Линеаризованная система уравнений газовой динамики при учёте действия силы Кориолиса и её некоторые решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63 + 533.6 DOI 10.25513/2222-8772.2019.3.59-73

линеаризованная система уравнений газовой динамики при учёте действия силы кориолиса и её некоторые решения

С.П. Баутин

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: [email protected] И.Ю. Крутова

к.ф.-м.н., доцент, e-mail: [email protected]

Снежинский физико-технический институт Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ», Снежинск, Россия

Аннотация. Для системы уравнений газовой динамики при учёте действия силы Кориолиса проведена линеаризация в двух случаях: когда учитывается и когда не учитывается действие силы тяжести. Для линеаризованных систем определены их характеристики. В случае прямоугольной системы координат проведено частичное расщепление линейной системы уравнений. Найдены частные решения в виде стоящих и бегущих волн. Построено течение в окрестности непроницаемой горизонтальной плоскости.

Ключевые слова: система уравнений газовой динамики, сила Кориолиса, линеаризация, точные решения.

Введение

Природные восходящие закрученные потоки: торнадо, тропические циклоны, огненные вихри — представляют собой сложные и ещё достаточно мало изученные явления с точки зрения их возникновения и продолжительного функционирования. Надёжное теоретическое изучение этих потоков возможно только с использованием системы уравнений газовой динамики при учёте действия сил тяжести и Кориолиса.

В монографиях [1,5-8] (более подробную библиографию см. в [6,7]) с использованием этой математической модели — система уравнений газовой динамики при учёте действия сил тяжести и Кориолиса — и с применением методологии характеристической задачи Коши [2-4] проведены аналитические и численные исследования течений воздуха в природных восходящих закрученных потоках.

В силу нелинейности системы уравнений газовой динамики построение её решений является достаточно трудоёмким. Это и послужило причиной линеаризации системы уравнений газовой динамики на её точных решениях.

Далее в работе в случае двух точных решений системы уравнений газовой динамики: при учёте и без учёта силы тяжести — приведены линеаризованные

на этих двух точных решениях линейные системы уравнений с частными производными. Неучёт действия силы тяжести возможен при исследовании газодинамических течений в придонных частях природных восходящих закрученных потоков, в которых параметры газа не сильно зависят от высоты. Также в работе, в случае отсутствия силы тяжести для полученной линеаризованной системы, построено несколько конкретных решений.

1. Линеаризация системы уравнений газовой динамики

Система уравнений газовой динамики в изэнтропическом случае для идеального политропного газа с уравнением состояния р = р1 /7 при учёте действия сил тяжести и Кориолиса имеет следующий вид [1,5-8]:

Ct + V\CX + V2 Су + VsCz + ^—2---- С {V\x + V2y + v3z) = 0,

Vlt

2

+ V1V1X + V2Viy + V3Viz + _ !) ccx = av2 _ bv3,

ccy = _av1,

2

V2t + V1V2X + V2V2y + V3V2Z + _ ^) *

2

V3t + ViV3X + V2V3y + V3V3Z + (^ _ !) ccz = bvi _ g.

(1)

Здесь p — давление газа; p — плотность газа; 7 = const > 1 — показатель политропы идеального газа; с = р(7-1)/2 — скорость звука газа; V = (v1,v2,v3) — вектор скорости газа с его проекциями на декартовы оси Ox, Оу, Oz; Q = ( 0; П2; П3 ); П2 = П cos ф; П3 = П sinф, — вектор угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси; гф — широта точки, в которой находится начало декартовой системы координат (x,y,z), вращающейся вместе с Землёй; a = 2П3; b = 2П2; g = (0,0, _д), д = const > 0 — ускорение свободного падения.

В системе (1) с помощью масштабных значений скорости, скорости звука, времени и расстояния — и00, с00, too, г00 — стандартным образом [1,5-8] введены безразмерные переменные:

/00 ’

где /* и /00 — соответственно размерное и масштабное значения безразмерной величины f. При этом положено, что

_ , _ Г00

^00 = С00; ^00 = ---.

^00

У системы (1) в случае д = 0 имеется точное решение:

Линеаризация системы (1) на точном решении (2) состоит в том, что решение этой системы представляется в виде

с = 1 + 5; V = V

и эти выражения подставляются в систему (1).

Слагаемые, не содержащие тильдованных функций и тильдованных производных, взаимно уничтожаются, поскольку выражения (2) задают точное решение системы (1). Затем нелинейные выражения с тильдованными функциями и тильдованными производными отбрасываются.

В результате получается следующая линейная система уравнений с частными производными, где для простоты знак тильды опущен:

Q + ^“2—“ (vix + V2y + v3z) = 0,

Vlt + (7 - 1) Cx = aV2 - bv3,

< (3)

v2t + (y - i) cy = -avi,

K v3t + (7 - !) 0 = bv 1.

Более простой случай g = 0 можно рассматривать тогда, когда требуется исследовать течения в придонной части восходящего закрученного потока, где параметры газа с изменением высоты меняются незначительно [1,5-8].

В случае g = 0 линеаризация системы уравнений газовой динамики на точном решении

с =л/1 - (т - 1 )gz; Vi = V2 = v:i = 0

приведёт к более простым формулам, если вместо искомой скорости звука — функции с — ввести другую искомую функцию: 0 = с2. В этом случае система (1) переходит в следующую систему

{0* + V ■ V0 + (7 - 1)0 div V = 0,

(4)

V* + (V ■ V)V + (^ - ^ V0 = g - 2П х V,

точное решение этой системы имеет вид

0 = 1 - (7 - 1)gz; V = O,

где О — нулевой вектор.

Линеаризация системы уравнений газовой динамики с искомой функцией 0 на приведённом точном решении также состоит в том, что решение ищется в виде

0 = 1 - (7 - 1)gz + 0; V = V,

эти выражения подставляются в систему (4): слагаемые, не содержащие тильдо-вэнных функций и тильдованных производных, взаимно уничтожаются; нелинейные выражения с тильдованными функциями и тильдованными производными отбрасываются, В результате получается следующая линейная система уравнений с частными производными:

Г 01 - (т - !)^3 + (т - 1)[1 - (7 - 1)9^\ div V = 0,

[ V, + [1 - (7 - 1)<р\ V0 - 9k0 = -2П х V,

здесь k =(0,0,1).

В монографии [2] показано, что процедура линеаризации квазилинейного уравнения с частными производными на его точном решении и построение решения полученного линейного уравнения фактически являются построением слагаемого с номером один у конкретного бесконечного ряда по степеням формального малого параметра е. Этот ряд решает специальным образом поставленную характеристическую задачу Коши стандартного вида [2] и при условии аналитичности входных данных задачи этот бесконечный ряд по степеням е сходится в некоторой окрестности рассматриваемой точки, Следовательно, решение линеаризованной задачи в сумме с точным решением, на котором проведена линеаризация, даёт первые два слагаемых бесконечного сходящегося ряда, задающего новое решение исходного нелинейного уравнения с частными производными,

2. Характеристики линеаризованной системы уравнений газовой динамики в случае д = 0

Для получения уравнений характеристических поверхностей системы (3), записанной в виде

dU Л . d U ^

dt дхг = ,

г=1

используется стандартная процедура [8],

Здесь:

( с \ 0

U = V1 , F = av2 - bvз

V2 —av1

U — вектор искомых функций; F — вектор правых частей и матрицы

( 0 7—1 2 0 0 \

2 0 0 0

Ai = 1—1

0 0 0 0

\ 0 0 0 0 /

Ао

-21 0 0

7-1

7-1 2 0 0 0 0 7-1 \ 2

0 0 , ^3 = 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 i -А_ \ 7-1 0 0 0

Предполагается, что (С) — поверхность характеристики задана в виде

(С): e(t,xi,x2,x3) = 0,

где, не нарушая общности, можно предположить, что 9Х1 = 0, и тогда по теореме о неявно заданной функции получается представление

(С) : 6(t, Хг,Х2,Хз) = Х'1 + T](t, Х2, Хз).

С учётом этого равенства для линеаризованной системы уравнений газовой динамики (3) делается следующая замена переменных:

в = xi + ri(t,x2,хз); гг = t; & = Xi г = 2, 3

(5)

с якобианом J = 1,

Следовательно, при замене (5) поверхность характеристики (С) берётся за новую координатную плоскость в = 0,

С учётом формул преобразования производных при замене (5) система (3) записывается в виде

Ш Л dU А „ Ш 77 + '4» 7» +£ -Щ.

дт и дв

где матрица А0 имеет следующий вид

дв

F,

г=1

. uu ^ дв л = -Е + £ А

0,

2 п 7-1°Х1 2 a 7-1и%2 , 2 л

\ 7_1ихз

1-1Q 1-1Q _А_ 0

2 uxi 2 Ux2 'у-1ихз

вь

0

0

0

вг

0

0

0

вг

\

7

Чтобы координатная плоскость в = 0 (т. е, поверхность (С)) по определению была характеристикой выписанной системы, необходимо и достаточно, чтобы был равен нулю определитель матрицы А0, стоящий перед вектором производной, выводящей с плоскости в = 0,

Определитель матрицы А0 вычисляется разложением по первой строке и имеет следующий вид:

detA = 6* $ - + С + С)] .

Отсюда следует, что уравнение

9t = 0; то есть 6(х]_,х2,х3) = const

задаёт стоящую на месте контактную характеристику кратности два, через которую газ не течёт: V = O.

А уравнения

0,. = ±Д2. + 41, + в1з

задаёт две звуковые характеристики (С+), (С-), каждая кратности единица и распространяющиеся в разные стороны со скоростью, равной единице.

3. Частичное расщепление линеаризованной системы

Последующие выкладки будут производиться с отдельными уравнениями системы (3).

Первое уравнение системы (3) дифференцируется по t и разрешается относительно производной сц. А затем второе, третье и четвёртое уравнения системы (3) дифференцируются каждое по своей пространственной переменной и найденные смешанные производные по времени и по пространственным переменным подставляются в уравнение для ctt:

Ctt

Ac

^ (“*

bv3x - aviy + bvu),

(6)

где A — оператор Лапласа.

В полученное уравнение для с при П = 0, то есть при учёте вращения Земли вокруг своей оси, вошли производные от искомых компонент вектора скорости газа. Если же не учитывать вращение Земли, П = 0, то полученное уравнение будет линейным волновым уравнением для скорости звука — функции с.

Далее делаются следующие преобразования.

Первое уравнение системы (3) дифференцируется по каждой из пространственных переменных, а последние три уравнения системы (3) дифференцируются по t. В эти уравнения подставляются смешанные производные функции с по времени и по пространственным переменным, и получается такая система:

{vitt = vixx + Щ уХ + v3zx + av 21 — bv3t,

Щ tt = vlxy + ^2 уу + V3zy — aVit^ (7)

vm = vixz + v2 yz + v3zz + bvit,

в которую входят только компоненты вектора скорости газа.

Следовательно, система (3) допускает частичное разделение переменных: сначала надо решать систему (7) только для vl, v2, v3, а затем при известных vl, v2, v3 решать уравнение (6) для с.

Если для системы (3) задать начальные условия

c|t=o = Co(x,y,z); Vi[t=o = vw(x,y,z);

Щ |t=o = v2o(x,y,z); v3[t=o = v3o(x,y,z),

то такая задача Коши (3), (8) будет иметь единственное решение, например в классе аналитических функций.

Если из системы (3), рассматриваемой при t = 0 и с учётом условий (8), однозначно определить начальные данные для первых производных по времени

Ct\t=0 : Vu\t=0

^2t|t=0

^3t\t=0

(7 - 1) 2

av20 -

(^10ж + V20y + V30z); bb30 (y i) ^0ж;

(^ — 1) c0y avw,

bV10 _ (j _ 1)°0^;

(9)

то и для уравнения (6), и системы (7) получаются задачи Коши с начальными данными (8), (9), которые также будут иметь единственные решения. Естественно, что эти решения будут совпадать с решением системы (3) при начальных условиях (8).

Замечание. Известно, что любое решение исходной задачи удовлетворяет следствию этой исходной задачи. Однако не всякое решение следствия является решением исходной задачи. Уравнения (6), (7) являются следствиями системы (3) и поэтому всякое решение системы (3) удовлетворяет уравнениям (6), (7). Но не всякое решение уравнений (6), (7) является решением системы (3). Например, если для уравнений (6), (7) в качестве начальных условий для производных по времени при t = 0 взять не функции (9), а другие, то получившаяся задача (6)-(9) будет иметь единственное решение, но получившиеся функции с, v1, v2, v3, не будут удовлетворять задаче (3), (8).

У системы (7) традиционным для этих задач способом можно получить следствия, ещё более простые по записи, чем система (7).

Для этого первое уравнение системы (7) дифференцируется по х, второе и третье уравнения дифференцируются по у, z соответственно:

{V1ttx Vixxx + г^2ухх + ^3zxx + OjV2 tx bV3tx,

V2ytt ^1xyy + ^2yyy + ^3zyy (XV1 ty,

V3ztt — V1Xzz + V2yzz + V3zzz + Ъьцг.

В полученной системе меняются последовательности нахождения частных производных и вводится новая искомая функция Ф(t,x,y,z) такая, что

Фж = V1, Фу = V2, Фх = V3.

Тогда последняя система уравнений приобретает следующий вид:

Ф xxtt ФууЫ

Ф^й

Ф хххх Ф

^ ххуу Ф

^ XXZZ

+ Ф уухх + Ф zzxx + &Ф xyt + ФУУУУ + Ф zzyy &Ф xyt)

+ Ф yyzz + Ф zzzz + bty xzt.

ЬЪxzt,

Сложение уравнений этой системы даёт следующее её следствие:

ДФtt = ЛДФ + аФхуь - ЪФхзЛ - аФхуЬ + ЪФхзЛ,

которое после приведения подобных становится таким

ДФ« = ЛДФ, (10)

и при введении новой искомой функции

Ф = ДФ

получается ещё более простое следствие системы (7):

Фы = ЛФ. (11)

Ещё раз подчеркнём, что не всякие решения уравнений (10), (11) дадут решения системы (7), а тем более, — решения системы (3).

4. Стоящая и бегущая волны

Для построения частных точных решений предполагается, что они не зависят от переменных у и z и имеют следующий вид

c(t, х) = cn(t) cos пх; vi(t,x) = vVn(t) sin пх;

, . , . . (12)

V2(t,x) = V2n(t) sin пх;

„ v3(t,x) = v3n(t) sin nx

с искомыми коэффициентами cn(t), v1n(t), v2n(t), v3n(t). Здесь n — целое неотрицательное число.

Подстановка представлений (12) в систему (3) при условии, что д/ду = d/dz = 0, и приведение подобных дают следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

c'n(t) + (7 21 nvi^(f) = 0;

2

V1 n(t) - _ 1) ncn(t) = av2n(t) - Ъьзп(t);

v2n(t) = -avin(t);

„ V'3n(t) = bVin(t).

(13)

Решение системы (13) ищется в стандартном виде

cn(t) = c°nekt; vin(t) = v°lnekt; V2n(t) = v2^nekt; V3n(t) = v?inekt;

(14)

где c°n, v°n, v%n, v%n и к — неизвестные пока константы.

Представление (14) подставляется в систему (13), и получается однородная линейная система алгебраических уравнений для констант с°п, v°n, v°2n, v?in.

с°п ■ k + (7 _ ^ nv°ln = 0;

< v°ln ■ к _ ^_ 1) пс°п _ av°2n + bv°3n = 0;

v%n ■ k + av°ln = 0;

, vL ■ k _ bv\n = 0.

Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы определитель этой системы

к (7 _ 1) n 2 n 0 0

А= 2 n (7 _ 1)П к _a b

0 a к 0

0 _b 0 к

равнялся нулю.

Раскрытие этого определителя по второй строке даёт следующее представление:

А = к2 (к2 + п2 + а2 + Ь2) .

Следовательно, равенство нулю определителя А приводит к следующим значениям константы к:

к\,2 = 0; к3,4 = ±л/п2 + а2 + b2 ■ i. Имеет место равенство

а2 + b2 = 4Q2 sin2 ф + 4И2 cos2 ф = 4И2.

Вводится промежуточное обозначение

1

4Q2

+ ~,

п2

и тогда

кз,4 = ±nv* ■ i. (15)

В случае нулевых значений к\,2 система линейных алгебраических уравне-

ний для констант с°, v°n, v2n, v%n

(а____Ц П1]о = 0;

2 ,lu\n = 0;

2

- (7_ 1) ПС°п _ aV°2n + bv‘ avr(n = 0;

_bv°ln = 0

,o = 0;

3n = °;

V

имеет следующее решение:

О

С

п

(7 - 1) 2

(av °2П

bv°3n),

); ^1п

0; v<2n,vln- произвольные константы.

То есть у системы (3) имеется точное частное решение, не зависящее от времени — то есть стоящая волна:

c(t,x) = (72п 1 (avln - bv3n) cos nx;

v1(t,x) = 0; v2(t,x) = v<2n sin nx; v3(t,x) = v?An sin nx.

В случае комплексных значений к3,4 (15) искомое частное решение системы (3) имеет вид:

где

о

С

п

<

(1-2

c(t,x) = c° cos(nv*t) cos (nx);

Vi(t,x) = = V°ln sin(nv*t) sin(n:r);

V2(t,x) = = V2n cos(nv*t) sin(n:r);

v3(t,x) = = V3n cos(nv*t) sin(n:z),

1) 1 a „о b

Щп = Vdv^; Kin = ~nd°

О .

1п;

(16)

v°n — произвольное число,

С использованием соответствующих тригонометрических формул получается, что найденное частное решение (16) системы (3) является бегущей волной:

c(t,x) = 2с°п |[cos[n(x + v*t)] + cos[n(x - v*t)]} ; Vi(t,x) = 2v±n |[cos[n(x - v*t)] - cos[n(x + v*t)]} ; v2(t, x) = 1 v°n |[cos[n(x - v*t)] + cos[n(x + v*t)]} ; k v3(t, x) = 2vln |[cos[n(x - v*t)\ - cos[n(x + v*t)]} ;

зависящей от таких комбинаций переменных:

х ±

1

+

4П2

п2

■ t

и распространяющейся в разные стороны со скоростью v*, значение которой больше единицы, если П = 0,

Естественно, что для системы (3) можно строить и другие частные решения с использованием гармоник, и по другим пространственным переменным как в случае зависимости только от какой-то одной пространственной переменной, так и в случае одновременной зависимости решений от многих пространственных переменных,

5. Стационарное решение с нулевой вертикальной скоростью

Далее будут исследоваться стационарные решения системы (3), то есть решения системы

/

Vlx + V2y + V3z = 0,

2

(7 - 1)"*

l (7-Ц= h'u

представимые в виде бесконечного ряда по степеням z

(7 - 1) 2

сх = av 2 - bv з,

Су — QjV 1,

(17)

и (x,y,z) =

( С \

Vi

V2 \V3 J

(x,y) —; Ufc {x,y)

dk U

k=0

k (X,y) =

dzk

(18)

z=0

Решение системы (1) в виде (18) будет строиться в окрестности непроницаемой плоскости z = 0, то есть в предположении, что

^=0 = Х;зо(х,у) = 0.

(19)

Если в системе (17) положить z = 0 и учесть вводимые рядом (18) обозначения, включая учёт значения v30 = 0, то получается следующая система:

^10ж + Х20у + ^31 = 0, 7&0х ^X20,

(7 - 1)

2

(у — 1) с0у = avl0, -Cl = bv 10.

(7 - 1)

Из этой системы получаются два явных выражения для v3l и с1:

^31 = -(Vl0x + V20y у); Cl = - bvw

и два условия на коэффициенты с0(х,у), vl0(x,y), v20(x,y)

(у - 1) С-0х = &V20 (у _ 1) С0у = -XVl0.

(20)

(21)

Из этого следует, что задача (17), (19) является характеристической задачей Коши и условия (20), (21) являются необходимыми условиями разрешимости этой характеристической задачи Коши [2].

При задании аналитической функции с0(х,у) при a — 0 из условий (21) однозначно определяются коэффициенты v10, v20 в виде аналитических функций

2 2 а(7 - 1) а(7 - 1)

и, следовательно, из второго уравнения системы (20) однозначно в виде аналитической функции определится коэффициент сх(х,у)

ci(x,y) — а(7 Х) bvw(x,y).

Из условий (21) определяются производные

2

2

V20y

a(l - 1)

&3ху; ^10ж

а(1 - 1)

Со ух

которые при подстановке полученных соотношений в первое уравнение системы (20) однозначно определяют коэффициент ц31:

^81 — - -

( а(у - 1)°0ху + а(у - 1)°0х^ = 0

Предположим, что коэффициенты Ci(x,y), v3i(x,y) при г — 0,1,...,к известны, являются аналитическими функциями, причём v3i(x,y) — 0. Также предположим, что коэффициенты v1j(х,у), v2j(х,у) при j — 0,1,...,к - 1 также известны и являются аналитическими функциями.

Система (17) дифференцируется к раз по z и полагается z — 0. С учётом значения v30 — 0 в результате получается следующая система уравнений:

^1кх + ^2ку + V3,k+1 — 0,

2

, С-кх

(7 - 1)

(7 - 1)Ску = (у - 1)Ск+1

av2k, -av1k, = bv1k.

(22)

Из второго и третьего уравнений при а — 0, b — 0 и при известном коэффициенте Ск(х,у) однозначно определяются коэффициенты v2k(x,y), v1k(x,y):

22

V2к 7 TV^кх; ^1к 7 Т\ ^кх

а(у - 1) а(у - 1)

(23)

в виде аналитических функций от х, у.

А из четвёртого уравнения системы (22) также однозначно определится аналитическая функция ск+1(х,у)

„ — (1 - 1)

С-к+1 0 bV1fc.

Используя соотношения (23), однозначно определяются частные производные функций v2k(%,у), v\k(х,у) по у и х соответственно

2 2

V2ky

a(y - 1)Скху;

Х\кх

а(7 - 1)

Скух j

подстановка которых в первое уравнение системы (22) приводит к равенству

v3,k+\ = 0.

Таким образом, индукцией по к доказано, что при задании аналитической функции со(х,у) ряд (18) с аналитическими коэффициентами строится однозначно, и у степенного ряда функции ь3 все коэффициенты равны нулю, то есть

v3(x,y) — °. (24)

Сходимость ряда (18) следует из того, что характеристическая задача Коши (17), (19) имеет стандартный вид [2], и её решение является аналитической функцией. Спецификой этой характеристической задачи Коши (17), (19) является то, что для построения единственного решения требуется дополнительно задать только одну функцию с0(х,у), а все остальные коэффициенты ряда (18) определяются явно из алгебраических уравнений.

Исходя из этого установленного факта (24) стационарное решение системы (17) строится как решение следующей системы

V\x + V2y = 0,

2

(7 _ 1)Сх = av2 уу су = —av\,

\ (7-и* =Ьщ-

Из второго и третьего уравнений системы (25) следует, что

2

2

V2y

/ 1\^ху; Vlx , Л^ух,

а(у - 1) а(у - 1)

и поэтому первое уравнение системы (25) выполняется тождественно

22

V2y + V\x

С-ху / , \ Сух — °j

а(у - 1) а(у - 1)

(25)

и его можно опустить как следствие двух уравнений этой системы и рассматривать систему

2

(7 - 1) 2

(7 - 1) 2

(7 - 1)

С-х

Gy

C-z

av2

-av\,

bv\.

Последние два уравнения этой системы делятся соответственно на а, Ь, складываются, и последняя система расщепляется:

_ 2 _ 2

= а(7 - 1)Сж ’ V1 = (7 -1)С,

- a(j — 1)Су + Ъ(7 _ 1)Сг = 0

(26)

При этом, естественно, предполагается, что а = 0, 6 = 0, Эти ограничения говорят о том, что начало прямоугольной системы координат, которая вращается вместе с Землёй, не лежит ни на экваторе, ни на полюсах,

Последнее уравнение в системе (26) записывается в виде

и его решение следующее

с - -с = 0

L,z W,

а

С = Со(х,у + - Z).

а

На плоскости z = 0 найденная функция удовлетворяет начальному условию

с| z=0 = Со(х,у)

с произвольно заданной функцией с0(х,у).

Таким образом, стационарное решение системы (3), удовлетворяющее условию (19), имеет вид

c(x,y,z) = CQ(x,y + - z); vi(x,y,z) =

2 h

V2 = a(ry _ 1) C0x(x,y + -z); Vs(x,y,z)

a(7 _ 1) c°y (х’У + - z); 0.

Литература

1. Баутин С.П, Торнадо и сила Кориолиса, Новосибирск : Наука, 2008. 96 с,

2. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и её приложения в газовой динамике, Новосибирск : Наука, 2009. 368 с.

3. Баутин С.П. Аналитические решения задачи о движении поршня // Сборник «Численные методы механики сплошной среды». ВЦ СО АН СССР. 1973, Т. 4, № 1. С. 3-15.

4. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 11. С. 2052-2063.

5. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчёты, эксперименты / Баутин С.П. [и др.]. Новосибирск : Наука ; Екатеринбург : УрГУПС. 2013. 216 с.

6. Разрушительные атмосферные вихри и вращение Земли вокруг оси / Баутин С.П. [и др.]. Екатеринбург : УрГУПС. 2017. 216 с.

7. Баутин С.П., Крутова И.Ю. Аналитическое и численное моделирование течений газа при учёте действия силы Кориолиса. Екатеринбург : УрГУПС, 2019. 181 с.

8. Баутин С.П., Обухов А.Г. Математическое моделирование разрушительных атмосферных вихрей. Новосибирск : Наука, 2012. 152 с.