Малые абелевы группы

Гердт Ирина Владимировна

И. В. Гердт МАЛЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

В работе вводится понятие малой абелевой группы, рассматриваются их свойства и дается полное описание малых и В-малых групп, где В - класс всех делимых групп.

При исследовании групп гомоморфизмов абелевой сматривается внешняя прямая сумма) формулой

группы А в абелеву группу В большой интерес представля- у (а) = (а ф(а))

ют гомоморфизмы в прямые суммы и прямые произведения и гомоморфизмы из прямых сумм и прямых произведений.

В [1] доказано, что существует естественный изоморфизм Нот(А,ПВ,)^ПНот(А,В,) .

V ,е/ ' ,е/

Если же взять группы гомоморфизмов Нот (А, ® В1) и ® Нот (А,В1), то в общем случае изоморфизма нет. Можно

,е/

лишь утверждать, что

® Нот (А,В1) с Нот (А, ® В1) с

,е/ V ,е/ /

с Нот(А,ПВ, ) = ПНот(А,В,).

V ,е/ I ,е/

Возникает естественный вопрос: для каких абелевых групп А будет существовать изоморфизм

Нот (А, © В1) ^ © Нот (А, В1) ?

V ,е/ / ,е/

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА Л-МАЛЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Пусть К - некоторый класс абелевых групп. Абе-

Отображение у - мономорфизм.

Докажем равенство А©(© В,) = у(А)©(© В,.

Покажем, что А©(©В,)су(А) + (©В,). Для любого элемента (а, Ь)е А © (© В,) имеем

(а, Ь) = (а, ф(а)) + (0, Ь -ф(а)), где (а,ф(а))е^(А), (0,Ь-ф(а))е© В,, так как

,е/

ф(а) е © В,. Таким образом,

,е/

А©(©Вг)с|(А) + (©В,).

Теперь покажем, что у(А) + (©В,)с А©(©В,).

Любой элемент из у(А) + (© В,) можно записать в виде (а,ф(а)) + (0,Ь) = (а,ф(а) + Ь), где а е А ,

леву группу А назовем малой относительно К, или ф(а) + Ь е © В,, так как ф(а)е © В,. Таким образом,

,е/

К-малой, если для любого семейства групп {В, },е/, где В, е К, для всякого , е / имеет место естественный изоморфизм

Нот (А, © В ) © Нот (А, В,).

V ,е/ / ,е/

Последнее равносильно тому, что для любого гомоморфизма у : А ^ © В найдутся индексы (1,...,,к е / ,

,е/

такие, что уА с В, ©... © В, .

’ т !1 ч

Если класс К совпадает с классом всех абелевых групп, то К-малую группу А будем называть малой.

,е/

Значит,

у(А) + ( ®В, )с А ©(©Д.).

А ©(,©/В )=у(А)+(,©/В<).

Ясно, что у (А) п (© В,) = 0. Таким образом, равенство А ©(© В,) = у (А) © (© В,) доказано.

Понятно, что у (А) = А.

Условие п.3 выполняется, следовательно, сущест-Предложение 1. Для группы А следующие усло- вует конечное подмножество ^ такое, что

вия эквивалентны:

1) А - малая группа относительно К;

2) если А содержится в прямой сумме групп В, (В, е К), то А содержится в прямой сумме конечного числа этих групп;

3) если А © Н = © В,, В, е К, то существует ко-

,е/

нечное подмножество J с / , такое, что А с © В,.

iеJ

Доказательство.

1) ^ 2). Достаточно в качестве ф взять тождественное вложение.

у(А) с А ©(© В,). Отсюда ф(А) с © В,.

V, е / , е J

Лемма 2. Прямое слагаемое К-малой группы является К-малой группой.

Доказательство. Пусть А - К-малая группа и А = С © В . Пусть ф: С ^ © В, - гомоморфизм и

,е/

В, е К для всякого , е /. Покажем, что образ фС содержится в прямой сумме конечного числа некоторых слагаемых В, (, е /).

Пусть у - гомоморфизм группы А в группу © В, ,

2) ^ 3). Если А © Н =© Б., то, очевидно, что такой, что у|с =ф и у|в = 0. Поскольку А - Л-малая

ІЄІ

выполняется и условие п.2. Следовательно, п.3 вы- группа, то выполняется

полняется.

уА с Б1 ©... © Б

3) ^ 1). Пусть ф: А ^ © В, - гомоморфизм. для каких-то индексов ,1,...,,х е / . Группа А представ-

Определим отображение у: А ^ А ©

(©іві) (рас-

лена в виде прямой суммы, поэтому имеем уА =у (С © В) = уС + уВ = фС .

Значит, фС с В, ©... © В, . Следовательно, С - К- группа из класса К. Группа А является К-малой тогда

и только тогда, когда / - конечное множество и каж-

малая группа.

Теорема 3. Пусть К - некоторый класс абелевых дая группа С является К-малой.

групп и А = © С,, где для каждой группы С, сущест- Заметим, что в д°казательстве достаютшсга те°-

,е/ ремы 3 мы не использовали то, что для каждой груп-

вует группа В, из класса К такая, что пы С, существует группа В, из класса К такая, что

Нот (С,, В,) Ф 0. Группа А является К-малой, тогда и Нот (С,, Bi) Ф 0, т.е. справедлив такой результат. По-

только тогда, когда / - конечное множество и каждая этому с учетом леммы 2 получаем

группа С, является К-малой. п

Следствие 5. Пусть А = © С, и К - некоторый Докажем необходимость. Пусть А = © С, - К- ,=1

,е/ класс абелевых групп. Группа А является К-малой то-

малая группа. Докажем, что / - конечное множество.

гда и только тогда, когда каждая группа С, является

Для любого , е / выберем гомоморфизм

ф, е Нот (С,, В,) такой, что ф, Ф 0. Гомоморфизм К-малой.

, , ' Непосредственно из теоремы 4 получаем следую-

ф е Нот (А, © В,) определим формулой щие два следствия.

' ,е/ ' Следствие 6. Пусть К - некоторый класс абелевых

ф(а) = ф,1 с,1 +... + ф,кс,к, групп, замкнутый относительно прямых слагаемых,

где а = с, +... + с, , с, е Сг , ,т е / . Если / - беско- А е К и А = ©С, где каждая группа С, - ненулевая.

ч 1к т т т ',е-‘-

нечное множество, то ф(А) не будет содержаться в Группа А является К-шлой тогда и только тогда, ко-

прямой сумме конечного числа прямых слагаемых гда / - конечное множество и каждая группа С, яв-

В,. Получим, что А не является К-малой группой. ляется К-малой.

Следовательно, / - конечное множество. Следствие 7. Пусть А = ®С, - прямая сумма не-

Из леммы 2 вытекает, что каждая группа Ci - К- нулевых групп С,. Группа А- является малой тогда и

малая. только тогда, когда / - конечное множество и каждая

Докажем достаточность. Пусть С1, С2,..., Сп - группа С является малой.

К-малые группы иА = С1 ©... © Сп. Докажем, что А - Лемма 8. Любой эпиморфный образ К-малой

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

К-малая группа. группы является К-малой группой.

Пусть дан гомоморфизм ф: А ^ © В,, где Доказательство. Пусть А - К-малая группа, В -

,е/ эпиморфный образ группы А, т.е. существует гомо-

В, е К ( е /). ^кажом что образ фА содержится в морфизм ф: А ^ В такой, что фА = В .

сумме конечного числа некоторых слагаемых В . Рассмотрим гомоморфизм у : В ^ © Сг, где С,е К

Рассмотрим сужение гомоморфизма ф на С:, по- ,е/

(, е /). Композиция уф переводит группу А в © С,.

лагаяф: =ф С: :С: ^ ©В, для любого у = 1,...,п.

и и и ,е/ п

^ Так как группа А - К-малая, то уф(А)с© С, ,

Так как ц,С2,...,Сп - К-малые группы, их обра- к=1 к

зы фу(С:) содержатся в прямой сумме конечного где ,к е / . Следовательно, уВ с СВ С, , т.е. группа В

числа групп Б., т.е. существуют такие конечные под-

- К-малая.

множества /1, /2,..., /п множества /, что Лемма 9. Циклическая группа является малой

п группой.

ф1 (С1 ) с © В -••, фп (Сп ) с © В . Пусть / * = и /у . Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм

,е 1 ,е п у = ф:(а) ^ © В,. Докажем, что ф(а)) содержится в

,е/

Рассмотрим образ фА группы А :

ф(А) = ф(С! ©... © Сп ) =

т

= ф1 (С1) +... + фп (Сп) с ©*В . ф(а) е © В , ф(а) = Ь + Ь +... + Ь,

,е/ к=1 к 12

Получили, что фА содержится в прямой сумме конечного числа групп В,. Следовательно, А - К-малая группа.

Так как для каждой ненулевой группы С, имеем ф(Ь) = ф(sa) = 5ф(а) = s(Ьh +... +Ь, ) =

Нот (С,, С,) Ф 0 , из теоремы 3 вытекает такой резуль- т

= &'Ь, +... + &'Ь, е © В, .

тат. ч ,п к=1

Теорема 4. Пусть К - некоторый класс абелевых п

групп и А = © С,, где каждая группа С, - ненулевая Значит, ф((а}) с © В, .

прямой сумме конечного числа групп Б.. Имеем

где i2,...,,т е/ , \ е Bi1,Ь,2 е Bi2,...,Ьт е Вт . Если

Ь е (^ , то Ь = , где 5 е 2 . Тогда

2. Я-МАЛЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

Пусть Б - класс всех делимых абелевых групп. Лемма 10. Квазициклическая группа 1 (р”) не

является Б-малой.

Доказательство. Пусть С - квазициклическая группа (т.е. С = 1 (р”) для некоторого простого числа р), с1,с2,...,сп,... - образующие группы С, где

РС = ° Рс2 = ^^.^ Рсп = cn-1,... Пусть Тр , где Б. = 1 (р”), для всякого і є І и пусть а1г-,а2І,...,апі,...

- образующие группы Б., і є І, где

ра1І = 0,ра2і = а1г-,...,рапі = ап-1 і,... Рассмотрим подгруппу і группы В, порожденную элементами

^ а21 + а12,..., ап1 + ап-1,2 + ... + а1п ,... Имеем

ра11 = 0, р(а21 + а12) = а11,..., р(апі +... + аіп) = ап-1,1 +... + аі,п-і,...

Значит, Ь = 1 (р”), т.е. Ь = Бг- для любого і є І. Гомоморфизм ф: С ^ Б зададим следующим образом: ф(сі) = аи ,ф(с2) = а2і + аи,...,

ф(сп) = апі + ап-і,2 +... + аіп,...

Получили ф(С) = Ь . Из строения Ь следует, что С не может содержаться в прямой сумме конечного числа групп Бі. Значит, С не является Б-малой группой.

Предложение 11. Ненулевая делимая периодическая группа не является Б-малой.

Доказательство. Предположим, что ненулевая делимая периодическая группа А является Б-малой. Существует простое число р, такое, что А = 1 (р”)© А . Тогда по лемме 2 1 (р”) является

Б-малой группой, что противоречит лемме 10.

Из предложения 11 непосредственно вытекает Следствие 12. Ненулевая делимая периодическая группа (в частности, квазициклическая группа) не является малой.

Лемма 13. Пусть (аг} - максимальная незави-

ієі

0 ^ ір,1 ^ ... ^ ір,п .

Доказательство. Пусть а + Е є А/Е . Так как {а,-} г- - максимальная независимая система элемен-

1 і п=1, п

тов группы без кручения А, то существуют целые числа к1, к2,...,кп и натуральное число к, такие, что ка = к1а1 +... + кпап . Тогда к (а + Е) = Е. Значит, А/Е

Покажем, что ранг Тр не превосходит п. Пусть Ы + Е,...,Ы + Е - независимая система элементов в

группе Тр . Покажем, что система элементов Ь1,...,Ь5

независима в группе А . Предположим противное. Пусть существуют такие целые числа к1,...,кп , не все равные нулю, что к1Ь1 +... + к5Ь5 = 0. Можно считать, что (к1,..., к5) = 1. Имеем к1(Ь1 + Е)+...+к5 (Ь5 + Е)=Е , и значит, к1(Ь1 + Е) = Е,..., к5 (Ь5 + Е) = Е . Так как Тр

- р-группа, то получаем, что к,: р для всякого , = 1,5. Это противоречит тому, что (к1,..., к5) = 1. Значит, система элементов Ь1,...,Ь5 независима в группе А. Следовательно, ранг группы Тр не превосходит п.

Пусть Вр - базисная подгруппа группы Тр . Так как г (Вр) < г (Тр) < п, то Вр - ограниченная группа. Учитывая, что Вр - сервантная подгруппа группы Тр, получаем [1. С. 140] Тр = Вр © В'р ; В'р = Тр/Вр , и поэтому В'р - делимая группа. Значит, группа Тр является прямой суммой циклических и квазицикличе-ских р-групп и поэтому ее можно представить в виде

Теорема 14. Следующие условия для абелевой группы А эквивалентны:

1) А - В-малая группа;

2) А - конечно порожденная группа;

3) А - малая группа.

Доказательство.

1) ^ 2). Пусть А - В-малая группа. Рассмотрим сначала случай, когда А является В-малой группой без кручения, и докажем, что она является конечно порожденной, т.е. а) А имеет конечный ранг; б) А является свободной группой.

,е/

, е / (Q - аддитивная группа всех рациональных чисел). Пусть гомоморфизм ф: Е ^ Ь , такой, что (а,) изоморфно вкладывается в Qi для всякого , е /. Делимая группа инъективна, и поэтому гомоморфизм ф: Е ^ Ь можно продолжить до гомоморфизма 9 : А ^ Ь . Так как А - В-малая группа, то / - конечное множество. Следовательно, группа А имеет конечный ранг.

б) Рассмотрим фактор-группу А/Е. По лемме 13

где 0 < ,р1 <... < ,рп <да. Эпиморфный образ А/Е

В-малой группы А, по лемме 8, является также В-малой группой. Используя теорему 4 и лемму 10, получаем, что А/Е - конечная группа. Следовательно, существует такое натуральное число т, что тА с Е . Значит, тА является свободной группой. Так как А = тА, то А - свободная группа.

Рассмотрим теперь произвольную В-малую группу А. Пусть Т (А) - ее периодическая часть. Факторгруппа АТ (А) является В-малой группой без кручения. Выше мы доказали, что В-малая группа без кручения является свободной группой конечного ранга. Значит ([1], с. 91), А = Т (А)© Е , где Е = А/Т (А) -свободная группа конечного ранга, и нам осталось показать, что Т(А) - конечная группа. Т(А) представима в виде прямой суммы р-компонент Тр: Т(А) = © Тр. Для каждой р-компоненты Тр существу-

Пусть Вр - базисная подгруппа группы Тр . Вр

является прямой суммой циклических р-групп и Тр/Вр - делимая периодическая группа, являющаяся

В-малой группой, как эпиморфный образ В-малой группы Тр . Из предложения 11 следует, что

множество / конечно. Получили, что Т (А) - конечная группа, а значит, А - конечно порожденная группа.

2) ^ 3). Пусть А - конечно порожденная группа.

п

левых групп. Используя лемму 9 и следствие 7, получаем, что А является малой группой.

3) ^ 1). Очевидно.

ет ее делимая оболочка Ср . Так как Нот (Тр, Ср) Ф 0 , если Тр Ф 0 и Т(А) - В-малая группа, то по теореме 3 она имеет конечное число ненулевых слагаемых Тр , являющихся В-малыми группами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т.1. 336 с.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 24 мая 2005 г.

р

Малые абелевы группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гердт Ирина Владимировна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гердт Ирина Владимировна

Текст научной работы на тему «Малые абелевы группы»