Уточненный метод расчета устойчивости оболочек вращенияв осесимметричном случае Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.3

УТОЧНЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

В. Ю. АНДРЮКОВА, В. Н. ТАРАСОВ

Отдел математики Коми НЦ УрО РАН, г.Сыктывкар [email protected], [email protected]

Рассматривается задача об устойчивости сферической и торообразной оболочек, находящихся под действием внешнего нормального давления. Для вычисления работы внешних сил используется точная формула. В работе применяется вариационный подход, для конечномерной аппроксимации перемещений используются интерполяционные кубические сплайны.

Ключевые слова: сферическая оболочка, торообразная оболочка, кубические сплайны, квадратичная форма поверхности, деформация, изменение кривизны, критическая сила, вариационная задача

V. YU. ANDRYUKOVA, V. N. TARASOV. THE REVISED METHOD FOR CALCULATING THE STABILITY OF SHELLS OF ROTATION IN THE AXISYM-METRIC CASE

The problems of stability of spherical and toroidal shell in axially symmetric case are considered. For the problem solution variational approach is used. The elastic energy is determined by changing the coefficients of the first and second quadratic forms with the deformation of the shell. To determine the work of the external forces of normal pressure the accurate thermodynamic formula in accordance with the theorem of Euler - Bernoulli (the product of the pressure on the volume) is used.The position of the equilibrium total energy equal to the elastic energy minus the work of external forces, takes a minimum value. Total energy, equal to the elastic energy minus the work of external forces, takes a minimum value being in the position of the equilibrium. For finite-dimensional approximation of displacements interpolation cubic splines are applied. The resulting optimization problem is solved by the method of the conjugate gradient. Dependence of the maximum displacement of the outer shell on the normal pressure is built and the value of the critical force when the movement starts to rise sharply is determined. The results are compared with experimental data.

Keywords: Rectangular plate, toroidal shell, cubic splines, quadratic surface shape, deformation, change in curvature, the critical force, the variational problem

Введение

Рассматриваются задачи устойчивости сферической и торообразной оболочек в осесимметрич-ном случае. Для решения используется вариационный подход. Упругая энергия оболочки вычисляется по формуле, приведенной А.В. Погореловым в [1]. Работа сил внешнего нормального давления определяется по точной термодинамической формуле в соответствии с теоремой Эйлера-Бернулли. Вариационный подход с использованием работы внешних сил применялся авторами этой статьи для решения задач устойчивости упругих колец с односторонним подкреплением в работах [2, 3], где приводятся аналитические решения некоторых новых вариационных задач.

Постановка задачи

Предположим, что оболочка вращения, срединную поверхность которой обозначим через Я, в результате деформации приобрела форму Я. Обозначим через д^, Н^, ду, Н^, = 1,2 коэффициенты первой и второй квадратичных форм недеформи-рованной и деформированной поверхности соответственно.

Предполагается, что деформация является осесимметричной. Согласно работе [4], энергию деформации, связанную с переходом из состояния Я в состояние Я, можно вычислить по формуле:

Us = ^l(£l,£2,Kl,K2)ds, (1)

где

Ф1 =

+

Eh ti , 2 . 0 ч .

(«1 + К2 + 2vKiK2)+

24(1 - V2)

Eh 2 2

2(1 - V2)

И + е2 + 2vei si),

(2)

Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона, е1 и е2 - экстремальные значения отношения

к1 и к2 - экстремальные значения отношения

Пусть 5 - является поверхностью, образованной вращением некоторой кривой 7 вокруг оси X:

(3)

(4)

ж = ф(в), z = ф(в).

(5)

Здесь в - полярный угол в плоскости меридиана. Тогда уравнения поверхности вращения будут иметь вид [4]

х = ф(в) cos Л, y = ф(в) sin Л, z = ф(в),

(6)

где Л обозначен угол в плоскости параллельного круга и 0 < в < в1,0 < Л < 2п. Предполагается, что деформация оболочки является осесимметричной. В общем случае первая и вторая квадратичная формы поверхности вращения будут иметь вид [4]

I = (У2 + ф'2) d92 + ф2ЯЛ2

II = I ф Ф -ф Ф ^ dffi + ф Ф

( ф Ф -ф Ф ]

V \/ф'2+Ф'2 J

, , , 1 dé2 + . , , УФ 2+ф 2 I УФ 2+ф

■ЯЛ2.

(7)

Устойчивость торообразной оболочки при одностороннем подкреплении

Рассмотрим задачу устойчивости тора, нагруженного внешним нормальным давлением.

Обозначим через w(0) и и(в) нормальное и касательное перемещения точек поверхности тора. Декартовы координаты до деформации будут определяться уравнениями

{х = (R + a cos в) cos Л,

y = (R + a cos в) sin Л, 0 < в < 2n, 0 < Л < 2n. (8) z = a sin в,

т.е. для недеформированного тора ф = R + a cos в,

ф = a sin в.

После деформации уравнения поверхности будут иметь вид (6), где

ф(в) = R + (a + w(é)) cos в - и(в) sin в, ф(в) = (a + w^)) sin в - и(в)совв.

(9)

Будем исследовать потерю устойчивости по осесимметричной форме, когда образующиеся выпу-чины имеют вид кольцевых складок в направлении координаты Л (перемещения не зависят от Л).

Для поверхности вращения первая и вторая квадратичная формы поверхности записываются в виде (7). Для недеформированной поверхности:

I0 = a2dв2 + (R + a cos в)2 ЯЛ2, II0 = adв2 + cos в^ + a cos в)dЛ2.

(10)

Используя формулы (3), (4), (7), (8), (10), можно получить выражения для деформаций е1, е2 и кривизн к1, к2. Квадратичные формы I и II в случае осесимметричной деформации имеют диагональный вид. Поэтому

si

/2 . ,/2 2 ф + ф - a

S2 =

K1

К2

ф2 - (R + a cos в)2 (R + a cos в)2 ' ф ф - ф ф 1 a2 д/ф'2 + ф'2 a ф ф - cos в (R + a cos в) \Jф'2 + ф'2

(11)

cos2 9(R + a cos ff)2\Jф'2 + ф'2

Для внешнего нормального давления в соответствии с теоремой Эйлера - Бернулли работа внешних сил равна

A = PAY, (12)

где AV - изменение объема оболочки в результате деформации.

Как известно [5], объем тела, поверхность которого задается уравнениями

x = х(в,\), y = y(e,\), z = z(e,X),

определяется(с точностью до знака)

-=3

(•2п ,-2п

det

х y z хв ye ze х\ Ух z\

dвdЛ.

(13)

В случае осесимметричной деформации определитель в (13) не зависит от Л.

Используя формулы (6), (8), (9), (12), объем оболочки после деформации можно вычислить по формуле:

у = |

J Ф2 (w,u,w dв'

(14)

где

Ф2 = det \\aij II ,i,j £ 1:3,

элементы матрицы \aij\\ имеют вид

aii = R + a cos в + w^) cos в - и(в) sin в, ai3 = a sin в + w^) sin в + и(в) cos в, a2i = -a sin в+w (в) cos в-w^)sin в-и (в) sin в- и(в) cos в,

a23 = a cos в + w (в) sin в + w^) cos в + и (в) cos в -- и(в) sin в,

a32 = R + a cos в + w^) cos в - и(в) sin в,

ai2 = 0, a22 = 0, a3i = 0, a33 = 0.

Полная энергия деформации будет иметь вид

где

j = Ji - PJ2,

Ji = 2п I Ф! (si, S2, Ki, K2)a(R + a cosв)dв'

0

{

2

0

0

2

2

П

■ = ЬУ.

£ = А-1Вп.

(20)

В устойчивом положении равновесия полная энергия принимает минимальное значение. Таким образом, приходим к вариационной задаче

■ ^ шш,

(15)

где функции V, и удовлетворяют условиям периодичности.

Численный метод

Будем аппроксимировать перемещения и и(в) интерполяционными кубическими сплайнами [6]

Я(д; вг) = дг, вг = 2пг/п, г € [1 : и],

где

дг = -ю(вг) или дг = и(вг). Сплайн Я(д; в) для в € [вг,вг+1] задается формулой

Я(д; вг) = дг(1 - Ь2)2(1 + 21) + дг+1Ь2(3 - 21)+

+тгНЬ(1 - Ь)2 - тг+1 НЬ2(1 - Ь), (16)

где Н = 2п/п, Ь = (в - вг)/Н. В (16) неизвестными являются коэффициенты тг, которые определяются из условий непрерывности второй производной функции Я(д; в) в узлах сплайна. Также сплайн должен удовлетворять условиям периодичности, которые приводят к равенствам:

Що = Щп, Щп+1 = /1, то = тп.

Таким образом, для определения коэффициентов т1,т2,...,тп необходимо решить систему уравнений

где

2т1 + 2 т2 + 1 тп = е\, 2т—1 + 2тг + \тг+1 = сг, г € [2; и - 1], 2 т-1 + 1 тп-1 + 2тп = Сп,

Сг = 2Н(/г+1 - /г-1), г € [2; и - 1],

(17)

Формула (20) в вычислительном отношении экономична, ибо матрицу А-1 В необходимо находить всего один раз.

Пусть у € Кт, т = 2п и

Уг = ш(вг), уг+п = и(вг), г € 1: п.

Таким образом, подставляя интерполяционные сплайны в функционал полной энергии, вместо вариационной задачи получим задачу минимизации

f (у) ^ шш

уепт

(21)

которую будем решать методом сопряженных градиентов [7]. Здесь

f (у) = ■ (Я(т),Я(и)).

Пусть ук - некоторое начальное приближение. Обозначим

д/ (уо)

ёо

ду

(22)

градиент функции /(у). Пусть уже получена точка ук € Кт. Если

Гк = У У =0,

то выполнено необходимое условие минимума, и процесс прекращается. Если же

то на луче

Гк > 0,

ук(а) = ук - адк, а >

Найдем точку ук(а) такую, что

/ (у к (а)) = шш / (у к (а)),

а>0

(23)

С1 = 2Н(Щ - /п),

3

сп = 2Н (-Щ1 + Щп-1).

Пусть £ € К

п

П € К

Введем матрицы порядка п

£1 = /1,...,£п = Щп, и П1 = т1,...,пп = тп.

А=

(2 0.5 0 0 0.5 2 00

00 00

0

0.5 0.5 2

0.5 2

01 10

В=

10

0-10

1

0.5

0.5 2 0

/

-1 0 0

1

-1 0

(18)

(19)

где

дк = + вк дк-1,

вк = | Г2 /Г2

ду

0, к = 0; т; 2т;...,

Гк/г 1-1, к = 0; т;2т;...,

(24)

Если Лебегово множество

О(уо) = {уо € Кт\/(у) < /(уо)}

ограничено, то любая предельная точка последовательности {ук}, к = 0,1,2,... является стационарной точкой функции /(у) на Кт, т.е. если укз ^ у* при

кв ^ 0, то

г* = У щг" = 0.

Кроме того, известно, что метод сопряженных градиентов обладает "квадратичной" скоростью сходимости [7]. Задача одномерной минимизации на луче решалась методом золотого сечения.

0

0

Обсуждение результатов

На рис.1 представлена зависимость максимального перемещения оболочки (утах =

шах Л/ад2 + и2 - вдоль вертикальной оси) от внеш-

¿е1:п V 1 1

него нормального давления (Р - по горизонтальной оси) при параметрах

Я = 200, а = 80, Н = 1.28, Р = 1000^.

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

Рис. 1. Зависимость максимального перемещения то-рообразной оболочки от внешнего нормального давления.

Из графика можно сделать вывод, что вначале перемещение растет линейно с увеличением Р, а начиная с некоторого значения, максимальное перемещение оболочки резко возрастает Таким образом, кривая зависимости максимального перемещения от параметра Р хорошо аппроксимируется гиперболой

F (t)

Clt + C2t + C3

c4t + 1 '

где ь = Р, Р(ь) - максимальное перемещение. При заданных выше параметрах коэффициенты ^ имеют значения

с1 = 2.6467, с2 = 0.0554, с3 = 0.1386, с4 = -5.3320.

Критическим следует считать то значение Р*, после которого Р(ь) начинает резко возрастать. Из рис.1 видно, что Р* = 0.13.

При Е = 2.05 х 106 кг/см2, V = 0.3 критическое давление

Р* =

0.13В

= 0.13E х 1.283

12(1 - V2)1000 = 12(1 - V2)1000

= 52.42.

В работе [8] приведены результаты экспериментов над стальными, жестко закрепленными тороидальными оболочками. В введенных обозначениях

(1 - v2)pa

k = R' ф =

Eh

при

экспериментально получено значение

ф = 0.32 х 10~3' что соответствует давлению Р = 11.81. При

k = 0.4' a/h = 33' R = 200' a = 80' h = 2.4242'

ф = 0.53 х 10~3'

что соответствует давлению Р = 37.06. Значение Р*, полученное решением задачи оптимизации (21), равно

Р* = 164.39.

При этом отношение

Р*/Р = 4.4357.

Наконец, при

k = 0.2' a/h = 62.5' R = 400' a = 80' h = 1.28

ф = 0.3 х 10~3'

Р* = 32.26' Р = 11.07' Р*/Р = 2.91.

Таким образом, критическое давление, полученное в результате анализа вариационной задачи, от трех до пяти раз превышает экспериментальные значения. Однако при сравнительном анализе рисунков в [8] на стр. 677 можно сделать вывод, что закритическая деформация не является осесимметричной, то есть зависит от угла Л в плоскости параллельного круга. Задача об устойчивости тороидальной оболочки также рассматривалась в работе [9].

Устойчивость сферической оболочки при одностороннем подкреплении

Обозначим через w(e) и и(в) нормальное и касательное перемещения точек оболочки. Декартовы координаты точек сферы будут определяться уравнениями

x = ф(в) = (R + w) sin в — и cos в' z = ф(в) = (R + w) cos в + и sin в.

(25)

Используя формулы (3), (4), (7), (10), (25), можно получить нелинейные выражения для деформаций e1, e2 и кривизн К1, к2 [2]

' ei = R (2w — 2u ) +

+ R2 (w2 + u2 + 2w u + w 2 — 2u w + u ,

e2 = -1 (2w — 2u cot 9) + 1 ((

+ R2 (w2 — 2wu ctg 9 + u2 ctg 2 9^ , 11 ( ' '' \ Ki =1 R + rk Г + w2 — R — 2w) +

+ ^2 ^ (3wu — u2 — w2 — 3uw + u u — 2w +

// / /г) // / n

+

R2K

WK_

и w — 2u 2 + w w — w и

k = 0.4' a/h = 62.5' R = 200' a = 80' h = 1.28

К2 = RK \2W — U + R — в — w g ^ +

+ (w2 — wu + uu ctg в — 2wu ctg +

+ r2K (uw ctg 2 в + u2 ctg 2 в — ww ctg в^ .

В выше приведенных формулах введено обозначение

K = (R2 +2Rw+w2+u2 — 2Ru' — 2wu'+2uw'+w'2+u 2)1/2.

Для вычисления работы внешних сил применим формулы (12), (13). Объем оболочки после деформации вычисляется по формуле [3]:

* = 3

Ф2 (<

в, w, u, w ,u ' de,

где

Ф2 (в, w, u, w , u= w3 sin в + w2 (3R — u ^ sin в+

+w ( uw — 2Ru + u + 3R2

^ sin в + R (u2 + uw^j sin в+

+R3 sin wuu — w2u — 2Rwu — u2w — U + Ruuj cos в.

В устойчивом положении равновесия полная энергия принимает минимальное значение. Таким образом, приходим к вариационной задаче

J --

Гf (

e,w,u,w ,u ,w ) de ^ min,

/ w,u

где р = Ф1 - РФ2. Ниже приведен график зависимости максимального перемещения уто,х сферической оболочки от внешнего нормального давления Р при

К = 80,Н = 1.28.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Рис. 2. Зависимость максимального перемещения сферической оболочки от внешнего нормального давления.

Из графика можно сделать вывод, что Рф = 0.35, это соответствует при E = 2.05х106 и v = 0.3 критическому значению Ркр = 137.79кг/см2. Теоретическая формула для верхнего критического давления, полученная на основании упрощенной теории тонких пологих оболочек [8], дает значение

дв = 1.21E(h/R)2 = 635.008.

Заметим, что там же в [8] на стр.666 указано, что для отношения h/R < 250 критическое давление следует вычислять по формуле

q = 0.3E(h/R)2.

Используя эту формулу, получаем q = 155.44, что дает достаточно хорошее совпадение с ранее полученным результатом Ркр = 137.79.

Литература

1. Погорелое А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. М.: Наука, 1966. 296 с.

2. Андрюкоеа В.Ю. Некоторые задачи устойчивости упругих систем с односторонними ограничениями на перемещения // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7, №4. С. 412-422.

3. Тарасое В.Н. Об устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, № 1. С. 177-188.

4. Погорелое А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974. 176 с.

5. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1962. Т. 3. 656 с.

6. Заеъялое Ю.С., Кеасое Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

7. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 284 с.

8. Волъмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

9. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 235 с.

References

1. Pogorelov A.V. Geometricheskaya teoriya ustoy-chivosti obolochek. [Geometric theory of stability of shells]. Мoscow: Nauka, 1966. 296 p.

2. Andryukova V.Yu. Nekotorye zadachi ustoy-chivosti uprugikh sistem s odnostoronnimi ogranicheniyami na peremeshcheniya [Some structurally nonlinear problems of stability of elastic systems under one-sided movement restrictions] // Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred. 2014. Vol. 7, № 4. P. 412422.

3. Tarasov V.N. Ob ustoychivosti uprugikh sis-tem pri odnostoronnikh ogranicheniyakh na peremeshcheniya [Stability of elastic systems with unilateral constraints on displacements] // Trudy IMM UrO RAN [Proc. of IMM UrB RAS]. 2005. Vol. 11, № 1. P. 177-188.

4. Pogorelov A.V. Differentsial'naya geometriya [Differential geometry]. Noordhoff, 1960. 172 p.

5. Fikhtengol'ts G.M. Kurs differentsial'nogo i in-tegral'nogo ischisleniya [Course of differential and integral calculus]. Moscow: Gosudarstven-noe izdatelstvo fiziko-matematicheskoy liter-aturyi [State Publishing House of Physical-Mathematical literature]. 1962. Vol. 3. 656 p.

6. Zav'yalov Yu.S, Kvasov B.I., Miroshnichen-ko V.L. Metody splayn-funktsiy. [Methods of spline functions]. Мoscow: Nauka, 1980. 352 p.

о

//

6

7. Pshenichnyy B.N., Danilin Yu.M. Chislennye metody v ekstremal'nykh zadachakh [Numerical methods in extreme challenges]. Moscow: Nauka, 1975. 284 p.

8. Vol'mir A.S. Ustoychivost' deformiruemykh sis-tem [Stability of Deformable Systems]. Moscow: Nauka, 1967. 984 p.

9. Grigolyuk E.I., Shalashilin V.I. Problemy ne-

lineynogo deformirovaniya: Metod prodolzhe-niya resheniya po parametru v nelineynykh zadachakh mekhaniki tverdogo deformiruemogo tela [Problems of nonlinear deformation: continuation method on parameter in nonlinear problems of mechanics of deformable bodies]. Мoscow: Nauka, 1988. 235 p.

Статья поступила в редакцию 09.11.2015.