CC BY
37
Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 384-385
УДК 517.95+519.63+533.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИРОДНЫХ ВОСХОДЯЩИХ ЗАКРУЧЕННЫХ ПОТОКОВ ТИПА ТОРНАДО
© 2011 г. С.П. Баутин1, П.С. Баутин1, Е.Д. Белова2, В.Е. Замыслов1,
И.Ю. Крутова1, А.В. Мезенцев1, А.Г. Обухов3
'Уральский госуниверситет путей сообщения, Екатеринбург 2Снежинский физико-технический институт - филиал МИФИ 3Тюменский государственный нефтегазовый университет
8Ваш1;т@та1;Ь. шиг1. ги
Поступила в редакцию 15.06.2011
Аналитическими и численными методами с помощью построения точных и приближенных решений системы уравнений газовой динамики моделируется движение воздуха в придонной и вертикальной частях восходящего закрученного потока. В частности, доказано, что при стоке первоначально однородного и покоящегося газа в придонной части за счет действия силы Кориолиса возникает закрутка газа соответственно в положительном и в отрицательном направлениях для Северного и Южного полушарий. При анализе движений газа в вертикальной части показана возможность существования течений, закрученных как по всему сечению вертикальной области, так и только в его кольцевой части. Во втором случае в центральной части возможна либо область вакуума, либо область покоящегося газа с ненулевой плотностью. Также установлено, что с течением времени вся вертикальная часть движется более значительно в западном и менее значительно в северном направлениях.
Ключевые слова: система уравнений газовой динамики, аналитические и численные решения, торнадо, тропические циклоны.
В монографии [1] предложена схема возникновения и устойчивого функционирования восходящих закрученных потоков (ВЗП). Эксперименты, проводимые в Объединенном институте высоких температур РАН (см., например, [2]), подтверждают эту схему в части возникновения и начального функционирования ВЗП.
Для математического моделирования движения воздуха в ВЗП исследуются решения системы уравнений газовой динамики (СУГД):
ct + ucr + — c ф + rncz +
r v
f
V
u
Ur +-1--+ Qz
rr
y-1
2
= 0,
c x
и
2
U
Ut + UUr + U„----------hQUz +----cc r
r r y-1
= (2Q sin y)u - (2Q cos у cos ф)ю,
Ut + UUr +
uu и 2 c
—+-иф+Ш^ +--------=
r r у -1 r
= -(2Q sin y)U + (2Q cos у cos ф)ю,
2
<af + U(ar +—юф +юю_ +-
t r r ф z y-1 ^
= (2Q cos у cos ф^ - (2Q cos у sin ф)и - g, описывающие изэнтропические течения идеаль-
ного политропного газа с уравнением состояния p = pl/j (у = const > 0 - показатель политропы газа). В приведенной системе t, r, ф, z — независимые переменные, искомые функции: c = p(Y—1)2 — скорость звука; U, и — радиальная и окружная проекции вектора скорости в плоскости xOy; ю — проекция вектора скорости на ось Oz; О — угловая скорость вращения Земли, g — ускорение свободного падения, у — широта рассматриваемой точки.
Если для СУГД на цилиндре r = r0 > 0 задать непрерывный сток
U(t, r, ф, z)| r = r0 = U0(t), U0(0) = 0, [U0(t)]'< 0,
и на звуковой -характеристике, распространяющейся по покоящемуся в поле тяжести газу (по фоновому течению), задать условия непрерывного примыкания искомого течения, возникающего при стоке, к фоновому течению, то такая характеристическая задача имеет единственное аналитическое решение. Анализ первых коэффициентов бесконечных сходящихся рядов, передающих это течение, приводит к следующему выводу: в первоначально покоящемся газе наряду с радиальным движением возникает и окружное, причем в случае Северного полушария закрутка газа идет в положительном на-
х
2
правлении, в случае Южного — в отрицательном. Численными расчетами методом характеристик описана динамика выхода одномерного течения с плавным стоком на стационарный режим. В таблице приведены размерные значения радиальной и окружной скоростей, полученные в одном конкретном расчете.
Таблица
r 10 км (приток) 1 км 200 м 20 м (сток)
u(tj, r) км/час 0.3 7 18 180
u(t2, r) км/час 0.3 7 26 180
u(t,, r) км/час 0 5 24 384
u(t2, r) км/час 0 8 40 654
[u2(t„r) + u2(t„r)]1/2 0.3 8.6 30 424
[u2fer) +U2(t2,r)]1/2 0.3 10.6 48 678
В виде сходящихся рядов по степеням характеристической переменной построено трехмерное нестационарное течение в окрестности непроницаемой плоскости г = 0. Показано, что первые коэффициенты таких рядов являются решениями системы уравнений, ранее используемой для исследования плоских спиральных течений.
Для моделирования течения в вертикальной части ВЗП строятся начальные слагаемые бесконечных сходящихся рядов по степеням малых параметров, входящих в СУГД регулярно:
и(г, ф, г) = и0 +и^ + и1П+..., и = (с 2, и, и, ю);
а также по степеням характеристической переменной в окрестности контактной границы
П = 0, п = г - го(г, х, у):
и & x, y, п) = Хи£(t, x, у) ТГ к=0 к
в случае использования не полярных координат г, ф, а декартовых х, у. Анализ построенных ко -эффициентов показал возможность существования течений, закрученных как по всему сечению вертикальной области, так и только в его кольцевой части. Во втором случае в центральной части возможна либо область вакуума, либо область покоящегося газа с ненулевой плотностью. Также показано, что основные газодинамические характеристики в вертикальной части ВЗП определяются величиной закрутки газа, поступающего из придонной части. Также установлено, что с течением времени вся вертикальная часть движется более значительно в западном и менее значительно в северном направлениях.
В проводимых исследованиях также принимал участие проф. С.Л. Дерябин (Екатеринбург, Уральский государственный университет путей сообщения).
Исследование поддержано РФФИ, проект № 0801-00052.
Список литературы
1. Баутин С.П. Торнадо и сила Кориолиса. Новосибирск: Наука, 2008. 96 с.
2. Вараксин А.Ю., Ромаш М.Э., Копейцев В.Н. // Теплофизика высоких температур. 2010. Т. 48, №3. С. 1-6.
MATHEMATICALLY MODELING THE TORNADO-TYPE NATURAL UPWARD VORTEX FLOWS S.P Bautin, PS. Bautin, E.D. Belova, V.E. Zamislov, I.Yu. Krutova, A. V Mezentsev, A.G. Obukhov
Using analytical and numerical methods and constructing exact and approximate solutions of system of equations of gas dynamics, the movement of air at the bottom and sides of a vertical upward vortex flow is modeled. It is proved that when the drain of the initially homogeneous gas at rest and at the bottom part due to the action of the Coriolis force arises swirling gas, respectively, in the positive and negative directions for the cases of Northern and Southern hemispheres. When analyzing the motion of the gas in the vertical part, the possibility of the existence of currents, swirling around both along the vertical cross-section area, and only in its circular part is shown. It is found that with the time, all the vertical part moves more pronouncedly to the west and less pronouncedly to the north.
Keywords: system of equations of gas dynamics, analytical and numerical solutions, tornado, tropical cyclone.
