^-большие и обобщенно ^-большие абелевы группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОМ. Катеринчук

^-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО ^-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

В работе вводятся понятия К-больших и обобщенно К-больших абелевых групп. В п. 1 и п. 2 рассматриваются их основные свойства, связи между ними, а также К-большие (обобщенно К-большие) группы относительно класса всех групп, класса всех групп без кручения. В п. 3 в качестве К взято множество ограниченных р-групп по одной для каждого простого числа р и показано, как ведут себя периодические группы, некоторые группы без кручения и смешанные группы относительно этого множества К.

1. ^-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ,

ИХ СВОЙСТВА

Имеются важные связи между прямыми суммами, произведениями и группами гомоморфизмов абелевых групп. При изучении гомоморфизмов абелевых групп большой интерес представляют так называемые К-большие абелевы группы.

Пусть К - некоторый класс абелевых групп. Назовем группу А большой относительно К или К-боль-шой, если для любых групп Бг е К (I е I, I - некоторое индексное множество) выполняется равенство

нию ^-большой абелевой группы можно написать

Нот (а, © ВІ ) = Нот І А, П Ві I.

ІЄІ

ІЄІ

ІЄІ

Ві I.

имеем ю:

ІЄІ

ІЄІ

дует, что ю:С ^ © ВІ.

ІЄІ

ІЄІ

ю1Л1 с © ВІ,

ІЄІ

ю„А„ С © Ві .

ІЄІ

(1)

Равенство (1) равносильно тому, что для всякого гомоморфизма ю : А — © Бг выполняется включение

г'е1

юА с П Бг , то есть ю : А — П Б{ .

ге1 ¡е1

Приведем некоторые свойства К-больших абелевых групп.

1) Если А - К-большая абелева группа и А = С © Б, то С тоже будет К-большой абелевой группой.

Пусть ю:С—ПБг. Продолжим ю до ю:А—ПБ ,

считая, что юБ = 0. Тогда ю:А—П Б . Для любого

а е А имеем а=с+Ь (с е С, Ь е Б). Тогда

ю(а) = ю(с) +ю(Ь) = ю(с).

По определению К-большой абелевой группы справедливо равенство

Нот (А, © Бг) = Нот ^А, П Б |.

Выразим А через С © В и получим

Нот (с © Б, © Бг ) = Нот I С © Б, П

V ге1

Таким образом, для гомоморфизма ю : С © Б — П Б

ге1

у.С © Б — © Бг. Откуда для ю:С —П Б сле-

2) Если А1,... Ап - К-большие абелевы группы и А = А) ©... © Ап, то А - К-большая абелева группа.

Пусть ю : А — П Бг. Обозначим через

Тогда и прямая сумма К-больших абелевых групп будет тоже К-большой, так как

ю(А1 ©... © Ап) = ю^ +... + юпАп. Следовательно, ю: А1 ©...©Ап — © Бг, или ю: А — © Бг,

ге1 ге1

то есть А - К-большая абелева группа.

3) Если А - К-большая абелева группа, X - подгруппа в А, то фактор-группа А/Х - К-большая абелева группа.

Для доказательства воспользуемся следующей леммой.

Пусть ю : А — П Бг ,X с Кегю. Тогда существует

ге1

единственный гомоморфизм ю : А / X —^ П Бг такой,

ге1

что ю = ю'тс (здесь п : А — А /X - канонический гомоморфизм).

Теперь для гомоморфизма ю : А / X —— П Б нужно

ге1

проверить включение ю'А /X с © Бг (по определению

г

К-большой абелевой группы). Поскольку п:А — А/Х

- канонический гомоморфизм, то п(а) = а + X для

любого а е А . Далее возьмем композицию ю =ю'п. Теперь распишем

ю(а) = (ю'п)(а) = ю'(п(а)) = ю'( а + X).

Можно заметить, что области значений гомоморфизмов ю' и ю совпадают.

Так как А - К-большая абелева группа, то согласно определению юА с © Бг. Значит, и ю'А /X с © Бг, то

ге1 ге1

есть А/Х - К-большая абелева группа.

Предложение 1.1. Пусть К - класс всех абелевых групп. Тогда не существует групп, больших относительно К. То есть для любой группы А найдутся группы В1 , В2 , . такие, что

Нот (А, © Бг) Ф Нот (А, П Бг).

Доказательство. Покажем, что для любой группы А найдутся группы Аг такие, что

Нот |А, ©А | Ф Нот IVА, ]П А |.

Обозначим В1=В2=. =А. Построим отображение

: А. — П Бг ограничение ю на А„ По определе- .

х~еуг ю : А — П а , которое определим следующим обра-

І=1

зом. Для любого а е А положим

ад

ю : а — (а,а,...,а,...) е П А.

г=1

Тогда ю является гомоморфизмом, для которого

ад I ад |

1тю=юА^©Д. Следовательно, юА&НотI А,©Д I.

І=1

І=1

А так как ю є Нот | А, П А |, то

Нот | А, ©А- І Ф Нот І А, П А

І =1

или Нот VА, ©Б ) Ф Нот |А, ]П Бi ).

Предложение доказано.

Предложение 1.2. В определении К-большой абелевой группы можно ограничиться счетным множеством групп Бг , то есть если

=1

Нот І А, ©В I = Нот І А, П В

=1

Нот (А, © В) = Нот І А, П В' ІЄІ V ІЄІ

Нот (а, © В) ф Нот І А, П В

Возьмем проекцию п: ПБ — ПБ и положим

iеI г=1

ю' = пю . Здесь ю' является искомым гомоморфизмом. Таким образом,

то и

для любого индексного множества І и групп В Є К,

где К - некоторый класс абелевых групп. Доказательство. Пусть имеем равенство

| ад ) І ад

Нот V А, ©В I = Нот | А, ]П Ві

для любых групп В є К . Докажем методом от противного.

Допустим, что существует индексное множество І и группы В і (І Є І), со свойством

Нот VА, ©Бг | Ф Нот |А, ]П Бг что противоречит условию. Значит,

Нот (А, © Бг) = Нот | А, П Б |. Предложение доказано.

Предложение 1.3. Пусть К - класс абелевых групп. Если каждая группа А, (] е /) большая относительно К, то и прямая сумма © А: является больше./ 7

шой относительно К группой.

Доказательство. Пусть каждая группа А, (] е /)

- большая относительно К. Тогда по определению имеет место равенство

Нот (А:, © Бг) = Нот I А;-, П Б ге1 V iеI

для любых Бг е К и индексного множества I, а также

для каждого ] е /. Нужно доказать, что © А, -

]е/ 7

большая относительно К группа, то есть выполняется равенство

НотI © А,, © Бг | = Нот! © А,,ПБг

V ]е/ ге1 ) V е

для любых групп Бг е К и индексного множества I. Так как

Нот| © А,, © Вг | = ПНот(А,, © Вг) (2)

V ,е/ 1 iеI ) ,е/ V 1 iеI )

jЄJ

и по условию

(понятно, что I - бесконечное множество).

Тогда существует гомоморфизм юА © Бг. Так

г'е!

как юА ^ © Бг, то существует а е А , для которого

г'е!

(...,Ьг,...) = ю(а) г © Бг. Понятно, что вектор (...,Ьг,...)

iеI

имеет бесконечно много координат, не равных нулю. Запишем группу ПБ в виде прямой суммы про-

iеI

изведения счетного множества групп Б и некоторой

ад

группы X =ПБ:. А именно, П Бг =П Бг © X.

3 ге1 г=1

ад

Нужно построить гомоморфизм ю': А — ПБ такой,

=1

ад

что ю'А с © Бг. А это значит, что существует элемент

=1

ад

а е А такой, что (...,Ь ;,...)= ю'(а) г© Бг. Вектор

=1

(.,Ь г,.) должен иметь бесконечно много координат, не равных нулю.

то

Нот (А/, © В) = Нот І А/, П В

ІЄІ V ІЄІ

П Нот (А, © в) = П Нот 1А, П В г).

/Є. /Є.

Используя (2), получим

ПНотІА/,Пві І=НотІ ©.А,Пві I.

/є. V ІЄІ У V / ІЄІ

Тогда

/Є. ІЄІ

Нот [ © А], © В ) = Нот І © А}, П В I.

/Є.

Это равенство означает, что © А, - большая от-

]е/ 7

носительно К группа. Предложение доказано.

2. ОБОБЩЕННО Л’-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ, ИХ СВЯЗЬ С ^-БОЛЬШИМИ АБЕЛЕВЫМИ ГРУППАМИ

Можно следующим образом обобщить понятие К-большой абелевой группы.

Назовем группу А обобщенно К-большой, если для любых групп Бге К (г е I) и любого гомоморфизма

ю : А —— П Бг существует п е N такое, что

iеI

ю(пА) с © Бг.

ге/

Приведем несколько свойств обобщенно К-боль-ших абелевых групп.

1) Если А - обобщенно К-большая группа и А=С © Б, то С также обобщенно К-большая группа.

Пусть ю : С — П Бг. Продолжим ю, считая, что

iеI

юБ = 0. Для любого а е А выполняется а=с+Ь, где

с е С, Ь е Б. Тогда

ю(а) = ю(с) + ю(Ь) = ю(с). (3)

По определению обобщенно К-большой группы для гомоморфизма ю справедливо следующее: существует п е N такое, что ю(п(С + Б)) с© Бг или

г^

ю(пС + пБ) с © Бг.

ге/

Из (3) следует, что ю(пС) = ю(пА) с © Бг, то есть

ге/

ю(пС) с © Бг. Это значит, что С - обобщенно

г^

К-большая группа.

2) Если Аь..., Ап - обобщенно К-большие группы и А = А1 ©... © Ап, то А также является обобщенно К-большой группой.

Пусть ю : А — П Бг. Обозначим через

iеI

ю6, : Ах — П Бг ограничение ю на А. По определе-

ге1

нию обобщенно К-большой группы можно написать

ю1 (пА1) с © Бг,

ге/

юп (пАп ) с © Бг.

iеI

Тогда и прямая сумма обобщенно К-больших групп будет тоже К-большой, так как

ю((пА1) ©... © (пАп)) = ю1(пА1) +... + юп (пАп). Следовательно, ю :(пА1) ©... © (пАп) — © Бг или ю : п(А1 ©... © Ап) — © Бг, а это равносильно тому, что ю : пА — © Бг, то есть группа А является обоб-

ге/

щенно К-большой группой.

3) Если А - обобщенно К-большая группа, Х - подгруппа в А , то фактор-группа А /Х также обобщенно К-большая группа.

Пусть дан некоторый гомоморфизм ю : А — П Бг

iеI

и подгруппа X с Кег ю . Тогда существует единственный гомоморфизм ю : А / X —— П Б такой, что

iеI

ю = ю'п, где п: А — А /X - канонический гомоморфизм.

Если теперь дан гомоморфизм ю : А / X —— П Бг ,

iеI

то нужно установить существование такого п е N,

что справедливо включение ю'п(А /X) с © Бг (по оп-

ге/

ределению обобщенно К-большой группы).

Если п : А — А / X - канонический гомоморфизм, то п(а) = а + X для любого а е А . Возьмем композицию ю = юп. Тогда можно записать

ю(а) = (ю' п)(а) = ю' (п(а)).

Ясно, что 1тю' = 1тю , то есть область значений у гомоморфизмов ю и ю одна. Так как А - обобщенно К-большая группа, то по определению существует п е N такое, что ю(пА) с© Бг, откуда и

г^

ю' п(А / X) с © Бг. Следовательно, А/Х - обобщенно

г^

К-большая группа.

Теорема 2.1. Группа является обобщенно большой относительно класса всех групп тогда и только тогда, когда она ограниченная.

Доказательство. Докажем необходимость условия. Пусть группа А обобщенно большая относительно класса всех групп.

Группа А называется ограниченной, если существует такое т е N, что тА = 0 или та = 0 для любого элемента а е А . Будет ли группа А ограниченной? Докажем от противного.

Пусть группа А обобщенно большая относительно класса всех групп и неограниченная. Тогда не существует указанного т е N и в группе А есть элементы сколь угодно большого порядка.

Для любого г е N возьмем в качестве Бг копию группы А, то есть Бг=А для любого г > 1. Образуем

ад

произведение П Бг =ПА, где П А - произведение

г=1 К0 Кс

счетного числа копий А.

ад

Построим отображение ю : А — П Бг следующим

г=1

образом. Любому элементу а е А ставим в соответствие диагональ с элементом а, а именно ю : а — (...,а,...). Тогда для любого к е N выполнено

ад

ю(ка) = (...,ка,...) е П Бг. Так как по предположению

г=1

группа А обобщенно большая, то существует п е N

ад

такое, что ю(па) е © Бг для любого а е А. Это значит,

г=1

что ю(па) = (...,0,...), то есть па = 0 для любого а е А .

Таким образом, порядки элементов группы А ограничены числом п е N. Пришли к противоречию, значит, наше предположение было неверно и обобщенно большая группа является ограниченной.

Докажем достаточность условия. Проверим, что ограниченная группа будет обобщенно большой относительно класса всех групп.

По определению обобщенно большой группы для любых групп Бг и любого гомоморфизма ю : А —— П Бг должно существовать п е N такое, что

г^

ю(пА) с © Бг. В качестве п можно взять т. Действи-

ге/

тельно, ю(тА) = ю(0) с © Бг.

ге/

Значит, ограниченная группа является обобщенно большой относительно класса всех групп. Теорема доказана.

Предложение 2.2. Любая периодическая группа будет обобщенно К-большой (К-большой), если К -класс всех групп без кручения.

Доказательство. Пусть А - периодическая группа, Б - группа без кручения. Тогда всякий гомоморфизм ю:А — В будет нулевым гомоморфизмом. Действительно, так как А - периодическая группа, то для любого а е А существует п е N такое, что па=0. Поэтому любой гомоморфизм ю : А — П Б будет нуле-

iеI

вым. Очевидно, что ю(па) е © Бг для любого а е А.

ге!

Значит, любая периодическая группа будет обобщенно К-большой, если К - класс всех групп без кручения. Предложение доказано.

Предложение 2.3. Любая группа без кручения не является К-большой (обобщенно К-большой) группой, где К - класс всех групп без кручения.

Доказательство. Пусть К - произвольная группа без кручения. Построим определенный гомоморфизм,

ад

ю:А —— П в , где Бг - некоторые группы без кручения

=1

( > 1 ). В качестве каждой группы Б возьмем группу Qi=Q. Нужно построить такой гомоморфизм

ю

: А — П Qi , что для некоторого а е А выполняется

=1

ад

ю(а) г © Qi.

г=1

Бесконечная циклическая группа, порожденная элементом а, изоморфна группе целых чисел, то есть

(а) = 2 .

Так как Q - делимая группа, то прямое произведе-

ад

ние П Qi также является делимой группой.

г=1

ад

Строим гомоморфизм, ю : (а) — П Б, полагая для

г=1

любого а е А ю : а — (..., а,...), то есть любому элементу а е А ставится в соответствие диагональ с элементом а. Продолжим гомоморфизм ю до гомо-

Доказательство. Пусть А - смешанная группа, то есть у нее есть ненулевые элементы как конечного, так и бесконечного порядка. Обозначим через Т(А) совокупность всех элементов конечного порядка группы А. Подгруппа Т(А ) называется периодической частью группы А, а А/Т(А) - фактор-группа по периодической части. Здесь А/Т(А) - группа без кручения.

Допустим, что А - обобщенно К-большая группа, где К - класс всех групп без кручения. Тогда по свойству п.3 для обобщенно больших групп факторгруппа А/Т(А) - также обобщенно большая группа. Пришли к противоречию, так как группа без кручения обобщенно К-большой не является, если К - класс всех групп без кручения (см. предложение 2.3). Значит, смешанная группа А не является обобщенно большой относительно класса всех групп без кручения. Предложение доказано.

3. ^-БОЛЬШИЕ И ОБОБЩЕННО К-БОЛЬШИЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ ДЛЯ К={СР\ Ре Т},

ГДЕ Т - НЕКОТОРОЕ БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Пусть Т - некоторое бесконечное множество простых чисел. Возьмем в качестве К множество групп Ср , где для любого р е Т , Ср есть ограниченная р-

группа (в частности, Ср = 2 (р)).

Для группы X положим п(X) = {р\р - простое число и pX Ф X} .

Теорема 3.1. Всякая периодическая группа А является К-большой, если К = {Ср |р е Т}.

Доказательство. Пусть А - периодическая группа. Нужно доказать, что выполняется равенство

А П ср

V реТ

Нот I А, © Ср | = Нот

реТ

Так как периодическая часть Т (П Ср) = © С

реТ

реТ

морфизма ю : А — П Q, . Получили, что существует

=1

ад

гомоморфизм ю : А — ПБ , для которого

имеем

ю(а) г © Бг.

=1

Таким образом, группа без кручения А не является К-большой. Предложение доказано.

Предложение 2.4. Смешанная группа не является обобщенно К-большой (К-большой), если К - класс всех групп без кручения.

то образ юА с © Ср для любого гомоморфизма

реТ Р

ю : А — П Ср . Докажем это.

реТ

Для любого а е А имеем ю(а) = (..., хр,...), где любой вектор (...,хр,...) е П Ср . Так как А - периодиче-

реТ

ская группа, то для любого а е А существует число п е N такое, что па=0. Тогда пю(а) = 0 и, следовательно, пю(а) = (..., пхр,...) = 0. Получили, что каждая компонента вектора (...,пхр,...) равна нулю, то есть пхр = 0 для любого р е Т .

Допустим, что найдется такое р > п, что хр Ф 0 . По определению порядка элемента рхр = 0 . С другой стороны, пхр = 0. А так как р - наименьшее из натуральных чисел т со свойством тхр = 0, то пришли к противоречию и р < п .

=1

Таким образом, мы получили, что почти все хр = 0 . Тогда ю(а) е © Ср, и для любого гомомор-

р реТ *

ю : А — П Ср выполняется включение

реТ

то есть

физма

юА с © С

рєТ

Р ’

Нот І А, © СР I = Нот

РЄТ

(

А П СР

V рєТ

л

Нот

А П Ср

V рєТ

(

© Нот

= Нот

так как Нот

в П ср

V рєт у

D, П Ср

V РЄТ

(

= Нот

в П ср

V РєТ

Нот І А, © СР | = Нот

РЄТ

АП ср

моморфизм

по

Определим теперь гомоморфизм ф: X ^ П Ср как

РЄТ

ф(х) =фр (х) Є П Ср для любого х Є X .

рєТ

По построению ф(X) <х © Ср. Группа П С

РЄТ

РЄТ

сервантно инъективна как прямое произведение ограниченных групп. Значит, ф продолжается до гомо-

Таким образом, мы получили, что периодическая группа А является К-большой. Теорема доказана.

Теорема 3.2. Группа А без кручения является К-большой тогда и только тогда, когда для любой сер-вантной подгруппы X ранга 1 группы А множество п( X )Р|Т является конечным.

Доказательство. Пусть А - группа без кручения. Можно считать, что А - редуцированная группа. Действительно, если А - нередуцированная, то А = Б © Б, где Б - ненулевая делимая группа, Б - редуцированная группа. Тогда

Нот |а, СВ Ср | = Нот |Б, СВ Ср |©

© Нот I Б, © Ср | = Нот | Б, © Ср

реТ Р) V реТ Р

морфизма ф: А ^ П Ср . Так как ф(Х) <х © С

то

РЄТ

РЄТ

фй Нот І А, © Ср |, что противоречит предположе-

реТ

нию. Значит, п(X)^Т - конечное множество.

Теперь докажем достаточность условия. Пусть п(X)^ Т - конечное множество для любой сервант-ной подгруппы X ранга 1 группы А. Допустим, что нашелся гомоморфизм у : А — П Ср такой, что

РЄТ

у(А) ^ © Ср, то есть уйНот І А, © С

РЄТ

РЄТ

Тогда

существует элемент х є А такой, что у(х) й © С

РЄТ

Р

так как НотI Б, © Ср I = 0 в силу того, что © Ср -

V реТ Р) реТ Р

редуцированная группа.

Аналогично,

Б, П Ср = 0 в силу того, что П ср -V реТ ) реТ

редуцированная группа.

Докажем необходимость условия. Предположим, что группа А без кручения является К-большой, то есть равенство

Пусть у(х) = (ср) е П Ср, где ср е Ср для любо-

реТ

го р е Т . Тогда ср Ф 0 для некоторого бесконечного

подмножества Т'сТ . Тогда р-высота элемента х равна нулю.

Пусть X - сервантная подгруппа в группе А, порожденная элементом х, то есть X =< х >. Тогда pX Ф X для любого р е Т'. Значит, Т' с п(X)^Т, а так как Т' - бесконечное подмножество, то и п(X)^ Т - бесконечное множество, что противоречит условию.

Следовательно,

Нот І А, © Ср | = Нот

РЄТ

V

АП ср Л

РєТ У

V реТ

верно, и нашлась сервантная подгруппа X ранга 1 группы А такая, что п(X)^ Т - бесконечное множество.

Для любого р е п(X)^ Т имеем pX Ф X и

X / pX = 2 (р). Существует ненулевой гомоморфизм ф : X / pX — Ср . Для р е п^)ПТ определим го-

формуле

ф (х) = фр (х + pX) для любого х е X . Если р е Т и р гп(X)^ Т , то полагаем фр = 0. Таким образом, для каждого р е Т имеем гомоморфизм фр : X — Ср .

и группа А без кручения является К-большой. Теорема доказана.

В частности, в качестве К можно взять множество групп ^(р)|р є Т}.

Пусть Т - множество всех простых чисел. Тогда п(X)^ Т = п(Х) и п(X) - конечное множество. Тогда X называется почти делимой группой, если pX=X для почти всех р є Т , то есть для любых р, за исключением конечного их числа (или п^) - конечное множество). Тогда теорему 3.2 для такого Т можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3.3. Группа А без кручения является К-большой тогда и только тогда, когда для любой сервантной подгруппы X ранга 1 группы А множество п^) является конечным.

Покажем, что теорема 3.2 применяется к известным группам без кручения.

Следствие 1. Группа A без кручения ранга 1 является К-большой тогда и только тогда, когда множество п( A)^T является конечным.

Доказательство. Пусть A - группа без кручения ранга 1, то есть r( A) = 1, а X - сервантная подгруппа в A, причем X Ф 0,r(X) = 1. Нужно доказать, что X=A, то есть, в группе A нет сервантных подгрупп.

Возьмем ненулевые элементы а е A, х е X . Существуют ненулевые целые числа тип такие, что та = пх, причем пх е X .

Пусть X - сервантная подгруппа группы A и та е X , тогда сам элемент а е X. Имеем та е X . Так как X - сервантная подгруппа, то существует элемент у е X такой, что та = my, т(а - у) = 0, следовательно, а - у = 0, то есть а = у. А это значит, что в группе без кручения уравнение может иметь единственное решение. Следовательно, X=A. Далее доказательство следствия аналогично доказательству теоремы 3.2. Следствие доказано.

Следствие 2. Вполне разложимая группа A = © A (r (A) = 1) является К-большой тогда и толь-

¿е/

ко тогда, когда для любого слагаемого A множество п(Aj )П T является конечным.

Доказательство. Необходимость условия. Пусть A - К-большая группа. Тогда, применяя теорему 3.2, п(X)f|T - конечное множество для любой сервант -ной подгруппы X группы A, причем r (X) = 1. В частности, любые подгруппы A группы A также сервант-ны и r(A) = 1 (i е /). Тогда п(A )Пт - конечное множество.

Докажем достаточность условия. Пусть п(A )П T

- конечное множество. Нужно доказать, что A является К-большой группой, если К = {Cp \p е T}. Если

слагаемых A ¿конечное число, то по следствию 1 они K-большие группы. Применив свойство п.2 K-больших групп, получим, что группа A является К-большой.

Пусть слагаемых A¿ бесконечное число, то есть i е /. Возьмем произвольную сервантную подгруппу X ранга 1 группы A. Нужно доказать, что п( X )^T -

конечное множество.

Пусть 0 Ф х е X и х = аг +... + а^, где аг е A¿

..., а^ е Ак. Возьмем простое число p е n(X)^ T , тогда p-высота элемента х конечна, то есть hp (х) Ф да . По свойству p-высот

hp ( +...+\)=“ín ( к),..., hp к)),

так как A = A¿ ©... © At. Иначе,

hp(х) = min ( (аг1 ^..^ hp (ак)). Существует индекс 5 е 1,...,к и hp (аг )фда, тогда p е n(X)П T . Следовательно,

п(X)ПT с и((А, )Rt).

5=1

А это значит, что п(X)П Т - конечное множество.

Затем, ссылаясь на теорему 3.2, получим, что группа A является К-большой. Следствие доказано.

Следствие 3. Сепарабельная группа A является К-большой тогда и только тогда, когда для любого прямого слагаемого Y ранга 1 группы A множество n(Y)П T является конечным.

Доказательство. Необходимость. Пусть A - К-большая группа. Тогда по теореме 3.2 п(X)^Т - конечное множество для любой сервантной подгруппы X ранга 1 группы A. В частности, подгруппа Y группы A также сервантна, так как любое прямое слагаемое -частный случай любой сервантной подгруппы, и r (Y) = 1. Тогда n(Y)^Т - конечное множество.

Достаточность. Пусть n(Y)^Т - конечное множество для любого прямого слагаемого Y ранга 1 группы A. Нужно доказать, что A является К-большой группой, где К = {Cp \p е Т}.

Пусть X - произвольная сервантная подгруппа ранга 1 группы A. Нужно доказать, что п(X)П Т -

конечное множество. По основному свойству сепарабельных групп (любое конечное множество элементов можно вложить в прямое слагаемое, являющееся прямой суммой групп ранга 1) возьмем произвольный ненулевой элемент х е X . Группу A можно представить в виде A = Yj ©... © Yn © B . Получаем

х = У +... + Уп, где У е У^.-Уп е Yn .

Известно, что п(X) = {p |pX Ф X}, возьмем

p е п(X)Р|Т . Тогда p-высота элемента х конечна, то

есть hp ( х) Фи . По свойству p-высот,

hp (( +... + Уп) = min(hp (У1 ),...,hp (Уп)), так как Y = Y1 ©... © Yn . Иначе,

hp (х) = min(hp (У1 ) ,..., hp (Уп )) .

Существует индекс к такой, что hp(Ук) Фи для любого к е1,...,п . Тогда p en(Yk)^Т . Следовательно,

n(X)f| Т с J (n(Yk )ПТ ) .А так как n(Yk )П Т - ко-

к=1

нечное множество, получаем п(X)П Т - конечное

множество. Затем, применяя теорему 3.2, получим, что A - К-большая группа. Следствие доказано. Следствие 4. Векторная группа

a = П 4 (r (A ) = 1)

iel

является К-большой тогда и только тогда, когда существует конечное множество S простых чисел, такое, что пересечение п(A )ПТ содержится в S для всех i е I.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторная группа A является К-большой. Нужно доказать, что существует конечное множество S простых чисел такое, что пересечение п(Ai )П Т содержится в S для

всех І є I , то есть U ((Д ) П T) - конечное множе-

ство.

жество. А так как п(Д )П Т с £, то это эквивалентно тому, что и (п( Д ) П Т) - конечное множество. То-

Предпол°жим, что (Я(Д)ПТ) - бесконечное гда п^Т с и(п(Д)ПТ). Следовательно, ссы-

множество. А это эквивалентно тому, что п(Д )П T S , так как S - конечное множество. Пусть X - произвольная сервантная подгруппа ранга 1 группы Д. Возьмем ненулевой вектор X Є X, X = (cti)iGl , где

ai є Д , а также n(X) = {p\pX Ф X}. Тогда Фp : X ^ Cp . Получаем, что все элементы ai не делятся на простые числа, принадлежащие S, так как по предположению п(Д )П T - бесконечное множество. Другими словами, все элементы ai не делятся на простые числа, не принадлежащие T, значит, п( X )^Т -конечное множество. А так как

n(X)HT єU(п(Д)Пт), то U(()ПT) - ко-

ІЄІ ІЄІ

нечное множество, что противоречит предположению. Значит, существует конечное множество S простых чисел такое, что пересечение п(Д )ПТ содержится в S для всех І Є I.

Достаточность. Пусть п(Д )ПТ - конечное множество для любых подгрупп Д . Нужно доказать, что Д является K-большой группой для K = {Cp |p Є T}. Если слагаемых Д конечное число, то группы Д K-большие, так как r (Д ) = 1 (і є I). Так как

Д = ПД , то соответствие pi : ai ^ (...,0,ai,0,...), где

ІЄІ

ai стоит на i-м месте и нуль на всех остальных местах, является изоморфизмом между группой Д и подгруппой Д группы Д. Группы Д (i є I) порождают внутри группы Д группу Д всех векторов (... ,a„...), у которых ai=0 почти для всех i є I, причем Д' является прямой суммой подгрупп Д , то есть Д ' = ЩД/.

ієі

А так как Д = Д (i є I), то Д = ЩД. Очевидно, что

ієі

Д = Д тогда и только тогда, когда множество I конечно. Таким образом, получили, что Д является вполне разложимой группой. Применяя следствие 2 для вполне разложимых групп, получим, что Д -K-большая группа.

Пусть число слагаемых Д бесконечно. Возьмем произвольную сервантную подгруппу X ранга 1 группы Д. Нужно доказать, что п(X)ПT - конечное множество. Пусть ненулевой вектор X Є X, X = {сіі)ІЄІ , где ai є Д , а также п(X) = {p|pX Ф X}. Возьмем p є n(X)П T , тогда p-высота элемента х конечна. Пусть X = (х)*, тогда х = (a^i(=l = (aj,a2,...,an,...) и все ai не делятся на числа, принадлежащие S или не принадлежащие T. Тогда п(X)ПТ - конечное мно-

ÍeI

лаясь на теорему 3.2, получим, что группа A является К-большой. Следствие доказано.

Следствие 5. Группа A конечного ранга является К-большой тогда и только тогда, когда множество л( A)^ T является конечным.

Доказательство. Достаточность. Пусть л(A)^ T

- конечное множество. Нужно доказать, что A - К-большая группа.

Пусть X - произвольная сервантная подгруппа ранга 1 группы A. Если pX Ф X , то pA Ф A, следовательно, л(X) ci(A) и л(X)f|T с л(A)^T . А так как л(A)^T - конечное множество, то л(X)^Т

также является конечным множеством. Тогда по теореме 3.2 группа A является К-большой.

Необходимость. Пусть A - группа конечного ранга, то есть r(A) = n <го . Возьмем некоторую максимальную линейно независимую систему элементов х1,...,xn группы A. Положим X1 = (xj),,...,Xn = (xn)„. Предположим, что A - К-большая группа. Требуется доказать, что л( A)^T - конечное множество.

n

Справедливо равенство л(A) = ^ n(XÍ). Из того,

í=i

что n(X) с n(A) для любой сервантной подгруппы X ранга 1 группы A, следует n(X1),...,n(Xn)сп(A).

n

Отсюда У л (XÍ )с п (A) .

í=1

Пусть p еп(A). Существует ли такое i, что p ел (XÍ) ? Предположим, что p гл (X) для любого i е 1,...,n , то есть pXi = X. Отсюда следует, что и

і=1

p\ ©Xi I = 0Xi. Пусть a є A , существует натураль-

i=1

ное число т такое, что та е ©X. А так как группа

г=1

/п п

©Xi является периодической и группа ©X- де-

г=1 г=1

лится на р, то и вся группа А делится на р, то есть рА=А, что противоречит предположению, так как р е п(А), рА Ф А . Значит, множество п(А)П Т является конечным. Следствие доказано.

Предложение 3.4. Если смешанная группа А является К-большой, то для любой сервантной подгруппы X ранга 1 группы А/Т(А) множество п(X)ПТ является конечным.

Доказательство. Если группа А является К-боль-шой, фактор-группа А /Т(А) также является К-большой

по свойству п.3 для К-больших групп, так как А/Т(А) -группа без кручения. С помощью теоремы 3.2 предложение доказано.

Условие из этого предложения не является достаточным. Рассмотрим следующий контрпример.

Возьмем А = П 2 (р). Тогда группа А является реТ

смешанной группой и периодическая часть Т(А) = © 2 (р). Фактор-группа

реТ

А/Т(А) = П2(р)/ © 2(р)

реТ реТ

- делимая группа без кручения и п(X)ПТ - пустое множество для делимых групп. Рассмотрим множество К = {2 (р)|р е Т}. Пусть гомоморфизм

ю : А — П 2 (р), то есть ю : А — А, ю - тождествен-

реТ

ный гомоморфизм. Тогда 1т ю © 2 (р). Таким об-

реТ

разом, смешанная группа А не является К-большой.

Предложение 3.5. Группа А без кручения не является обобщенно К-большой, если К = {2 (р) |р е Т} .

Доказательство. Так как группа без кручения не является ограниченной, то по теореме 2.1 она не является обобщенно К-большой.

Предложение 3.6. Смешанная группа не является обобщенно К-большой, если К = {2 (р)|р е Т} .

Доказательство. Пусть А - смешанная группа, то есть у нее есть ненулевые элементы как конечного, так и бесконечного порядка. Обозначим через Т(А) совокупность всех элементов конечного порядка группы А. Подгруппа Т(А) называется периодической частью группы А, а А/Т(А) - фактор-группа по периодической части и А/Т(А) - группа без кручения.

Допустим А - обобщенно К-большая группа, где К = {2(р)|р е Т} . Тогда по свойству п.3 для обобщенно К-больших групп фактор-группа А/Т(А) также обобщенно К-большая группа, что противоречит предложению 3.5. Значит, смешанная группа А не является обобщенно К-большой, если К = {2 (р)|р е Т} . Предложение доказано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т.1. 336 с.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 30 мая 2005 г.