Численно-аналитическое моделирование газовых течений, примыкающих к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 15, № 5, 2010

Численно-аналитическое моделирование газовых течений, примыкающих к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса*

С.Л. Дерябин, A.B. Мезенцев Уральский государственный университет путей сообщения, Екатеринбург, Россия e-mail: SDeryabin@math. usurt. ru, AMezentsev@math. usurt. ru

Рассматриваются трехмерные течения идеального политроиного газа, примыкающие к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса. Решение задач о распаде разрыва и о гладком примыкании строится в виде сходящихся рядов. В параметрической форме и численно строится закон движения свободной поверхности газ-вакуум.

Ключевые слова: идеальный политропный газ, сила Кориолиса, свободная поверхность газ—вакуум, сходящиеся ряды.

Задачи об истечении газа в вакуум исследовались ранее а работах [1-11]. Подробный обзор полученных результатов можно найти в [2, 3].

В [1] решение задачи об истечении в вакуум впервые было построено в виде степенных рядов в окрестности звуковой характеристики, отделяющей исходное фоновое течение от искомой волны разрежения. В [4] показано, что при схлопывапии одномерной полости свободная поверхность некоторое время движется с постоянной скоростью. Этот результат обобщен на случай двумерных и трехмерных течений [5, 6] и одномерных течений в условиях самогравитации [7-9]. Изучались также трехмерные течения в условиях действия внешних массовых сил, зависящих от пространственных переменных [10], в том числе эволюция закрученных течений под действием силы тяготения [11]. В данной работе рассматривается трехмерная задача, когда плотность массовой силы является суммой кориолисова ускорения и ускорения свободного падения. В природе имеются примеры таких течений. Так, если снаружи от некоторой поверхности находится газ, а по другую от нее сторону — вакуум, то возникающее течение, согласно гипотезе из [12], можно использовать для приближенного моделирования средней вертикальной части восходящих закрученных потоков типа торнадо.

1. Задача о распаде специального разрыва

Пусть в момент времени t = 0 трехмерная поверхность Г с уравнением z = ф(х, у) отделяет идеальный политропный газ от вакуума. Предполагается, что газ находится снаружи, а вакуум — внутри полости. Рассматриваются изоэнтропичеекие течения идеального политропного газа, т.е. S = S0 = const. Тогда, не нарушая общности, урав-

Р7

нение состояния берется в виде р = Sq —. Здесь р — давление, р — плотность газа,

Y

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-00052).

Y = const > 1 — показатель политропы газа. Отсюда следует, что скорость звука в газе

г,

С = ¿>0 р 2 •

В момент времени t = 0 известны распределения параметров газа: V = V0(x) = {u0(x), v0(x), w0(x)} — векторы старости газа, где u0,v0,w0 — проекции вектора скорости на декартовы координаты, c = c0(x) — скорость звука в газе, x—{x,y,z}. Также предполагается, что на газ действует массовая сила с плотностью, являющейся суммой кориолисова ускорения и ускорения свободного падения.

Функция ф(х,у), задающая поверхность Г, а также функции V0,c0 приняты аналитическими. Будем считать, что скорость звука в газе всюду больше нуля, в том числе С0(x) |г > 0.

t = 0 t = 0

V0, c0

Кроме того предполагается, что в момент t = 0 поверхность Г мгновенно разрушается и начинается истечение части газа в вакуум. Возмущения, возникшие в фоновом течении в результате мгновенного разрушения поверхности Г, распространяются по газу в виде волны разрежения, отделенной от фонового течения границей Г1, являющейся поверхностью слабого разрыва. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму: c(x)|r0 = 0 гДе Г0 — свободная поверхность, отделяющая волну разрежения от вакуума.

Требуется построить как фоновое течение, так и волну разряжения, а также найти законы движения ^ и Г0, т. е. построить решение задачи о распаде специального разрыва в случае, когда в начальный момент времени стенка Г отделяет от вакуума газ со строго положительными значениями плотности.

Далее изоэнтропические течения идеального политропного газа, примыкающие к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса, как и в [12], будут строиться в относительной декартовой системе координат с осями Ox, Oy, Oz, направленными соответственно на восток, север, и вверх от поверхности. Будем полагать, что точка O — начало декартовой системы координат находится на поверхности Земли в Северном полушарии на параллели с широтой ф (рис. 1). Тогда в относительной системе координат постоянный вектор П — вектор угловой скорости Земли, имеет следующий вид:

П = (0, Q2, Q3), Q2 = Q cos ф, Q3 = Q sin ф,

где Q — модуль век тора П; Q = |П| определяется по формуле

ü = — — = ——— -. 24 ч 24 • 602 с

Рис.. 1. Относительная декартова система координат

Система уравнений, описывающая изоэнтропические течения идеального политроп-ного газа в условиях действия сил тяготения и Кориолиса, имеет вид [12]

Y - 1

Ct + CXU + CyV + CZW H---—c{ux + Vy + wz) = 0,

2

щ + uxu + UyV + uzw H--ccx = 2Qav — 2Q2w,

Y - 1 2

vt + vxu + vyv + i^w H--ccv = —2Q3tt,

Y - 1 2

Wt + КЛцИ + U^W + H--ССг = 2íl2M — Q, (1)

Y - 1

где g — ускорение свободного падения, с — скорость звука в газе, — проекции

вектора скорости в декартовой системе координат x,y,z. Перепишем систему (1) в цилиндрических координатах [12]:

1 y - 1

ct + cru + -cvv + czw H---—с

r 2

1

Mr + -iu + + wz r

0,

1 12

ut + uru H—w^w + uzw--v2 H--ccr = 2Q3v — (2Q2 cos

r r y — 1

1 12

Vt + vru H—w^w + vzw H—uv + --—ccv = —2Q3tt + (2íl2 sin wW

r r (y — 1)r

12

Wt + wru H—кЛр'У + H--ccz = (2Пг cos ф)и — (2П2 sin ip)v — g. (2)

r y — 1

Здесь для удобства восприятия сохраним обозначения u,v,w для проекций вектора скорости газа па координатные оси r, z соответственно, Начальные данные при t = 0 для системы (2) в цилиндрических координатах перепишутся в виде

c(0,r,^,z) = Co(r,^,z)

V(0,r,p,z) = Vo(r,p,z). (3)

Тогда исходная поверхность раздела Г в цилиндрических координатах будет задаваться уравнением r = f (z,

Поскольку (2) является системой типа системы Ковалевской, а начальные данные — аналитические функции, то задача Коши (2), (3) по теореме Ковалевской [13] имеет при t

t

движения поверхности слабого разрыва Г (r = ri(t,^,z)) как аналитическое решение соответствующей [14] задачи Коши

[ri(u — rit) — nv v — ririz w]2 = c2(r2 + rl^ + rjVlz ), ri(0, z) = f (z, <p).

Г1

го течения, получим значения параметров газа на ней:

c|ri = C0(t,r, ^,z)|r=r1(t,v,z),

V|ri = V0(t,r,^,z)| r=ri(t,y,z). (4)

В дальнейшем предполагаются известными фоновое течение, поверхность Г1; значения

с0, V0, заданные с помощью аналитических функций.

Для построения волны разрежения, как и в [2-11], поменяем ролями одну из независимых переменных г и одну из неизвестных функций с, т. е. за независимые переменные примем ¿, с, < а за неизвестные функции — г, V. Якобиан такого преобразования 7 = гс. В результате этой замены вместо (1) получим следующую систему:

V 7 — 1

П + -Гю + гхи} = и н---—с

г 2

Пс + Гс(

'п + . \

— + кД---ьс - ггизс

г

г

Щ + -иу + тиг г

,2

V 2 V'

+ [и - п--г и, - и)гх]ис Н---с = гс[--Ь 2П3У - (2П2 сое <Дк;],

г 7 — 1 г

V

+ -Ур + иоуг

V

+ --г у - И)Гг\ис -

г<р -с— =

7 — 1 г

гс[---2Г23и + (2П2 вт <ДК/1,

г

и)1 Л—+ -хти г

+ [и-гг--- и)гг]и)с -

г ' ' 7 — 1

гс[(2П2 сое <)п — (2П2 вт — д].

-сг*

(5)

Течение в области между Г^ и Г0 (т. е. в области волны разрежения) будем строить как решение системы (5) с данными (4) на характеристике Г^, Поскольку Г1 — характеристика кратности равной единице, то для получения единственного локально-аналитического решения необходимо задать одно дополнительное условие [2]. Если бы Г

Г

переменных (Ь,с,<,г) является [2-11] соотношение

г(0,с,<,г) = / (г,<).

(6)

г

шении задачи о распаде разрыва, рассмотреть при изменении времени от Ь > 0к Ь = 0, то при Ь ^ +0 поверхность г = г(Ь, с, <р, г) вне зависимости от с перейдет в начальную поверхность Г : г = /(г, <р). Таким образом, для описания волны разрежения между Г1 Г0

задачей о распаде специального разрыва.

Теорема 1. Существует Ь0 > 0 такое, что при 0 < Ь < Ь0 в некоторой окрест-Г1

о распаде разрыва.

Доказательство теоремы, как и в [2-11], состоит в сведении к теореме о существовании единственного аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида [2],

Г0

решения задачи (4)-(6), разложим его в ряд по степеням ¿:

Ьк

g(Ь,с,(р,г) = ^^Дс, </?, Д —, gk = {гк,ик,ук,ь)к,}

к=0

(7)

что при малых Ь возможно в силу аналитичности решения задачи о распаде разрыва в

Г1

г

с

Из первого уравнения системы (5) выразим слагаемые (и — Гг--т^ — уигг^ через

другие функции, входящие в (5), и полученное выражение подставим в остальные уравнения системы, В результате будем иметь

Г1 — и-\—г^у + ГхУО

7 - 1

г

-с

щ + гс

V

щ Н—+ юи2 г

7 -1

и + V,,

и + V,

+ ги*--Ус - ГХЬ)С

г

1 -1

-С = Гс

Щ + + и)Ух г

7 -1

2

2 г,

-с- = Гс

--+ У0У0г

(т - 1) Г

7 - 1

2

ис + Гс\ -:-21 + Юг I---Ус ~ Г¿111 с

гг

V2

--Ь 2П3у — Ш2 сое

г

(и + Уу \ гу ис + Гс[ -21 +и}х)---Ус - Гхи}с

гг

uv

---2+ Ш2 вт ф)гп

г

,'и + Уу \ Гу

ис + гс[ -- +и}г) - ~^УС - гг11}с

ис+

Vc-

■с-

7 - 1

СГг = гс[(2П2 сое <^)и - (2П2 вт ^ - #]

(8)

— систему, более удобную для вычисления коэффициентов рядов (7), В системе (8) положим £ = 0 и, учитывая (6), получим

го<р . 7- 1

Г\ = щ---У0 - г0гт0 Н--—с

Го 2

Го,

Щс--Щс - Г0х1Щс

го

го,

Щс--Щс - Г0х1Щс

го

4

го,

Щс--Щс - ГогЫос

го

го,

Щс--Щс ~ ГогЫос

го

иос = V0c = -

(7 - 1)2' 4 Пу

(7 - I)2 го ' 4

■ос = -

(7 - 1)

(9)

Умножая третье уравнение системы (9) на — четвертое на — и складывая три

Го

последних уравнения, получим

Го,

Щс--Щс - Г0х1Щс

Го

(7 - 1)2

1 I о, , 2 1 + ТГ + Г0г 'о

или

г0<р 2

Щс--Щс - ГогЫос = ±

Го

7 - 1

1 + 1 +

Г

2

Г

Г

с

2

2

Г

с

2

2

4

2

Подставляя полученное выражение в (9) и интегрируя, имеем

Г1 = ±2ас\11 + ^ + /2 + щ0 - о - /¿гУоо, 2а

/

к /

7+1 7-1'

40 = ±

7 — 1

Vo = Т

7 — 1

'1 + 7§ + /,2

и

Л/1 + 1 + /1

+ 400(<,г),

/2

'0 = Т

/г

7 — 1

/2

</ у:

72

+ Voo(<,z),

'Ш00(<р,г).

1 + ^ + И

Далее в формулах выбирается верхний знак, соответствующий схлопыванию полости. Произвольные функции п00(<, г), v00(<,z), '00(<<,г) определим из условий (4):

лл лл I 2со|г , У00 = »о г---п г,

7 — 1

где п — единичный нормальный вектор поверхности Г, В координатной форме V00 имеет вид

400 = 40 |г —

2

1

Voo = Vo|г +

7 — 1 2

■1 + 1 + Л

=с0|г,

<£ | ¿2

Р

/<р

' 00 = ' 0| г +

7 — 1 2

Л/1 + 1 + /1

■с0|г,

/2 /г

1 — 1

1 + | + /,2

=сь|г.

/2

Продифференцируем систему (8) по Ь, положим Ь = 0, Тогда, учитывая (6) и ранее полученные выражения г1,щ^0,'0, получим

1 7 — 1

г2 = щ--Г0(рУ1 - Г0гП)1 Л--—с

г0 2

г

Щс--Щс - г0гт1с

г0

+ Сп(с,<,г),

7-1 Г\СЩ--—С

Щс--Уос ~ Г0хИ)0с

г

7-1

-(

2

7-1

г 1Сг>1--1 с

Г'0<Р

Щс--У\С - Г0гУ01с

г

2

г0ср

Щс--Щс - Г0х11)0с

г

41с—

40с = СД(с, <р,г), Vlc-

7 — 1

Щс--У\С - Г0гУ01с

г

Voc = Оз1(с,<,г),

2

1

где

Г1сШ1

7-1 ~С

7-1 2

-с

Го,

Щс--Уос - г0ги)0с

Г

■1с

Го,

Щс--VIс - Го^Щс

Г

■ос = ^41(с,

, 7 — 1 Н--^—с

11

6гц =--ГыУ о + Г\хУО о + -^Г1Г01пУ0 +

Го Г2

ио + \ Г1, Го, Г 1с | ----Ь ги0г ) - —У0с + —ГгУос - г^ги0с

7 - 1

Г1с

Го

&21 = -Г1с

ио + Vо,

Го

ио, + Шоио^

+

Го

+Г1с

. . Г1, Го, + ги0*--У0с + —5-Г1г;ос - гьгу0с

Го Го2

иос+

V,

, 7 — 1 Н--^—с

Г1с

Го

^31 = Г 1с

ио + Vо,

+ - (2П2 сое Vо

Го

Vо, + WоV0z

+

(7 - 1)

Го

Г1, /,

Г1, Го,

+ ио0г )---г>0с + —^гхУос ~ Г1гт0с

//

Г1

+ г 1с

Го

ЩУр Го

V0c+

- 2П3ио + (2П2 вт <^)и>о

^41 = -Г1с

■о, + ■оШо.г

+

7 - 1

ио + ЗД, ,

Г1с I--Ь ги0г

Го

Г1, Го,

-Уос + —гГ&Ос - Ги^Ос

Го Го2

■ос+

7 - 1

СГ^ + Г1с[(2^2 сое ^)ио - (2^2 вт ^о - #].

1

(10)

Введем вспомогательную функцию \¥\ = и\--Го,^ — Преобразуем систему

Го

(10) так же, как систему (9), получим дифференциальное уравнение для

сЖ1с - =

Здесь

1

Интегрируя уравнение, будем иметь

21--У 1 ~

= С°

о

о

2

Подставляя полученное выражение для в систему (10), получим

7 — 1

Г2 = \¥1 + ^-С\¥1с + С11, сп1с — 2ап1 = ¿21, су1с — 2^1 = ¿31, с'1с — 2а'1 = ¿41,

где

21

2^/1 + 5 + /,2

/2

^21 —

■1+4+л2

+ ¿1)

31

2а/1 + 4 + Л2

/2

Сз1 +

/2

+ ¿1)

/2

41 =

21/1 + | + /|

^41 +

/г

1 + 4 + /2

+ ¿1)

/2

Интегрируя три последних уравнения системы, будем иметь

41 = с

2а

v1 = с

2а

'1 = с

2а

пю(<р,г)+ ¿21(с,<<,г)с а ^с

Vlo(<р,z)+ ¿З1(с,<,г)с а ^с

'10(<,г)+ ¿ц(с,<,г)с а dc

Детальный анализ показал, что структура коэффициентов gl имеет следующий вид:

г2 41 V!

'1

g4(<, г)с2а + g3(<, Дса + g2(<, г)с2 + gl1(<, г)с + g0(<, г), 5

«^2Д (7^,3 g4(<, г)с4 + g2 (<, г)с2 + gl1(<, г)с + gf(<, г)с2 1п с + g0(<, г), а = 2

g2(<, г)с2 + gl1(<, г)с + gf(<, г)с2 1п с + g3(<, г)с 1пс + g0(<, г), а = 1 (7 = 3),

1

1

1

1

где gk(<,г) — функции, известным образом зависящие от начальных данных /(г,<),

V°(z,<f), c°(z, ф). Функции, те имеющие сомножителя с, имеют вид

g?

( R? А

и?

( Що -f-fv00 - fzWoo,

V?

V W?

jVoo (uoov - ^00) - (2п3^оо - 2Q2 cos ipw0o) , J (voo<p + Moo) Voo + VoozWoo + 2 (Q3U00 - sin (fiWoo) у Jw00lfV00 + ад^адю + 2Q2 sin <pvm{<p, z) + g.

/

Продифференцируем систему (8) /с раз по ¿, положим £ = 0, Тогда, учитывая (6) и ранее полученные выражения для gг = {гг, иг, эд, ад} (/</), имеем для очередного номера к

1 y - 1

Гк+1 = ик--r0(pvk - r0zwk Н--- с

Го

2

го ,

Mfcc--Wfcc - r0zWkc

г

+ Gik(с, ф, z),

b"lctifc - 7 ^

го,

Uoc--V0c - r0zW0c

г

7-1

-(

2

kricvk - 7 „ 1c

Го,

Mfcc--Wfcc - r0zWkc

г

Ukc-

Uoc = G2k (c,v,z),

2

Го,

«Ос--V0c - r0zW0c

г

Vkc

Y - 1

Го,

Mfcc--Vkc - r0zWkc

Г

Г о ,

Uoc--Voc - r0zW0c

Г

Уос = G3k (c,<p,z),

Wkc-

Y - 1

г о,

Ukc--Vkc - r0zwkc

Г

Woc = G4k (c,f,z).

(11)

Здесь G1k, G2k, G3k, G4k — функции, известным образом зависящие от g1 (I < к), их вид не приводится ввиду громоздкости.

Вводя вспомогательную функцию Wk = uk--rovvk — rozwk, и преобразуя систему

Г

(11) так же, как (10), получим

Y - 1

Гк+1 = Wk + —-—cWkc + G ifc, cukc - 2akuk = F2k, cvkc - 2akvk = F3k, cWkc - 2akwk = F4k,

где

F

2k

2W1 + 5 + /,2

f2

G2k -

1 +fi + f2z

-.(akWk + Fk)

f2

1

1

F,

3k

f2 J if

J2

G3k +

f

f 2 J if

J2

= (akWk + Fk)

'1 + % +

4k

f 2 J if

J2

G.

fz

4k

f2 J if

J2

-.(akWk + Fk)

1 + ^ + Л2

Интегрируя три последних уравнения системы, будем иметь

Uk = c

2ka

Vk = С

2ka

Wk = С

2ka

Uko(^,z)+ F2k (c,p,z)c

-2ak-l

dc

Uko(p,z) + j F3k(c, p, z)c 2ak ldc Uko(v,z)+ F4k(c, p, z)c-2ak-ldc

Произвольные функции uko, vk0, wk0, появившиеся в результате интегрирования системы (11), определяются при помощи условий (4), Для этого c0(t,p,z) подставляется в правые части рядов (7), a V0(t, p, z), — в левые их части. Раскладывая получившиеся

t

нях, получим линейные алгебраические системы. Условие c0(0,p,z) > 0 гарантирует, что главные определители этих систем отличны от нуля и, следовательно, uk0, vk0, wk0 определяются однозначно.

Детальное исследование структуры коэффициентов рядов (7) приводит к следующей лемме.

Лемма 1. При 1 < j < 3 коэффициенты рядов (7) при k > 1 имеют вид rk+i = ek (z,p) + cPik (c,c ln c,cA), Uk = ak (z,p) + cPk (c,c ln c,cA),

Vk = bk (z,p) + cP3k (c, c ln c,cX), Wk = dk (z,p) + cP4k (c, c ln c,cx),

где Pik — многочлены от указанных аргументов, их степени не превышают Ak, коэффициенты многочленов есть аналитические функции от z и p, А > 0, A, X = const, i = 1, 2, 3, 4.

Доказательство леммы аналогично соответствующим доказательствам из [2-11] и проводится индукцией по k . Сначала доказывается, что Gki обладают нужной структурой, а затем непосредственным интегрированием выясняется, что gk обладают указанной структурой. Отметим, что в отличие от [2-6] в данном случае, как и в задаче об истечении самогравитирующего газа [7-9, 11], в коэффициентах ряда (7) присутствуют

c

структуры коэффициентов. На основании леммы можно утверждать, что решение задачи о распаде разрыва представимо в виде

r = r0(t, z, p) + cr:(t, c,p,z), U = U0(t, z, p) + cU1 (t, c, p, z), v = V0(t,z,p) + cV1 (t, c, p, z), w = W0(t,z,p) + cW1 (t, c, p, z).

1

1

Здесь

tk tk r°(t,z,<p) = f(z,<p) + —, U°(t, z, <p) = ^ak(z,p) — ,

k=l ' k=l '

те k ^ ik

V°(t,z,p) = Y,bk(z,p)^, W°(t,z,p) = Y,dk(z,p)y. (12)

k=l ' k=l '

Для функций ro(t,z,p), Uo(t,z,p), Vo(t,z,p), Wo(t,z,p) справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Ряды (12) решают вспомогательную задачу

rt + -rvv + rzW = U, r

1 V2

Ut + -Uvv + UZW = — + 2tt3V - (2Q2 cos <p)W,

1 UV

Vt + -VvV + VZW = —— - 2Q3U + (2Q2 cos <p)W,

Wt + + WZW = (2Q2 cos tp)U- (2Q2 sin <p)V - g,

r(0,z,P) = f (z,P), U (0,z,p) = uoo(z,P),

V(0,z, p) = Voo(z,p), W(0,z, p) = Woo(z,p). (13)

Лемма доказывается разложением в ряд по степеням t решения задачи (13) и сравнением полученных рядов с рядами (12), Ряды оказываются равными,

r=0

сматрпваются. Поэтому задача (13) по теореме Ковалевской [14] имеет единственное локально-аналитическое решение, которое можно представить рядами (12), Следовательно, ряды (12) сходятся.

На основании приведенных лемм доказывается следующая теорема. Теорема 2. Для, 1 < y < 3 при 0 < t < to область сходимости, рядов (7), а, также рядов, задающих gt, gc, g v, gz, покрывает всю область течения, от Г1 до ro включительно. При, этом, закон, движения свободной поверхности, определяется, из решения задачи, (13).

Доказательство теоремы аналогично доказательствам из [2-11] и проводится по методике [2], позволяющей установить неограниченность области сходимости рядов по соответствующей переменной в случае полиноминальной структуры коэффициентов ряда. Локальная сходимость рядов (7) в области

|z - zo| < ri, - Pol <Г2, |c - Co| < Гз, |t| < Г4, ГЬГ2,Гз,Г4 = COnst > 0

следует из теоремы 1, Поскольку коэффициенты рядов (7) есть многочлены от c, c ln c, cx и степени многочленов не выше Ak, то доказывается, что существует постоянная M > 0 такая, что ряды (7) сходятся в области M • • £2 • £3 • |t| < 1, где

= max{c, |clnc|,cA, 1}, £2 = niax<l, --> , £3 = max<l,

1 _ z ~ z° 1 - ^ ~ T'l ) l Г 2

1

Поэтому для 0 < с < с0 точка с = 0, определяющая закон движения свободной поверхности Г0, включается в область сходимости рядов (7),

Таким образом, па основании теоремы 2 получено решение задачи о распаде специального разрыва в виде рядов (7), сходящихся при малых £ во всей области волны разряжения от ^ до Г0 включительно.

Замечание 1. Из построенного решения (7) следует, что с помощью начальных условий невозможно получить осесимметричпые течения газа, т, е, учет сил Кориолиса делает задачу принципиально трехмерной.

Замечание 2. В работах [7-9, 11] закон движения свободной поверхности находился из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В данной работе этот закон находится из решения нелинейной системы уравнений с частными производными (13), даже численный анализ которой представляет определенные трудности.

2. Задача о непрерывном примыкании газа к вакууму

Из замечаний 1, 2 следует, что исследуемая задача принципиально трехмерна и моделирование закона движения свободной поверхности в цилиндрических координатах представляет большие трудности. Поэтому задачу о непрерывном примыкании газа к вакууму будем исследовать в декартовой системе координат.

Пусть в момент времени £ = £0 трехмерная поверхность Г с уравнением г = ф(х, у) отделяет идеальный политропный газ от вакуума. Предполагается, что газ находится снаружи, а вакуум — внутри полости, В момент времени £ = £0 известны распределения параметров газа: V = У0(х) = {и0(х), у0(х), ад(х)} — векторы скорости газа, где и0, р0, ад — проекции вектора скорости па декартовы координаты; с = с0(х) — скорости звука газа.

Далее задача исследуется при условии, что плотность газа, а следовательно, и скос

газ—вакуум Г0: с(£, х)|Го = 0. Закон движения поверхности Г0 (Г0|4=4о = Г) заранее неизвестен и определяется в ходе решения задачи, т, е, исследуется задача со свободной границей, К сожалению, для задачи о непрерывном примыкании газа к вакууму мы не можем в качестве начальных условий взять решение задачи о распаде специального разрыва, поскольку метод характеристических рядов [3] требует аналитических начальных данных, а построенное решение задачи о распаде специального разрыва заведомо

(с = 0) ф(х, у)

задающая поверхность Г, а также функции V0, с0 предполагаются аналитическими,

В системе (1) введем новую независимую переменную п = г — г0(Ь,х,у), где г = г0(Ь, х, у) — неизвестный закон движения свободной поверхности Г0, Поскольку в начальный момент времени Г0 совпадает с Г, то г0(Ь0,х,у) = ф(х,у) Заметим, что введя

Г0

координатную плоскость п = 0,

Перепишем систему (1) в новых независимых переменных

1 — 1

сь + Схи + СуУ + (чи - - г0хи - гоуУ)^ Н---—с(их + % + ад - г0хщ - = 0,

щ + ихи + иуу + (ги - ¿04 - 20хи - г0уу)щ + ^ с(сх - г0жсч) = 2П3у - 2П2ад

2

vt + vxu + vyv + {w- zot ~ Z0xu - z0yv)vv + -c{cy - z0ycv) = -2Q3u,

2

Щ + wxu + wyv + (w — zot — Zoxu — z0yv)wv H---ccv = 2Q2u ~ 9■ (14)

Для системы (14) при t = t0 имеем условия:

c{to,x,y,r¡) = Ca{x,y,n + ф{х,у)), u(to,x,y,n) = Uo(x,y, n + ф(х,у)), v(t0,x,y,n) = vo(x, y, П + ф(х,У)),

w(to,x, y, n) = Wo(x, y,n + ф(x, У)), (15)

а также условие па свободной поверхности Г0, т. е. при n = 0:

c(t, x, у, 0) = 0. (16)

Чтобы решить поставленную начально-краевую задачу (14)—(16), необходимо, в частности, найти закон движения свободной поверхности Г0 (т. е. функцию z = z0(t,x,y)), а также значения газодинамических параметров на ней. Для этого в системе (14) поло-n=0

Zot + ZoxUo + Zoy Vo = Wo, Uot + UoxUo + UoyVo = 2Q3vo - 2ü2wo, Vot + VoxUo + Voy Vo = -2Q3Uo, Wot + WoxUo + WoyVo = 2ü2Uo - g. (17)

n=0

мы (17):

zo(to,x,y) = ф{x,У), Uo(to,x,y) = Uo(x,У,ф(x,У)), Vo(to,x,y) = Vo{x,У,ф{x,У)),

Wo(to,x,y) = Wo(x,y^(x,y)). (18)

Поскольку система (17) аналитическая и начальные условия (18) задаются аналитическими функциями, то по теореме Ковалевской [13] задача (17), (18) имеет единственное аналитическое решение

Zo = Zoo(t,x,y), Uo = Uoo(t,x,y), Vo = Voo(t,x,y), Wo = Woo(t,x,y). (19)

Теперь для системы (14), используя решение (19), ставим другую начально-краевую задачу — с данными на свободной поверхности ro (n = 0)

c(t, x, у, 0) = 0, U(t, x, y, 0) = Uoo(t, x, y), V(t,x,y, 0) = Voo(t,x,y),

W(t,x,y, 0) = Woo(t,x,y) (20)

и с начальными условиями (15),

Теорема 2. Существует ¿* > ^ такое, что при Ь0 < t < е некоторой окрестности, Г0 существует единственное локально-аналитическое решение задачи, (14), (15), (20).

Доказательство данной теоремы сводится, как и в [2], к теореме о существовании единственного аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида [2]. Задача (14), (20) является характеристической задачей Коши с данными на характеристике кратности, равной пяти, поэтому для построения единственного локально-аналитического решения надо задать пять дополнительных условий. Этими условиями и являются (15),

Для конструктивного представления решения задачи (14), (15), (20) разложим его в ряд по степеням ц:

те к

^ п

k=0

что при малых п возможно в силу аналитичности решения задачи (14), (15), (20) в некоторой окрестности Г0,

В системе (14) положим п = 0 и, учитывая (20), получим тождество. Если продифференцировать систему (14) по п и положить п = 0, то будем иметь систему транспортных уравнений (см, [2-10])

7 +1 Y — 1 си + сгхи0 + с1уь0 Н--— - г0хщ - 2^1 К Н--—(и0х + У0у)с1 = 0,

ии + щхи0 + ЩуУ0 + {и)1 - г0хщ - г0уУ1)щ - -—-г0хс\+

+Мож«1 + («оу — + 2^1 = 0,

Уи + Угхи0 + УгуУо + {и)1 - г0хЩ - 2^1)^1--^—гоус\+

1 — 1

+ (vox + 2Пэ)м1 + Voy vi = 0,

2

Wu + WÍXU0 + WiyVo + {wi - Z0xUi - Z0yVi)Wi + _ +

+ (wox - 2^2)^1 + WoyVi = 0, (22)

решение которой описывает поведение первых выводящих с Г0 производных газодинамических параметров.

Продифференцируем систему (14) по п k раз, положим п = 0 и, учитывая уже найденные коэффициенты ряда (21), будем иметь

Ckt + скхи0 + ckyv0 + 2 1 к + ciiwk - z0xuk - z0yvk) +

( Y - 1 A Y - 1 + ( —2--ь к j ck(w 1 - z0xUi - ZoyVi) H--— ck(u0x + v0y) = Flk(t,x,y),

Ukt + UkxUo + UkyVo + k(Wi - ZoxUl - ZoyVi)Uk + UoxUk + UoyVk +

2

+ {wk - Z0xuk - z0yVk)ui---(к + l)z0xcick - 2Q3vk + 2ü2wk = F2k(t,x,y),

Y - 1

ъы + ъкхП0 + ькуУ0 + к('Ш\ — Х0хП1 — %0у уг)ук + У0Хпк + У0уУк+

2

+ {и)к - г0хщ - г0уук)у1---(к + + 2П2ик = Рзк(г,х,у),

1 — 1

ЫкЬ + ЫкхП0 + ЫкуЪ0 + к(тх — Х0ХП1 — Х0у Ъх)1Пк + 'Ш0ХПк + ^0уЪк +

2

-\-{гпк - г0хщ - г0уУк)го 1 Н---(к + 1 )сЛск - 2П2ик = Р4к(г,х,у). (23)

1 — 1

Функции Е^к(Ь,х,у), 1 < г < 4, известным образом зависят от уже найденных коэффициентов ряда (21) q1, I < к, и ввиду громоздкости не приводятся. Единственное решение систем (22), (23) получается при задании начальных условий qk(Ь0,х,у), кото-

п

Сиетемы (23) линейны, поэтому первые особенности решений этих систем совпадают с особенностями решений систем (17), (22), Функции (19), задающие решение системы (17), особенностей не имеют, следовательно, для определения момента времени £ = являющегося граничной точкой области сходимости рядов (21), необходимо исследовать систему транспортных уравнений (22),

Таким образом, решение задачи о непрерывном примыкании газа к вакууму в условиях действия сил тяготения и Корполнса построено в виде рядов, сходящихся в окрестности свободной границы газ—вакуум. Для определения закона движения свободной поверхности получена система дифференциальных уравнений с частными производными.

3. Численно-аналитическое исследование поведения свободной границы

Исследуем систему (17) с помощью семейства характеристических кривых [13], являющихся решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В случае уравнений (17) эта система имеет вид

№ йх йу йг0

Т = 1> Т = м°> Т = у°> 1~ = йт йт йт йт

^ = - 2п21и0, ^ = -2П3и0, = 2П2«о - 9- (24)

йт йт йт

Последние три уравнения (24) совпадают с известной системой обыкновенных дифференциальных уравнений [12, 15, 16], описывающей движение отдельной материальной точки под действием сил тяготения и Корполнса, В работах [15, 16] решение этой системы было построено в виде рядов, в [12] подробно исследовалась система для так называемой тяжелой материальной точки, в которой в первых двух уравнениях полагается т = 0, а третье уравнение просто исключается, В данной работе построим и проанализируем решение системы (24) без упрощающих предположений.

Проинтегрировав первое уравнение системы (24), получим т = £ — 10. Теперь в качестве начальных условий берутся координаты точки М0(х00,у00, г00), лежащей на

Г

и00,у00,т00, вычисленные в этой точке. Тогда решение системы (24) с такими начальными условиями задает траекторию движения точки, лежащей на свободной поверх-Г0

Проинтегрируем (24), заметим, что + Q,3>. В итоге получим

cos Ф

щ = С\ cos(2Пт) + С2 sin(2Qr) +

sin 2ф

vq = — С\ sin ф sin(2Qr) + С2 sin ф cos(2Пт)---—дт + С3 cos ф,

w0 = C1 cos ф sin(2Qr) — C2 cos ф cos(2ür) — (g sin2 ф)т + C3 sin ф, x=^ sin(2 ílr) - ^ cos(2ílr) + Щ^дт + C4,

У = cos(2íír) + C2^ sH2Qt) - ^V2 + (C3 eosф)т + СБ,

cos ф cos ф sin2 ф 2 Zo = -C^cosW - 2_2П s1i1(2^t)--+ (C3 sin ф)т Cg. (25)

Здесь C1,C2,C3,C4,C5,C6, — произвольные постоянные, появившиеся в результате ин-тегровапия.

Учитывая начальные условия,

xU=t0 = x00, y|í=ío = У00, z0lt=t0 = z00, Uolt=to = U00, Volt=to = V00, Wo|t=to = Woo, (26)

получим выражения для констант:

Ci = Moo - C2 = v00 sin ф - w00 cos гф C3 = w00 cos ф + w0o sin гф

c4 = Xoo + ^ (w00 sin ф - Woo cos Ф),

sin ф sin 2ф c5 = Уоо - -Tnoo + -^-g,

cos ф cos2 ф

C6 = zoo + -^uoo ~ -^-g. (27)

Вид решения (25), (27) подтверждает известный вывод о том, что система (24), уравнения которой описывают движение свободной поверхности Г0, инвариантна относительно сдвигов вдоль оси z.

Исключим т из четвертого и пятого уравнений (25), Для этого из формул для x,y найдем следующие соотношения:

Сг sin(2Пт) - С2 cos(2Qr) = 2Ü (^х - ^^дт - С4

Ci cos(2ílr) + С2 sin(2Qr) = (у + \ sin(2ф)дт2 - С3т - С5 ) . (28)

sin ф \ 4 J

Возводя в квадрат обе части равенств (28) и складывая получившиеся выражения, будем иметь

С2 + С2 = (х- С^дт - С4|2 + [у + i sin(2 ф)дф - С3т - С5) . (29)

Линия (29), являющаяся проекцией траектории движения точки на свободной поверхности Г0 па плоскость хОу, может быть названа эллипсом Кориолиса, параметры которого соответственно равны

2 С2 + Cf (Cf + Cpsin2^

а 4П2 ' 4П2

®o(r) = S^gr + с4, у0(т) = sin(2ф)дт2 + С3т + С5. (30)

Здесь a,b — полуоси эллипса, х0(т),у0(т) — координаты центра эллипса. Если исключить т из двух последних соотношений (30), то получим уравнение

Уо = С5 + (Жо _ с4) - П sin- С4)2.

д cos ф

Следовательно, центр эллипса Кориолиса (29), в свою очередь, движется по параболе.

Заметим, что начальные условия (26) однозначно определяют константы (27), а значит, и параметры эллипса Кориолиса, т, е, для каждых начальных условий (26) строится свой эллипс Кориолиса, Окончательно можно сделать вывод: каждая частица, .лежащая на свободной поверхности, Г0, движется по траектории, в проекции которой на, плоскость xOy лежит свой эллипс Кориолиса с параметрами, однозначно определяемыми, начальным положением точки и начальными значениями газодинамических параметров.

Следует отметить, что из анализа движения отдельных частиц на свободной поверхности Г0 сделать вывод о движении всей поверхности Г0 достаточно трудно по следующим причинам:

1 — для каждой частицы, лежащей на начальной поверхности, приходится строить свой эллипс Кориолиса со своим центром и своими полуосями;

2 — хотя полуоси эллипса со временем не изменяются, его центр движется, и даже в проекции траектории на плоскость xOy возникает достаточно сложная кривая;

3 — кроме того, траектории движения частиц являются пространственными линиями, и без постановки конкретных начальных условий понять, будут ли они двигаться вверх или вниз, невозможно,

В силу перечисленного решение (25) при постановке конкретных начальных условий необходимо анализировать численно.

Используя метод характеристических кривых, сведем [13] систему транспортных уравнений (22) к виду, удобному для численного исследования:

, Y + 1 ( z0r zot \ ,7 - 1 (U0T VOT\ п

Cir н--Wi--Ui--Vi с 1 н--—--1--ci = 0,

2 V uo vo J 2 \uo vo )

. ZOT Z0T \ 2 z0t 2 , u0t . ( U0T on \ on n

UlT + ( wi--и 1--vi и 1---—сг н--и 1 +--2\l3 Vi + 2U2WI = 0,

Uo vo J Y - 1 uo uo V vo J

Z0T Z0T \ 2 z0t 2 , I v0T , ^r^ \ , v0T

VIT + \ wi--Ui--Vi Vi---—Ci +--h 2П3 щ H--Vi = 0,

Uo vo J Y - 1 vo \uo J vo

ZOT ZOT \ , 2 2 , ( W0T пгЛ \ , WOT

W\T + [ w 1--Ui--Vi w 1 H--—Ci +--2^2 Ui H--Vi = 0. (31)

Uo vo J Y - 1 \ uo J vo

Система (31) является нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений и при задании конкретных начальных данных может быть исследована численными методами,

В заключение рассмотрим течение, примыкающее к вакууму и в начальный момент времени закрученное как твердое тело, В работе [12] при моделировании течения газа в вертикальной части торнадо использовано цилиндрически-симметричное течение, примыкающее к вакууму и имеющее в главной части следующие значения газодинамических параметров:

Y - 1

c(r) = шу —-—(г2 — г2), u\(r) = 0, u2{r) = шг, щ(г) = woo = const > 0.

Здесь u\, u2, u3 — проекции вектора скорости в цилиндрической системе координат, г > г*. Эти значения газодинамических параметров возьмем в качестве начальных условий для системы (24), В декартовой системе координат они будут иметь вид

co(x,y,z) = + у2 - г2),

uo(x,y,z) = -шу, vo(x,y,z)= шх, wo(x,y,z) = Woo,

а начальная свободная поверхность Г будет цилиндрической поверхностью, в основании которой окружность радиуса г*

х2 + у2 = rl (32)

В расчетах траекторий движения частиц по формулам (25) использовались безразмерные константы [12]

ш = 0.1, П = 0.01, ф = ~, д = 0.09, г* = 1.

6

Начальные данные задавались в сорока точках начальной окружности (32), Для простоты восприятия на рис, 2 приведены восемь точек, за эволюцией которых мы будем следить и далее,

zoo = 1 woo

0.1 до 10.

Расчеты показали следующее:

1 — при начальных условиях w00, принадлежащих отрезку [0.1; 10], траектория частицы, выходящая из точки начальной окружности (см. рис. 2), некоторое время т = т*

woo

т* т*

n 0 1 2 3 4 5 6 7

zo, т = -- 0 1 1 1 1 1 1 1 1

zo, т = : 6 5.371 5.349 5.340 5.348 5.370 5.392 5.402 5.393

Zo, т= 10 6.464 6.402 6.375 6.398 6.458 6.520 6.548 6.524

2 — во все моменты времени, пока частицы газа на свободной поверхности двигались вверх, сохранялась закрутка течения против часовой стрелки (рис. 3);

Поверхность Г

Рис. 2. Положение точек на начальной окружности

Рис. 3. Проекции восьми точек на плоскость xOy в моменты времени т = 0, 6 и 10

xOy

валась окружностью. Радиус окружности увеличивался, а центр смещался па запад (существенно) и па север (незначительно). Заметим, что из результатов работы |11| следует, что при отсутствии силы Кориолиса свободная поверхность Г0 во все моменты времени является цилиндром, ось которого неподвижна, а радиус увеличивается.

Рис. 4. Траектории движения восьми (а) и 40 (б) точек при т = 0-10

На рис. 4 приведены траектории движения в течении времени при т = 0-10 восьми и 40 точек, которые в момент времени т = 0 лежали на начальной окружности.

В результате полученных данных можно сделать вывод, что в течение некоторого времени т* частицы газа на свободной поверхности движутся по восходящим винтовым .пиниям. Эти линии существенно деформированы в западном и незначительно в северном направлении.

Авторы благодарят С.П. Баутипа за полезное обсуждение работы.

Список литературы

[1] Сидоров А.Ф. Избранные труды. Математика. Механика. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

[2] Баутип С.П., Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск: Наука, 2005. 390 с.

[3] Баутип С.П., Дерябин С.Л. Аналитическое моделирование истечения идеальнох'о газа в вакуум /7 Успехи механики. 2006. Т. 4, № 1. С. 77 120.

[4| Баутип С.П. Охлопывание одномерной полости /7 Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46, вып. 1. С. 50 59.

[5] Баутип С.П., Дерябин С.Л. Истечение идеальнох'о газа в вакуум /7 Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 4. С. 817 820.

[6] Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа /7 Динамика сплошной среды: Сб. науч.тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 1984. Вып. 65. С. 56 74.

[7] Дерябин С.Л., Чуев Н.П. Сферически-симметричное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 2. С. 77-84.

[8] Дерябин С.Л. Одномерное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, № 4. С. 32-44.

[9] Дерябин С.Л., Мезенцев A.B. Одномерное истечение в вакуум нормального газа, гра-витирующего по Ньютону // Там же. 2009. Т. 14, № 3. С. 25-36.

[10] Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа в условиях действия внешних массовых сил // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 1987. Вып. 83. С. 60-71.

[11] Дерябин С.Л. Начальная эволюция закрученных газовых объемов, примыкающих к вакууму // Вычисл. технологии. 2005. Т. 10, № 1. С. 21-36.

[12] Баутин С.П. Торнадо и сила Кориолиса. Новосибирск: Наука, 2008. 92 с.

[13] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

[14] Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

[15] Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т. 2. М.: Наука, 1983. 640 с.

[16] Кочин Н.Е., Кивелб H.A., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Физ-матгиз, 1963. 583 с.

Поступила в редакцию 4 сентября 2009 г., с доработки — 17 марта 2010 г.