CC BY
160
УДК 621.833
С.П. Андросов, И.Г. Браилов
ПЕРЕХОДНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЗУБА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Определены зависимости, выраженные параметрическими векторными функциями, описывающие переходную поверхность зубьев прямозубых и косозубых цилиндрических колес.
Зубчатое колесо, векторная функция, поверхность зуба, станочное зацепление
S.P. Androsov, I.G. Brailov FILLET SURFACE OF CYLINDRICAL GEARS
This paper deals with the relations, expressed by parametric vector functions, describing fillet surface of straight and helical cylindrical gear tooth are presented.
Gear tooth, vector function, tooth surface, machine mesh
Вопросы геометрии и кинематики цилиндрических косозубых передач требуют рассмотрения в пространственном отображении. В таких передачах, с учетом винтовой формы зубьев, условия зацепления сопряженной пары в торцевых сечениях по длине зубчатого венца различные [1]. В связи с этим необходимо рассматривать боковую поверхность зуба, не ограничиваясь только профилем зуба в торцевом сечении.
В пространственном отображении требуется рассматривать и сложные многопараметрические процессы зубообработки инструментами червячного типа. Это в первую очередь относится к вопросам моделирования процессов формообразования зубьев зубчатых колес [2].
Как известно, боковая поверхность зубьев зубчатых колес состоит из двух частей: эвольвентной цилиндрической и переходной. Переходная поверхность соединяет эвольвентную поверхность зуба с поверхностью впадин. В торцевом сечении часть профиля зуба, расположенную в пределах его переходной поверхности, называют переходной кривой. В зависимости от способа изготовления зубьев зубчатых колес переходная кривая может быть очерчена различно: по окружности, по удлиненной и укороченной эвольвентам, по эпициклоиде и другим кривым [1].
Данная работа посвящена описанию переходной поверхности зуба цилиндрических зубчатых колес векторными функциями в параметрах станочных систем.
Формообразование при зубофрезеровании методом обката происходит в станочном зацеплении, в процессе которого инструмент реечного типа формирует на нарезаемом колесе зубья с определенной геометрией и размерами. На рис. 1 приведены параметры исходного контура производящей рейки, которые определяют геометрию переходной поверхности зуба колеса: m - модуль зуба; h a - коэффициент высоты зуба: с - коэффициент радиального зазора; ра0 - радиус скругления головки зуба; а0 - угол профиля.
В статье авторами рассматривается переходная поверхность зуба, имеющая в торцевом сечении профиль в виде окружности (рис. 2). Такая переходная поверхность формируется при нарезании зубчатого колеса с положительным смещением исходного контура на величину:
А к = хт , (1)
где х - коэффициент смещения.
Значение коэффициента смещения х определяется из соотношения [3]:
к* а т + с * т - х т = ра0 . (2)
§ * о
,5 1 \ «0 % /
*£ 1
* ^ О V
Рис. 1 Параметры исходного контура производящей рейки
Кривая 1М2 (рис. 2) представляет эвольвентную часть профиля зуба колеса, а участок МЬ - переходную часть профиля. Сопряжение частей профиля происходит в граничной точке Ь по касательной, проведенной к обеим его частям. Центр скругления О і переходной
кривой М}Ь расположен на начальной прямой 2.
г/о х
Рис. 2. Формирование переходной кривой:
- радиус основного цилиндра; ^- радиус цилиндра впадин;
Ra - радиус цилиндра вершин; Rw - радиус начального цилиндра 3; М0М2 - эвольвента;
NN - линия зацепления; Р - полюс зацепления; ада - угол зацепления; f - координата центра скругления О1 переходной кривой в глобальной системе координат Х0У2; 1 - средняя линия рейки; Х101У121 - локальная система координат, жестко связанная с исходным контуром производящей рейки
В любой момент формирования переходной кривой контактная нормаль проходит через центр скругления Оі и полюс станочного зацепления Р [3]. Следовательно, в рассматриваемом случае центр Оі и полюс Р совпадают.
Координата / центра скругления Оі переходной кривой в системе координат Х0У2 равняется радиусу начального цилиндра зубчатого колеса.
Величина радиуса рао (рис. 3) вычисляется из соотношения:
ао 8Ш^0
(3)
откуда:
Р а 0
*
с т
1 - бій а
(4)
Переходная кривая М\Ь в торцевом сечении прямозубого колеса в локальной системе координат (рис. 4) описывается векторной функцией:
где у - угол поворота радиуса радиуса рао .
Ра о вт у Ра0 С0*Г
о
(5)
- вектора гок. Модуль вектора гок равен значению
Рис. 3. Определение значения радиуса ра0
В глобальной системе координат Х0У2 колеса вектор гпк переходной кривой в торцевом сечении колеса, восстановленный в точку М, запишется:
г =
ок
г = [М1 г + г
п. к J ол ок
(6)
где [М] - матрица параллельного переноса системы координат;
гол - вектор переноса локальной системы координат ХІ01У121. Или в координатной форме:
"1 о о" " о" Ра о Г " Рао *ІПГ "
г = п. к о 1 о / + Ра о С0*У = / + Рао С0*У
о о 1 о о о
(7)
Произвольная точка М' (рис. 4) переходной поверхности прямого зуба колеса описывается вектором
г = г + г , (8)
п. к см ’ V /
где гсм - вектор смещения, направленный по оси 02 колеса.
В координатной форме вектор г имеет вид:
Рао *ІПГ " о "
г = / + Рао Г + о
о - V і
(9)
где V- скорость перемещения конца вектора г вдоль оси 0Z; I - время перемещения.
у; г
Рис. 4. Переходная поверхность прямого зуба
Для винтового зуба косозубого колеса необходимо учитывать, что каждая точка переходной кривой все время поворачивается в плоскости Х0У на величину угла фі (рис. 5).
Текущий параметрический угол ф1 изменяется в пределах от своего нулевого значения до значения ф1тах , которое он принимает на тыльном торцевом сечении зубчатого колеса. Величина ф1тах определяется по формуле:
^1тах =-^%Ръ , (1о)
КЪ
где Ъ - ширина зубчатого венца колеса;
Рь - угол наклона линии зуба на основном цилиндре.
В результате, после нахождения координат точки М' переходной кривой в
произвольном ее положении, необходимо вектор г , определяемый по формуле (8),
повернуть на угол ф1 путем умножения на матрицу [М1].
В общем виде векторная функция винтовой переходной поверхности запишется:
Г =[М 1 ](гп.к + гсм) , (11)
или
соб (р1 біп (р1 о - біп р1 собр1 о
о о 1
Рао ЗІПЇ / + Рао С0*Г
о
" о "
+ о
- а р1
(12)
Рис. 5. Переходная поверхность косого зуба
В выражении (12) максимальное значение координаты вектора г по оси 02 в принятой системе равняется по модулю ширине зубчатого венца
|- а Ртах| = Ъ , (13)
где а - параметр, характеризующий движение по винтовой линии вдоль оси 02 колеса.
Значение параметра а определяется отношением:
Н Ъ V
а =
2р р1
1тах
а
(14)
где
Н - шаг винтовой линии,
ю - угловая скорость вращения проекции вектора г на плоскость Х0У вокруг оси 02.
г
С учетом преобразований выражения (12), векторная функция боковой переходной поверхности зуба косозубого колеса опишется формулой:
У +ра0 8ш(^+^1 )
Г = f СОБ^! +раоСОЪ(у+ф1 ) . (15)
- aj1
В результате вектор г , восстановленный в точку М' винтовой переходной поверхности (рис. 5), имеет относительно вектора переходной кривой в лицевом торцевом сечении два аффинных преобразования: поступательное перемещение вдоль оси 02 зубчатого колеса и поворот относительно этой оси.
В заключение отметим, что запись уравнений переходной поверхности прямых и винтовых зубьев зубчатых колес в координатной форме, полученных авторами, позволяет любые пространственные преобразования, которые имеют место при зубофрезеровании. Пространственное описание боковых поверхностей зубьев дает возможность моделировать различные эксплуатационные и технологические процессы и определять их параметры. Например, определение таких параметров, как положение нормали в любой точке поверхности, необходимого для расчета сил резания при зубофрезеровании, расстояний от рассматриваемой точки поверхности до оси колеса и оси симметрии зуба, используемых при исследовании изгибной прочности зубьев, площади поверхности и других.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гавриленко В. А. Основы теории эвольвентной зубчатой передачи. М.: Машиностроение, 1969. 432 с.
2. Браилов И.Г., Андросов С.П. К вопросу моделирования зубофрезерования // Наука и производство - 2009: материалы Международ. науч. - практ. конф. в 2 ч. Брянск: БГТУ, 2009. Ч. 2. С. 16-18.
3. Болотовский И.А., Гурьев Б.И., Смирнов В.Э., Шендерей Б.И. Цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи внешнего зацепления. М.:Машиностроение, 1974. 160 с.
Андросов Сергей Павлович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов» Омского государственного технического университета
Браилов Иван Григорьевич -
доктор технических наук, профессор кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии, г. Омск
Androsov Sergey Pavlovich -
Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of the Department “Resistance of Materials”, Omsk State Technical University
Brailov Ivan Grigoryevich -
Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department “Applied Mechanics”, Siberian Automobile - Road Academy, Omsk
Ст(лтья поступили вредюкцию 11.01.2011, принят(л к опубликовсхнию 27.07.2011
