(7 - 1)

2

(7 - 1)

сх = аУ2 - ьу3,

Су = -ау\,

Сг = Ьу\.

(3)

В монографии [6] показано, что процедура линеаризации квазилинейного уравнения с частными производными на его точном решении и построение решения полученного линейного уравнения фактически являются построением слагаемого с номером один у конкретного бесконечного ряда по степеням формального малого параметра е. Этот ряд решает специальным образом поставленную характеристическую задачу Коши стандартного вида [6], и при условии аналитичности входных данных задачи этот бесконечный ряд по степеням е сходится в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Следовательно, решение линеаризованной задачи в сумме с точным решением, на котором проведена линеаризация, даёт первые два слагаемых бесконечного сходящегося ряда, задающего новое решение исходного нелинейного уравнения с частными производными.

2. Бегущие волны

2.1. Частное решение в случае зависимости от переменной у

Для построения частных точных решений предполагается, что они не зависят от переменных х и г и имеют следующий вид

'с(г,у) = Сп(г) сой пу; Ух(Ь,у) = Ь1П(Ь) йЬ пу; У2(Ь,у) = Й1П пу;

= ЙШ пу

(4)

с искомыми коэффициентами сга(£), у3п(1). Здесь п — целое неот-

рицательное число.

Подстановка представлений (4) в систему (3) при условии, что д/дх = д/дг = 0, и приведение подобных дают следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

(ч- 1) + ^^ пу2п(г) = 0;

п(*) = ау2п^) - Ьь3п(1);

(I) —

псп(£) = —

(5)

(7 — 1) Узп СО = ЬУ1П(г).

Решение системы (5) будем искать в виде

' Сп(£) = с?п со§(пь*1); У1п^) = Ь°1п С08(пь*1); Ъ2п(1) = У0п $т(пь*1); ^эп(^) = 8т(пу*г).

(6)

Представление (6) подставляется в систему (5), и получается однородная система линейных алгебраических уравнений для констант сдп,у10п,у20п,у0п

* о ; псп

(7 — 1),

]0п

—ь*пу°п — аь1п + Ъь°п

о

V ПУ°п —

0; 0;

(7 — 1)

пс°п + ау°п = 0;

(7)

ь*пь°оп — ьу0ы

0.

Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы её определитель равнялся нулю.

А

■ь*п 0 « — „ 0

0 —ь*п —а Ь

2 п — 1)П а у*п 0

0 -Ь 0 ь*п

Раскрытие этого определителя по третьей строке приводит к биквадратному уравнению:

п4(у*)4 — П2(у*)2 (а2 + Ь2 + п2) + п2Ъ2 = 0. Делаем замену У* = (ь*)2

п2 (у * )2 — у * (а2 + ъ2 + п2) + ъ2 = 0,

находим дискриминант

В = [а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2Ъ2 = а4 + 2а2Ъ2 + 2п2а2 + (Ь2 — п2)2 > 0,

2

2

получаем следующие корни квадратного уравнения

(а2 + Ь2 + п2) ±\/(а2 + Ь2 + п2)2 - 4п2Ъ2

V * — -_-__1_

= 2п2 ■

Значение У*2 > 0, т. к.

а2 + Ь2 + п2 > л](а2 + Ь2 + п2)2 - 4п2Ь2;

(а2 + Ь2 + п2)2 > (а2 + Ь2 + п2)2 - 4п%2. Получили 4 действительных попарно-сопряжённых корня

--^42 —

Ь1,2,3,4 — ±\ ^1*2 —

(а2 + Ь2 + п2) (а2 + Ь2 + п2)2 - 4п2Ь2

2п2

Возвращаемся к системе (7). Из первого уравнения:

о (7 - 1) .0

2^* ^

Из четвёртого уравнения: Из второго уравнения:

ь*п

1Ь2 - (у*)2п2'

Подставляем все в третье уравнение:

* I

V--- +

1 а2у

2

V* Ь2 - (у*)2п2

Рассмотрим отдельно

(8)

< — -^-Ап.. (9)

0 — 0 ии п 11 (ЛЧ

У1п — У2П12 Л.аЛ2„2 . (Ш)

* 1 а2у* _(у*)2 (Ь2 - (у*)2п2) - Ь2 + (у*)2п2 + а2(у*)2 - - - - -.

V* Ь2 - (у*)2п2 V* (Ь2 - (у*)2п2)

В числителе получили исходное уравнение, корень которого есть ь* -(ь*)4п2 + (ь*)2 [а2 + Ь2 + п2] - Ь2 — - [(ь*)4п2 - (ь*)2 [а2 + Ь2 + п2] + Ь2] — 0. Таким образом уравнение для ь0п является таким:

уОп • 0 — 0,

т. е. в качестве значения ь0п можно брать любое число.

п

0

В результате искомое частное решение системы (3) задаётся формулами:

'c(t,y) = с?п cos(nv*t) cos пу; V\{t,y) = v0n cos(nv*t) sin пу; v2{t, у) = v°2n sin(nv*t) sin ny; Kv3(t,y) = V0n sin(nv*t) sin ny,

(11)

где у0п — произвольная константа, а остальные коэффициенты задаются формулами (8), (9), (10).

С использованием соответствующих тригонометрических формул получается, что найденное частное решение (11) системы (3) является бегущей волной

' с(Ь, у) = 0,Ъс'^(со^[а(у + ь*£)] + со$[п(у — у*1)]); у) = О,5у0п(вт[п(у + ь*Ь)} + 8т[п(у — у*1)]); у) = О,Ьу2п(ооз[п(у + уЧ)] — ооз[п(у — уЧ)]); <у3(г,у) = О,Ьь0п (со$[п(у + у*г)] — соБ[п(у — v*t)}),

зависящей от таких комбинаций переменных:

У ±\

(а2 + Ь2 + п2) ±у/(а2 + Ь2 + п2)2 - 4п2Ь2

2п2

и распространяющейся в разные стороны со скоростью

J122

\

(а2 + Ь2 + п2) ±у/(а2 + Ь2 + п2)2 - 4п2Ъ2

2п2

Сделаем оценку v*2. Имеет место равенство

а2 + b2 = 4Q2 sin2 ф + 4Q2 cos2 ф = 4Q2.

Тогда

(а2 + Ь2 + п2)2 - 4п2Ъ2 = п4 + (а2 + b2)2 + 2п2(а2 - Ь2) =

(12)

= п4 + 16П4 + 8Q2n2(sin2 ф - cos2 ф). Последнее выражение заведомо будет больше п4, если

sin2 ф - cos2 ф ^ 0,

то есть, для случая Северного полушария при

к , к

Ф^-.

В случае Южного полушария для выполнения неравенства (12) требуется выполнение неравенства

п п

— ^ ф ^ —.

2 ^ 4

t

Значит

у/(а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2Ь2 > п2, (а2 + Ь2 + п2) + ^(а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2Ь2 > 2п2.

Таким образом,

\

(а2 + Ь2 + п2) + ^(а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2Ь2

2п2

>1

\

(а2 + Ь2 + п2) — ^ (а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2Ь2

2п2

< 1,

если выполнено неравенство (12), причём ь** < 1 < V**.

Естественно, что для системы (3) можно строить и другие частные решения с использованием гармоник и по другим пространственным переменным, как в случае зависимости только от какой-то одной пространственной переменной, так и в случае одновременной зависимости решений от многих пространственных переменных.

Т. к. дальше будет рассматриваться зависимость от переменной г — для найденных и V** будем использовать обозначение у*у22у.

2.2. Частное решение в случае зависимости от переменной г

Для построения частных точных решений предполагается, что они не зависят от переменных х и у и имеют следующий вид

' с(Ь, х) = сп(Ь) сое т; VI(¿, г) = VIп(£) вт пг;

= У2п(^ ЙШ пг; кУ3(г,г) = у3п(г) йЬ пг

(13)

с искомыми коэффициентами сга(£), У\п(1), у2п(1), у3п(1). Здесь п — целое неотрицательное число.

Подстановка представлений (13) в систему (3) при условии, что д/дх = д/ду = 0, и приведение подобных дают следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Н- 1)

с'п^) + 2 ПУзп(г) = 0,

п(г) = М2п($ — ЬУзп(Ь), ^2пС0 = п (t),

ъ'зЛ^ —

(7 — 1)

псп (г) = Ьуг п(г).

V

и

V

2

Решение системы (14) будем искать в виде

' Сп(£) = с?п сой(пь*1); У1п^) = У0Ы сов(пуЧ); Ъ2п(1) = ^ 8т(пу*г); кУзп&) = У°п 8т(пу*г).

(15)

Представление (15) подставляется в систему (14), и получается однородная система линейных алгебраических уравнений для констант с°п, у*0п, у0п

—пу*с° + —- пу0п = 0;

(7 — 1),

—пу*у°п — ау{°п + ьу°п = 0;

* о | ■ пу у^п + ау

о

пу у°п —

о

1п

(7 — 1)

0;

псп — Ъу^ = 0.

(16)

Чтобы эта система имела решение, необходимо, чтобы её определитель рав-

нялся нулю.

А

— ПУ

*

(7 — 1)

п

—пу* —а

а пу'

2

(7 — 1)

п —Ь

0

ПУ*

Раскрытие определителя по четвёртой строке приводит к биквадратному уравнению:

4( *\4 2( *\2 ( 2 , 7,2 , 2\ , 2 2 п.

п (у ) — п (у ) [а + Ь + п ) + п а =0. Делаем замену У* = (у*)2

п2(у*)2 — у* ^ + Ъ2 + п2^ + а2 = 0,

находим дискриминант

В = [а2 + Ь2 + V2)2 — 4п2а2 = Ъ4 + 2а2Ъ2 + 2п2Ъ2 + (а2 — п2)2 > 0

получаем следующие корни квадратного уравнения

V * у1,2

(а2 + Ь2 + п2) (а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2а2

2п2

Значение У'2 > 0, т.к.

а2 + Ь2 + п2 > у/(а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2а2;

(а2 + Ь2 + п2)2 > (а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2^.

2 , 7,2 , ,„2\2

22

2

0

0

ь

0

0

0

Получили 4 действительных попарно-сопряжённых корня

J1,23A

±Jvi2 =

(a2 + b2 + п2) (a2 + b2 + п2)2 - 4n2a2

2п2

Возвращаемся к системе (16). Из первого уравнения:

(7 - 1),

2v*

J3n-

Из третьего уравнения:

Из второго уравнения:

V2n = --

nv

*Vln.

bnv*

Jln

—v

3na2 - n2(v*)2'

(17)

(18)

(19)

Подставляем все в четвёртое уравнение:

nv

3n

* 1 , v--- +

b2v*

a2 - n2(v*)2

0.

Рассмотрим отдельно

* 1

v---

b2v*

v* a2 - n2(v*)2

(v*)2 (a2 - n2(v*)2) - a2 + n2(v*)2 + b2(v*)2 (v*)2 (a2 - n2(v*)2)

В числителе получили исходное уравнение, корень которого есть v*

-n2(v*)4 + (v*)2 [a2 + b2 + n2] - a2 = - [n2(v*)4 - (v*)2 [a2 + b2 + n2] + a2] = 0. Таким образом, уравнение для v0n является таким:

v0n • 0 = 0,

т. е. в качестве значения v0n можно брать любое число.

В результате искомое частное решение системы (3) задаётся формулами:

'c(t,z) = (?п cos(nv*t) cos nz; v\ (t,z) = v0n cos(nv*t) sin nz; v2(t,z) = v°n sin(nv*t) sin nz; ^v3(t,z) = v°n sin(nv*t) sin nz,

(20)

где ь0п — произвольная константа, а остальные коэффициенты задаются формулами (17), (18), (19).

С использованием соответствующих тригонометрических формул получается, что найденное частное решение (20) системы (3) является бегущей волной

' с(Ь, г) = 0,ЬСп(со$,[п^ + ьЧ)] + соБ[п(г — у*1)]);

Ь\(Ь, г) = О^^^т^^ + ь*1)} + — ь*1)]);

ь2(Ь, г) = 0,5у0п(со$,[п(х + ь*£)] — соБ[п(г — У*1)]); г) = О,5^0га(сов[и(г + ь*1)] — соз[п(г — ь*1)]),

о

о

с

п

a

о

о

о

V

зависящей от таких комбинаций переменных

z±

\

(а2 + Ь2 + п2) ±у/(а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2а2

2п2

и распространяющейся в разные стороны со скоростью:

J1z,2z

\

(а2 + Ь2 + п2) ± (а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2а2

2п2

Данное обозначение введено, чтобы отличать случай зависимости от у. Сделаем оценку 2г. Имеет место равенство

а2 + b2 = 4Ü2 sin2 ф + 4П2 cos2 ф = 4П

22

Тогда

(а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2 а2 = п4 + (а2 + Ь2)2 + 2п2(Ъ2 — а2)

= и4 + 16П4 + 8^V(cos2 ф — sin2 ф). Последнее выражение заведомо будет больше п4, если

cos2 ф — sin2 ф ^ 0, (21)

то есть для случая Северного полушария, если

'К

0 ^ ф ^ -.

4

В случае Южного полушария для выполнения неравенства (21) требуется выполнение неравенства

к

— - ^ ф ^ 0.

4

Значит,

\J(а2 + Ь2 + п2)2 — 4и2а2 > п2, (а2 + Ь2 + п2) + ^J(а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2а2 > 2п2.

Таким образом,

1z

\

(а2 + Ь2 + п2) + \J (а2 + Ь2 + п2 )2 — 4п2а2

2п2

>1

J2z

\

(а2 + Ь2 + п2) — у/ (а2 + Ь2 + п2)2 — 4п2а2

2п2

если выполнено неравенство (21), причём v*z < 1 <v

1z-

t

2

и

Заключение

В работе в случае неучета силы тяжести проведена линеаризация линейной системы уравнений с частными производными на точном решении — однородном покое. В случае отсутствия силы тяжести для полученной линеаризованной системы построено несколько конкретных решений, являющихся бегущими волнами. Для случая каждой из независимых переменных у и г получено по две скорости распространения бегущих волн. Причём для конкретных широт и в случае независимой переменной у, и в случае независимой переменной г одна из скоростей больше единицы.

Наличие для системы уравнений газовой динамики нескольких скоростей распространения бегущих волн является достаточно неожиданным фактом. Подобное происходит только в случае многокомпонентных сред [10]. Очевидно, этот факт связан с тем, что в системе уравнений газовой динамики учитывается действие силы Кориолиса, когда а = 0 и Ь = 0.

Литература

1. Баутин С.П. Торнадо и сила Кориолиса. Новосибирск : Наука, 2008. 96 с.

2. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчёты, эксперименты / Баутин С.П. [и др.]. Новосибирск : Наука ; Екатеринбург : УрГУПС. 2013. 216 с.

3. Разрушительные атмосферные вихри и вращение Земли вокруг оси / Баутин С.П. [и др.]. Екатеринбург : УрГУПС. 2017. 216 с.

4. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Аналитическое и численное моделирование течений газа при учёте действия силы Кориолиса. Екатеринбург : УрГУПС, 2019. 181 с.

5. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование разрушительных атмосферных вихрей. Новосибирск : Наука, 2012. 152 с.

6. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и её приложения в газовой динамике. Новосибирск : Наука, 2009. 368 с.

7. Баутин С.П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Сборник «Численные методы механики сплошной среды». ВЦ СО АН СССР. 1973, Т. 4, № 1. С. 3-15.

8. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 11. С. 2052-2063.

9. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Линеаризованная система уравнений газовой динамики при учёте действия силы Кориолиса: препринт. Снежинск : СФТИ НИЯУ МИФИ, 2019. 52 с.

10. Баутин С.П. Скорость звука в многокомпонентной покоящейся среде // Прикладная механика и техническая физика, 2008. Т. 49, № 3. С. 35-44.

PARTICULAR SOLUTIONS OF A LINEARIZED SYSTEM OF GAS DYNAMICS EQUATIONS IN THE ABSENCE OF GRAVITY TAKING INTO ACCOUNT THE ACTIONS OF THE CORIOLIS FORCE

Bautin S. P.

Professor, Dr.Sc. (Phys.-Math.), e-mail: [email protected] Bugaenko A. A.

Post Graduate Student, e-mail: [email protected] Krutova I. Yu.

Ph.D. (Eng.), Associate Professor, e-mail: [email protected]

Snezhinsk Institute of Physics and Technology National Research Nuclear University

"MEPhI", Snezhinsk, Russia

Abstract. For the system of gas dynamics equations, taking into account the action of the Coriolis force, linearization is carried out in case when the effect of gravity is not taken into account. Particular solutions in the form of running waves are found.

Keywords: system of equations of gas dynamics, Coriolis force, linearization, exact solutions.

References

1. Bautin S.P. Tornado i sila Koriolisa. Novosibirsk, Nauka Publ., 2008, 96 p. (in Russian)

2. Razrushitel'nye atmosfernye vikhri: teoremy, raschety, eksperimenty. Bautin S.P. [i dr.], Novosibirsk, Nauka Publ.; Ekaterinburg, UrGUPS Publ., 2013, 216 p. (in Russian)

3. Razrushitel'nye atmosfernye vikhri i vrashchenie Zemli vokrug osi. Bautin S.P. [i dr.], Ekaterinburg, UrGUPS Publ., 2017, 216 p. (in Russian)

4. Bautin S.P. and Krutova I.Yu. Analiticheskoe i chislennoe modelirovanie techenii gaza pri uchete deistviya sily Koriolisa. Ekaterinburg, UrGUPS Publ., 2019, 181 p. (in Russian)

5. Bautin S.P. and Obukhov A.G. Matematicheskoe modelirovanie razrushitel'nykh atmos-fernykh vikhrei. Novosibirsk, Nauka Publ, 2012, 152 p. (in Russian)

6. Bautin S.P. Kharakteristicheskaya zadacha Koshi i ee prilozheniya v gazovoi dinamike. Novosibirsk, Nauka Publ., 2009, 368 p. (in Russian)

7. Bautin S.P. Analiticheskie resheniya zadachi o dvizhenii porshnya. Sbornik "Chislennye metody mekhaniki sploshnoi sredy", VTs SO AN SSSR, 1973, vol. 4, no. 1, pp. 3-15. (in Russian)

8. Bautin S.P. Kharakteristicheskaya zadacha Koshi dlya kvazilineinoi analiticheskoi sis-temy. Differentsial'nye uravneniya, 1976, vol. 12, no. 11, pp. 2052-2063. (in Russian)

9. Bautin S.P. and Krutova I.Yu. Linearizovannaya sistema uravnenii gazovoi dinamiki pri uchete deistviya sily Koriolisa: preprint. Snezhinsk, SFTI NIYaU MIFI, 2019, 52 p. (in Russian)

10. Bautin S.P. Skorost' zvuka v mnogokomponentnoi pokoyashcheisya srede. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 2008, vol. 49, no. 3, pp. 35-44. (in Russian)

Дата поступления в редакцию: 18.12.2019