Безразмерные уравнения для расчета капиллярных трубок Текст научной статьи по специальности «Физика»

УД К 621.56-52

Безразмерные уравнения для расчета капиллярных трубок

Канд. техн. наук А. И. ЕЙДЕЮС Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота 236029, Калининград, ул. Молодежная, 6 В. Л. КОШЕЛЕВ ООО «ФАВВрефимпэкс»

236000, Калининград, Гвардейский проспект, 15

The paper considers a sequence of getting empirical dependences for calculating capillary tubes. It is proposed to realize regression analysis of data for every refrigerant throttled separately, roughness of tubes being allowed for without fail. Exponential function with six dimensionless variables is chosen for the correlation. Statistical estimates of the exponents are obtained by linear regression computer program, which confirmed the adequacy of the model. Numerical values of the exponents in the equations for calculating the length of the tube and its capacity with throttling six modern refrigerants are listed in two tables.

Key words: capillary tube, calculation, dimensionless variables, roughness, power dependence, regression analysis.

Ключевые слова: капиллярная трубка, расчет, безразмерные переменные, шероховатость, степенная зависимость, регрессионный анализ.

Расчет капиллярной трубки (КТ) обычно сводится к подбору ее размеров по заданным условиям работы холодильной машины (ХМ) или к определению массового расхода дросселируемого хладагента при известных его параметрах на входе в трубку конкретных размеров. Переход на новые, экологически чистые хладагенты и расширяющееся применение реверсивных ХМ в автономных кондиционерах вынуждают специалистов проводить испытания и разрабатывать методы расчета КТ. Следует отметить, что доступ к опытным данным по ряду причин ограничен и в общедоступных источниках данных об испытаниях КТ в нашей стране обнаружить не удалось.

Обобщение результатов испытаний КТ идет по пути построения разного рода номограмм и получения эмпирических зависимостей. В последние годы наметилась тенденция к обобщению опытных данных по дросселированию разных хладагентов с использованием безразмерных переменных [1, 2]. Аналитическому расчету КТ препятствуют сложность протекающих при дросселировании процессов и незавершенность теории двухфазных потоков. Тем не менее гидродинамическая модель с допущением о гомогенности потока вполне подходит для расчета процесса адиабатического дросселирования разных хладагентов в КТ [3]. Составленная для ЭВМ на

основе принятой модели программа Яе/Сар насыщена данными о свойствах 12 хладагентов [4]. Сопоставление результатов расчета с опытными и эмпирическими данными зарубежных исследователей показывает в среднем хорошее их совпадение при стандартном отклонении до 14 %.

Несмотря на простоту использования программы {{е/Сар, при проектировании и анализе работы ХМ желательно иметь эмпирические зависимости для определения расчетной длины и пропускной способности КТ. Такие зависимости можно получить путем обобщения результатов многовариантных расчетов, полученных при разных сочетаниях исходных данных. Основные трудности при обобщении результатов связаны с выбором безразмерных переменных и вида эмпирических зависимостей.

В работах [1, 2] приводятся степенные зависимости для определения массового расхода дросселируемого хладагента. Используемые в них безразмерные переменные получены на основе анализа размерностей и опыта предшественников. Число и форма записи переменных не совпадают. После ввода одинаковых обозначений размерных величин имеем безразмерные переменные (табл. 1). Первая графа таблицы заполнена по данным источника [1], вторая — источника [21.

Варианты безразмерных переменных

№ 1 [И 2 [2] 3

1 er/dT £T/dT £T/dT

2 G/{dTp') 1,273G4/{d2T{pJvTb) 3600G/(M?/4)OpK/i;c)0’5)

3 v"/v' y"/v' v"/vc

4 dTpc/(v'p'2) driPuPc) ’ / Pc dT(pK/vc)°'5/pc

5 — — 1 - 100(A/dT)

6 dTcpAtn/(v'2 p!2) 1 + A tn/tK 1 + A tn/tK

7 x0 l-x0 —

8 — Pk/Ps —

9 (m' - Л/д" — —

10 dl{i" -i')/{v' V2) — —

11 dTa / (v1 p'2) — —

Обозначения размерных величин, приведенных в табл. I: dT, £т — диаметр и длина трубки;

G, G,, — секундный и часовой расход хладагента; v1, v" — удельный объем насыщенной жидкости и пара при давлении конденсации рк] г', i" — энтальпия жидкости и пара;

//,р." — динамическая вязкость жидкости и пара; Рс^сЦс — плотность, удельный объем и динамическая вязкость парожидкостной смеси на входе в трубку;

Ср — удельная теплоемкость жидкого хладагента; tK — температура конденсации, соответствующая давлению рк;

Atn — переохлаждение жидкости; хп — начальное паросодержание парожидкостной смеси;

ps — давление насыщения, соответствует температуре жидкости £ж = tK — Atn; а — поверхностное натяжение жидкости;

A/dT — относительная шероховатость трубки.

Все величины используются в размерности СИ, за исключением G4, кг/ч.

По мнению большинства исследователей, поверхностное натяжение а практически не влияет на процесс дросселирования. Даже авторы работы 11 ] не учитывают переменную из строки 11 (см. табл. 1) в расчетном уравнении. Переменные из строк 6 и 7 графы 1 взаимно исключают друг друга. В характерном случае дросселирования насыщенной жидкости Atn = х0 = 0, а один из множителей степенной зависимости превращается в ноль, что является серьезным недостатком методики. Частое использование произведения малых величин у' р! приводит к тому, что безразмерные переменные различаются между собой на много порядков. Давление дросселируемого хладагента в явном виде не используется.

Авторам статьи [2] удалось обойти нулевое значение множителя при дросселировании насыщенной жидкости за счет переменных из строк 6 и 7 графы 2. Недостатком является неправильное определение динамической вязкости парожидкостной смеси, которую при отсутствии скольжения фаз надо находить по формуле рс = р'(\ — /3) -)- ц"р". Связь между расходным объемным (3 и массовым хо паросодержанием определяется выражением

я0 + (1-*о)

Когда вместо /3 используется х0, как это сделано в статье, получается результат, соответствующий коэффициенту скольжения фаз Кс = у"/г/, что противоречит заявленному допущению о гомогенности потока.

При обобщении опытных данных в виде графиков или эмпирических зависимостей, как правило, не учитывается шероховатость КТ. Между тем отдельные исследования показывают заметное влияние шероховатости на процесс дросселирования [5]. Об этом же свидетельствуют и результаты расчета по программе Яе/Сар, в которой можно варьировать относительную шероховатость. Известно, что шероховатость труб зависит от технологии их изготовления. Данные о шероховатости КТ должны предоставлять их изготовители. Методика определения средней шероховатости трубок базируется на измерениях расхода и перепада давления при высоких скоростях несжимаемой жидкости. Когда участок трубки разрезан по длине, можно использовать прибор с игольчатым чувствительным элементом.

В статье 15] приводится построенный на базе опытных данных график, отражающий влияние шероховатости на массовый расход хладагентов К22 и Я407С для трубки с размерами dт = 1,524 мм и £т = 0,9 м. В обоих

случаях давление на входе рк = 2000 кПа, переохлаждение Д= 10 0С. Абсолютная шероховатость трубки Д варьировалась в пределах от 1 до 4 мкм. Сопоставление экспериментально подтвержденных значений расхода вэ с рассчитанными значениями бр по программе Яе/Сар приведено в табл. 2. Из нее видно, что расчетный расход совпадает с экспериментальным в пределах погрешности, обусловленной малым размером графика. Увеличение относительной шероховатости трубки от 0,0007 до 0,0026 уменьшает расход обоих хладагентов на 9,2 %. Можно считать экспериментально подтвержденной необходимость учета шероховатости в любой методике расчета КТ. В настоящую методику введена безразмерная переменная 7г5 = 1 — 100(Д/с£т).

Сравнительный анализ показывает, что искомые значения длины трубки £т или расхода хладагента б зависят не только от его состояния на входе в трубку, но и характера изменения свойств хладагента по мере понижения давления насыщения. Для повышения точности аппроксимации предлагается получать эмпирические зависимости, пригодные для расчета КТ при дросселировании не любых, а лишь одного конкретного хладагента. Лучше иметь более точные уравнения для каждого хладагента, чем менее точное и более громоздкое уравнение, распространяющееся на разные хладагенты. Число безразмерных переменных при этом можно уменьшить.

Если считать результаты многовариантных расчетов КТ по программе Яе/Сар данными численного эксперимента, то для обобщения можно применить регрессионный анализ. Компьютерные программы регрессионного анализа по методу наименьших квадратов позволяют находить статистические оценки параметров уравнения регрессии. Вид уравнения необходимо предварительно задать. Для обобщения 182 вариантов расчета КТ при дросселировании хладагента Ш34а уравнение регрессии поочередно задавалось в виде линейной, логарифмической и степенной зависимостей. Наиболее подходящей оказалась степенная зависимость. Применительно к определению критической длины трубки при использовании шести безразмерных переменных, приведенных втретьей графе табл. 1, она имеет вид

_ 61 —712 _713_Г14_715 _71.6

7Г1 — е 7Г2 7Г3 7Г4 7Г5 7Г6 ,

где 7г 1 = £/(1т;

7Г2 = 3600С/[(7г^/4)(рк/Ч)°’5];

7Г3 = у"/ус,

ТГ4 = (1т(рк/ъ’с)°’5/Цс,

7г5 — 1 — 100(Д/сУ;

7Г6 = 1 - Д*пДк-Если дросселируется насыщенная жидкость, то г>с = у' и дс = р,'. При дросселировании хладагента с начальным паросодержанием хо динамическая вязкость дс определяется по приведенной выше формуле, а удельный объем ис = 1/(1 — хо) + у"хо. Когда дросселируется переохлажденная жидкость, значения у' и р! находят по температуре £ж = *к - Д^п или соответствующему ей давлен и юр*, а значения у" и р" по-прежнему зависят от давления рк. Такой подход позволил сократить число безразмерных переменных до шести.

Для определения расхода дросселируемого хладагента используется зависимость

7Г2 = в ТГ{

62 _т2 тЗ _т4 _.т5 _т6

7Г

7Г.

7Гц

(2)

Чтобы привести задачу определения показателей Ъ\, П2, т1б к классической линейной модели множественной регрессии, прологарифмируем уравнение (1):

1п 7Г1 = 61+712 1п7Г2+71з 1п 773+714 1п 7Г4 + 715 1п 775+776 1п 7Гб-

Вводя новые переменные 3/1 = 1п7Г1 И Хг = 1п7Гг, получаем линейное уравнение регрессии:

2/1 = Ъх + тг2х2 + 713X3 + тг4х4 + пъхъ + 7г6х6. (3)

Аналогично зависимость (2) сводится к виду

У2 = &2 + т1х1 + ттг3а;3 + 7714X4 + 7715X5 + т^хв. (4)

Таблица 2

Влияние шероховатости КТ на расход хладагента

д, мкм д/4 Я22,гк = 51,4 °С Я407С, £к = 45,8 °С

Сэ, кг/ч Ср, кг/ч Сэ, кг/ч (Зр, кг/ч

1 0,0007 68,0 67,53 65,5 64,75

2 0,0013 65,1 64,70 62,7 62,03

3 0,0020 63,0 62,75 60,6 60,16

4 0,0026 61,5 61,30 59,2 58,80

Программа регрессионного анализа наряду со статистическими оценками коэффициентов уравнений линейной регрессии (3) и (4) выдает результаты дисперсионного оценивания неизвестных параметров выбранной модели. К ним относятся стандартные ошибки для зависимой переменной зеу и коэффициентов уравнения регрессии ее*, регрессионная Я5рег и остаточная ввост суммы квадратов, коэффициент детерминированности г2 = Д2, степень свободы (1 / и /-’-статистика.

Показатели дисперсионного оценивания определяют по формулам [6, 7]

ss,

= у ~ £)2; ssPer = ~ &

1=0

z

У = r2 = 1 —

2 = 0 •S^OCT

df = z — к — 1; sey

SSqqt “Ь SSper , 0,5

ss„ '

d

J

F = r 2

z — к

(1 — r2)(k — 1) ’

где у{, уг — действительные и предсказанные по модели значения;

у — средние значения отклика; г — число точек исходных данных;

к — число независимых переменных в уравнении регрессии.

Чем меньше стандартные погрешности sey, se,: и суммы квадратов ssOCT, ssper и чем больше значения г2 и F, тем точнее выбранная модель описывает исходные данные. С учетом последнего утверждения и более конкретных правил определения адекватности модели и статистической значимости ее коэффициентов проводился подбор безразмерных переменных и вида уравнения регрессии. Рассматриваемые данные более 150 вариантов расчета КТ по дросселированию каждого из шести хладагентов охватывают диапазоны: tK = ЗО-ьбО °С; dr = 0,5ч-4,0 мм; A/d = 0н-0,003; Atn = 0-^20 °С; х0 = 0ч-0,3. В процессе подбора были опробованы безразмерные переменные, использованные в работах [1, 2]. Некоторые из них оказались полезными, а другие пришлось отбросить или заменить. Впервые введена переменная 7Г5, учитывающая шероховатость трубки.

Статистические оценки коэффициентов 6Ь П; И &2> ГЩ уравнений (3) и (4), а также показатели дисперсионного оценивания неизвестных параметров модели, обобщающей результаты расчета КТ при дросселировании шести хладагентов, приводятся в табл. 3 и 4. О числе точек исходных данных 2 для каждого хладагента можно судить по значениям степени свободы df. Поскольку в качестве

ИСКОМОЙ ВеЛИЧИНЫ ПО ОЧереДИ ВЫСТупаЮТ Переменные 7Г1 И 7Г2, степень свободы df = z — 6.

Таблица 3

Итоги обобщения расчетной длины трубки

Показатель 2/1 = Іп(тгі)

R134a R22 R290 R407C R410A R600a

Ь\ 17,88922 17,61159 18,96023 16,99674 18,84789 17,52434

se0 0,1879 0,0939 0,2189 0,1906 0,131 0,1975

П2 -2,13166 -2,0296 -2,27568 -2,01615 -2,08665 -2,13996

se2 0,0178 0,0095 0,0209 0,0177 0,0112 0,0227

Пз -0,32222 -0,26351 -0,34588 -0,25562 -0,21172 -0,36385

se 3 0,0136 0,00778 0,0185 0,0152 0,0136 0,0149

714 0,2229 0,19762 0,21224 0,2272 0,12364 0,25601

se 4 0,0159 0,0078 0,0184 0,0157 0,0093 0,0171

n5 0,79081 0,79042 0,92331 0,73661 1,17214 0,28048

se.5 0,0999 0,0498 0,1143 0,0977 0,0749 0,0774

n6 3,93886 2,68227 3,18194 2,82476 2,38085 4,94907

se6 0,0857 0,0396 0,0931 0,0794 0,0634 0,1083

r2 0,99195 0,99677 0,99021 0,99078 0,99262 0,98896

sev 0,0727 0,04098 0,08396 0,0717 0,07796 0,0824

F 4339,7 14012,47 3601,67 3784,3 7988,42 2615,64

df 176 227 178 176 297 146

SS per 114,6 117,64 126,94 97,305 242,74 88,78

SSoc t 0,930 0,381 1,255 0,905 1,805 0,991

Итоги обобщения часового расхода хладагента

Показатель y2 = 1п(тг2)

R134a R22 R290 R407C R410A R600a

Ь2 8,27694 8,62992 8,19348 8,29674 8,96735 8,05416

se0 0,1173 0,642 0,1272 0,1269 0,0743 0,1264

777-1 -0,46345 -0,49029 -0,43292 -0,48936 -0,47518 -0,45974

se i 0,0039 0,0023 0,0040 0,0043 0,0255 0,0049

777-3 -0,1489 -0,12884 -0,01490 -0,12419 -0,10004 -0,16628

se 3 0,0065 0,0039 0,0083 0,0766 0,0065 0,0073

7774 0,10972 0,09932 0,09966 0,11815 0,06148 0,12509

Se 4 0,0069 0,0036 0,0075 0,0072 0,0043 0,0072

777-5 0,37588 0,39168 0,41077 0,37072 0,56291 0,14076

Se 5 0,0463 0,0243 0,0495 0,00478 0,0355 0,0356

7776 1,84689 1,32266 1,40469 1,40662 1,14439 2,30274

se 6 0,0371 0,018 0,0372 0,0359 0,0292 0,0474

r2 0,99367 0,99739 0,99228 0,99286 0,99338 0,99212

sey 0,0339 0,02014 0,0366 0,0353 0,0372 0,03819

F 5525,8 17343,96 4573,41 4896,001 8917,01 3677,17

df 176 227 178 176 297 146

SSper 31,730 35,176 30,664 30,556 61,704 26,813

SSOCT 0,200 0,092 0,239 0,220 0,411 0,213

18,84789 -2,08665 -0,21172 0,12364 1,17214 2,38085 ТТ\ — Є 7Г2 7Гз 7Г4 7Г ^ 7Tg ,

(5)

8,96735 -0,47518 -0,10004 0,06148 0,56291 1,14439

7Г2 = в 7Г1 7Г3 7Г4 7Г5 7Гб

(6)

Аналогичные уравнения поданным табд. 3 и 4 нетрудно записать для других хладагентов. Во всех случаях стандартные погрешности зеу по длине трубки оказываются больше, чем по расходу хладагента. Это обусловлено более слабым влиянием длины КТ на расход хладагента, чем расхода на ее длину. Указанная тенденция подтверждается данными известных номограмм по дросселированию хладагентов Я12 и 1122. Ввод переменной 7Г5 = 1 - 100(Д/а!т) является особенностью предлагаемой методики обобщения данных по дросселированию жидкого хладагента. В отличие от других методик, по одинаковой модели линейной регрессии получаются безразмерные уравнения для определения как размеров трубки, так и пропускной ее способности. Рассмотренный подход применим для расчета КТ при дросселировании других хладагентов с известными свойствами.

Проверка по отношениям щ/sei и rrii/sei показывает, что все коэффициенты уравнений (3) и (4) являются статистически значимыми. Полученные значения F-статистики намного превышают вытекающие из распределения Фишера граничные значения FT, что указывает на достоверность выбранной модели и слабое влияние случайных возмущений. Близость коэффициента детерминированности г2 к единице подтверждает, что подобранная модель хорошо описывает обрабатываемые данные, т. е. свидетельствует о высокой степени корреляции между независимыми переменными и статистической оценкой параметров уравнения регрессии. Неравенства ssper > ssOCT показывают, что сумма квадратов, обусловленная уравнением регрессии, превышает сумму квадратов, обусловленную случайными факторами. Такое положение объясняется тем, что численный эксперимент проводился на ЭВМ с учетом изменения свойств хладагента в процессе дросселирования, а безразмерные уравнения учитывают лишь состояние хладагента на входе в трубку.

Уравнения (1) и (2) с численными коэффициентами при дросселировании хладагента R410A имеют вид

Список литературы

1. 2002 ASHRAE Handbook — Refrigeration. Chapter 45. — Atlanta: ASH RAE, 2002.

2. Li Yang, Wen Wang. A generalized correlation for the characteristics of adiabatic capillary tubes // Int. J. Refrigeration. 2008.

3. Ейдеюс А. И., Кошелев В. Л. Гидродинамический расчет капиллярных трубок // Вестник МАХ. 2008. № 3.

4. Ейдеюс А. И., Кошелев В. Л., Семакин А. В. Методика программированного расчета адиабатного движения вскипающих жидкостей в трубах малого диаметра// Научно-технические разработки в решении проблем

рыбопромыслового флота и подготовки кадров: Мат. 10-й Межвуз. научно-техн. конференции аспирантов, соискателей и докторантов. — Калининград: Изд-во БГАРФ, 2010.

5. Kim С. N., Park Y М. Investigation on the Selection of Capillary Tube for the Alternative Refrigerant R407C // Jnt. J. Air-Conditioning and Refrigeration. 2000. Vol. 8.

6. Айвазян С. А. Основы эконометрики. — М.: Юнити-Дана, 2001.

7. Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1987.