Большие деформации оболочек вращения с изолированной дисклинацией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С ИЗОЛИРОВАННОЙ ДИСКЛИНАЦИЕЙ

© 2012 г. Л.М. Зубов, А.А. Рыбченко

Зубов Леонид Михайлович - доктор физико-матема- Zubov Leonid Michailovich - Doctor of Physical and Mathe-

тических наук, профессор, кафедра теории упругости, matical Science, Professor, Department of the Elasticity Theory,

факультет математики, механики и компьютерных Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences,

наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчако- Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don,

ва, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]. 344090, e-mail: [email protected].

Рыбченко Андрей Андреевич - аспирант, кафедра теоре- Rybchenko Andrey Andreevich - Post-Graduate Student, De-тической механики, электромеханический факультет, partment of Theoretical Mechanics, Electromechanical Faculty,

Ростовский государственный университет путей сообщения, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2, г. Ростов н/Д, 344038, e-mail: [email protected].

Rostov State Transport University, Rostovskogo Strelkovogo Polka Narodnogo Opolcheniya Sq, 2, Rostov-on-Don, 344038, e-mail: [email protected].

Рассмотрена нелинейная задача об образовании изолированной дисклинации в оболочках вращения. В рамках мембранной теории оболочек в предположении об отсутствии внешних нагрузок найдены точные решения, описывающие большие деформации, возникающие при образовании дисклинации в сферической, эллипсоидальной, торообразной и ряде других оболочек вращения.

Ключевые слова: нелинейное деформирование, вектор Франка дисклинации, безмоментная оболочка, изометрические деформации, точные решения.

The nonlinear problem of the formation of an isolated disclination in the shells of revolution is considered. Exact solutions, describing large deformations, that occur during the formation of a disclination in a spherical, ellipsoidal, toroidal, and several other shells of revolution, are found. These exact solutions are found in the membrane theory of shells, assuming the absence of external loads.

Keywords: nonlinear deformation, Franc's vector of disclination, membrane shell, isometric deformations, exact solutions.

Исходные соотношения

Пусть о - заданная срединная поверхность тонкой оболочки в недеформированном состоянии; r(qa^ -радиус-вектор точки на о, заданный как функция гауссовых координат qa (а = 1, 2). Векторы основного базиса на о обозначим ra ; вектор нормали к о и коэффициенты первой и второй квадратичных форм - n, gaß, baß ; радиус-вектор, векторы базиса, вектор единичной нормали и коэффициенты квадратичных форм срединной поверхности после деформации - R, Ra, N, Gaß , Baß. Компоненты тензоров тангенциальных

и изгибных деформаций оболочки определяются соотношениями

'aß

= 1 (Gaß~

Kaß Baß baß ■

(1)

Уравнения равновесия нелинейно-упругой оболочки типа Кирхгофа-Лява имеют вид [1]

Уа (Тар -Ма6Б^) - Б§УаМ+ Fр = 0 (в = 1, 2) ,

VaVpMaß + Ba/3 (Taß - BaMSß ) + F = 0

F = FßR, + FN , Ba = BSrGar,

Gagß=s;,

1

GT aß=dW

ds„

1

g =

'aß

G = G

GM aß=-dW

дк„

(2)

(3)

aß\

1 =

ричных тензоров усилий и моментов; V a - символ ковариантной производной в метрике G(

aß ■

W -

g д ^ aß

\l,a = ß

В формулах (2), (3) F- вектор распределённой по Е внешней нагрузки; Taß, Maß - компоненты симмет-

удельная энергия оболочки; - символ Кронекера.

Рассмотрим оболочку вращения с осью вращения z. Положение точки поверхности а определим круговыми цилиндрическими координатами r , ф, z, а саму поверхность зададим уравнением меридиана r = r(z).

т 1 2

За гауссовы координаты на а примем q = z, q = р.

Предположим, что в оболочке вращения, гомео-морфной круговому цилиндру, образована изолированная клиновая дисклинация, т.е. дислокация Воль-терра [2], вектор Бюргерса которой равен нулю, а вектор Франка направлен по оси вращения.

Метод решения задачи о дисклинации в оболочках вращения предложен в [3] и заключается в том, что деформированное состояние поверхности разыскивается в виде

R = R(z), Ф = кр, Z = y(z), к = const, (4)

где R, Ф, Z - цилиндрические координаты точки деформированной поверхности Е; R(z) и y(z) - неизвестные функции. Координаты R, Ф, Z связаны с декартовыми координатами X¡, X2, X3 соотношениями Xl = R cos Ф, X2 = R sin Ф, X3 = Z . Если оболочка вращения замкнута и гомеоморфна сфере, то подстановка (4) описывает деформацию, обусловленную двумя клиновыми дисклинациями противоположного знака, сосредоточенными в полюсах оболочки [4]. Деформация вида (4) в случае к > 1 осуществляется путём вырезания из оболочки сектора 2як1 <р< 2я

и соединения берегов разреза поворотом вокруг оси оболочки (рис. 1). В случае 0<к< 1 в разрезанную полуплоскостью р = 0 оболочку вставляется сектор с углом раствора 2^(1 - к). Описанный процесс образования дисклинации сопровождается осесимметрич-ной деформацией оболочки. После образования дисклинации срединная поверхность оболочки остаётся поверхностью вращения. Отрицательные значения к соответствуют образованию дисклинации в вывернутой наизнанку оболочке вращения.

Г2 = rev >

R 2 = кИеф.

Здесь штрихом обозначена производная по переменной г. Система уравнений (7) определяет деформированную поверхность оболочки с точностью до поступательного перемещения вдоль оси г. Эту неопределённость решения можно устранить, поставив начальное условие у (о) = 0.

Дисклинации в сферической и эллипсоидальной оболочках

Для сферической оболочки уравнение меридиана имеет вид т(£) =Vа2 - 22, где а - радиус сферы. Система уравнений (7) записывается следующим образом:

Я'2 + у'2 = а2

2 2 a - z

k2R2 = a2 - z2.

(8)

Рис. 1. Образование дисклинации в сфере.

Заштрихованная область - вырезаемый клин

Дисклинации играют значительную роль в механическом поведении поверхностных кристаллов, фул-леренов, тонкоплёночных наноструктур, сферических вирусов, биологических мембран и других двумерных физических систем [5-7].

Предположим, что оболочка весьма тонкая, в этом случае в уравнениях (2) можно пренебречь изгибающими и крутящими моментами, т. е. положить Maß = 0 . В этом случае при отсутствии внешних поверхностных и контурных нагрузок уравнения равновесия (2) будут тождественно удовлетворены при Taß = 0 . В силу определяющих соотношений упругой безмоментной оболочки отсюда вытекает отсутствие тангенциальных деформаций: saß = 0. Последнее соотношение означает, что поверхность оболочки испытывает изометрическую деформацию, при которой выполняются уравнения Gaß = gaß. Таким образом,

поставленная выше задача для оболочки сводится к чисто геометрической задаче нахождения изометрической деформации поверхности, возникающей при образовании дисклинации. Отсюда следует, что решения задачи о дисклинации, найденные в рамках мембранного приближения, обладают свойством универсальности в том смысле, что они не зависят от упругих свойств материала оболочки.

Коэффициенты первой фундаментальной формы поверхности оболочки до и после деформации находятся следующим образом:

gaß = Га ' rß ; Gaß = Ra ' Rß . (5)

На основании (4) для оболочки вращения имеем Ri = R4 + Уз ,

(6)

Из (5) и (6) и условий изометричности приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

,2 а2 - 22/к2

Из (8) вытекает соотношение у =----—, от-

а - 2

куда следует ограничение на параметр дисклинации: к > 1. Система (8) имеет точное решение

•¡а2 - г2 2 1, ш ,, 2 л/ 1 - к 2г2

у = аЕ(——), Е(2, к) = ] —, аг . (9)

" " о д/1 - г2

R

к а к

Здесь Е(2, к) - эллиптический интеграл второго рода; к - модуль эллиптического интеграла.

Форма деформированной оболочки изображена на рис. 2.

Рис. 2. Сечение оболочки плоскостью Х2 = 0. Пунктирной линией обозначена недеформированная оболочка, сплошной - оболочка при к = 1,1 и к = 1,5

В случае эллипсоида вращения т(2) = а^а^-Ё2 уравнения деформированной оболочки и ограничение параметра дисклинации выглядят

а ¡—2 но: Я = — Ыа -

к

2 2 z > У

аналогич-= aE(- ,Vl-a2 + a2/к2) , к> 1.

R'2 +y'2 = r'2 +1 , R2 = Г2 .

(7)

Полученное решение показывает, что в рамках мембранного приближения образование дисклинации в сферической и эллипсоидальной оболочках приводит к потере гладкости поверхности, а именно в полюсах оболочки возникают угловые точки.

В случае оболочки с формой меридиана в виде синусоиды т(2) = а з1и(а2) угловые точки имеются из-

дисклинации, имеют вид И >

. При к > 1

начально и исчезают в том случае, когда параметр _

оболочка вытягивается, при к < 1 - сплющивается.

дисклинации принимает минимально возможное по

модулю значение: И =

2 2 а a

ага2 +1

Деформированная поверхность синусоидальной

а

оболочки задаётся функциями R = — sin(az),

к

1

у=—(E(1, iv) - E(cos(a z), iv)) , v = (1--j)al a1 и

1

к

изображена на рис. 3.

Рис. 3. Сечение оболочки с меридианом в виде синусоиды плоскостью X2 = 0. Пунктирная линия -недеформированная оболочка; сплошная - оболочка при a = 1, а = 1, к = 0,75 и к = 1,3

Нелинейное деформирование незамкнутых оболочек с дисклинацией

При образовании дисклинации в незамкнутых оболочках параметр к также нельзя задать произвольно. Например, в случае конуса, когда r(z) = az, деформированная поверхность останется конусом, при

а

этом система (8) имеет точное решение: R = — z ,

к

у = zJ (1 V)a2 +1

к>

а

. Для однополост-

к2 ' ' V а +1

ного гиперболоида т(2) = а^2 /Ъ2 +1 уравнения поверхности деформированной оболочки выглядят так:

R = +1, у= ibE(-Z,Ja), а = (1 -^От +1 •

к\ b b к b

Допустимые значения параметра дисклинации опре-

а

деляются неравенством И > -

. Сечение де-

л/О2 + Ъ2

формированной оболочки представлено на рис. 4.

Для гофрированного цилиндра т(2) = т0 + аsin(а2) решение выглядит следующим образом:

Я = — (т + а sin(а 2)) , у = — (Е(1,1 у) - E(cos(а 2), I у)) , к а

Форма деформированной оболочки для двух значений к изображена на рис. 5.

Рис. 4. Однополостной гиперболоид: a = 1, b = 0,5, к = 2,5 (справа) и к = 0,9

Рис. 5. Гофрированный цилиндр: a = 1, а = 1, r0 = 2, к = 0,75 и к = 1,3

Образование дисклинации в торообразной оболочке

Уравнение меридиана тора r(z) = r0 ± V а2 - z2 . Решение дифференциального уравнения (8) будет иметь вид

- ±yiOr~2

R = -о ±. a z' , у = aE(L ,1)

к a к

(10)

v=aa. 1 —- . Ограничения, налагаемые на параметр

Согласно (10), при образовании дисклинации в торе он превращается в поверхность, имеющую два ребра в форме окружностей. Сечение этой поверхности изображено на рис. 6.

a a

а

к

Рис. 6. Сечение тора после образования дисклинации

Можно показать, что в мембранном приближении задача о дисклинации не имеет решения в виде гладкой поверхности для любой торообразной оболочки.

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (госконтракт П596), а также при поддержке РФФИ (12-01-00038).

Поступила в редакцию_

Литература

1. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д, 1982. 143 с.

2. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Discli-nations in Elastic Bodies. B., 1997. 205 p.

3. Зубов Л.М. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 4. С. 139 - 145.

4. Зубов Л.М. Линейная теория дислокаций и дисклинаций в упругих оболочках // ПММ. 2010. Т. 74, вып. 6. С. 928 - 942.

5. Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. Л., 1986. 223 с.

6. Лихачев В.А., Хайров Р.Ю. Введение в теорию дисклинаций. Л., 1975. 183 с.

7. Гуткин М.Ю., Овидько И.А. Физическая механика деформируемых наноструктур. СПб., 2003. Т. 1. 192 с.; 2005. Т. 2. 352 с.

3 апреля 2012 г.