Бифуркационный анализ динамики гироскопа в кардановом подвесе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

ДИНАМИКИ ГИРОСКОПА В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ

А. В. Карапетян1, М. П. Чаплыгина2

1

Обсуждается задача о движении гироскопа в кардаиовом подвесе. Указаны все стационарные движения системы, условия их устойчивости и ветвления. Результаты представлены в виде атласа бифуркационных диаграмм.

Ключевые слова: гироскоп в кардаиовом подвесе, бифуркационные диаграммы.

The problem of motion of a gyroscope with gimbal is discussed. All steady motions of the system, their stability and branching conditions are given. The results are presented in the form of an atlas of bifurcation diagrams.

Key words: gyroscope with gimbal, bifurcation diagrams.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении тяжелого гироскопа в кардаиовом подвесе [1, 2]. Пусть внешняя рамка подвеса может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси Ozi, внутренняя рамка — вокруг горизонтальной оси Ox2 = Ox 1, закрепленной на внешней рамке, а гироскоп — вокруг оси Oz = Oz2, закрепленной на внутренней рамке (оси Oz^ и Ox2 ортогональны). Предположим, что оси Ox2y2z2 (ось Oy2 ортогональна плоскости Ox2z^) и оси Oxyz (плоскость Oxy ортогональна оси Oz) — главные оси инерции внутренней рамки и гироскопа для

O

Обозначим через A B = A, C и A2, B2, C2 главные моменты инерции гироскопа и внутренней рамки соответственно, а через Ci момент инерции внешней рамки относительно оси Ozi. Пусть Ш2 и m — массы внутренней рамки и гироскопа, а их центры масс лежат на оси динамической симметрии гироскопа Oz = Oz2 в точках с координатами c^ и c соответственно. Без уменьшения общности положительное направление оси симметрии гироскопа выбираем так, что m2c2 + mc > 0 (случай m2c2 + mc = 0 не рассматривается).

Положение системы определим углами ф, в и р (ф — угол поворота внешней рамки вокруг оси Ozi, в — угол поворота внутренней рамки вокруг оси Ox2 = Oxi, р — угол поворота гироскопа вокруг оси Oz = Oz2). Заметим, что конфигурационное пространство рассматриваемой системы — трехмерный тор (T3).

2. Приведенный потенциал. Кинетическая энергия Т и потенциал V системы имеют вид [1, 2] (g — ускорение свободного падения):

Т = i (А + А2)в2 + {{А + В2) sin2 в + С2 cos2 в + Аг)ф2 + С(р + ф cos в)2,

V = (гпдс + тгдсг) cos в = mgs cos в (s = с + Ш2С2 > 0).

m

Рассматриваемая система допускает интеграл энергии:

H(в, ф, р, в) = T + V = h = const

и два циклических интеграла:

• dT

К{ф, ф, в) = —г = k = const, дф

• дТ

Ь(ф, ф, в) = — = I = const, др

Приведенный потенциал Vk,z(в) определяется [3] как минимум функции H по в, ф, р на фиксированных уровнях K = k и L = I. Этот минимум достигается при

1 Карапетян Александр Владиленович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: avkarapetyanQyandex.ru.

2 Чаплыгина Мария Павловна — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

mariyal4chaplyginaQyandex.ru.

• • k - l cos в C cos2 - Ck cos в

"=0- 'ф=~щ~' —cm-' (1)

J (в) = (A + B2) sin2 в + C2 cos2 в + Ci = (A + B2 + Ci) - (A + B2 - C2) cos2 в. Подставляя значения (1) в функцию И, находим

т, /ЛЛ л 1 (k - l cos в)2 Vk>l(в) = mgs cos в + - ^-.

Рассмотрим случай A + B2 - C2 > 0, который соответствует реальным кардановым подвесам, и предположим сначала, что l = 0. Введем следующие обозначения:

cos в = х € [-1,1], k = al (a € R), A + Б2 + Ci

6=А + Б2-С2>0' ¿2

P ~ (A + Б2 - C2)rm/s > '

при этом

Vk,i = mgsf{x), f{x) = ж + ■ [-1,1]

3. Равномерные вращения и их устойчивость. Очевидно, точки x = -1 (в = п) и х = 1

(в = 0) — критические точки функции f (х) (приведенного потенциала Vk,i(в)). Этим точкам соответствуют стационарные движения системы, на которых внешняя рамка равномерно вращается вокруг вертикали, плоскость внутренней рамки совпадает с плоскостью внешней, а гироскоп равномерно вращается вокруг вертикально расположенной оси симметрии (см. (1)); при этом центр масс системы занимает наинизшее положение при х = -1 и наивысшее при х = 1. Устойчивые стационарные движения системы соответствуют точкам минимума приведенного потенциала [2, 3]. Очевидно, что х = -1 является точкой минимума, если f'(-1) > 0, а х = 1, если f'(1) < 0. Здесь

А") ■ v(2)

//(_1) = 1 _р(а + 1)(а + Ь)

f '(1) = 1+ Р

(b - 1)2 ; (a - 1)(a - b)

(6- I)2 '

Следовательно, функция f (ж) имеет минимум в точке ж = — 1 при люб ом р если а € [—Ь, -1], и при р < р_, если а € [—Ь, — 1] (при р > р_ — максимум). Аналогично функция f (ж) имеет максимум в точке ж = 1 при люб ом р, если а € (1, Ь) и пр и р < р+ есл и а € (1, Ь) (пр и р > р+ — минимум). Здесь

(Ь — 1)2

Р- =

Р+ =

(a + 1)(a + b)'

(Ь-1)

(a - 1)(b - a)

2 (3)

Таким образом, вертикальные вращения системы при наинизшем расположении центра масс всегда устойчивы, если а € [—Ь, —1], иначе медленные вращения устойчивы, а быстрые неустойчивы. Вертикальные вращения системы при наивысшем расположении центра масс всегда неустойчивы, если а € (1, Ь), иначе медленные вращения неустойчивы, а быстрые устойчивы.

Заметим, что положительные значения р_ и р+ (по определению р > 0) существуют одновременно только при а € (1, Ь), при этом р_ < р+.

4. Прецессионные движения и их устойчивость. Критические точки жо € (-1,1) функции /(ж) определяются из уравнения /'(ж) = 0, которое можно представить в виде (см. (2)):

(Ь - ж2)2

р = «(ж) =

(4)

(ж — а) (аж — Ь)'

Этим критическим точкам соответствуют прецессионные движения системы: внешняя рамка равномерно вращается вокруг вертикали, плоскость внутренней рамки составляет с плоскостью внешней рамки постоянный угол 9 = 9о = агссов жо, а гироскоп равномерно вращается (относительно внутренней рамки) вокруг оси симметрии, составляющей с вертикалью постоянный угол 9о-

Покажем, что в зависимости от параметров а и Ь уравнение (4) либо не имеет решений («(ж) < 0 Уж € (—1,1)), либо имеет единственное решение при каждом фиксированном значении р € I С К+ =

(0, (и не имеет решепий при р / I). Действительно, производная функции «(ж) имеет вид

Ь ж2

У'{Х) = (ж - а,)2(ах - б)2 г'(ж)'

■и(ж) = (3ж2 + Ь)а2 — 2ж(ж2 + 3Ь)а + Ь(3ж2 + Ь) = -ш(а).

Очевидно, что -ш(а) > 0 при всех Ь > 1 и всех ж € (—1,1), так как -ш(0) = Ь(3ж2 + Ь) > 0, а дискриминант О квадратного трехчлена -ш( а) отрицателен (О = —(Ь — ж2)3 < 0).

Таким образом, и'(ж) > 0 при всех а € К, всех Ь > 1 и всех ж € [—1,1], т.е. функция «(ж) монотонно возрастает на отрезке [—1,1], причем «(—1) = р_, «(1) = р+ (см. (3)). Следовательно, прецессионные движения существуют только при а € (1, Ь) и [—Ь, — 1] для р > р_. Точки р± отвечают точкам ветвления стационарных движений системы. Очевидно, прецессионные движения всегда устойчивы, поскольку /"(жо) = > 0.

5. Бифуркационные диаграммы. Изложенные выше результаты (см. также [2|) можно представить в виде атласа бифуркационных диаграмм Смейла (на плоскости д = (см. рис. 1 4). Рисунок 1 отвечает случаю а € (—то, — Ь) и (—1; 0) рис. 2 — случаю а € (0,1] и [Ь, рис. 3 —

случаю a € (1, b), а рис. 4 — случаю a € [—b, -1]. Знаком "нлюс" отмечены ветви устойчивых движений, а знаком "минус" неустойчивых.

Случай l = 0 соответствует рис. 1 (при этом p = (л+д,-с,)тй,' ж* = nPaMbie на диаграммах Смей-ла определяются соотношениями q = f (±1), а кривые — соотношением q = f (жо) и отвечают соответственно равномерным вращениям и прецессионным движениям системы.

Совокупность прямых и кривых на диаграммах Смейла разбивает плоскость (p; q) на области, различающиеся топологическим типом областей возможности движения в конфигурационном пространстве системы: ниже всех прямых и кривых область возможности движения — пустое множество (0), выше всех прямых — трехмерный тор (T3), между прямы- Рис. 5

ми — прямое произведение отрезка на двумерный тор (D1 х T2), а между кривой и одной-двумя прямыми — прямое произведение двух отрезков на двумерный тор (2D1 х T2).

В заключение рассмотрим плоскость постоянных циклических интегралов (l; k) (рис. 5). Прямыми k = ±l и k = ±bl эта плоскость разбивается на области, соответствующие рис. 1-4 (помечены цифрами 1~4), а гиперболами

{к + 1){к + Ы) = т, (к — l)(bl — к) = г, (г = "g*) (5)

на области, в которых существуют (не заштрихованы) или не существуют (заштрихованы) прецессионные движения (ср. с [2|).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир. 1974.

2. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений. М.: Наука. 1986.

3. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: УРСС. 1998.

Поступила в редакцию 15.08.2018

УДК 62-531, 52-34

ОБ ОДНОМ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ОРБИТ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ

В. А. Прошкин1

В работе показано, что большие полуоси орбит соседних планет и орбит крупных спутников некоторых планет Солнечной системы близки к радиусам орбит в оптимальных решениях задачи об одноимпульсном перелете в планетной системе с круговой орбиты на бесконечность с гравитационным маневром.

Ключевые слова: планетная система, параметры орбит, импульсный перелет, гравитационный маневр.

In this paper it is shown that the semi-major axes of the orbits of neighboring planets and of the orbits of large satellites of some planets in the Solar system are close to the orbit radii in optimal solutions of the problem of single-pulse transfer in a planetary system from a circular orbit to infinity with a gravitational maneuver.

Key words: planetary system, orbital parameters, pulse transfer, gravitational maneuver.

1 Прошкин Владимир Александрович канд. физ.-мат. паук, доцепт каф. теоретической механики и мехатропикп

мех.-мат. ф-та МГУ. е-шаП: prosclikinOmail.ru.