CC BY
0C9BR FÖNNiNiN TÖDRlSiNiN ÜMUMi RiYAZi УЭ MÖXSUSi F9LS9Fi-M9NTiQi XÜSUSiYYaTLaRiNiN iNTERPRETASiYASI
iBRAHiMOV FiR9DUN
Azarbaycan Dövlat Pedaqoji Universitetinin §aki filiali, pedaqogika üzra elmlar doktoru, professor
C9BRAYILOVA NURAN9
Azarbaycan Dövlat Pedaqoji Universitetinin §aki filiali, ba§ müallim
QARAYEVA GÜLNAR9
Azarbaycan Dövlat Pedaqoji Universitetinin §aki filiali, ba§ müallim
Xülas3. Mdqalddd cabr elminin gergakliyin miqdar-fdza münasibdtldri vd formalanm öyranan riyaziyyat elminin tarkib hissasi qeyd olunur va diqqata gatdirilir ki, adadlar haqqinda elm olan hesabin va makan formalarindan bahs edan handasanin asasinda yaranmi§ cabr elminin tarixan öyrandiyi obyekt cabri tanliklar olmu§dur. Göstarillir ki, hazirda cabr elmi zanginla§ib, yüksak abstrakt §akil alaraq cabri strukturlari öyranan elm kimi saciyyalandirilmakdadir
I§da vurgulanir ki, riyazi abstraksiyalar ba§qa elmi abstraksiyalarla müqayisada xarakterik xüsusiyyatlara malikdir, riyazi strukturlarin bir növü olan cabri strukturlar da digar riyazi strukturlar kimi (burada "cins-növ", "tam-hissa-element", "sistem-altsistem" münasibatlarinin dialektikasi pozulmur) gergakliyin §üurda mücarrad inikasidir va bu, elementlari üzarinda bir va ya bir nega cabri amalin tayin edildiyi müxtalif tabiatli elementlara malik goxluqlardir. Bela bir asasa göra cabr elmi müxtalif tabiatli goxluqlarda tayin edilan cabri amallari, onlarin xassalarini öyranan elm kimi interpretasiya edila bilar. Hamginin qeyd olunur ki, abstraksiya va idealizasiya cabrin asas metodlaridir, odur ki, elmi idrakin sözügedan metodlarinin tabiatina aydinliq gatirilir, cabrin ba^langac ideyalari, bazi riyazi simvollar va inikas anlayi§larinin §arhi verilir.
Agar sözfor: goxluq; amal; riyazi struktur; cabri struktur; elmi idrak; metod va forma; miqdar-faza münasibatlari; abstraksiya; idealizasiya; abstraksiyalarin abstraksiyasi; i^aralar dili.
Tadqiqat mövzusunun aktualligi. Pedaqoji profilli ali maktablarda "Riyaziyyat müallimliyi" ixtisasi üzra kadr hazirligi prosesinda müxtalif riyazi fanlar tadris olunur. Bu prosesda bir 90X hallarda hamin fanlarin bütöv, vahid riyaziyyat elmina asaslandigi nazar nöqtasi kimi diqqat markazina 9akilmir, maxsusi olaraq da cabrla§ma prosesinin müasir riyaziyyatin farqlandirici xüsusiyyatlarindan oldugu unudulur. Bu isa ümumtahsil maktablarinda realla§dirilan müasir ümumi riyazi tahsilin falsafasina uygun pedaqoji kadr hazilanmasi talabinin pozulmasini §artlandirir. Nazara alinmir ki, ümumtahsil maktablarinda bütöv, vahid riyaziyyat fanni (be§ mazmun xattini özünda vahidin taraflari kimi ehtiva edan, "tam-hissa" münasibatlari dialektikasina asaslanan mükammal sistem kimi mövcud olan) tadris olunmaqdadir. Söylanilanlara ragman, "Cabr fanninin tadrisinin ümumi riyazi va maxsusi falsafi-mantiqi xüsusiyyatlarinin interpretasiyasi" aktualligini iddia edirik.
Toplanmi§ va sistem halina gatirilmi§ ümumila§malarin interpretasiyasi. Cabr elmi bütöv, vahid riyaziyyat elminin vacib, ayrilmaz bir tarkib hissasidir va adadlar nazariyyasi ila birlikda riyaziyyatin qadim va son daraca garakli bir sahasi kimi uzun tarixi inki§af yolu ke9mi§dir. Cabr tam, bütöv, vahid olan riyaziyyatin tarkib hissa oldugundan onun inki§af dialektikasinda "tam-hissa" münasibatlari sözügedan elm sahasinin bütün inki§af qanunauygunluqlarini va istiqamatini §artlandirmi§dir.
Burada taqdim etdiyimiz mülahizalarimiza aydinliq gatiran bela bir informasiyani vurgulamaq yerina dü§ar ki, tam va hissa haqqinda an 9ox yayilmi§ nöqteyi-nazara göra (hansi ki, biz bu yana§mani taqdir edirik!), hissa sistemin tarkibina daxil olan va nisbi müstaqilliya malik komponentdir, tam öz aralarinda alaqalanan hissalari ahata edan va ayri-ayri hissalarda hami§a olmayan bazi xassalara malik sistemdir, hansi ki, sistem ham elementlari, ham da elementlar
arasindaki münasibatlari ehtiva edan tamdir. Tam ila hissanin qar§iliqli alaqasi öz ifadasini ham tamin keyfiyyatinin onu taçkil edan hissalarin spesifik tabiatindaki asililiqda, ham da bu hissalarin keyfiyyatinin tamin spesifik tabiatindaki asililiqda tapa bilir. Tam va hissanin dialektik alaqasi aslinda tamin strukturunu ta§kil edan alaqadir va bu manada struktur tamin mühüm mövcudluq üsullarindan biri kimi çixi§ edir. Tamin nisbi bölünmaz hissasi kimi çixi§ edan elementlarin va bunlarin münasibatlarinin üzvi vahdati sistem anlayiçi ila saciyyalanir, elementlar ila strukturun dialektik vahdati sistem anlayiçinin asas alamati sayilir. Tam anlayiçi sistema nazaran manalanir, o, sistemin taçkilatlanmasidir. Har bir sistemin özünamaxsus strukturu va bu strukturun daçiyici oldugu funksiyasi var. Sistema onun struktur va funksiyasinin vahdatindan ibarat tam kimi baxilmalidir. Sistemlar bir-birindan takca struktur va funksiyalarina göra deyil, ham da baçlica olaraq struktur ila funksiyanin vahdatinin necaliyi ila, bu vahdatin xarakteri ila farqlanirlar.
Riyaziyyatin falsafasinda bu elmin tabiatina dair çoxdan bari özüna kök salmi§ bela bir ananavi klassik baxi§ var ki, riyaziyyat elmi bizi ahata edan gerçak alamin kamiyyat qanunauygunluqlarindan bahs edan elmdir, daha dürüstü: o gerçakliyin miqdar-faza münasibatlarini va formalarini öyranan elmdir; öyrandiyi obyekti bütün malik oldugu keyfiyyat va mazmundan fikran tacrid edarak asas diqqatini onun kamiyyat va forma müayyanliklari ila alaqadar olan abstrakt nisbat va formalara yönaldir. Riyaziyyatin hissasi olan cabrin, elaca da adadlar nazariyyasinin bu abstrakt nisbat va formalardan öz payi vardir [2; 14].
Riyaziyyatin tarixan an qadim sahalari elementar hesab va elementar handasadir ki, bunlar da uygun olaraq gerçak alamin mahz kamiyyat (miqdar) nisbatlari va makan (faza) formalari haqqinda elm kimi xarakteriza edirlar, yani bu elmlar gerçakliyin an sada, basit kamiyyat nisbatlari (adadlar) va makan formalarini (handasi fiqurlar) öyranirlar. Ham da handasa va çox sonralar handasanin yeni, nisbatan cavan sahasi topologiya ^ün kamiyyatlardaki kasilmazlik ideyasi baçlica yer tutdugu halda, hesab va sonra onun asasinda yaranan cabr va adadlar nazariyyasi ^ün asasan diskretlik ideyasi xarakterikdir. Bir-birinin aksi olan, lakin bir-biri ila alaqasi olan bu iki meylin qarçiliqli, dialektik tasiri, bazi sahalarda isa bunlarin sintezi riyaziyyatin sonraki inkiçafina sabab olmu§, bu tasirin naticasinda riyaziyyatin yeni-yeni sahalari yaranmiçdir.
Riyaziyyatin sonralar meydana galan klassik sahalari avvalca cabr, sonralar analitik handasa va riyazi analiz uzaq keçmiçdan miras qalan, lakin inkiçafdan da qalmayan hesab va elementar handasadan qidalanmi§ va bu asasla inkiçaf edib yeni-yeni nailiyyatlarla zanginla§mi§lar. ölbatta, indiki riyaziyyat takca sadaladigimiz hamin qadim va sonralar yaranan klassik sahalardan ibarat deyil, onun predmeti da, yani miqdar-faza münasibatlari da yeni, daha geni§, daha zangin mana kasb etmiçdir. Riyaziyyatin indi çoxsayli yeni-yeni sahalari yaranib taraqqi etmiçdir. Odur ki, obrazli desak indiki riyaziyyat elmini çoxsayli, qollu-budaqli möhta§am bir agaca banzatmak olar, bu agacin köklari gerçakliya, atraf alamin a§ya va hadisalarina söykanir, bu agacin budaqlari, budaqlarindan boy atan zoglarin hamisi vahid, bütöv, bölünmaz riyaziyyat elminin nisbi müstaqil xarakter daçiyan müxtalif yeni olan sahalari, tarkib hissalaridir. Cabr elmi da bu sahalardan, bu hissalardan biridir, ham da ela bir hissasi ki, bunsuz riyaziyyat elmi ümumiyyatla mümkün olmazdi. Cabrsiz riyaziyyat elmi yoxdur, indi da, galacakda da riyaziyyat elmini cabrsiz tasavvür etmak mümkün deyil. Tasadüfi deyil ki, müasir riyaziyyatin farqlandirici xüsusiyyatlarindan söhbat gedanda, onun bütün sahalarinda cabrlaçma prosesinin getdiyini söylayirlar, yani cabrlaçmani indiki riyaziyyatin asas xüsusiyyati kimi qeyd edirlar [6; 3-18].
Burada maxsusi olaraq vurgulayaq ki, cabrlaçmanin indi riyaziyyatin asas xüsusiyyati olmasi mülahizasini riyazi fanlara da müncar etmak mantiqidir, çünki fanlar üzra ahata olunan mazmun aidiyati elmin mahsullarindan dövlatin, camiyyatin talabatina uygun ayrilmiç va elmi pedaqoji asaslarla i§lanilmi§ hissadir. Tabiidir ki, hissa tamin (ehtiva edanin) emercent xassasina tabedir, aks halda hissa hamin tama aid ola bilmazdi.
Riyaziyyat elminin ümumi inkiçafi gediçinda, onun qadim sahalarindan olan cabr elmi da inkiçaf etmi§, onun mazmun va metodlari zanginla§mi§, müayyan dayiçikliklara ugramiçdir. ödadlar haqqinda elm hesabin va fiqurlardan bahs edan handasanin asasinda yaranan cabr elminin tarixan öyrandiyi obyekt cabri tanliklar olmuçdur. indinin özünda da cabri tanliklar bahsi cabr elminin
tarkibinda onun asas obyektlarindan biri kimi qalmaqda davam edir. Lakin müasir cabri heç da takca tanliklar haqqinda elm kimi saciyyalandirmak olmaz. Müasir cabr elmi o qadar inkiçaf edib zanginlaçib ki, o qadar abstrakt çakil alib ki, onun ma§gul oldugu obyektlar sistemini takca cabri tanliklarla mahdudlaçdirmaq mümkün deyil.
Çoxluqlar nazariyyasinin va aksiomatik metodun müasir riyaziyyatda mövqe tutmasi va bunun cabra nüfuz etmasi sayasinda cabrda "cabri strukturlar" anlayiçi formala§mi§dir [2; 16].
Bu nüfuzetma o daracada geni§ vüsat alib ki, indiki cabr elmini cabri strukturlari öyranan bir elm kimi saciyyalandirirlar. Qeyd etmak yerina dü§ar ki, "riyazi struktur" anlayiçi müasir riyaziyyatin asasinda duran çoxluq anlayiçi ila aksiomatik metodun sintezi, birlaçmasidir. Bela bir vacib cahata diqqat yetirmak garakdir ki, abstrakt riyazi strukturlar gerçakliyi mahz miqdar-faza münasibatlarinin va ya ümumila§mi§ kamiyyat nisbatlarinin §üurumuzda inikasidir.
Etiraz olunmur ki, talabalarin cabr fannini öyrana bilmalari ^ün "abstraksiya" vd "idealizasiya" anlayiçlarina diqqatlarinin maxsusi olaraq yönaldilmasi faydalidir, onlar bu prosesin mahiyyatini anlamalidirlar. Onlar bilmalidirlar ki, insanin aqli faaliyyatinin an universal metodlarindan biri abstraktlaçdirmadir.
Abstraktlaçdirma metodunun mahiyyati cisimlarin fikran qeyri-mühüm xassa, münasibat va alaqalarindan sarfnazar edilmasindan va eyni zamanda bu cisimlarin tadqiqatçini maraqlandiran bir va ya bir neça mühüm tarafinin seçilib ayrilmasindan ibaratdir.
Abstraktlaçdirmanin naticasi ("abstraksiya") dedikda, adatan cismin bazi taraflari haqqinda qazanilmi§ bilik narda tutulur. Abstraktlaçdirma prosesinin özü isa müayyan naticanin alda edilmasina aparan amaliyyatlar macmusudur. Bu proses abstraksiyalar vasitasila hadisalarin mahiyyatini, obyektiv inkiçaf proseslarini aks etdiran elmi tafakkürdür [7; 120].
Abstraksiyalar gerçakliyin insan §üurunda daha darin va tam inikasinin zaruri elementlaridir. Bu prosesin abstraktlaçdirma aktina hazirliq adlanan birinci pillasinda tadqiqatçini maraqlandiran hadisada mühüm taraf qeyri-mühüm tarafdan farqlandirilir va mühüm taraf seçilib götürülür. Hadisanin müxtalif taraf va alaqalarinin qiymatlandirilmasi, müayyan zümraya daxil olan hadisalarin taraflarinin müayyan edilmasi mahz bu pillada hayata keçirilir. Abstraktlaçdirma aktina hazirligin mühüm masalalarindan biri da öyranilan hadisanin müayyan amillardan asili olmadigini a§kar etmakdan ibaratdir. ögar A hadisasinin B amilindan asili olmadigi müayyan edilirsa, bununla da bu sonuncuya qeyri-mühüm §ey kimi baxaraq ondan sarfnazar eda bilirik [8; 15].
Abstraktlaçdirma prosesinin ikinci pillasi avvalcadan müayyanla§dirilmi§ abstraksiya imkaninin reallaçdirilmasindan ibaratdir. Bu pilla abstraktlaçdirma akti va ya sarfnazar etma adlanir. Abstraktlaçdirma aktinin mahiyyati bundan ibaratdir ki, bu halda har hansi bir Ox obyekti öz xassa va münasibatlari etibari ila Ox-dan daha "yoxsul" olub, onun modeli kimi çixi§ edan 02 obyekti ila avaz olunur. Ham abstraktlaçdirma prosesinin, ham da onun naticasinin asas funksiyasi bundan ibaratdir ki, onlar idrakda mürakkabi daha sada ila avaz etmaya, gerçaklik hadisalarinin diferensasiyasi yolu ila onlarin müxtalifliyindan ba§ çixarmaq imkani verir [9;8-15].
Burada vurgulamaq yerina dü§ar ki, müxtalif çoxluqlarin öyranilmasina geni§ yer verildiyi riyaziyyatda eynilaçdirma abstraktlaçdirilmasi böyük rol oynayir. Masalan, burada tam müsbat adadlar kimi "sada" obyektlar haqqinda anlayiç eynilaçdirma abstraksiyasi vasitasila yaradilir [10; 123].
Ümumiyyatla, ixtiyari adadlar çoxlugunun adadlari haqqinda anlayi§ alda edarkan eynilaçdirma abstraksiyasindan istifada olunur. Ham da bu abstraktlaçdirma takraran tatbiq edilir; avvalki eynilaçdirmanin naticasina yenidan eynilaçdirma abstraklaçdirmasi tatbiq olunur va s. Riyaziyyat ^ün saciyyavi olan çoxpillali abstraktlaçdirma bela yaranir [11; 26].
Elmi idrakin istifada etdiyi fikri proseslar içarisinda ideallaçdirma xüsusi yer tutur. Elmi-nazari tadqiqatin üsullarindan olan ideallaçdirma abstraksiyaetma prosesi ila üzvi bagli olub, onun növlarindan biridir. Îdeallaçdirma eyni zamanda xüsusi fikri proses olub, öyranma baximindan mühüm olmayan xassa va münasibatlari sarfnazar etmaya imkan veran sadalaçdirmadir [12; 369]. Îdeallaçdirma prosesinda varliq "sadalaçdirilir", obrazli desak, o "yoxsullaçdirilir", bela ki, baxilan halda predmeta xas olan az ahamiyyatli va ya ahamiyyatsiz parametrlar va ya cahatlar ixtisar edilir.
ideallaçdirma abstraksiyanin növlarindan biri olsa da, ona müncar edilmir. ideallaçdirma gerçakliyin abstraksiyadan sonraki sadalaçdirilmasi, kasiblaçdirilmasi, sxemlaçdirilmasi marhalasidir.
Qeyd edilmalidir ki, ideal obyektlarin fikran qruplaçdirilmasi prosesi hökman §üurun abstraksiya faaliyyatini talab edir. Analiz, sintez va onlarin asasinda aparilan ümumila§dirma va abstraksiya ideallaçdirmadan ayrilmazdir. ideallaçdirmanin digar fikri proseslarla, o cümladan, abstraksiya, tahlil, sintez va ümumila§dirma ila alaqasi bununla izah olunur ki, ideal obyektlarin qruplaçdirilmasi prosesinda hökman açagidaki maqsadlara nail olunur: 1) real obyektlari, onlara maxsus olan bazi xassalardan mahrum etma; 2) bu obyektlara fikran qeyri-real, farziyyavi, praktiki suratda reallaça bilmayan xassalar alava etma. Bu maqsada çatmagin asas üsullari bunlardir: 1) çoxpillali abstraksiya; 2) cismin har hansi bir xassasinin inkiçafinda hüdud hala keçid; 3) sada abstraksiya yolu ila, obyektlarin bazi xassalarinin atilmasi yolu.
Har ^ üsulda ideal obyektlarin yaradilmasinda obyektlarin ham real xassalarindan sarfnazar edilmasindan, ham da onlara qeyri-real xassalar alava edilmasindan istifada olunur. ideallaçdirma prosesi mahz qeyd edilan iki prosesin vahdatindan yaranir. Vurgulanmalidir ki, elmi idrak metodu olmaq etibari ila ideallaçdirmadan yalniz o halda istifada olunur ki, öyranilan obyekt kifayat qadar mürakkab olsun. ideallaçdirmanin ahamiyyati birinci növbada bununla müayyan olunur ki, o real cisim va proseslari tadqiq etmak üsuludur. ideallaçdirma metodu asasinda hadisa va proseslari ona göra tadqiq etmak mümkün olur ki, ideallaçdirma tadqiqat obyektini sadalaçdirarak onun bir sira xassa va münasibatlarindan sarfnazar etmaya va gerçakliyin tadqiq olunan sahasinin qanunauygunluqlarini açan müayyan nazariyyani qurmaga imkan verir. 9ks halda, yani bu xassa va münasibatlar nazara alindiqda müvafiq nazariyyanin qurulmasi böyük çatinliklarla rastlaçir. Lakin bu halda nazarda tutmaq lazimdir ki, har cür ideallaçdirma birtarafli va nisbidir. ideallaçdirma asasinda qurulmuç nazariyya öyranilan obyektin bütün xassalarini deyil, yalniz bazi xassalarini izah eda bilir
Riyazi abstraksiyalar baçqa elmi abstaksiyalarla müqayisada bazi xarakterik xüsusiyyatlara malikdir: 1) riyazi abstraksiyalarin real manasi öyranilan a§ya va hadisalarin keyfiyyat va mazmunu ila deyil, onlarin kamiyyat va formasi ila alaqadar olur (riyazi biliklarin abstrakt xarakterinin sirri da mahz bundadir); 2) riyazi abstraksiyalar çoxpillalidir, onlar aksaran "abstraksiyalarin abstraksiyasf kimi formalaçir; 3) bu abstraksiyalarda simvollardan daha geni§ istifada edilir, burada "içardhr dili" xarakterikdir; 4) riyazi abstraksiyalar izolaedici xarakter daçiyir, yani burada abstraksiya ela yüksak zirvaya, "limit vaziyyatim" çatir ki, bunun sayasinda daha gerçaklikda maddi bir §ey kimi olmayan, yalniz tafakkürda "cövlan edan" ideal obyektlar kimi formalaçir (ona göra da bir elm kimi riyaziyyatin atraf alami öyranmak ûçûn istifada etdiyi idrak vasitalarindan söhbat gedanda abstraksiya vd idealizasiyani bu elmin asas metodlari hesab edirlar) va s. [2; 17]
Riyazi strukturlarin asas bir növü olan cabri strukturlar da ba§qa riyazi abstraksiyalar kimi gerçakliyin §üurda miqdar-faza münasibatlarinin, ümumila§mi§ kamiyyat nisbat va formalarinin mücarrad inikasidir. Buradan bir daha aydin olur ki, cabr elmi haqiqatan da bütöv, vahid riyaziyyat elminin tarkib hissasidir, onun anlayiç va nazariyyalari da bütün riyazi bilgilar kimi "çoxpillali" abstraksiyanin mahsuludur, onlar "abstraksiyanin abstraksiyasi" kimi formalaçir, simvollardan çox geni§ istifada edir, diskret xarakterli ideal obyektlarla maçgul olur va s. Riyazi biliklar, o cümladan cabri anlayiç va nazariyyalar konkretlikdan abstrakta yüksalir, sonra isa tafakkürümüzda abstraksiyalarin sintezi yaranir, yani §üurda yeni konkretlik formalaçir. Bela mürakkab dialektik yol qat edan cabri haqiqatlar cabri strukturlarin magzini taçkil edir
Cabri struktur elementlari üzarinda bir va ya bir neça cabri amalin tayin edildiyi müxtalif tabiatli elementlara malik olan çoxluqlardir. Bunu nazara alsaq müasir cabr elmina bela tarif vermak olar: Müasir cabr elmi vahid riyaziyyat elminin sahasidir va müxtalif tabiatli çoxluqlarda tayin edilan cabri amallari va bunlarin xassalarini öyranir [2; 18] .
Müasir cabr elminin asas maqsadlarindan biri müxtalif riyazi obyektlarin xüsusi tabiatini nazara almadan, asas etibarila, bu obyektlar üzarindaki cabri amallari, bu amallarin xassalarini öyranmakdir.
[5; 101].
Talabalar bilmalidirlar ki, bütövlükla riyaziyyat, o cümladan onun tarkib hissasi olan cabr elmi ba§qa elmlara nisbatan "içaralar dilindan", "simvollardari", riyazi induksiya prinsipindan, "Çoxluqlarin dekart hasili", "Nizamlanmi§ cüt", "Münasibat", "inikas" anlayiçlarindan daha geni§, daha çox istifada edir. Odur ki, Cabr fanninin tadrisi üzra ilk maçgalalarda sözügedan mazmun elementlarini manimsadilmasina maxsusi yer verilir. Bu da öz növbasinda Handasa va Riyazi analiz fanlarinin tadrisi prosesina baçlangic hazirliq tacrübasi qisminda müsbat tasir edir. Tabii ki, tahsilalanlar sözügedanlara adekvat bacariqlarinin subyekti saviyyasina yüksalmalidirlar. Cabrin baçlangic anlayiç, ideya va mövzularinin manimsanilmasini hadaflayan ilk maçgalalarda bu fannin tadrisinin ümumi riyazi va maxsusi falsafi-mantiqi xüsusiyyatlarinin tazahürlarini görmak çatin deyildir. öslinda bu, müasir riyaziyyatin bütün sahalarinda cabrlaçma prosesinin getdiyinin ilkin tazahürü kimi dayarlandirila bilar.
Bu gün Cabr fannini öyranmakda olan talabalar ümumtahsil maktabinda ümumi riyazi tahsilalma prosesindan qisman da olsa bilirlar ki, riyazi mantiqda mantiqi anlayiç va mühakimalari, mantiqi amaliyyatlari içara etmak ^ün bir çox vacib içaralar tatbiq edilir va bunlardan riyaziyyatin bütün sahalarinda müvaffaqiyyatla istifada olunur. inkar, konyuksiya, dizyunksiya, implikasiya, ekvivalensiya kimi mantiqi amaliyyatlar ^ün i§ladilan uygun Л, V^, ^ içaralar, £ va П , Kroneker simvollari buna an yaxçi misaldir. Tahsilalmanin bu marhalasinda (Cabr fanni üzra ilk maçgalalarda) talabalar sözügedan içaralardan istifada etmak tacrübasina yiyalanmalidirlar, aks halda riyazi fanlari manimsamak, elmi manbalar üzarinda çaliçmaq onlar üçün çatin olar.
Bizim i§ tacrübamizda bu prosesda talabalarin manimsamali oldugu informasiya taxminan açagidaki mazmunda formalaçdirilir. Tarafimizdan önca, talabalara bildirilir ki, dogru va yalan olmasi barada fikir söylamak mümkün olan har bir naqli cümla riyazi mantiqda mülahiza, hökm va ya müddaa adlanir. Qeyd edak ki, prosesa davam olaraq tahsilveranin fasilitatorlugu ila tahsilalanlar kvantorlarla bagli materialin manimsanilmasinin faal idrak subyektina çevrilmalari faydali olur. Sözügedan prosesda ahata olunan mazmun elementlari bunlardir:
V - istanilan vaya ixtiyari i§arasidir. Hamçinin "har hansf sözünü da içlatmak olar. Lakin "hansisa" sözü ila ifada etmak düzgün olmaz. " Vx e R " yaziliçi, "istanilan va ya ixtiyari" haqiqi x adadi kimi oxunur;
3 -var va ya mövcuddur, ela va s. " 3x e R " yaziliçi "ela bir haqiqi x adadi var ki" kimi oxunur; ^ - implikasiya i§arasidir. A ^ B yaziliçi "A taklifindan B taklifinin alinmasi"ni göstarir. Ba§qa sözla, "A taklifi B taklifinin dogru olmasi ^ün kafi, B taklifi isa A taklifinin dogru olmasi ^ün zaruridir"; burada A-ya §art, B-ya natica, yaxud A-ya antesdent, B-ya konsekvent deyirlar. ^ - yena da implikasiya içarasidir. A ^ Byaziliçi "B taklifindan A taklifinin alinmasi"ni göstarir. Baçqa sözla, "A taklifi B taklifinin dogru olmasi ^ün zaruri, B taklifi isa A taklifinin dogru olmasi ^ün kafidir";
о - eynigüclülük va ya ekvivalentlik i§arasidir.
A о B yaziliçi "A taklifindan B taklifinin va eyni zamanda B taklifindan da A taklifinin alinmasini göstarir. Baçqa sözla, A taklifi B taklifinin dogru olmasi ^ün va eyni zamanda B taklifi da A taklifinin dogru olmasi ^ün zaruri va kafidir". Bu yaziliçi, hamçinin "A taklifi yalniz va yalniz B taklifi ödanildikda dogrudur" kimi da oxumaq olar.
a - konyuksiya i§arasidir. A л B yaziliçi "ham A, ham da B taklifinin eyni zamanda dogru olmasi" demakdir. Dilimizda "va" baglayicisina ekvivalentdir. Manasi "ham A, ham da B taklifinin eyni zamanda dogru olmasi" demakdir.
v - dizyunksiya i§arasidir. A v B yaziliçi, "A va B takliflarindan heç olmasa birinin ödanilmasi" demakdir. Ola bilar ki, har iki taklif ödanilmi§ olsun. Bu taklif "va ya" baglayicisina uygun galir, "ya A, ya da B" oxunuçu düzgün olmaz. Çünki bu oxunuçda A va B takliflarinin eyni zamanda ödanilmasi mümkün sayilmir.
— - inkar içarasidir. — A yaziliçi "A taklifinin inkari olan taklif' demakdir. Taklifin inkarina nümuna göstarak: "istanilan a ^ün ela b var ki, с hökmü dogrudur" bu taklifin inkari açagidaki taklifdir. "Ela a var ki, istanilan b ^ün с taklifi dogru deyil". "Kvantorlar" dilinda bunu açagidaki
kimi yaza bilarik:" A = (УаЗЬ ^ C dogrudur" tdklifinin inkar formasi: tdklifi "dogru deyil- kimidir.
i a = (ЗаУЬ ^ C)"
Ah В —natica gixarmaq, almaq
3! — "yegana var ki," manasinda i§ladilir.
^ —i§arasi "onun kimidir va ya o demakdir" manasinda i§ladilir. Masalan, A^B bela oxunur: A ela B demakdir.
Talabalarin diqqatina 9atdirilir ki, Kroneker simvolu alman riyaziyyat9isi Leopold Kronekerin adi ila baglidir. Manasi beladir ki, i va к indekslari u9un 11, i = к olduqda Д i ф к olduqda
Yaxud : = 1; 5^ = 0, к ф i . Bunu bazan "Kroneker" deltasi adlandirirlar (Bazi riyazi
adabiyyatda Kroneker simvolunun kimi da i§ara edirlar). Kroneker simvolundan ham cabrda, ham da riyaziyyatin digar sahalarinda istifada edilir.
Bilindiyi kimi, 1 va П i§aralari uygun olaraq toplama va vurma amallarinin naticalari olan cam va
• an = П?=1 ai, ai adadlari
slk =
hasili gostarir. Bela ki, masalan, a1 + a2 + ...+ an=Yj7}=1 at; % • a2
sonlu va sonsuz sayda olarsa, onda uygun olaraq : ^i=1ai va . 1 va П simvollarindan yalniz
cabrda yox, mantiqa uygun olaraq riyaziyyatin muxtalif sahalarinda istifada edilir.
Cabr fanninin tadrisinda 9oxluq anlayi§i ila bagli tahsilalanlarin hazirliq saviyyasinin yuksaldilmasina diqqat yetirmak garakdir (qanaatimiz beladir). Onlar malumatli olmalidirlar ki, Kantora (Q.Kantor 9oxlugu bir nazariyya kimi i§layib hazirlayan alman riyaziyyat9isidir) gora, 9oxluqlarin duzaldilmasinda muxtaliflik, muayyanlik, vahidlik prinsiplari gozlanilmalidir. Muxtaliflik o demakdir ki, A 9oxlugundan iki a va b elementlari verilmi§dirsa, bunlarin eyni va ya muxtalif oldugunu muayyan eda bilmaliyik. Muayyanlik o demakdir ki, agar a elementi va A 9oxlugu verilmi§dirsa, garak tayin eda bilak ki, a A-nin elementidir, yoxsa yox. Vahidlik o demakdir ki, 9oxlugun elementlarini oyranarkan, onlari ayri-ayriliqda yox, bir tam halinda oyranirik, sonra alinmi§ xassalar 9oxlugun har bir elementina aid edilir [1; 9-10].
Talabalar idraki faalliq va mustaqillikla manimsamalidirlar ki, 9oxluq elementlarinin verilmasi ila tayin edilldiyindan buna muvafiq olaraq da 9oxlugun iki cur verilma usulu var: 1) 9oxlugun elementlarini sadalamaq; 2) elementlarinin hamisi u9un xarakterik olan umumi xassani qeyd etmak.
2-ci usulla, yani elemetlarinin hamisi u9un umumi olan xassani gostarmak yolu ila 9oxlugu yazanda onu M = {P(x)}, yaxud M = {x:P(x)}. Burada x 9oxlugun elementi, P isa onun alamati, yani butun x-larin malik oldugu xarakterik xassani gostarir. O bela oxunur: M ela x - term goxlugudur ki, onlar P alamatina, yaxud P xassasina malikdirlar. Tam adadlar 9oxlugunu {x \x —
tam adaddir}. Yaxud x | xeZ va ya {x: x E Z}, yaxud cut adadlar 9oxlugunu {x | x —
tam adad olub 2 — ya bolunur} va ya e —dan boyuk olmayan haqiqi adadlar 9oxlugunu {x |
xeR, x < e} kimi yazmaq olar.
S 9oxlugunun har bir elementi T 9oxluguna daxildirsa, onda S-a T-nin alt9oxlugu va ya hissasi deyib S cT kimi yazirlar. Alt9oxluq anlayi§inin tarifini i§aralar dili ila bela ifada etmak olar: (Sc T) ^ (Vx E S,x E T)
0 - 9oxluq ixtiyari 9oxlugun alt 9oxlugudur. 0gar A с B , A ф 0 va A ф B olarsa , onda A 9oxlugu B 9oxlugunun maxsusi alt 9oxlugudur.
iki 9oxluq o vaxt barabar olur ki, onlar eyni elementlardan ta§kil olunub, simvolik olaraq bu bela i§ara edilir. A = B ^ A с B va B с A
iki 9oxlugun elementlari arasinda qar§iliqli birqiymatli uygunluq vardirsa, bela 9oxluqlara ekvivalent 9oxluqlar deyilir. Sonlu 9oxlugun elementlarinin sayina onun gucu deyilir. £oxlugun elementlari sonsuz saydadirsa, onun gucu transfinit adadlarla tayin edilir. Masalan: (0,1) intervalina
ekvivalent çoxluqlar kontinium güclü çoxluqlar, natural adadlar çoxluguna ekvivalent çoxluqlar hesabi çoxluqlar adlanir.
9gar B çoxlugu A-nin alt çoxlugudursa (Be A), onda A\B farqina B-ni A-ya tamamlayan çoxluq deyarak BA, yaxud BA vd ya CAB kimi içara edirlar. Çox zaman baxilan bütün çoxluqlari har hansi bir qeyd edilan çoxlugun altçoxluqlari hesab edarak hamin qeyd edilan çoxlugu universal çoxluq adlandirib, onu adatan U ila içara edirlar. Müayyan bir A çoxlugunun mahz hansi çoxluga tamamlanmasi konkret göstarilmirsa, onda çoxlugun tamamlanmasi onun universal çoxluga tamamlanmasi kimi ba§a dü§ülür va Аи , yaxud sadaca A kimi içara edilir, onda Л=Ц\Л =
{x| XEU,X£A}.
Çoxlugun tamamlayicisi anlayiçinin açagidaki xassalari vardir: 1)(V4 eU) (AUÄ=U ЛАпА = 0); 2)(VA e U) (Ä = A); 3)(VA,B e U)(A e В ^ В e Ä); 4) de Morgan qanunlari VA, В e U)()AUB) = A nB )Л (VA, В e U)()A n В) =ÄUB ) ixtiyari A, B, C çoxluqlari ^ün açagidaki münasibatlar dogrudur.
1) Birlaçma va kasiçmanin idempotentliyi: AUA = AnA = A;
2) Birlaçma va kasiçmanin kommutativliyi:A UB = BuAлAnB = BnA;
3) Birlaçma va kasiçmanin assosiativliyi:
(AUB)UC = AU(BUC)| (a n B) n C = An (Bnc)j
4) Birlaçmanin kasiçmaya va kasiçmanin birlaçmaya nazaran distributivliyi:
A U (B n C) = (A U B) n (A U C)]
A n (b u c) = (a n b) u (a n c)j
5) AU0=A\0 = A; An0 = 0 [4; 21-27].
Cabr fanninin tadrisinda "Çoxluqlarin dekart hasili", "Nizamlanmiç cüt", "Münasibat" anlayiçlari xüsusi ahamiyyat kasb edir, hansi ki, bunlar digar riyazi fanlarin mazmununda da özüna yer alir. Bu da "tam-hissa" münasibatlarinin mantiqina uygundur. Sözügedan anlayiçlar açagidaki özüna yer alan qaydada tal abalara taqdim oluna bilar: Farz edak ki, ixtiyari A va B çoxluqlari verilib. Bu çoxluqlarin har birindan bir element götürmakla iki elementli {a, b} çoxlugunu düzaldak. Bu çoxlugun elementlarinin mövqeyini tayin etsak, yani a - birinci komponent, b -ni ikinci komponent adlandirsaq—< a,b > kimi nizamlanmiç cüt almi§ olariq. Ona göra "nizamlanmiç cüt" adlandirdiq ki, artiq o {a,b} çoxlugundan farqlanir. Bela ki, {a,b} çoxlugu ila {a',b'} çoxlugunun barabarliyi (a = a' Л b = b') va ya (a = b' ЛЬ = a') §arti daxilinda ödandiyi halda nizamli cütlar ^ün bu bir qadar farqlidir. Daqiq desak, 2 cütün barabarliyi ^ün < a,b >=< a',b' > onda va yalniz onda ki, a = a',b = b' olsun,yani:
< a,b >< a', b' >^ (a = а' ЛЬ = b') Tarif. Birinci komponenti A -dan, ikinci komponenti 5-dan olmasi §arti ila bütün mümkün< a,b > cütlari çoxluguna AvdB çoxluqlarinin Dekart hasili (va ya "düz hasili") deyilir va Ах В kimi i§ara edilir.
Demali: А x В = {< a,b > la E А ЛЬ E B}
Xüsusi halda A = В olarsa, AxA = {< a, b> la ЕАлЬеА} olur ki, bunu A çoxlugunun Dekart kvadrati adlandirirlar. A x A = A2.
n = 2 hall xüsusi hal olmasina baxmayaraq daha çox içlanan, daha çox ahamiyyatli haldir. A va В çoxluqlarinda verilmiç binar münasibat Ax В Dekart hasilindan götürülmü§ bo§ olmayan har bir altçoxluqdur. < x,y > eA x В cütü p -ya daxildirsa, yani < x,y > ер isa onda deyilir ki, x ila y p münasibatindadirlar va ya x va y elemetlari ^ün p münasibati ödanilir. Bu zaman hamçinin xpy içarasindan da istifada olunur. Binar münasibati ta§kil edan (ödayan) cütlar çoxluguna p münasibatinin qrafiki deyilir va Гр i§ara olunur: Гр = {< a,b > la p b}.
Vurgulandigi kimi, Avd В çoxluqlarinda verilmiç, p binar münasibati^ x В çoxlugunun altçoxlugudur. Ona göra da altçoxluqlar ^ün tayin edilmiç münasibatlari binar münasibatlar ^ün tayin etmak olar.
Tahsilalanlar bilmalidirlar ki, çoxluqlarin Dekart hasilini istanilan n sayda A1,A2, ...An çoxluqlari üçün ümumila§dirib onu Alx A2x ... x An = {< al, a2,... an >, щ E A¿,¿ = 1,2, ...,n} kimi yazirlar. A1 = A2 = ■■■ = An = A olduqda^ x A x .x A = An, yani A çoxlugunun n daracali Dekart hasilindan daniçmaq olar.
Nizamlanmiç cüt anlayiçindan ba§qa nizamlanmiç 3-lük, nizamlanmiç 4-lük va s. nizamlanmiç n — lik va ya n — uzunluqlu kortej anlayiçi da daxil edilir. Uygun olaraq n — uzunluqlu kortej < al, a2,... an > kimi içara edilir.
Тэп/: A1,A2 ...An müayyan çoxluqlar olarsa, AlxA2x ...xAn düz hasilinin har bir p altçoxluguna A1,A2, ...An çoxluqlarinda verilmiç n — ar münasibat deyilir.
n — э isa münasibatin ranqi deyilir. 1, 2, 3 ranqli münasibatlari uygun olaraq - unar, binar, ternar münasibatlar adlandirirlar.
p münasibati AvA2,...,An çoxluqlarinda verilmiç n - ar münasibatidirsa va al E Av a2 E A2,... , an E An elementlari p münasibatindadirlarsa, onu p al, a2,... ,an kimi va ya p( al,a2,... ,an) kimi va yaxud da < al, a2,... ,an > E p kimi içara edirlar.
Qeyd. A1 = A2 = ■ = An = A olarsa, onda p — ya A çoxlugunda verilmiç n - ar münasibat deyilir. 9gar A рэ В çoxluqlari sonlu olub elementlari sayi uygun olaraq n рэ m qadar olarsa bu iki çoxlugun Dekart hasilinda nizamlanmiç cütlar sayi (yani Ax В hasilini taçkil edan elementlarin sayi) n ■ m qadar olur.
Tarif : Eyni bir A çoxlugunda tayin olunmuç p va o binar münasibatlarinin qrafiklari eyni olduqda bu münasibatlara barabar münasibatlar deyilir.
Tarif: p c Ax В münasibatinin qrafikindaki birinci koordinatlari çoxluguna p binar münasibatinin tayin oblasti, ikinci koordinatlari çoxluguna isa münasibatin qiymatlar oblasti deyilir va uygun olaraq Dp, lp kimi i§ara olunur.
Tarifa göra : Dp = {x ^ y(< x,y > E p)} ; lp = {y |3 x(< x,y > E p)} .
Tarif : p va о binar münasibatlar olsun. p va о münasibatlarinin kompozisiyasi (p • o kimi i§ara olunur) bütün ela <x,y > cütlar çoxluguna deyilir ki, har dafa ela z olsun ki, < x,z > E p va <z,y > E а olsun.
Tarif: p binar münasibatinin inversiyasi ( p ) ela < y,x > cütlar çoxluguna deyilir ki, < x,y > Ep olsun [15-16 ].
Bela da söylamak olar: В x A düz hasilinda p = {{y,x)eB x Al{x,y)eA x B} kimi tayin olunan binar münasibat p münasibatinin inversiyasi (tarsi) adlanir. Demali, p = {<y,x > l<x,y > Ep }.
Çoxluqlarin Dekart hasili ila alaqadar açagidaki xassalarina diqqat yetirilmasi tadris prosesinin samaraliliyina müsbat tasir göstarir:
1. A x0 = 0 qabul olunur;
2. AxB Ф В x А,(АФ В);
3. Ax (В xC) Ф (AxB)xC;
4. (AöB)xC = (Ax С) U (В x С);
5. (А\ В) x С = (A x С) \ (В x С).
A va B çoxluqlarinin AxB Dekart hasilinin ixtiyari altçoxluqlarina A рэ В çoxluqlari arasinda uygunluq deyilir. Verilan çoxluqlar arasinda uygunluq dedikda aslinda bu çoxluqlarin elementlari arasindaki uygunluq dü§ünülür. Арэ В çoxluqlari arasinda har hansi bir p uygunlugu bu çoxluqlarin özlarinin va bir da bunlar arasindaki Dekart hasilinin verilmasi ila müayyan edilir. A-nin x elementinin B-nin y elementina p uygunlugu çox zaman xpy kimi içara edilir.
Tarif. A çoxlugunun B çoxluguna inikasi ela uygunluqdur ki, bunun sayasinda A çoxlugunun har bir elementina B çoxlugunun müayyan bir elementini qarçi qoymaq olur: burada b elementi а — nin obrazi, a elementi isa öz növbasinda b — nin proobrazi adlanir.
Baçqa sözla, A çoxlugunun B çoxluguna f inikasi dedikda, A-nin har bir a elementina B-nin müayyan bir elementini qarçi qoyan qayda dü§ünülür va bu f:A^B kimi içara edilir. inikasin ^ növünü farqlandirirlar:
1. Suryektiv inikas: Tutaq ki, f.A^B inikasi verilmiçdir. Tarif. f.A^B inikasi o zaman suryektiv inikas (A-nin B üzarina inikasi) adlanir ki, ixtiyari yeB elementi ^ün ela xeA elementi tapmaq mümkün olsun ki, f(x) = y olsun.
Ba§qa sözla desak, suryektiv inikas ela inikasdir ki, В çoxlugundan götürülmü§ har bir elementin proobrazi bo§ deyil. 3gar f.A^B suryektivdirsa, bazan deyirlar ki, f inikasi A çoxlugundan В çoxlugunun üzarina tasir edir. Bazi hallarda deyirlar ki, f inikasi В çoxlugunu doldurur.
Misal. y = sinx funksiyasi R haqiqi adadlar çoxlugunun [—1,1] parçasina suryektiv inikasidir. Lakin o, R çoxlugunun özüna suryektiv inikasi deyil.
2. inyektiv inikas:
Tarif. Tutaq ki, f.A^B inikasi verilmiçdir. A çoxlugunun ixtiyari iki müxtalif elementinin obrazlari da müxtalifdirsa, onda f inikasina inyektiv inikas deyilir. Ba§qa sözla desak, Vx1,x2eA elementlari ^ün f(x1) = f(x2) ^ x1= x2 münasibati ödanilsin. Misal. y = x3 inikasi inyektivdir.
3. inyektiv va suryektiv olan inikas biyektiv inikas adlanir [17-18 ]. Misal. f(x) = tgx funksiyasi
(intervalin uzunlugu dövra barabardir) inikasi kimi biyektivdir. Lakin f(x) =
cos x funksiyasi isd f[—n; n] ^ [—1; 1] inikasi kimi biyektiv deyil.
Talabalarin diqqatina çatdirilmalidir ki, bazan uygunluqdan söhbat gedanda müxtalif çoxluqlarin elementlari arasinda deyil, verilan eyni bir çoxlugun elementlari arasinda da uygunluqdan bahs edilir ki, bunu da adatan münasibat adlandirirlar: yani, masalan A-nin x1 vd x2 elementlari (x1, x2 E A) arasindaki x1px2 uygunlugunu x1 ild x2 — nin p münasibati adlandirirlar. Bela halda açkardir ki, x1px2 = {(x^ x2)} E A x A = A2. Buradan görünür ki, A çoxlugunda bunun elementlari arasinda har hansi münasibatin verilmasi ^ün A çoxlugunun özünün elementlarinin bütün (x1, x2) cütlar çoxlugu verilmalidir.
Binar münasibatlarin bazi növlarinin yalniz cabrin yox, riyaziyyatin digar (bir çox) sahalarinda mühüm tatbiqlari vardir.
Tarif. Tutaq ki, bo§ olmayan A çoxlugunda p binar münasibati verilmiçdir. Bu münasibat o zaman: a) refleksiv münasibat adlanir ki,(Vx)(xpx); b) antirefleksiv münasibat adlanir ki, (Vx)(—xpx); c) simmetrik münasibat adlanir ki, (Vx,y)(xyy ^ уфх); ç) antisimmetrik münasibat adlanir ki, (Vx,y)(xpy Луфх ^ x = y); d) tranzitiv münasibat adlanir ki, (Vx,y,z)(xpy Луфг ^ xpz); e) rabitali münasibat adlanir ki, (Vx,y)(x Ф y ^ x^yV yçx) çartlari ödanilsin.
Tahsilalana aydin olmalidir ki, binar münasibat eyni zamanda refleksiv, simmetrik va tranzitiv olduqda ekvivalentlik münasibati, antisimmetrik va tranzitiv olduqda nizam münasibati, antirefleksiv, antisimmetrik va tranzitiv olduqda ciddi nizam münasibati, refleksiv, antisimmetrik va tranzitiv olduqda qeyri-ciddi nizam münasibati, rabitali, antisimmetrik va tranzitiv olduqda xatti-nizam münasibati adlanir. A çoxlugunda verilmiç p binar munasibati eyni zamanda: 1) Refleksivlik x ~ x •
2) Simmetriklik x ~ x x ~ x • 3) Tranzitivlik " münasibatdadirsa, onda
p — ya ekvivalentlik münasibati deyilir [3; 30-31].
Qeyd olunmalidir ki, ekvivalentliyin tarifindaki ^ xassa (reflekslik, simmetriklik, tranzitivlik) ekvivalentliyin aksiomlari adlanir. Har hansi çoxluqda verilmiç p binar münasibatinin ekvivalentlik münasibati olmasini göstarmak ^ün, bu aksiomlari teorem kimi isbat etmak lazim galir. Çoxluqda tayin ounmu§ ekvivalentlik münasibati çoxlugun siniflara ayrilmasini tamin edir. A çoxlugunun, onda tayin olunmuç p - ekvivalentlik münasibati vasitasi ila ayrilmiç ekvivalentlik
A
siniflari çoxluguna A çoxlugunun p ekvivalentlik münasibatina nazaran faktor çoxlugu deyilir va -kimi içara ounur [3; 31].
A 9oxlugunda tayin olunmu§ p binar münasibati tranzitivlik va antisimmetriklik xassalarini ödayirsa, bel a binar münasibat A 9oxlugunda nizam münasibati adlanir. Bu halda deyilir ki,(A,p) cütü nizamlanmi§, yaxud nizamli 9oxluqdur.
Эп 90X tanidigimiz, yani an 90X i§latdiyimiz nizam münasibati adadlar 9oxlugunda <, <, >, > münasibatlari, alt9oxluqlar 9oxlugunda isa с münasibatlaridir.
A 9oxlugunda tayin olunmu§ p nizam münasibati, alava olaraq, reflekslik xassasini ödayarsa, bela nizam münasibatina ciddi olmayan nizam münasibati deyilir.
Elmi manbalarda göstarilir ki, A 9oxlugunda tayin olunmu§ p nizam münasibati A 9oxlugunun he9 olmazsa bir cüt elementi ü9ün ödanilmazsa, p münasibati qisman tayin olunmu§ nizam münasibatidir. A 9oxlugunda p binar münasibati A-nin ixtiyari elementlar cütü ü9ün ödanilarsa, " p münasibati A-da har yerda tayin olunmu§dur",- deyirlar va bu zaman p -ya xatti nizam münasibati deyilir. A 9oxlugunda p nizam münasibati verilmi§dirsa, onda deyirlar ki, (A; p) sistemi nizamlanmi§ 9oxluqdur. Nizam münasibatindan asili olaraq, 90xluq da uygun olaraq xatti (va ya qisman), ciddi (va qeyri-ciddi) nizamlanmi§ 9oxluq adlanir [6-7].
inikas va ya funksiya anlayi§i münasibat anlayi§inin xüsusi halidir. f с X xY binar münasibati o zaman funksional münasibat adlanir ki, har bir x E X elementi ü9ün bir (va yalniz bir) y EY elementi olsun ki, (x, y) E f ödansin. Bu fikri tarif formasinda bela taqdim etmak dogru olar:
Tarif. f binar münasibati o zaman funksional münasibat adlanir ki, a§agidaki §art ödanilsin:
(Vx)(3!y)(xfy);
Tahsilalan bilmalidir ki, funksional münasibat eyni zamanda funksiya va ya inikas da
adlanir.
f -in funksional münasibat olmasi ü9ün onun qrafikina birinci koordinatlari eyni olan iki müxtalif cüt daxil olmamalidir, yani (x, y) E f va (x, z) E f isa onda hökman y = z olmalidir (xfy A xfz ^ y = z
f с X xY binar münasibati funksional münasibatdirsa, bu zaman deyirlar ki, X-da tayin olunmu§ va qiymatlar 9oxlugu Y-da olan f funksiyasi verilmi§dir.
a) Ух EX By E Y (x,y)Ef, b) (х,Уг) E f A (х,у2) E f ^ yx = y2
b) §arti f inikasinin birqiymatliliyini tamin edir. Эgar b) §artinin ödanilmasini talab etmasak, onda 9oxqiymatli inikas anlayi§i meydana 9ixir.
Ola bilar ki, f funksiyasi X 9oxlugunda har yerda tayin olunmasin, bu zaman X' с X alt9oxlugu vardir ki, f с X xY funksiyasi X' -da har yerda tayin olunur [12-14].
Tal abalar tarafindan riyazi induksiya prinsipi isbat üsulunun mahiyyatinin daha yax§i manimsanilmasi ü9ün, önca riyaziyyatda ümumiyyatla isbat prosesi, teoremlarin isbati masalasi üzarinda dayanmaq faydali yana§ma kimi dayarlandirilmalidir. Bildirilmalidir ki, riyaziyyatda isbat ela bir tafakkür prosesidir ki, burada har bir taklifin dogruluunu asaslandirmaq namina ondan avvalki malum takliflardan mantiqi ardicilliqla natica 9ixarilir, biri digarina "söykanir", biri o birini tamamlayir. Nazara almaq lazimdir ki, har bir mantiqi isbat, o cümladan riyazi isbat ü9 hissadan ibaratdir: tezis; arqument (dalil, zamin); nümayi§etdirma. isbatin müvaffaqiyyatla ba§a 9atmasi ü9ün tezisin dogrulugunun asaslandirilmasi gedi§inda isbat qaydasina amal edilmalidir. isbat qaydasi arqumentin dogrulugundan tezisin dogrulugunun alindiini tamin edan qaydaya deyirlar. Bu qaydalar mantiq qanunlari ila müayyan edilir. Bütün hallarda tezisin isbati ü9ün istifada edilan isbat formasi (nümayi§etdirma hissasi) tezisla arqumentin mövcud alaqalari ila bilavasita va six suratda baglidir; buna müvafiq olaraq da isbatin müxtalif növlarini farqlandirirlar.
Riyazi induksiya prinsipi (üsulu) teoremlarin, düsturlarin isbatinda geni§ suratda istifada olunur, onlarin dogrulugunu tasdiqlayan vasitadir. Riyazi induksiya prinsipi bir isbat üsulu kimi n natural adadi ila bagli olan mülahizalarda i§ladilir: belaki, n natural adadindan asili olan A(n) mülahizasi yalniz a§agidaki hallarda dogru olur: 1)n = 1 ü9ün A(1) mülahizasi dogru olsun; 2) istanilan n ü9ün dogru olmasi farziyyasindan A(n + 1) mülahizasinin dogrulugu alinsin (9ixsin) [2; 33-36].
Burada talabalarin diqqatina çatdirilir ki, agar mülahiza (teorem) manfi olmayan tam adadlar çoxlugu ila alaqadardirsa, onda induksiyanin bazisi Л(0), yani n = 0 halinin yoxlanilmasi ila baçlanilir. ikincisi da riyazi induksiya üsulunun ikinci marhalasini hayata keçiran zaman teoremin n (n = k) ^ün dogrulugunu qabul edib n + 1 (n = к + 1) ^ün isbat etmak avazina aksar hallarda teoremin dogrulugunu n — 1 ^ün qabul edib n üçün isbat edirlar ki, burada heç bir qabahat yoxdur. Natica. 1) Pedaqoji profilli ali maktablarda "Riyaziyyat müallimliyi" ixtisasi üzra kadr hazirligi prosesinda müxtalif riyazi fanlarin tadrisi prosesda hamin fanlarin bütöv, vahid riyaziyyat elmina asaslandigi nazar-nöqtasi kimi diqqat markazina çakilmali, maxsusi olaraq da cabrlaçma prosesinin müasir riyaziyyatin farqlandirici xüsusiyyatlarindan oldugu unudulmamalidir, aks halda müasir ümumi riyazi tahsilin falsafasina uygun pedaqoji kadr hazilanmasi talabinin pozulmasi §artlanmi§ olur; 2) Ümumtahsil maktablarinda be§ mazmun xattini özünda vahidin taraflari kimi ehtiva edan, tam-hissa münasibatlari dialektikasina dayanan mükammal sistem kimi mövcud olan riyaziyyat fanninin tadris edilmasi pedaqoji tamayüllü ali maktablarda "Riyaziyyat müallimliyi" ixtisasina yiyalanmakda olan tahsilalanlarin "Cabr" fanninin tadrisinin ümumi riyazi va maxsusi falsafi-mantiqi xüsusiyyatlarinin manimsamasi onun pe§a-ixtisas hazirliginin vacib komponentlarindan biridir.
1. Bax§aliyev Y.R., öbdülkarimli L.§.Cabr va adalar nazariyyasi kursu.Baki, ADPU, 2008.
2. ekbarov M.S.Cabr va adadlar nazariyyasi. Baki, "Nurlan NPM", 2005.
3. Cabbarov Í.S., Hümmatov Ali cabr kursu (Dars vasaiti). Baki, "Mütarcim", 2017.
4. Mardanov M., Mirzayev S., Mammadov E.Elementar riyaziyyatin alava fasillari va olimpiadalar(I kitab). Baki, "Tahsil", 2009.
5. Nasirov B.H., Mammadov Э.В. Elmi idrakin metod va formalari.Baki, "Maarif', 1980.
6. Акперов М.С. Об алгебраизации современной математики. // Исследования по алгебре и топологии. Ваку, Азербайджанското Университета, 1989.
7. Бирюков Б.В. и Конопляникин.Одиалектике абсграктното и конкретното в математическом познании.Сб. «Диалектический материализм и вопросы естествознания» Изд.МГУ,1964.
8. Розов М. А. Научная австраксия и ее виды. Новосибирск, 1965.
9. Рузавин Г.И. О природе математического знания Изд. «Мысль», М., 1968.
10. Майстров Л.Е. Об абстракциях и аксиомагическом мегоде в магемагике. Сб. «Некоторые философслие вопросы естествонания.М., 1957.
11. Горский Д.П. Вопросы абстракции и образование понятий Изд. АН СССР, М.,1961
12. Субботин А.Л. Идеализация как средство научното познания.Сб. «Логика научного познания» Изд. «Наука», М.,1964.
13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука», 1971.
14. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М., «Физматлит», 2004.
15. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М., «Наука»,1984.
16. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебру. М., «Физматлит»,1971.
17. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. М., «Наука», 1980.
18. Шмелькин А.Л. Алгебра (методические указания). М., Издательство Московского университета,1981.
9D9BIYYAT
