CC BY
118CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMALARIGA OID
MASALALAR Bozarov Dilmurod Uralovich
Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti assistenti https://doi.org/10.5281/zenodo.6636435 Annotatsiya. Mazkur maqolada chiziqli algebraik tenglamalar sistemalariga oid masalalar keltirilgan bo'lib, undagi masalalar 3 xil: Gauss, Kramer va Matritsa usullari bilan yechib ko'rsatilgan. Quyida keltirib o'tilgan 1-masalada qurilish ishlaridagi beton quyuvchilar va chilangarlar sonini yuqorida aytib o'tilgan usullar yordamida hisoblab ko'rsatilgan. 2-masalada esa dizayner ishchilarning buyurtmani necha kunda bajarishligi masalasiga javob topishimiz mumkin.
Kalit so'zlar: chiziqli algebraik tenglamalar, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi, beton quyuvchilar, chilangarlar va dizayner.
ЗАДАЧИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ I Аннотация. В данной работе представлены задачи, связанные с системами линейных алгебраических уравнений, которые решаются 3 типами: методом Гаусса, Крамера и матриц. В задаче 1, которая приводится ниже, количество бетонщиков и сантехников на строительных работах рассчитывается с использованием методов, описанных выше. В вопросе 2 мы можем найти ответ на вопрос, за сколько дней рабочие-конструкторы выполнят заказ.
Ключевые слова: линейные алгебраические уравнения, система линейных алгебраических уравнений, бетонщики, сантехники и проектировщики.
PROBLEMS OF SYSTEMS OF LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS I Abstract. This paper presents problems related to systems of linear algebraic equations, which are solved by 3 types: Gaussian, Kramer and Matrix methods. In Problem 1, which is given below, the number of concrete pourers and plumbers in the construction work is calculated using the methods described above. In issue 2, we can find the answer to the question of how many days the designer workers will complete the order.
Keywords: linear algebraic equations, system of linear algebraic equations, concrete pourers, plumbers and designer.
KIRISH
1-masala. Ma'lumki, Covid-19 nomi bilan "mashhur" bo'lgan tojdor virus butun dunyo pandemiyasini keltirib chiqardi. O'zbekistonda ham 2020 yilning 15 martida tojdor virus aniqlangan birinchi holat qayd etilishi bilanoq unga oid bir qator qat'iy choralar belgilandi. Jumladan, 2020 yil 16 martdan barcha davlat, nodavlat va xususiy ta'lim muassasalarida, jumladan bog'cha, maktab, kollej, litsey va OTMlarda muddatdan oldin ta'til e'lon qilindi va o'qishlar to'xtatildi; 2020 yil 23 martdan boshlab barcha korxona va muassasalarga asosiy ish faoliyatiga ta'sir etmagan holda ishchi va xodimlarni qonunchilikda belgilangan tartibda mehnat ta'tiliga chiqarildi, qolgan ishchilarning faoliyatini maksimal darajada masofadan turib (onlayn yoki distansion tarzda) tashkil etildi.
TADQIQOT MATERIALLARI VA METODOLOGIYASI
Shunday sharoitda 2020 yil 1 may kuni Sardoba suv omborida to'g'on yorilishi natijasida halokat ro'y berdi. Jabr ko'rganlar uchun ko'p qavatli uylar quriladigan bo'ldi. Dastlab qurilayotgan uylarda ishlayotgan beton quyuvchi va chilangar (svarkachi)lar jami soni 450 nafar edi. Karantin sharoitlari yumshagani hamda aholini tezroq uy-joy bilan ta'minlash maqsadida beton quyuvchilar soni 2 barobar, chilangarlar soni esa 5 barobar oshirildi va ularning umumiy soni 1170 nafar bo'ldi. Qurilish ishlariga necha nafar beton quyuvchilar va necha nafar chilangarlar jalb etilganligini aniqlang.
Yechish. Dastlabki:
beton quyuvchilar soni
chilangarlar soni
bo'lsin. Keyinchalik esa:
beton quyuvchilar soni
chilangarlar soni
bo'lgan. Masala shartlariga ko'ra: dastlab
keyin
munosabatlarga egamiz. Masalani yechish ushbu
y
2x:
5 y
2x - "v = 1 ITC:
chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib keladi. Bu tenglamalar sistemasini yechishning bir necha usulini keltiramiz. 1-usul (Gauss usuli). Bu tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi
A matritsaning rangi 2 ga teng, chunki undagi satrlar ((l l) va (2 5)) hamda ustunlar
chiziqli erkli. Ya'ni rank A = rank Akeng =2. Shuning uchun Kroneker-
Kapelli teoremasiga ko'ra bu sistema yagona yechimga ega. Shu yechimni topish uchun kengaytirilgan matritsa ustida elementar almashtirishlar bajaramiz:
Demak, berilgan sistema ushbu
sistemaga teng kuchli (Gauss usulining asosi shunda). Oxirgi sistemaning ikkinchi tenglamasidan y = 90 bo'lib, y ning bu qiymati sistemadagi birinchi tenglamaga qo'yilsa,
v = ot-C: bo'ladi.
Javob: Qurilish ishlarida
Dastlab 360 nafar beton quyuvchi, 90 nafar chilangar,
keyin 2 X x = 720 nafar beton quyuvchi, 5 X y = 450 nafar chilangar ishlagan. TADQIQOT NATIJALARI
2-usul (Kramer usuli). Hosil qilingan chiziqli tenglamalar sistemasida tenglamalar soni (2 ta) bilan o'zgaruvchilar soni (2 ta) teng bo'lgani uchun determinatlar usulida foydalanish mumkin.
Bundan Kramer formulalariga ko'ra
Javob: Qurilish ishlarida
Dastlab 360 nafar beton quyuvchi, 90 nafar chilangar, keyin 720 nafar beton quyuvchi, 450 nafar chilangar ishlagan.
3-usul (Matritsalar usuli). Masala shartlaridan hosil qilingan tenglamalar sistemasi uchun ushbularni yozib olamiz:
- tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi,
- tenglamalar sistemasining o'zgaruvchilari (ustun-)matritsasi,
f 45o \
B = f I - tenglamalar sistemasining ozod hadlari (ustun-) matritsasi.
U holda qaralayotgan tenglamalar sistemasini
matritsa ko'rinishida. yoki qisqalik uchun
ko'rinishda yozish mumkin. Agar A matritsaning ¿I-1 teskarisi mavjud bo'lsa, AX = B
tenglamaning echimi X = A'1 ■ B
= «22 = 5- A12 = -a2l = -2, A21 = -a12 = -1, A22 = «u = 1
SCIENCE AND INNOVATION 2022
№ 2
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL
ya'ni (^ j = bo'lib, bu erdan x = 360 va y = 90 kelib chiqadi.
Javob: Qurilish ishlarida
Dastlab 360 nafar beton quyuvchi, 90 nafar chilangar,
keyinchalik 720 nafar beton quyuvchi, 450 nafar chilangar ishlagan.
MUHOKAMA
2-masala. Dizayner bitta xonaning ichki dizayni uchun 2 kun, bitta uyning tashqi dizayni uchun 3 kun, bitta hovli landshaft dizayni uchun esa 5 kun sarflaydi. Agar xonalarning ichki dizayni bo'yicha buyurtmalar uyning tashqi dizayni bo'yicha buyurtmalardan 3 taga ko'p, hovli landshaft dizayni bo'yicha buyurtmalardan 4 taga ortiq bo'lib, jami buyurtmalarni bajarishga 21 kun sarflangan bo'lsa, dizayner nechta xonaning ichki dizayni, nechta uyning tashqi dizayni va nechta hovlining landshaft dizayni bo'yicha buyurtma bajargan?
Yechish.
ichki dizayn qilinadigan xonalar soni ,
tashqi dizayn qilinadigan uylar soni ,
landshaft dizayni qilinadigan hovlilar soni z
bo'lsin. Masala shartlariga ko'ra
bo'ladi. Demak, masala ushbu tenglamalar sistemasini echishga olib kelinadi: Hosil qilingan bu sistemaning asosiy matritsasi
kengaytirilgan matritsasi esa
bo'ladi. Elementar almashtirishlardan so'ng
A matritsaning rangi 3 ga tengligini ko'ramiz: rang .4 = 3. U holda kengaytirilgan matritsaning rangi harn 3 ga teng bo'ladi: rang Akeng = 3. Kroneker-Kapelli teoremasidan bu
sistemaning yechimga egaligi kelib chiqadi.
1-usul (Gauss usuli).
Javob: Buyurtmalar quyidagicha bo'lgan: 5 ta xonaning ichki dizayni, 2 ta uyning tashqi dizayni, 1 ta hovlining landshaft dizayni qilingan. 2-usul (Kramer usuli).
Javob: x = 1, y = 5, z = 1, ya'ni buyurtmalar quyidagicha bo'lgan: 5 ta xonaning ichki dizayni, 2 ta uyning tashqi dizayni, 1 ta hovlining landshaft dizayni qilingan. XULOSA
3-usul (Matritsalar usuli). Masala shartlaridan hosil qilingan tenglamalar sistemasi uchun ushbularni yozib olamiz:
U holda qaralayotgan tenglamalar sistemasini
SCIENCE AND INNOVATION 2022
№ 2
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL
matritsa ko'rinishida. yoki qisqalik uchun
AX = B
tenglamaning echimi X = A~1 -B
¿12 =
«21 «23 1 -1
«31 «33 2 5
= -7,
¿13 =
¿21 =
«21 «22 1 0
«31 «32 2 3
«12 «13 -1 0
«32 «33 3 5
,
¿31 =
«12 «13 -1 0
«22 «23 0 -1
,
¿32 = C-D3+2
¿33 = C-l)3+3
all a13
a21 a23
all a12
a21 a22
1 0
1 -1
= ■
1 -1 1 0
= :.
Topilgan bu qiymatlarni formulaga qo'yib, ushbu matritsani hosil qilamiz
Hisoblab topilgan bu A 1 matritsa A matritsaga teskari bo'ladi (Haqiqatan ham,
ya'ni A - A 1 = E. Xuddi shuningdek, A 1 ■ A = E ekanligini ham ko'rsatish mumkin)
Demak,
ya ni
bo'lib, bu yerdan x = 5,
: kelib chiqadi.
Javob: x = 1, у = 5, z = 1, ya'ni buyurtmalar quyidagicha bo'lgan: 5 ta xonaning ichki dizayni, 2 ta uyning tashqi dizayni, 1 ta hovlining landshaft dizayni qilingan.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Заитов А. А. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебное пособие. - Т.: «Тафаккур авлоди», 2020 йил. (ОУМТВ нинг 2020 йил 4 майдаги 285-сонли буйруги, Руйхатга олиш раками 285-015).
2. Бозаров Д. У. Determinantlar mavzusini mustaqil oqishga doir misollar //Журнал Физико-математические науки. - 2022. - Т. 3. - №. 1.
3. Бозаров Д.У. Matritsalar mavzusini mustaqil o'zlashtirishga doir misollar //Мугаллим х,ам узликсиз билимлендириу. - 2022. - Т. 3. - №. 3.
4. Madirimov M., Absoatova H. G'. Noaniqlik sharoitida tavakkallik matrisasini aniqlash. //Fizika-matematika fanlari. No 1, 4 - 8 бб., 2021 yil.
5. Бозаров Д.У. Chiziqli va kvadratik modellashtirish mavzusini mustaqil o'rganishga doir misollar //Yevrosiyo matematika nazariyasi va kompyuter fanlari.- 2022. - №3.
6. Атамурадова Д. Р., Алламова М. К. Ketma-ketlik nechta limitga ega? //Физика математика информатика. 2021 йил, № 6.
7. Атамурадова Д.Р. Рекомендации по самостоятельному изучению темы «Топологические пространства. Открытые и замкнутые множества». //Научный вестник Ташкентского государственного педагогического университета. 2020, № 12, стр. 271-274.
8. Мужикова А. В. Интерактивное обучение математике в вузе. //Вестн. Сыктывкарского ун-та, 2015, № 1 (20), стр. 74-90.
9. Шамова Т. И. Управление образовательными системами : учеб. пособие. - М.: Академия, 2002. - 384 с.
10. Шахова С. А. Определители. Учебно-методическое пособие. - Барнаул: Изд-во Алтайского государственного университета, 2019 - 73 с.
11. Uralovich B. D., Normamatovich R. B., O'g'li A. Z. A. Sonlardan ildiz chiqarish haqida //Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences. -2021. - Т. 1. - №. 4. - С. 1428-1432.
12. Olimov, K. T., Tulaev, B. R., Khimmataliev, D. O., Daminov, L. O., Bozarov, D. U., & Tufliyev, E. O. (2020). Interdisciplinary integration-the basis for diagnosis of preparation for professional activity. Solid State Technology, 246-257.
