Боковая поверхность зуба цилиндрических зубчатых колес Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 12, №1(2), 2010 УДК 621.833

БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЗУБА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС

© 2010 И.Г. Браилов1, С.П. Андросов2, С.С. Адмаев1

1 Сибирская автомобильно-дорожная академия, г. Омск 2 Омский государственный технический университет

Поступила в редакцию 18.03.10

В работе определены зависимости, выраженные векторными функциями, описывающие боковые эвольвентные поверхности прямозубых и косозубых зубьев цилиндрических зубчатых колес.

Ключевые слова: зубчатое колесо, эвольвента, поверхность зуба, векторная функция

Геометрию и кинематику прямозубой цилиндрической передачи принято рассматривать в одной торцевой плоскости, перпендикулярной к оси колеса. Такой подход является вполне допустимым, так как во всех плоскостях, перпендикулярных к осям сопряженных колес, имеют место одинаковые геометрические условия зацепления. Реальные зубья имеют и третье измерение, связанное с шириной зубчатого венца, и совершают движение в пространстве. Поэтому с точки зрения пространственного представления о характере взаимодействия сопряженных зубьев колес необходимо учитывать, что эти зубья имеют не точечный контакт, а линию контакта, не линию зацепления, а плоскость зацепления, не делительную окружность, а делительный цилиндр и т.д. [1]. К тому же относительно контакта между зубьями колес можно отметить, что фактически он имеет нелинейчатый характер, а принимает вид непрерывного пятна. Причиной этого явления могут быть погрешности изготовления и сборки, а также деформации зубьев, тел колес, валов и подшипниковых узлов передачи. Для косозубых передач пространственное представление о характере взаимодействия зубчатых колес является еще более предпочтительным. В таких передачах в разных торцевых сечениях колес условия зацепления различные.

Данная работа посвящена описанию боковой поверхности зуба цилиндрических зубчатых колес векторными функциями в параметрах станочных систем, что дает возможность использования аффинных преобразований в вопросах моделирования зубофрезерования [2]. Следует отметить, что в работе описывается не вся боковая поверхность зуба, а только ее эвольвентная поверхность без учета переходной поверхности,

Браилов Иван Григорьевич, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной механики

Андросов Сергей Павлович, кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов. E-mail: asp57@list.ru

Адмаев Сергей Сергеевич, аспирант

соединяющей эвольвентную поверхность с поверхностью впадин.

Боковая поверхность прямого зуба представляет собой цилиндрическую эвольвентную поверхность. Для косого зуба боковая поверхность является винтовой эвольвентной поверхностью. В общем случае эту поверхность можно рассматривать в двух параметрических направлениях. Первое направление представляет собой перемещение по эвольвентному профилю зуба в его торцевом сечении. Второе направление определяется прямолинейным перемещением эвольвенты вдоль оси зубчатого колеса для прямозубых колес и винтовым перемещением - для косозубых колес. В координатной форме векторная функция эвольвенты записывается в следующем виде [3]:

Rb p cosp Rb р sinp 0

'Rb sinp

Гэ = Rb cosp +

0

(1)

где Яь - радиус основной окружности зубчатого колеса; ф - угол развернутости эвольвенты (рис. 1). Точка М1 на боковой поверхности прямого зуба описывается вектором

Г = Г + r

э см

(2)

где гсм - вектор смещения по оси OZ.

В координатной форме вектор r запи-

шется:

'Rb sinp - Rb p cos p '0

r = Rb cosp + R b p sin p + 0

0 0 - V t

(3)

где V - скорость перемещения конца вектора г вдоль оси OZ; ^ - время перемещения.

Машиностроение

Рис. 1. Боковая поверхность прямого зуба

Зубья косозубого колеса в торцевом сечении имеют эвольвентный профиль. При этом на любом радиусе колеса совокупность точек, принадлежащих боковой поверхности зуба, в направлении его оси, образует винтовую линию. Другими словами, каждая точка эвольвенты при движении вдоль оси косозубого колеса совершает винтовое движение (рис. 2).

Винтовая линия на основном цилиндре зубчатого колеса радиуса Яь определяется формулой

Г =

Rb sinP Rb c°s^1 a (p1

(4)

где ф1 - угол поворота проекции вектора Г на плоскость ХОУ; а - параметр, характеризующий движение по винтовой линии вдоль оси колеса 02.

Текущий параметрический угол ф1 изменяется от своего нулевого значения, до значения ф1 тах , которое он принимает на тыльном торцевом сечении (рис. 2). Величина ф1тах зависит от значений угла наклона рь линии зуба к оси колеса и ширины зубчатого венца Ь. В выражении (4) максимальное значение координаты вектора Г по оси 02 в принятой системе равняется по модулю ширине зубчатого венца

a p

1max

b

(5)

Длина дуги M'oM"o (рис. 2) равняется, с одной стороны b tg Pb , а с другой - Rb ф1 max , то есть можно записать:

ММ0'= btgfc = Rb Pl max . (6)

Из формулы (6) находится максимальное значение угла поворота ф1:

b а Pl max =— tgPb

Rb.

Рис. 2. Боковая поверхность косого зуба

С учетом выражения (7) параметр а определяется соотношением

a =

b

P

1 max

V a

Ru

tgPb

(8)

где ю - угловая скорость вращения проекции вектора Г на плоскость ХОУ вокруг оси 02.

Положение любой точки на эвольвентном профиле прямого зуба колеса определяется значением угла развернутости эвольвенты ф (рис. 1). Радиус Я изменяется от значения радиуса Яь основного цилиндра до значения радиуса Яа цилиндра вершин зубьев колеса. Радиус Я определяется как модуль векторной функции эвольвенты (1) и записывается выражением

R = Rb л/1+P

(9)

Соответственно текущее значение угла ф определяется по формуле

P

/ V

R

V Rb J

-1

(10)

Для косого зуба необходимо дополнительно учитывать, что каждая точка его эволь-вентного профиля все время поворачивается в плоскости ХОУ относительно оси 02 на величину текущего угла ф1. Поэтому после вычисления координат точки эвольвенты в любом ее положении необходимо найденный вектор повернуть на угол ф1 путем умножения его на матрицу поворота [М]. В результате в общем виде векторная функция винтовой эвольвентной поверхности косого зуба колеса запишется:

Г = [М ](гэ + гсм) .

Или в координатной форме

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 12, №1(2), 2010

r =

cos р sin р 0 - sin р cos р 0 0 0 1

Rb sin р Rbcos р 0

+

- Rb pcosp Rb psin р 0

+

0 0

(12)

С учетом преобразований выражения (12) векторная функция боковой эвольвентной поверхности зуба косозубого колеса окончательно опишется формулой

Яь { {р + р)- рсо${р + р))

r=

- Rb (cos(p + р) + psin (р + р))

aVi

(13)

В результате вектор г , восстановленный в точку М1 винтовой эвольвентной поверхности (рис. 2), имеет относительно вектора эвольвенты два аффинных преобразования: поступательное перемещение вдоль оси зубчатого колеса и поворот относительно этой оси.

Выводы: запись эвольвентной поверхности зубчатых колес в координатной форме позволяет любые пространственные преобразования. Используя пространственное описание

поверхностей зубчатых колес, можно моделировать сложные многопараметрические и многофункциональные процессы зубообработки, а также различные эксплуатационные и технологические процессы. Например, возможен расчет пятна контакта при взаимодействии сопряженных зубьев колес. Кроме этого, рассмотрение зубьев колес в пространственном отображении дает возможность определить их бочкообраз-ность, а также погрешности, возникающие при зубообработке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Гавриленко, В.А. Основы теории эвольвентной зубчатой передачи. - М.: Машиностроение, 1969. - 432 с.

2. Браилов, И.Г. К вопросу моделирования зубо-фрезерования / И.Г. Браилов, С.П. Андросов // Наука и производство-2009: материалы Международ. науч. - практ. конф. в 2 ч. - Брянск: БГТУ, 2009. - Ч. 2. - С. 16-18.

3. Браилов, И. Г. Описание эвольвенты векторной функцией, выраженной в параметрах станочных систем / И.Г. Браилов, С.П. Андросов // Проблемы механики современных машин: материалы четвертой Международной научно - практической конференции в 3 т. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2009. - Т. 2. - С. 11-14.

LATERAL AREA OF GEAR TEETH OF CYLINDRICAL GEARWHEELS

© 2010 I.G. Brailov1, S.P. Androsov2, S.S. Admaev1

1 Siberian Auto-road Academy, Omsk 2 Omsk State Technical University

In the work dependences expressed by vector functions, describing the side involute surfaces of spur and helical cylindrical gearwheels are certain.

Key words: gearwheel, evolute, surface of gear teeth, vector function

Ivan Brailov, Doctor of Technical Sciences, Professor at the Department of Applied Mechanics Sergey Androsov, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor at the Department of Materials Resistance. E-mail: asp57@list.ru Sergey Admaev, Post-graduate Student