Бистабильные явления в слое ферронематика со слабым сцеплением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.783

А. Н. Захлевных, О. Р. Семенова

БИСТАБИЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СЛОЕ ФЕРРОНЕМАТИКА СО СЛАБЫМ СЦЕПЛЕНИЕМ BISTABLE PHENOMENA IN FERRONEMATIC LAYER WITH SOFT COHESION

Пермский государственный университет,

614990 Пермь, ул. Букирева, д. 15

В рамках континуальной теории исследовано влияние анизотропии поверхностного сцепления на индуцированные магнитным полем ориентационные переходы в плоском слое ферронематика. Рассмотрен ферронематик с мягкими гомеотропными условиями сцепления магнитных частиц с нематической матрицей. Определены пороговые значения напряженности магнитных полей и исследована их зависимость от материальных параметров магнитной суспензии и энергии поверхностного сцепления. Показано, что в зависимости от параметра анизотропии поверхностного сцепления в слое ферронематика могут происходить фазовые переходы как первого, так и второго рода.

Ключевые слова: ферронематик, магнитная суспензия, бистабильность.

Within the framework of the continuum theory the influence of anisotropy of the surface cohesion on the magnetic field induced orientational transitions in a flat layer of a ferronematic is investigated. The ferronematic with soft homeotropic conditions of cohesion of magnetic particles with a nematic matrix is examined. Threshold values of magnetic field strength are determined and their dependence on material parameters of magnetic suspension and energy of surface cohesion is studied. It is shown, that in the dependence on the parameter of anisotropy of ferronematic of surface cohesion there can be phase transitions both of the first, and the second order.

Key words: ferronematic, magnetic suspension, bistability.

Введение

Ферронематики представляют собой суспензии иглообразных магнитных частиц на основе нематических жидких кристаллов [1]. В них, в отличие от чистых нематиков, наряду с квадрупольным механизмом взаимодействия с магнитным полем, присутствует еще и дипольный механизм влияния поля на магнитные частицы, поэтому ориентационные переходы в ферронематиках осуществимы в достаточно слабых магнитных полях.

В работе рассматривается слой ферронематика, ограниченный двумя твердыми поверхностями, потенциал взаимодействия с которыми имеет вид

FS = 1W0 sin2 в-(1 - Csin20), (1)

© Захлевных А. Н., Семенова О. Р., 2010

где в - угол между осью легкого ориентирования е = (1,0,0) и директором п, Wo - поверхностная плотность энергии сцепления жидкого кристалла со стенками ячейки, £ - параметр поверхностной анизотропии. При £ = 0 выражение (1) совпадает с известным потенциалом Рапини [2], который хорошо описывает поведение жидкого кристалла, за исключением случая достаточно сильных внешних полей [3 - 5]. При Wo > 0 потенциал (1) в зависимости от значений параметра £ имеет один или два минимума. В работах [4 - 6] показано, что при £ > 0 в нематиках происходят индуцированные магнитным полем переходы Фредерикса первого рода, в то время как для £ < 0 - переходы второго рода. Наличие переходов первого рода приводит к бистабильному поведению жидкокристаллической ячейки.

В данной работе изучается влияние анизотропии потенциала поверхностного сцепления (1), на индуцированные внешним магнитным полем ориентационные переходы в ферронематиках.

Свободная энергия и уравнения равновесия

Рассмотрим плоскопараллельную ячейку ферронематика толщиной L . Предположим, что ось легкого ориентирования е параллельна поверхностям слоя и направлена по оси х: е = (1, 0, 0). Выберем ось 2 перпендикулярно плоскости слоя, так что г = 0 соответствует нижней границе, а 2 = L - верхней границе, внешнее магнитное поле направим вдоль ограничивающих поверхностей в направлении оси у: Н = (0, Н, 0) (рис. 1).

Равновесная конфигурация поля директора и намагниченности определяется условием минимума полной свободной энергии ферронематика

F = |FVdV + |FSdS, (2)

включающей в себя как объемную (3), так и поверхностную (1) части. Объемная плотность свободной энергии ферронематика определяется выражением [1, 7]

2 , ъг ,____а„л2

Рис. 1. Геометрия задачи

Fv =-

Кц^гу п) + К22(пrotп)2 + Кзз(п х rotп)

о кВТ

- 1 Ха(пН)2 -тН +-£/(тп) 2 а

+

В

I 1п I.

(3)

Здесь Кд - константы Франка ориентационной упругости жидкого кристалла, ха -анизотропия диамагнитной восприимчивости, Н - напряженность внешнего магнитного поля, М$ - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, V - объем частицы, I - объемная доля магнитных частиц в суспензии, т - единичный вектор намагниченности М = М$1 т ферронематика, а - диаметр частицы, Т - температура, кВ - постоянная Больцмана. Параметр Wp представляет собой анизотропную часть

энергии поверхностного натяжения на поверхности магнитных частиц и называется энергией сцепления магнитных частиц с нематической матрицей. Предполагается

V

Wp > 0, что отвечает мягкому гомеотропному сцеплению магнитных частиц с нематической матрицей, при котором в отсутствие внешних полей m L n .

Пусть нематик имеет положительную диамагнитную анизотропию (xa > 0 ), в этом случае директор стремится ориентироваться вдоль приложенного поля H, в то же время магнитные частицы также стремятся ориентироваться длинными осями вдоль поля, что вследствие гомеотропного сцепления частиц с матрицей (m L n ) оказывает конкурирующее действие на ориентацию ферронематика.

Представим компоненты директора n и единичного вектора намагниченности m в виде (рис. 1)

n = (cos^(z), sin в(z), 0), m = (— sin/(z), cos/(z), 0), (4)

где в(z) - угол ориентации директора относительно оси x, /(z) - угол ориентации намагниченности относительно поля H .

Выберем в качестве единицы длины толщину ячейки L, тогда величина ~ = z / L будет безразмерной координатой. Определим безразмерные параметры

4 = Msf„LЦK22Xa , к = LtkBTf0/(vK22), wp = L2f„Wp /fed), *0 = W0L/K^, среднюю концентрацию магнитных частиц в суспензии f 3 = Nv / V ( N - число частиц, V - объем ферронематика) и безразмерную напряженность магнитного поля h = LH^Jxa / K22 . Смысл параметров 4 и к обсуждался ранее в работах [8 - 10]. Параметр 4 представляет собой [8] отношение двух характерных полей: 4 = Hq / Hd и

характеризует режимы влияния внешнего поля на ферронематик. Здесь 2

Н^ = K22 /(Msf0L ) - поле, при котором происходит искажение директора под дейст-

—1 1/2

вием только дипольного механизма; Hq = L (K 22/ Ха ) — характерное поле, вызы-

вающее искажение директора под действием квадрупольного механизма. Если 4 >> 1, то ориентационные деформации происходят благодаря дипольному механизму, а в слу-

2 1/2 чае 4 « 1 — квадрупольному. Параметр к = (L / Л) , где Х = (vK22/ f0kbT) , — так

называемая сегрегационная длина [1], задающая характерный масштаб области концентрационного расслоения. Параметр к ответствен за эффект сегрегации, заключающийся в накапливании магнитных частиц в тех областях слоя, где минимальна сумма их магнитной энергии и ориентационной энергии в матрице; в пределе к >> 1 этот эффект несуществен.

Для суспензии магнитных у -Fe2O3 частиц с намагниченностью насыщения Ms ~ 340 Гс, диаметром d ~ 7 • 10—6 см и объемом v ~ 2 • 10—15 см3 [11] на основе нематика МББА при температуре 22 °С с K22 ~ 3 • 10—7 дин и xa ~ 1 • 10 7 ед. СГСМ [12] для ячеек толщиной L ~ 10—2 см и средней концентрации магнитных частиц f ~ 10—6 находим следующую оценку безразмерных параметров 4 ~ 20 и к ~ 10—2. Малое значение параметра к свидетельствует о важности эффекта сегрегации.

Уравнения ориентационного равновесия находятся из условий минимума полной свободной энергии (2) по в, у/ и f и имеют следующий вид:

4 h sin / = wp sin 2(в — /), (5)

1 = ШехР1 — со/ - — ^2(в-/», (6)

к к

1

А1/2(в0,Ив))) = 2^0sin2вo 1 -2£йп2в0 , (7)

в(~)

= | а-1/2(в,щ(в))ав, (8)

в0

( А-'п(в,¥(в))ав = (9)

в0 2

где введены обозначения

в0 = в(~) |~=0, в,„ = в(?)|г.„2, А(в,/(в))=И2(зт2в„, -згп2в) - 2к[ 1(вт ) -1(в)]/./0.

Величина Q определяется условием 11 dV = ^ постоянства числа частиц в суспензии.

Выражение (6) описывает перераспределение магнитной примеси по толщине слоя (эффект сегрегации), так что концентрация магнитных частиц повышается в тех областях ячейки, где минимальна сумма энергии магнитных частиц в поле и их ориентационной энергии в матрице.

Полученная система уравнений (4) - (9) допускает существование трех типов решений, которые соответствуют трем фазам ферронематика с различным упорядочением [13]:

• однородная фаза в = / = 0 отвечает начальному состоянию ферронематика, для которого директор направлен вдоль оси легкого ориентирования, а магнитные частицы ортогональны директору; эта фаза может существовать при И < Ир, где Ир - поле Фредерикса, определяемое уравнениями [13]

2 2 2ч’п%Ир

ЛtgЯ/2 = ^0, Я2 = ИР - р\р . (10)

2^р + %Ир

• возмущенная фаза ферронематика, которой отвечают неоднородные решения 0 <в(~) <п/2; эта фаза возможна в диапазоне полей Ир < И < ^, где пороговое поле И^ (поле насыщения) находится из уравнений [13]

2 2 2мрЕИ?

аШа/2 = ^0(1 -2£), а2 = И| +-----. (П)

2^р - %ИБ

• состояние насыщения в = п/2, / = 0, для которого как директор, так и намагниченность ориентированы вдоль направления приложенного поля; оно возможно при И > ^.

Полная свободная энергия в безразмерных единицах Р = РL /(К 22 S) ( S - площадь ограничивающих пластин), соответствующая однородному упорядочению ру, возмущенному состоянию р^ и состоянию насыщения р^, определяется выражениями

ру = 0, (12)

х A

-1/2

m I 1 о

({ 2 h 2

0

(9,/)d9 + + wq sin 2 9q ( - С sin 2 9q I,

FD = 2 I j1 h2sin2 9m - BV(9)+ 4^(9m ) - <K9)]}[x

?0 {2 J

~ 1 2

FS =-2 h + wp + w0(1 - C) = 2,

(13)

(14)

где B = £h cos / - Wp sin (9-/) и cp(9) = f (9)/ f q. Напомним, что термодинамически устойчивому состоянию отвечает меньшее значение свободной энергии.

Ориентационные переходы в ферронематике

Система уравнений (4) - (9) решалась численно при £ = 5, к = 4 -10_4 , и н’о = 10, что отвечает

Wp = 0.05

L = 2.5 -10 3 см, Жр = 1.7 -10 2 дин/см и

_3

Ж) = 1.2-10 дин/см (например, [7]).

На рис. 2 изображены зависимости поля насыщения И$ (сплошные кривые) и поля

Фредерикса Ир (штриховые кривые) от энергии сцепления ^0 на обкладках слоя. Область ниже кривой Ир (^) отвечает состоянию с однородным упорядочением, выше кривой И$ (^0) для заданного £ -состоянию насыщения. Как видно из рис. 2, рост параметра поверхностной анизотропии £ приводит к уменьшению

поля насыщения И$. В зависимости от энергии сцепления ^0 на нижней границе и параметра £ имеют место соотношения И5 > Ир или И5 < Ир , т. е. кривая И$ (^) лежит выше или ниже кривой Ир (^). Кривые 1 и 2, для которых И5 > Ир, отвечают ориентационным переходам второго рода из однородной фазы в возмущенную и далее с ростом поля - переходу в состояние насыщения. Кривые 5 и 6, для которых И5 > Ир , соответствуют переходам первого рода.

На рис. 3 и 4 показаны зависимости дт (И) и 00 (И) для трех типов упорядочений ферронематика в магнитном поле для £ = 5 , н,р = 0.05 , ^ = 10 и к = 4 -10_4 при значениях параметра поверхностной анизотропии £ = 0 (рис. 3) и £ = 0.3 (рис. 4).

Как видно из рис. 3, соответствующего потенциалу Рапини (£ = 0), при И = Ир = 2.64 (рис. 2) однородная фаза (участок аЬ) переходит в возмущенную фазу

(сплошные кривые 1-6) и поля Фредерикса Ир (штриховая кривая) от энергии сцепления на обкладках слоя ^0 для ферронематика с £ = 5 и м>р = 0.05 .

1 - £ = 0, 2 - £ = 0.1, 3 - £ = 0.2,

4 - £ = 0.3, 5 - £ = 0.4, 6 - £ = 0.5

(переход Фредерикса), так что энергия возмущенного состояния Fp оказывается меньше свободных энергий однородной фазы Fu и состояния насыщения Fs . В интервале полей hF < h < hs возмущенная фаза абсолютно устойчива (участок bc), а в поле h = hs = 10,01 (см. рис. 2) происходит плавный переход в состояние насыщения, т. е. переход второго рода (роль параметра порядка играет величина sin вт ).

Рис. 3. Зависимость углов вт и во от Рис. 4. Зависимость углов вт и во от на-

напряженности магнитного поля И для пряженности магнитного поля И для £ = 5 ,

£ = ^ к = 4-10_4, wp = °.°5, ^ = 10 к = 4-10 “4, wp = 0.05, w0 = 10 и С = 0.3

и С = 0 (штриховые кривые отвечают неустойчивым

состояниям)

Как видно из рис. 4, при С ^ 0 ориентационные переходы происходят отличным от случая С = 0 (рис. 3) образом. При И < Ир однородное упорядочение (вт = в0 = 0) является абсолютно устойчивым, т. к. свободная энергия однородной фазы является наименьшей (участок аЬ). При И = Ир (точка Ь) однородное упорядочение сменяется состоянием с возмущенным упорядочением, аналогично случаю на рис. 3. В интервале полей Ир < И < Ис, где Ис - поле, соответствующее точке с, состояние с возмущенным упорядочением (участок Ьс) абсолютно устойчиво. Как видно из рис. 3 - 5, в поле И = Ис происходит скачкообразный переход (переход первого рода) в состояние насы-

щения, величина ориентационного скачка определяется длиной отрезка cd. Участок кривой cfg, показанный на рис. 4 штриховой линией, соответствует неустойчивым состояниям и определяет область многозначности функций вт (И) и в0 (И), характерную для переходов первого рода. Устойчивые участки кривых вт (И) и в0(И), отвечающие минимуму свободной энергии (12) - (14), показаны сплошной кривой.

Численные расчеты показывают, что при уменьшении параметра поверхностной анизотропии С значения полей И$ и Ис увеличиваются, а скачок параметра порядка в точке перехода И = Ис уменьшается и для выбранных значений материальных парамет-

* * ров обращается в нуль при С = 0.17. Таким образом, при С < С реализуются ориентационные переходы второго рода из возмущенной фазы в состояние насыщения, а при

*

С > С - первого рода.

На рис. 5 показана зависимость критических полей Ир, Ис и И$ от параметра поверхностной анизотропии С для ферронематика с £ = 5, Wp = 0.05, Wо = 10 и

_4 *

к = 4 -10 . Трикритическое значение С = 0.17 отвечает точке пересечения кривых

**

Ис (С) и И$ (С). Другое пороговое значение С = 0.65 соответствует точке пересечения кривых Ир (С) и Ис (С) и может быть определено по формуле

с** = 1 _(ир

_ 2wp )/(2^)), где Ир - поле Фредерикса, определяемое уравнениями (10).

Как видно из рис. 5, кривая Ис (С) является нижней границей области существования устойчивого состояния насыщения, для

**

С < С кривые Ис (С) и Ир (С) ограничивают

область существования устойчивого возмущенного состояния, а пространство между осью абсцисс и кривой Ир (С) соответствует устойчивому

**

однородному состоянию. Для С > С ниже кривой Ис (С) устойчиво однородное упорядочение, выше кривой Ис (С) - состояние насыщения. Та**

ким образом, при С > С происходит фазовый переход первого рода при И = Ис из однородной

**

Рис. 5. Зависимость критических полей фазы в состояние насыщения. Для С > С поле Ир, Ис и Иs от параметра поверхностной Ис находится из условия равенства свободных

ангоотротии С для ферр°нематика с энергий состояния с однородным упорядочением

£= 5, Wp = 0,05, Wо = 10 и к = 4-10-4 ~ ~ ( .

^ Ьщ (12) и состояния насыщения Fs (14):

Ис =д/^р + 2^)(1 _ С) .

Заключение

В работе исследовано влияние поверхностной анизотропии на индуцированное магнитным полем ориентационное упорядочение ферронематика. Вид поверхностного

потенциала был выбран в форме (1). Показано, что в слое могут существовать три типа ориентационного упорядочения: однородное, возмущенное и состояние насыщения.

Установлено, что в зависимости от значений параметра поверхностного сцепления С переход между состояниями с различным упорядочением может быть переходом либо первого, либо второго рода. Найдены пороговые значения параметра поверх**

ностной анизотропии С (при С > С могут быть реализованы фазовые переходы пер** **

вого рода) и С (при С > С происходит переход первого рода из однородной фазы в состояние насыщения, минуя фазу с неоднородным упорядочением). Показано, что рост параметра поверхностной анизотропии С приводит к увеличению ориентационного скачка при фазовых переходах первого рода.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ № 07-02-96007 и № 10-02-96030.

Список литературы

1. BrochardF., Gennes de P. G. // J. de Phys. 1970. Т. 31. P. 691.

2. Rapini A., PapoularM. // J. de Phys. Colloq. 1969. T. 30. P. 4.

3. Sonin A. The Surface Physics of Liquid Crystals. Gordon and Breach Publishers, 1995.

4. Guochen Y., Jianru S., YingL. // Liquid Crystals. 2000. Vol. 27. P. 875.

5. Guochen Y., Suhua Z. // Liquid Crystals. 2002. Vol. 29. P. 641.

6. Yang G. -C., Guan R .-H., Huai J. // Liquid Crystals. 2003. Vol. 30. P. 1225.

7. Burylov S. V., Raikher Yu. L. // Mol. Cryst. and Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107.

8. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. // J. Magn. and Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P. 103.

9. Zakhlevnykh A., Shavkunov V. // Mol. Cryst. and Liq. Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593.

10. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov V. S. // J. Magn. and Magn. Mater. 2000. Vol. 210. P. 279.

11. Burylov S. V., Zadorozhnii V. I., Pinkevich I. P. et al. // Mol. Cryst. and Liq. Cryst. 2002. Vol. 375. P. 525.

12. де Жен П. Физика жидких кристаллов. М. : Мир, 1977. 400 с.

13. Захлевных А. Н., Семенова О. Р. // Вестн. Перм. ун-та. Физика. 2008. Вып. 1(17). С. 80.

Поступила в редакцию 17.02.2010 г.