CC BY
117
УДК 531/534: [57+61]
БИОМЕХАНИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКА ВИСОЧНО-НИЖНЕЧЕЛЮСТНОГО СУСТАВА КАК ПОРОУПРУГОГО ТЕЛА
В.М. Тверье, А.С. Миленин
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Россия, 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, e-mail: artmil06@yandex.ru
Аннотация. Диск височно-нижнечелюстного сустава играет ключевую роль в работоспособности самого сустава и зубочелюстного комплекса в целом. Основной фактор, влияющий на работоспособность диска, - величина механических напряжений, вызванных различными нагрузками. Для оценки значения и распределения этих напряжений необходимо провести биомеханическое моделирование диска. Наибольший интерес для моделирования представляет центральная зона суставного диска, наиболее подверженная сжимающим нагрузкам и не имеющая возможность для самовосстановления. Изучение гистологии и физилогии диска показывает, что оптимальной для описания механического поведения диска под нагрузкой является изотропная пороупругая модель. Она позволяет оценить напряженное состояние диска и объяснить с точки зрения механики роль синовиальной жидкости внутри него. В работе на основе постановки задачи линейной изотропной теории пороупругости построена модель поведения диска височно-нижнечелюстного сустава под нагрузкой. Решение основано на задаче Манделя и сводится к начально-краевой задаче для нестационарного параболического уравнения. Из анализа результатов видно, что распределение давления жидкости в диске при приложении постоянной силы позволяет снизить величину механических напряжений в упругом хрящевом скелете, защищая его от разрушения. Исследована зависимость величины давления синовиальной жидкости от коэффциента гидравлической проницаемости, для чего был проведен анализ результатов решения для модели с различными величинами этого коэффициента. Решение показывает, что чем ниже величина коэффициента, тем медленнее происходит перераспределение давления жидкости и напряжений в скелете, что приводит к повышению его жесткости. При более высоком значении коэффициента проницаемости перераспределение давления происходит быстрее, что снижает величину механических напряжений. Показано, что результаты биомеханического моделирования определяются во многом точностью экспериментального вычисления материальных констант.
Ключевые слова: диск, височно-нижнечелюстной сустав, пороупругость, коэффициент гидравлической проницаемости, закон Дарси.
Введение
Заболеваниям височно-нижнечелюстного сустава подвержено около 40% людей в мире в возрасте 20-40 лет, причем женщины болеют чаще, чем мужчины [17]. В настоящее время этимология заболеваний височно-нижнечелюстного сустава изучена слабо, существует лишь их примерная медицинская классификация. Причинами этого служат различные факторы: от сложной анатомии самого сустава до широкого спектра
© Тверье В.М., Миленин А.С., 2014
Тверье Виктор Моисеевич, к.т.н., доцент кафедры теоретической механики и биомеханики, Пермь Миленин Артем Сергеевич, аспирант кафедры теоретической механики и биомеханики, Пермь
различных заболеваний и травм, которым подвержены компоненты сустава. Более того, проблематично определить первоначальный источник заболеваний, так как весь височно-нижнечелюстной сустав - сложная система с обратной связью и заболевание (повреждение) одного компонента неминуемо приводит к заболеваниям остальных [2, 4, 5]. Но изучение литературы показывает, что, как правило, практически ни одно заболевание компонентов сустава не обходится без их механического повреждения, будь то вывих, растяжение, разрыв мягких тканей сустава под действием чрезмерной ударной нагрузки или усталостные повреждения из-за избыточной величины силы трения между поверхностями [7, 8].
Анатомия, физиология и гистология диска
височно-нижнечелюстного сустава
Условно височно-нижнечелюстной сустав можно представить в виде следующих компонентов: твердые костные элементы - мыщелок нижней челюсти, височная кость и височно-нижнечелюстная ямка, а также мягкие ткани - хрящ, покрывающий костные поверхности, связки, мышцы и фиброзная прокладка между суставными поверхностями (диск).
Суставной диск - наиболее сложное структурное образование в височно-нижнечелюстном суставе как с точки зрении физиологии, так и по его назначению. В 70% процентах случаев заболевания височно-нижнечелюстного сустава связаны со смещением диска [17]. По форме он напоминает двояковогнутую линзу с ярко выраженными утолщениями по краям, причем чем толще периферийные зоны диска, тем тоньше его центральная (промежуточная) часть. Так, толщина центральной зоны составляет примерно 1,0-1,2 мм, периферии - 2,4-3,1 мм. Утолщение диска по краям обусловливается не только анатомическими соображениями ввиду неконгруэнтности суставных поверхностей, но и тем фактом, что там расположены связки, отвечающие за движение диска, нервные окончания и кровеносные сосуды, питающие как периферию диска, так и связки.
Диск представляет собой сложную структуру: твердый хрящевой матрикс, насыщенный синовиальной (суставной) жидкостью [9]. Содержание жидкости в диске составляет примерно 70% от общей его массы. Синовиальная жидкость снижает трение между суставными поверхностями, а также обеспечивает питание диска в центральной зоне, свободной от кровеносных сосудов.
Хрящевой скелет по большей части состоит из двух элементов: сети коллагеновых волокон и интегрированных в нее неподвижных белковых молекул -протеогликанов.
Коллагеновые волокна составляют около 75% от сухой массы диска. Их направление сильно меняется в зависимости от зоны диска. Коллагеновые волокна максимально приспособлены для работы диска на растяжение. Они имеют вид пружин, что дает им некий запас прочности при чрезмерном удлинении: при работе в своей физиологической области форма волокон диска практически не меняется, но при выходе (в случае повышенного нагружения) из нее сжатые волокна начинают распрямляться, не удлиняясь при этом сами по себе. Физиологическая зона деформации диска составляет примерно 4%.
Протеогликаны отвечают за переработку синовиальной жидкости в диске, превращая ее в гелеобразную связующую жидкость - мукоид, а также продуцируют различные белковые соединения, поддерживающие состояние коллагеновых волокон. Мукоид в центральной зоне диска «связывает» коллагеновые волокна, что позволяет при некотором приближении рассматривать структуру диска как однородную. Физиология протеогликанов такова, что они наиболее приспособлены
к сопротивлению сжимающим нагрузкам. Неслучайно наибольшая концентрация протеогликанов наблюдается в центральной зоне диска, где сжимающая нагрузка максимальна.
Переработанная синовиальная жидкость частично впитывается лимфоузлами, расположенными на периферии диска наряду с кровеносными сосудами, а частично свободно вытекает обратно в суставную сумку.
Ввиду несоответствия суставных поверхностей, площадь контакта мыщелка и суставной ямки мала, что при больших нагрузках приводит к появлению концентратора механических напряжений в суставе. Роль суставного диска - равномерно распределить такую нагрузку по всей площади суставных поверхностей. Исследования показывают, что при различных положениях нижней челюсти положение вектора суммарной реакции в суставе также различно, в связи с этим диск также способен сильно менять свою форму и адаптироваться к различным условиям нагружения. Кроме того, диск височно-нижнечелюстного сустава наравне с синовиальной жидкостью отвечает за минимизацию сил трения в суставе - коэффициент трения между суставными поверхностями при заболеваниях суставного диска увеличивается примерно в 10 раз, что, в свою очередь, приводит к износу суставных поверхностей и дальнейшему прогрессирующему развитию патологий.
Актуальность задачи
На основании вышесказанного можно сделать вывод, что поведение височно-нижнечелюстного сустава под нагрузкой во многом определяется состоянием его межсуставного диска. Основной фактор, влияющий на его функционирование, -механические напряжения от различных внешних сил.
Центральная зона диска подвержена наибольшим сжимающим нагрузкам в процессе жизнедеятельности. Более того, ввиду отсутствия в этой зоне кровеносных сосудов ее самостоятельная регенерация при механическом повреждении практически невозможна.
Как правило, лечение заболеваний такого рода носит неинвазивный характер: это могут быть физиологические процедуры, медикаментозное лечение, ношение специальной капы, корректирующей прикус и снижающей нагрузку на сустав. Но в сложных случаях заболевания также используются хирургические методы. Чтобы избежать операционного вмешательства и для профилактики заболеваний на начальной стадии, необходимо провести биомеханический анализ диска височно-нижнечелюстного сустава.
Именно поэтому центральная зона диска представляет особый интерес с точки зрения изучения величины и распределения механических напряжений.
Биомеханическое моделирование диска
височно-нижнечелюстного сустава
Экспериментальное исследование механических свойств диска височно-нижнечелюстного сустава сильно затруднено ввиду невозможности проведения испытаний на человеческом диске - структура диска начинает меняться практически сразу после смерти, что снижает его механические свойства. По этой причине испытания проводят на суставных дисках животных - обезьян, собак, свиней и крупного рогатого скота [24]. Различная техника, размеры, прикладываемые нагрузки, крепление образцов дисков делают невозможным попытки сопоставить результаты экспериментов. Так, разброс значений модулей упругости диска по различным источникам может отличаться в 100 раз [22, 23].
Ввиду сложности проведения экспериментов на натурных образцах диска и дальнейшей верификации полученных данных, основной упор при исследовании напряженно-деформированного состояния делается на биомеханическое моделирование диска. Это, в свою очередь, также вызывает ряд затруднений. Таковым является выбор модели поведения диска под нагрузкой.
При первых попытках моделирования поведения височно-нижнечелюстного сустава под нагрузкой диск рассматривался исключительно как упругая прокладка между суставными поверхностями, а синовиальной жидкости отводилась роль смазки в суставе. В итоге была построена линейная упругая изотропная модель суставного диска под нагрузкой, которая позволяла найти напряженно-деформированное состояние в различных областях не только диска, но и комплекса сустава в целом [12, 16, 23].
Дальнейшее изучение анатомии, физиологии и механического поведения диска привело к тому, что роль суставной жидкости, а также всей системы взаимодействия хрящевого матрикса с жидкостью была пересмотрена. Было отмечено, что поведение диска под нагрузкой нелинейно и явно зависит от времени нагружения. Результаты расчета показывали, что величина механических напряжений в нагруженном диске падает с течением времени, иными словами, в диске происходит процесс релаксации напряжений. В связи с этим был сделан вывод о вязкоупругом поведении диска [18, 20, 22].
Последующие работы по моделированию диска опирались на медицинские и анатомические данные о том, что диск под нагрузкой подвергается большим деформациям и, более того, его поведение нелинейно зависит от приложенной нагрузки. Гипотеза о больших деформациях привела к появлению изотропных гиперупругих моделей диска височно-нижнечелюстного сустава [1, 10] (в большинстве случаев на основе модели Муни-Ривлина [14, 21]). Стоит отметить, что распределение напряжений в диске при упругом и гиперупругом его поведении схоже, по-видимому, по причине обратимости процесса, но в случае гиперупругой модели наблюдаются более низкие значения напряжений. Как и для упругих моделей, для гиперупругого механического описания поведения диска характерен большой разброс в значениях параметров модели.
Современные работы по моделированию диска височно-нижнечелюстного сустава строятся на предположении, что диск является пороупругим телом, в котором жидкость наравне с хрящевым матриксом играет важную роль в формировании напряженно-деформированного состояния всей височно-нижнечелюстной системы. В то же время авторы таких моделей делают упор на нелинейную упругость скелета диска, учитываемую путем введения гиперупругого соотношения в модель пороупругости (порогиперупругая модель) [11].
В литературе известен также аналог пороупругой модели - двухфазная модель диска височно-нижнечелюстного сустава [9]. Она очень близка к пороупругой модели, но, ввиду ее отсутствия в численных пакетах, она не получила большого распространения.
Порогиперупругая модель дала хорошие результаты при сравнении ее с экспериментальными данными. Эта модель получила дальнейшее развитие с учетом анизотропии структуры диска, а именно с учетом строения и расположения коллагеновых волокон. Результаты расчета напряженно-деформированного состояния такой модели говорят, что рассмотрение волокон позволяет более точно рассчитать напряженное состояние и величину гидравлического давления жидкости в диске.
В большинстве случаев результаты работ по моделированию диска были верифицированы авторами путем сравнения с различными экспериментами и показали довольно хорошую аппроксимацию экспериментальных данных. Как бы то ни было, это не может служить объективной оценкой адекватности той или иной модели, так как, как было отмечено ранее, существует большая разница в технике проведения экспериментов и полученных результатов. Одна модель может быть верифицирована на основании отдельно взятого эксперимента, но совершенно не подойти для описания другого.
Еще одним недостатком работ по моделированию диска является отсутствие математической и, главное, физиологической постановки задачи. Это приводит к отсутствию аналитических решений модели и, как правило, снижает ее механический смысл. Более того, отсутствие физиологического обоснования модели, такого как, к примеру, взаимодействие системы твердого хряща и суставной жидкости, может привести к неверному выбору определяющих соотношений.
Так, недостатком вязкоупругой модели является невозможность учета явления наполнения диска жидкостью при его разгрузке. Иными словами, вязкоупругая модель может описать поведение диска при постоянной нагрузке, но совершенно не подходит для рассмотрения динамического нагружения сустава.
Целью данной работы является моделирование центральной зоны диска как наиболее нагруженного сжимающей нагрузкой со стороны нижней челюсти, а также не имеющей кровеносных сосудов для самостоятельного «лечения». В центральной зоне диска отсутствуют большие деформации (физиологическая (упругая) зона работы диска 4% [22]), что позволяет сделать предположение, скорее, об упругом, нежели гиперупругом поведении диска. Наличие же мукоида в этой зоне позволяет рассматривать коллагеновую структуру диска как однородную.
Учитывая это, а также необходимость рассмотрения динамической модели поведения диска под нагрузкой, наиболее адекватной кажется выбор изотропной пороупругой модели. Также для максимально точного описания механического поведения диска необходимо рассматривать аналитическую постановку задачи и ее решение.
Постановка задачи пороупругости
В рамках теории пороупругости тело рассматривается как сложная структура, состоящая из двух сред: упругого твердого скелета (матрикса) с поровым пространством и жидкости, заполняющей это пространство. Поведение каждой среды (деформация, кинематика) по отдельности описано и хорошо известно из теории упругости и механики жидкости и газа, механическое взаимодействие же этих сред является ключевой идеей в теории пороупругости.
Пороупругая среда неоднородна на микроскопическом уровне. Чтобы избавиться от неоднородности структуры и описать такую среду как сплошную, обладающую свойствами как твердого тела, так и жидкого, вводится следующее допущение: на макроуровне пороупругую среду рассматривают в таком масштабе, который делает возможным учет таких процессов в теле, как фильтрация жидкости внутри скелета, но в то же время позволяет пренебречь неоднородностью структуры. Иными словами, гипотеза предполагает существование некого представительного элементарного объема, который на макроуровне обладает свойствами всех сред, составляющих это тело.
T
Г„
Гп
Гс
Рис. 1. Пороупругое тело под нагрузкой
Основное уравнение, описывающее связь напряжения и деформации в пороупругом теле под нагрузкой (рис. 1), предложил М.А. Био в 1941 году [13]:
+ ЪР5» = 2Ge„ + —е Л
1 - 2и
0" У'
(1)
где о, - тензор напряжений в твердом скелете пороупругого тела; р - гидравлическое давление жидкости внутри пороупругого тела; G - модуль сдвига; и - коэффициент
к
Пуассона; Ь - коэффициент Био (Ь=[0, 1], Ь=1 в случае несжимаемости тела), Ь = 1--;
К - объемный модуль пороупругого тела; К - объемный модуль твердого скелета; 8, - тензор деформаций в твердом скелете пороупругого тела; 80 - объемная
деформация твердого скелета пороупругого тела; 5, - дельта Кронекера.
Левую часть равенства (1) можно записать в виде
о, = О, + ЬРЬ,,
о, - тензор общих напряжений в пороупругом теле.
При нагружении пороупругого тела происходит повышение давления жидкости внутри него и, как следствие, жидкость начинает течь. При этом содержание жидкости в теле начинает изменяться. Величина характеризует изменение этого объема относительно его начального значения.
Соотношение, описывающее связь между давлением жидкости р и величиной ,
р = М й - Ь8 о), (2)
и)
где М - модуль Био, М=[0, ю], М = —-и-; ии - коэффициент Пуассона
Ь (1 - 2ии)(1 - 2и)
пороупругого тела, полностью насыщенного жидкостью.
Как было отмечено, после приложения нагрузки к пороупругому телу внутри него жидкость начинает течь через поры. Такое фильтрационное движение жидкости описывает закон Дарси - одно из решений системы уравнений Навье-Стокса. Закон Дарси эквивалентен приложению к каждой точке среды массовой силы вязкого сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, иначе говоря, это закон, при котором сопротивление пропорционально первой степени скорости фильтрации
=- к ■ Р,, (3)
где V, — средняя скорость фильтрации жидкости (относительная скорость движения
жидкости в пористом теле); к - коэффициент гидравлической проницаемости. Также для постановки задачи необходимы следующие уравнения. Уравнение равновесия
j=0
уравнение неразрывности жидкости
геометрическое соотношение Коши
дк dt
+ vtl = 0,
Е'= I
1 ( duL + dUj ^
dx. dx.
\ i 1 J
(4)
(5)
(6)
где и{ — перемещение твёрдого скелета относительно его начального положения. Граничные условия
V, = 0, УхеГр,
аи ■п, = Т, Ух еГ^ 1, р = р, ух еГ р.
Начальные условия
ui 11=0 = ui , к| t=0 = 0, p\t=0 = P0-
Пороупругая модель диска височно-нижнечелюстного сустава
Для моделирования поведения диска височно-нижнечелюстного сустава под нагрузкой и определения величины механических напряжений в диске, а также их распределения с течением времени необходимо найти зависимость напряжений от величины гидравлического давления синовиальной жидкости внутри него.
Для решения такой задачи использована постановка классической задачи Манделя, которая ранее ставилась для насыщенных влагой грунтов [15, 19]. Постановка этой задачи впервые использовалась для биомеханического моделирования в данной работе. Решение задачи проводилось методом преобразования Лапласа в отличие от первоисточника, в котором задача решалась методом Фурье, причем результаты решения совпали. Решение методом Фурье, примененным в оригинальной постановке задачи Манделя, имеет ряд особенностей, которые реализуются не во всех случаях. Универсальным способом для аналитического решения таких задач является метод преобразования Лапласа.
Представим центральную зону диска височно-нижнечелюстного сустава в виде плоского прямоугольного тела длиной 2а. Мыщелок нижней челюсти и чешуйчатую часть височной кости будем рассматривать как две жесткие непроницаемые пластины, окружающие диск сверху и снизу (рис. 2).
Будем рассматривать плоско-деформированное состояние тела, 8 гг = 0. Синовиальная жидкость свободно вытекает из центра диска к лимфоузлам на периферии, в связи с этим закрепления на краях отсутствуют и ахх = 0 .
F
y> 2a -*x
Г 1 Г 1 М С 1 Г (1 ( ^ (
F
Рис. 2. Пороупругая модель диска височно-нижнечелюстного сустава
В начальный момент диск не нагружен, далее к центру нижней и верхней пластины прикладывается постоянная сжимающая сила в направлении оси у, моделирующая жевательную нагрузку и равная ¥ = 2аю. Касательные напряжения ау = 0 на участке контакта пороупругого тела и пластин в связи с тем, что коэффициент трения синовиальной жидкости близок к нулю.
Решение задачи
Чтобы получить решение задачи в виде зависимости механических напряжений в твердом хрящевом скелете от давления суставной жидкости внутри пороупругого диска, необходимо выполнить некоторые дополнительные преобразования.
Получив зависимость деформаций твердого скелета от напряжений (соотношение, обратное (1)), а также использовав уравнения неразрывности деформаций Сен-Венана и уравнения равновесия, запишем уравнения Бельтрами-Митчела для пороупругого тела:
_ 1 + и
&г] _
( + ъР*и)-E (о+Ър '
д 28 „
5 V
д 28,
д Ч,
dxi dx. dxk dxt dxi dxk dx. dxt
о.. . _ 0.
г], i
2 1 — 2u 2
oV2ott + 2Ъ--V2p _ 0.
1 — и
(7)
Подставив определяющее соотношение (1) в уравнения равновесия с учетом геометрических соотношений Коши и применяя оператор дивергенции, получим
О],] _ 0 1 f
_ 2
duг du
dx. dxг V ] г j
8° _V-U,
of K + 4 G JV2 8° — bV2 p _ 0.
(8)
о] _ (K — з G)8°5] + 2G8i — Ър5].
Используем оператор дивергенции к записи закона Дарси (3) и подставим полученное выражение в уравнения неразрывности жидкости:
\г = -KV' Р, d*
dt
= — ,.
o^1 = KV2 p. dt
(9)
С помощью выражений для преобразования пороупругих констант выразим соотношение (2) через ^ и величину среднего напряжения сй :
°kk = 3Ke0 - 3bP, p = M (l - be o),
Ku = K+ь2м, o l = KK(1^kk + -p).
в = bM.
Ku
(10)
Применим оператор Лапласа к соотношению (2) и подставим его в (9) с учетом уравнения (8):
^ = KV 2 Р, dt 4
4 kM (K +—G)
(K +—G)V2eo - bVp = 0, o ^ = ^ V2
V21 = bV2e 0 +—V2 p. oM
b M + K + -G
(11)
Если ввести коэффициент консолидации
С/ =
kM (K +—G)
4
Ku +- G
u 3
то выражение (11) примет вид параболического уравнения
51 д 2l — = c
dt
/ dx2'
(12)
Равенство (12) с учетом (10) позволяет переписать параболическое уравнение
в виде
_di = dü
dt =С/ dx2'
* ь (1 k 13 G
d
o — dt
Г1 + p 1 d2 Г1 + p 1
- G kk +— _ 3 в _ С/ dx2 - Gkk +— _ 3 в _
(13)
kk
в
Получив все необходимые дополнительные выражения, непосредственно к решению задачи.
Вернемся к допущениям, сделанным вначале,
обратимся
G„, = 0,
ХУ
= 0,
е гг = 0.
(14)
С учетом системы допущений (14) упростим соотношения (2) в виде
окк = (1 + и) о^ - (1 - 2и)Ър.
(15)
В момент приложения нагрузки ¥ = 2аю (при ¿=0) значения давления суставной жидкости и напряжений в хрящевом матриксе имеют вид
Gyy|t=0 = -(0,
P|t=0 = 1B(1 + Uu м
(16)
где B - коэффициент Скемптона, B=[0, 1] и
B = -
С - С
(С - С,) + n(Cfluid - С,)
С - сжимаемость пороупругого диска, С = —; С - сжимаемость твердого хрящевого
К
1
скелета, С, = —; С
s Ts- "> ^ fluid s
сжимаемость синовиальной жидкости внутри диска,
С =•
^ fluid
1
K
fluid
Для того чтобы в дальнейшем упростить решение задачи, обратимся к приведенным величинам координаты х, времени давления р и напряжения огу:
о.
=
Ю
Р =
1 B(1 + U )ю
(17)
_ х
X = —,
a
t =
CiL
a2 "
Подставим равенство (15) в полученное ранее выражение (7) и дважды проинтегрируем. Получим
о = о - , yy yylx=1
U - U _
-Р,
(18)
1 - и
где - полученное при интегрировании значение напряжений на границе тела
при условии, что на границе р|х=!=0 (свободное вытекание жидкости).
Приводя с помощью (17) к безразмерному виду соотношение (15) и суммируя результаты (13), (18), получим конечный вид нестационарного параболического уравнения
д7
о yy (1, t) + Т-^Р
1 - и
д
дх2
О yy (1, t ) +
1 - и
(19)
со следующими граничными и начальными условиями
= 0
т- X=0 и '
ах
Р\х=1 = 0,
р|- = 1 (20)
И\г =0
1
| Рах = 1(7 X
0
где 1 (^) - заранее неизвестная функция.
Решая систему равенств (19) и (20) методом преобразования Лапласа, получим выражения для давления синовиальной жидкости в пористом диске и напряжений в его твердом хрящевом скелете:
- cos(ax) - cos ап . -а27 p = -^^-sin апе .
n=1
а - sin а cos а„
О yy =-1 + 2
yy
Uu - U '
1 - и
31и а„
п=1
а„ - sin а cos а„
1 - и
и,, - и
cos ап - cos^nx)
(21) (22)
Результаты
Графические результаты расчета модели приведены ниже. На рис. 3, а представлено распределение гидравлического давления в пороупругом теле, на рис. 3, б - распределение напряжений в твердом упругом скелете диска височно-нижнечелюстного сустава с течением времени.
В начальный момент времени давление в центре тела близко к начальному, но превышает его на некоторую величину. Это можно объяснить тем, что при приложении нагрузки деформация упругого скелета происходит мгновенно, течение вязкой жидкости же происходит с конечной скоростью. Чтобы начать течение, требуется определенное усилие, в связи с этим давление в порах возрастает и превышает его начальное значение. Данный эффект играет положительную роль в функционировании диска: давление в порах и напряжения в упругом скелете связаны, как можно заметить из уравнения (18), чем выше гидравлическое давление, тем ниже напряжения хрящевого скелета, следовательно, такое возрастание давления не дает диску разрушиться под действием мгновенно приложенной нагрузки.
-0.
-0,9
-1,0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
г—г-
0.8
1,0 X 5
а б
Рис. 3. Перераспределение с течением времени безразмерного давления синовиальной жидкости (а) и безразмерных напряжений оуу в твердом хрящевом
скелете (б) диска височно-нижнечелюстного сустава. Кривая 1 - при t = 0,001; кривая 2 - при t = 0,01; кривая 3 - при t = 0,1; кривая 4 - при t = 1; кривая 5 -
при t = 2
Далее, рассматривая зависимость гидравлического давления от длины модели в различные моменты времени, наблюдается падение давления по всему телу по экспоненте в связи со свободным вытеканием жидкости по краям. Иными словами, с течением времени течение жидкости развивается и в теле происходит перераспределение давления.
Поскольку давление в жидкости падает, напряжения в диске возрастают, что видно на графиках (см. рис. 3, а). Такое поведение напряжений и давления в диске способствует равномерному распределению нагрузки, предотвращает его от механических повреждений, а также обеспечивает питание зон, свободных от кровеносных сосудов.
Анализ решений с различными коэффициентами гидравлической
проницаемости
Различные механические упругие константы для диска височно-нижнечелюстного сустава получены многими авторами по итогам проводимых различных экспериментов. Но применение пороупругой модели диска требует рассмотрения не только упругих параметров, но и таких, как, например, коэффициент гидравлической проницаемости диска, входящий в запись закона Дарси.
Изучение литературы показывает, что значение данного коэффициента для диска не определено и для расчета по большей части используют значения коэффициентов для мениска коленного сустава или хряща, покрывающего костную поверхность.
От величины коэффициента проницаемости непосредственно зависит возможность диска сопротивляться нагрузкам, его жесткость. Это связано с тем, что коллагеновые волокна хрящевой структуры диска хорошо работают на растяжение, но в то же время оказывают слабое сопротивление сжатию. Как было замечено, структура диска не разрушается под действием нагрузки благодаря перераспределению давления
жидкости внутри него, которое, в свою очередь, зависит от коэффициента проницаемости. То есть можно сделать вывод, что коэффициент проницаемости влияет на способность диска сопротивляться сжатию и, следовательно, его разрушению. Низкая величина коэффициента говорит о том, что на перераспределение давления и напряжения в теле требуется значительно большее количество времени (если рассматривать диск височно-нижнечелюстного сустава, то это больше одного физиологического цикла нагружения при жевании - 1 секунды). Как следствие, это ведет к увеличению его жесткости. В случае с высоким значением коэффициента проницаемости быстрый обмен жидкости в хряще приводит к существенному уменьшению жесткости и, соответственно, уменьшению напряжения в структуре. Значение коэффициента проницаемости для хрящей разных видов зависит от их функциональности и назначения. Также коэффициент проницаемости зависит от возраста человека: «молодые» диски содержат сравнительно больше жидкости, нежели диски людей зрелого возраста, что приводит к уменьшению упругости хрящевого скелета. Напротив, количество коллагеновых волокон увеличивается с возрастом при неизменном объеме жидкости, что дает повышенное сопротивлению сжатию.
Для подтверждения этой гипотезы был проведен эксперимент по определению коэффициента гидравлической проницаемости диска височно-нижнечелюстного сустава на суставных дисках свиньи. По итогам эксперимента получено среднее значение коэффициента гидравлической проницаемости диска височно-нижнечелюстного сустава к =5,86-10-15 м2/Па-с [3, 6].
Для сравнения: значения коэффициента проницаемости для суставного хряща больше в 0,3 раза, для мениска коленного сустава - примерно в 1,2 раза.
На рис. 4 представлены графики перераспределения давления в различных хрящевых образованиях (диск височно-нижнечелюстного сустава, мениск коленного сустава, гиалиновый хрящ) с течением времени.
На начальном этапе, когда течение жидкости еще развито недостаточно, разница в значениях давления незначительна. Далее с течением времени эта разница существенно возрастает. В последний рассматриваемый момент времени величина давления в гиалиновом хряще примерно в 20 раз больше, чем в диске височно-нижнечелюстного сустава и мениске коленного сустава. Эта разница обусловливается физиологическим отличием и назначением гиалинового хряща от мениска и диска височно-нижнечелюстного сустава, роль которых примерно схожа функционировании суставов.
Из решений видно, что величина коэффициента гидравлической проницаемости сильно влияет на значение гидравлического давления и, как следствие, на величину механических напряжений в твердом хрящевом скелете. Это, в свою очередь, подтверждает, что сопротивляемость сжатию напрямую зависит от значения коэффициента проницаемости. Данные результаты служат подтверждением нашего предположения о том, что коэффициент проницаемости для различных видов хрящей, в том числе для диска височно-нижнечелюстного сустава, необходимо уточнять экспериментально.
Заключение
Высокий процент заболеваний и дисфункций височно-нижнечелюстного сустава, связанных с механическими повреждениями суставного диска, а также сложные и дорогостоящие методы их лечения свидетельствуют о том, что наиболее эффективный способ предотвращения таких заболеваний - перераспределение
V 1,0
0
0,6
0,4
0,2
—i—т—I—т—I—а—т—I—т—I—I—т—I—т—I—I—i—I—т—I-
'О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 х а
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 * в
°0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 * б
Р 1
0 0,2 0,4 0,6 0,: г
1.0 х
;| I I I ! ! !
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 * д
Рис. 4. Распределение безразмерного давления синовиальной жидкости р в диске височно-нижнечелюстного сустава при разных значениях коэффициента гидравлической проницаемости: а - при t = 0,001; б - при £ = 0,01; в - при £ = 0,1;
г - при £ = 1; д - при £ = 2. Кривая 1 - для диска височно-нижнечелюстного сустава, кривая 2 - для гиалинового хряща, кривая 3 - для мениска коленного сустава
2
1
нагрузок, вызывающих повышенные механические напряжения в суставном диске, и направление их в зону физиологической работы. Проведение подобного анализа возможно только методами биомеханического моделирования.
Построение биомеханической модели диска височно-нижнечелюстного сустава с позиции теории пороупругости имеет ряд преимуществ перед другими моделями. Она позволяет не только учесть анатомию и гистологию диска, объяснить роль синовиальной жидкости в хрящевом матриксе с точки зрения механики, но и решать задачи и оценить состояние диска при его переменном нагружении.
В работе на основе постановки задачи линейной изотропной теории пороупругости построена модель поведения диска височно-нижнечелюстного сустава под нагрузкой. Решение основано на задаче Mанделя и сводится к начально-краевой задаче для нестационарного параболического уравнения.
Результаты моделирования показывают, что на величину и распределение давления жидкости и, следовательно, напряжений в теле сильно влияет выбор параметров модели, таких как коэффициент гидравлической проницаемости диска. Это, в свою очередь, позволяет объяснить тот факт, что нарушение питания центральной зоны диска приводит к повышению величины механических напряжений в нем.
Дальнейшее развитие и использование в стоматологической практике разрабатываемой биомеханической модели позволит дать прогноз функционирования височно-нижнечелюстного сустава при коррекции прикуса и других врачебных вмешательствах.
Список литературы
1. Аун M., Mенар M., Шшин Ю.И., Рамос А., Лохов В.А., Mорлье Ж., Сид M. Двумерная конечно-элементная модель для представления движения открытия челюстей. Параметрическое изучение моделирования пружинной жесткости задней дисковой связки и крыловидной мышцы. Сравнение с магнитно-резонансным описанием // Российский журнал биомеханики. - 2012. - T. 16, № 2. -С. 30-37.
2. Карсанов ВТ. Структурные изменения суставного диска височно-нижнечелюстного сустава при дефектах зубных рядов: автореф дис. ...канд. мед. наук. - Швосибирск, 1997. - 19 с.
3. Шшин M^., Осипов А.П., Симановская Е.Ю., Шшин Ю.И. Экспериментальное изучение фильтрационных свойств и структурных особенностей дисков височно-нижнечелюстных суставов свиней // Российский журнал биомеханики. - 2002. - T. 6, № 3. - С. 33-38.
4. Шшин Ю.И., Еловикова АЛ., Коркодинов Я.А., Hикитин ВЛ., ^тьмянина А.В. Взаимодействие зубочелюстной системы с другими системами человеческого организма в рамках концепции виртуального физиологического человека // Российский журнал биомеханики. - 2011. - T. 15, № 3. -С. 8-36.
5. Шшин Ю.И., Tверье ВМ., Лохов В.А., Mенар M. Височно-нижнечелюстной сустав человека как элемент зубочелюстной системы: биомеханический анализ // Российский журнал биомеханики. -
2009. - T. 13, № 4. - С. 7-21.
6. Tверье ВМ., Шшин Ю.И. Коэффициент гидравлической проницаемости диска височно-нижнечелюстного сустава: экспериментальное определение // Российский журнал биомеханики. -
2010. - T. 14, № 2. - С. 28-36.
7. Tверье ВМ., Симановская Е.Ю., Шшин Ю.И. Атрофический синдром, связанный с изменениями биомеханического давления в зубочелюстной системе человека // Российский журнал биомеханики. -2006. - T. 10, № 1. - С. 9-14.
8. Tверье ВМ., Симановская Е.Ю., Шшин Ю.И. Mеханический фактор развития и функционирования зубочелюстной системы человека // Российский журнал биомеханики. - 2005. - T. 9, № 2. - С. 34-42.
9. Шилько С.В., Ермаков С.Ф. Роль жидкой фазы и пористой структуры хряща в формировании биомеханических свойств суставов. Часть 1 // Российский журнал биомеханики. - 2008. - T. 12, № 2. - С. 31-40.
10. Aoun M., Mesnard M., Lucie Monède-Hocquard, Ramos A. Stress analysis of temporomandibular joint disc during maintained clenching using a viscohyperelastic finite element model // Journal of Oral and Maxillofacial Surgery. - 2014. - Vol. 72, № 6. - P. 1070-1077.
11. Beek M., Koolstra J.H., Van Eijden T.M.J.G. Human temporomandibular joint disc cartilage as a poroelastic material // Clinical Biomechanics. - 2003. - Vol. 18, № 1. - P. 69-76.
12. Beek M., Koolstra J.H., Van Ruijven L.J., Van Eijden T.M.J.G. Three-dimensional finite element analysis of the human temporomandibular joint disc // Journal of Biomechanics. - 2000. -Vol. 33, № 3. -P. 307-316.
13. Biot M.A. General theory of three dimensional consolidation // Journal of Applied Physics. - 1941. -Vol. 12. - P. 155-164.
14. Chen J., Akyuz U., Xu L., Pidaparti R.M. Stress analysis of the human temporomandibular joint // Medical Engineering & Physics. -1998. - Vol. 20, № 8. - P. 562-572.
15. Coussy O. Poromechanics. - J.Wiley, 2004. - 298 p.
16. Hlinakova P., Dostalova T., Danek J., Nedoma J., Hlavacek I. Temporomandimular joint and its two-dimensional and three-dimensional modelling // Mathematics and Computer Simulation. - 2010. - Vol. 80. -P. 1256-1268.
17. Ingawale S.M., Goswami T. Biomechanics of the temporomandibular joint // Human Musculoskeletal Biomechanics. Chapter 7. - California, 2012.- P. 159-182.
18. Koolstra J.H., Tanaka E., Van Eijden T.M.J.G. Viscoelastic material model for the temporomandibular joint disc derived from dynamic shear tests or strain-relaxation tests // Journal of Biomechanics. - 2007. -Vol. 40, № 10. - P. 2330-2334.
19. Mandel J. Consolidation des sols // Geotechnique. - 1953. - Vol. 3, № 7. - P. 287-299.
20. Nickel J.C., Iwasaki L.R., Beatty M.W., Marx D.B. Laboratory stresses and tractional forces on the TMJ disc surface // Biomaterials & Bioengineering. - 2004. - Vol. 83, № 8. - P. 650-654.
21. Palomar A.P., Doblare M. The effect of collagen reinforcement in the behaviour of the temporomandibular joint disc // Journal of Biomechanics. - 2006. - Vol. 39, № 6. - P. 1075-1085.
22. Tanaka E. Biomechanical behavior of the temporomandibular joint disk // Critical Reviews in Oral Biology & Medicine. - 2003. - Vol. 14, № 2. - P. 138-150.
23. Tanaka E., Del Pozo R., Tanaka M., Asai D., Hirose M., Iwabe T., Tanne K. Three-dimensional finite element analysis of human temporomandibular joint with and without disc displacement during jaw opening // Medical Enginnering & Physics. - 2004. - Vol. 26. - P. 503-511.
24. Tanaka E., Pelayo F., Kim N., Lamela M.J., Kawai N., Fernandez-Canteli A. Stress relaxation behaviors of articular cartilages in porcine temporomandibular joint // Journal of Biomechanics. - 2014. - Vol. 47, № 7. - P. 1582-1589.
BIOMECHANICAL MODELLING OF THE TEMPOROMANDIBULAR JOINT DISC AS A POROELASTIC BODY
V.M. Tverier, A.S. Milenin (Perm, Russia)
The temporomandibular joint disc plays a key role in the functioning of the joint and dentofacial system. Mechanical stresses from different loads are essential factors of joint disc efficiency. It is necessery to develop the biomechanical modelling of the temporomandibular joint disc to estimate the value and distribution of the mechanical stresses. The central zone is the most interesting region of the disc for biomechanical analysis because it is loaded by maximum compressive forces and has not possibility for regeneration. The study of histology and anatomy of the disc shows that the most appropriated mathematics model to describe mechanical behavior of the disc under different loads is an isotropic poroelastic model. This model allows us to estimate the stress state of the disc and to decribe mechanical function of synovial fluid inside disc. This article considers the model of the temporomandibular joint disc behavior under loads which is based on the statement of linear isotropic theory of poroelasticity. The solution of this model is based on the Mandel's problem and reduces to the initial boundary value problem for unsteady parabolic equation. It shows that the distribution of the fluid pressure inside disc under the static loads allows decreasing the value of the mechanical stresses in elastic cartilaginious skeleton and protect it from damage. Obtained analitical solution of the problem with different hydraulic permeability coefficient displays the dependence of the synovial fluid pressure on the value of this coefficient.
The results reveals the lower value of hydraulic permeability coefficients the slower redistribution of fluid pressure and mechanical stresses in cartilage that allows increasing disc stiffness. In the case of higher value of the coefficient, the fluid pressure redistribution is more faster that leads to reduction of the mechanical stresses in cartilage. Also, it is shown that the results of biomechanical modelling are strongly dependent on the value of the experimental determination of the material parameters.
Key words: temporomandibular joint, disc, poroelasticity, hydraulic permeability coefficient, Darcy's law.
Получено 1 сентября 2014
