CC BY
0
Shukurov I.A.
Samarqand iqtisodiyot va servis instituti "Oliy matematika" kafedrasi o'qituvchisi
Rajabboyev X. Q.
Samarqand iqtisodiyot va servis instituti "Ikkinchi va kechki ta'lim» bo'limi Mexmonxona xo'jaligini tashkil etish va boshqarish ta'lim yo'nalishi MXT-K-323-guruh talabasi
BIR JINSLI CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINING TADBIQI
Annotatsiya. Ushbu maqolada bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining iqtisodiy talqini yordamida iqtisodiyotni boshqarishda tejamkorlik hamda muammoli masalalarni yechish, qo 'llash va iqtisodiy jarayonlarni chuqur tahlil qilish haqida so 'z yuritilgan.
Abstract. This article talks about saving and solving problematic issues, application and in-depth analysis of economic processes with the help of the economic interpretation of the system of homogeneous linear equations.
Shukurov I.A. teacher
"Higher Mathematics" department Samarkand Institute of Economics and Service
Rajabboyev H.Q. student of group MXT-K-323 Department "Secondary and Evening Education" Organization and management of hotel business Samarkand Institute of Economics and Service
APPLICATION OF THE SYSTEM OF HOMOGENEOUS LINEAR
EQUATIONS
Kalit so'zlar: bir jinsli, tenglama, yechim, sistema, iqtisodiy muammo, matritsa, chiziqli tenglamalar sistemasi.
Key words: homogeneous, equation, solution, system, economic problem, matrix, system of linear equations.
Agar chiziqli tenglamalar sistemasida ozod hadlar nolga teng bo'lsa, ya'ni b = b = ••• = K = 0 bo'lsa, hosil bo'lgan tenglamalar sistemasi bir jinsli tenglamalar sistemasi deyiladi, ya'ni
'au xi + ai2 x0 H— = 0
a21 xi + a22 x0 H— = 0
„am1 xi + a , m2 x0 H— , = 0
Bu sistema kengaytirilgan matritsaning oxirgí ustuni elementlari nolga teng bo'lgani uchun sistema matritsasi va kengaytirilgan matritsalar rangi teng bo'ladi, ya'ni r(A) = r(A) bo'ladi. Shuning uchun Kroneker-Kaspelli teoremasiga ko'ra bir jinsli tenglamalar sistemasi har doim birgalikda bo'ladi. Masalan, (0,0,..., 0)=0 sistemaning trivial yechimi (nol yechim) bo'ladi.
Tenglamalar sistemasining matritsa ko'rinishi quyidagidan iborat:
AX = 0.
Yuqorida keltirilgan 1-4 xulosalarga ko'ra, agar r(A) = n bo'lsa sistema yagona, nol yechimga ega, agarda r(A) < n bo'lsa, cheksiz ko'p yechimga ega bo'ladi. Demak m = n bo'lgan holda sistema noldan farqli yechimga ega bo'lishi uchun uning determinanti nolga teng bo'lishi zarur va yetarli bo'lar ekan.
Ta'rif. Agаr sistеmаning X, X>•">X -chiziqli еrkli yechimlar sistemasi berilgan bo 'lib, bu sistemaning istalgan X yechimi ularning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo'lsa, ya'ni shunday A,mmm,\ sonlar mavjud bo 'lsaki,
X = A X1 +^2X2 + •••+AXk
bo 'lsa, u holda bu sistema fundamental yechimlar sistemasi deyiladi
Teorema. Agar sistema uchun r(A) < n bo 'lsa, u holda istalgan fundamental yechimlar sistemasi k = n - r(A) ta yechimdan iborat bo'ladi[1].
Masalan.
3Xj + x - 8x3 + 2x + X = 0 2x - 2x - 3x3 - 7x + 2x = 0 X + 11x -12x + 34x - 5x = 0 x - 5x + 2x - 16x + 3x = 0
bir jinsli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini topaylik. Sistemaning oxirgi tenglamasini birinchi o'ringa yozamiz, so'ngra uni zinapoya shakliga keltiramiz:
r1 - 5 2 -16 3 > r 1 -5 2 -16 3 > r 1 - 5 2 -16 3 1
3 1 - 8 2 1 0 16 -14 50 8 0 8 - 7 25 - 4
2 -2 -3 - 7 2 0 8 -7 25 - 4 0 0 0 0 0
v1 11 -12 34 - 5 V v 0 16 -14 50 - 8 V v 0 0 0 0 0 V
Matrisa rangi r (A) = 2. x va x2 o'zgaruvchilarning bazis minori
1 -5 0 8
* 0,
x va x2 o'zgaruvchilarni asosiy o'zgaruvchilar sifatida tanlab olamiz va ularni asosiy bo'lmagan x3,x4 x5 noma'lumlar orqali ifodalaymiz
<
j Xj - 5x2 + 2x3 - 16x4 + 3x5 = 0 [ 8x2 - 7x + 25x4 - 4x5 = 0 Umumiy yechimlar sistemasini hosil qilish uchun asosiy bo'lmagan X3, X4 X5 o 'zgaruvchilarni E birlik matrisa satr elementlari bilan almashtiramiz. x3 = 1,x4 = 0, x5 = 0 deb olinsa, sistemaning ko'rinishi quyidagicha bo'ladi
jx - 5x2 + 2 = 0 [ 8x2 - 7 = 0
19 7
bundan x1 =—, x2 = -, ya'ni birinchi bazis yechimni hosil qilamiz: 8 8
X =
19 7 , _
—; t; 1, 0, 0
Shunga o'xshash yana ikkita bazis yechimni topamiz
x3 = 0,x4 = 1, x5 = 0 bo'lgandax2 = x3 = 0,x4 = 0, x5 = 1 bo'lgandax3 =
3; -25; 0,1,0 |;
í
- H;0,0,1j.
Topilgan X1, X2, X3 yechimlar berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil qiladi. Qulaylik uchun X1, X2, X3 yechimlarning kompanentlarini mos ravishda 8, 8, 2 sonlarga ko'paytirib, butun kompanentli fundamental yechimlar sistemasini hosil qilamiz:
X1 =(19; 7; 8; 0; 0) X2 =(3; - 25; 0; 8; 0) X3 = (-1; 1; 0; 0; 2).
Sistemaning umumiy yechimi esa
X = \ (19; 7; 8; 0; 0) + ^(3;-25;0;8;0) + ^3<-1;1;0;0;2)
ko'rinishida bo'ladi.
Agar n ta noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasida sistema asosiy matritsasining rangi noma'lumlan sonidan bittaga kam bo'lsa, ya'ni r (A) = n -1, u
holda chiziqli tenglamalar sistemasining yechim sifatida n -1 ta tenglamalar sistemasi matritsasining birinch, ikkinchi va h.k ustunlarini o'chirishdan hosil bo'lgan, ishoralari almashinuvchi minorlari sistemasini qabul qilish mumkin. Agar bu minorlar noldan farqli bo'lsa, u holda bu chiziqli tenglamalar sistemasining barcha yechimlari shu sonlarga karrli bo'ladi.
Masalan,
X + 2x2 - x = 0
^Cj ^ 3x3 — 0
bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining
2 Xj + x + 2 x3 = 0
barcha yechimlarini topaylik.
Dastlad, sistemaga mos matrisa rangini hisoblaylik.
f1 2 -1| f1 2 -11
1 -1 21
3
0 - 34
f1 2 -11 0 - 34
2JJ,0 -3 0 0 0y
<
Demak, tenglamalar sistemasi matrisaning rangi r (A) — 2 ga teng va u
noma'lumlar sonidan bittaga kam. Shuning uchun, tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi ^=3-2=1 ta bo'ladi. Sistema ixtiyoriy ikkita tenglamasini olamiz, masalan, birinch va ikkinchi tenglamalarini
^ 2x — 0 + 3x3 — 0
Tenglamalar sistemasiga mos matritsasining birinch, ikkinchi ba uchinchi ustunlarini o'chirishdan hosil bo'lgan, ishoralari almashinuvchi minorlari hisoblaymiz,
X =
2 -1
-1 3
• k — 5k, x — -
1 -1 1 3
• k — -4k X —
1 -1
• k — -3k
bunda k ixtiyoriy son[2].
Demak, sistemaning umumiy yechimi {5k ;-4k; 3k}, bunda k ixtiyoriy son.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Mike Rosser. Basic Mathematics for Economists. - London and New York, Taylor & Francis Group, 2003 y
2. Sharaxmetov Sh., Asraqulova D.C, Qurbonov J.J., Iqtisodchilar uchun oliy matematikadan masalalar to'plami. "Iqtisodiyot". -T.: TDIU. 2012. - 246 b.
<
1
2
