CC BY
2
УДК 539.12
DOI 10.19110/1994-5655-2023-4-69-76
Безмассовая частица Шткжельберга, решения с цилиндрической симметрией
О.А. Семенюк1, В.А. Плетюхов', А.В. Бурый2,
А.В. Ивашкевич2, В.М. Редьков2
'Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина, г. Брест, Беларусь
Институт физики имени Б.И. Степанова Национальной академии наук Беларуси, г. Минск, Беларусь
Аннотация
Безмассовое поле Шткжельберга исследуется в цилиндрических координатах. Полевая функция состоит из скаляра, 4-вектора и антисимметричного тензора. Физически наблюдаемыми величинами являются только скаляр и 4-вектор. Используется матричное уравнение Штюкельбер-га, обобщенное на произвольное риманово пространство, в том числе и на любые криволинейные координаты пространства Минковского. Строятся решения этого уравнения с цилиндрической симметрией, при этом диагонализи-руются операторы энергии, третьей проекции полного углового момента и третьей проекции импульса. После разделения переменных в цилиндрической системе координат получена система из 11 дифференциальных уравнений по полярной координате. Она решается с использованием метода Федорова-Гронского. В соответствии с этим методом, 11 функций выражаются через три основные. По известной методике накладываются дифференциальные условия связи, которые совместны с полученными 11 уравнениями и позволяют преобразовать эти уравнения в алгебраические. Эта алгебраическая система решается стандартными методами. В результате найдены пять независимых решений. Вопрос об устранении калибровочных степеней свободы будет рассмотрен в отдельной работе.
Ключевые слова:
безмассовое поле Штюкельберга, цилиндрическая симметрия, метод проективных операторов, точные решения
Введение
В настоящей работе будем находить все независимые точные решения обобщенного 11-мерного уравнения Даффина-Кеммера для безмассового поля Штюкельберга [1-8]. Система тензорных уравнений для этой частицы име-
Massless Stueckelberg particle, solutions with cylindric symmetry
O.A. Semenyuk1, V.A. Pletyukhov1, A.V. Bury2,
A.V. Ivashkevich2, V.M. Red’kov2
'Brest State University named after A.S. Pushkin,
Brest, Belarus
2B.I. Stepanov Institute of Physics
of the National Academy of Sciences of Belarus,
Minsk, Belarus
Abstract
The niassless Stueckelberg field is studied in cylindrical coordinates. The field function consists of the scalar, 4-vector, and antisymmetric tensor. Physically observable components are the scalar and 4-vector. We apply the Stueckelberg tetrad-based matrix equation, generalized to arbitrary Rie-mannian space, including any curvilinear coordinates in the Minkowski space. We construct solutions with cylindric symmetry, while the operators of energy, of the third projection of the total angular momentum, and the third projection of the linear momentum are diagonalized. After separating the variables we derive the system of 11 first-order differential equations in polar coordinate. It is solved with the use of the Fedorov-Gronskiy method. According to this method, all 11 functions are expressed through 3 main funcions. According to the known procedure we impose the differential constraints, which are consistent with the all 11 equations and allow us to transform these equations to algebraic form. This algebraic system is solved by standard methods. As a result, we obtain 5 linearly independent solutions. The problem of eliminating the gauge solutions will be studied in a separate paper.
Keywords:
massless Stueckelberg field, cylindrical symmetry, the method of projective operators, exact solutions
ет в декартовых координатах следующий вид:
Ö°*Q = 0, даФ + дьФаЬ = Фа,
9аФь - дьФа = 0. (1)
В качестве волновой функции будем использовать 11-мерный столбец
Ф = (Ψ; Ф0> Фь Ф2, Ф3; Φοι, Φθ2, Фоз,
Ф23,Фзі,Фі2) = (Я,Яг,Я2). (2)
Система уравнений (1) может быть представлена в блочной матричной форме:
DaGaHx = О, ΔaDaH + KaDaH2 - Яг = О,
DaLaHx = О
(3)
или в 11-мерном виде
(А,Г“ - Р)Ф = О,
ГДО
Ф = (Я,ЯЬЯ2)*,
0 Ga 0 \ /° 0 0
да 0 Ка , р= 0 -^4x4 0
0 La о I \0 0 0
(4)
Go = (1000), Gi = (0-100),
G2 = (00 10) G3 --- (000 -1),
Δ° = (1,0,0,0)* 1 _ (0,1,0,0)*,
Δ2 = (0,0,1, 0)‘ Δ L3 = (0,0,0,1)*,
0 0 0 0 0 0'
к° = -1 0 0 0 0 0
0 -1 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0,
/- 1 0 0 0 0 °\
кг = 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 5
V 0 0 0 0 1 0/
/° -1 0 0 0 °\
к2 = 0 0 0 0 0 -1
0 0 0 0 0 0
\о 0 0 1 0 о/
/° 0 -1 0 0 °\
к3 = 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
\о 0 0 0 0 0/
/0 1 0 °\
0 0 1 0
L 0 _ 0 0 0 1
0 0 0 0 5
0 0 0 0
\0 0 0 о)
/- -1 0 0 0\
0 0 0 0
L1 = 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
V 0 0 1 о /
/° 0 0 °\
-1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
\0 -1 0 0/
/° 0 0 °\
0 0 0 0
-1 0 0 0
0 0 -1 0
0 1 0 0
\0 0 0 0/
Здесь и далее t обозначает транспонирование.
Уравнение (4) обобщается с использованием тетрадного формализма на случай римановой геометрии пространства-времени (в том числе и на использование любых криволинейных координат в пространстве Минковского) в соответствии со стандартной методикой [6]. Для этого при заданной метрике gatз(х) нужно выбрать некоторую тетраду:
dS2 = gaş(x)dxadxp, дар(х) ->· е(а)а(ж), (5)
тогда уравнение (4) должно записываться в пространстве (5) так:
Г°(я)
d
дха
+ Σα(®)
— Р
Ф(ж) = 0.
(6)
Локальные матрицы Г“(ж) определяются с использованием тетрады
Г“(ж) = е^(ж)Г“ = О -G“e?„4 О
= I А“еГа) О
_riaoL
Ь Є(а) О
Ь е(а)
Ка^а) о
Связность Σα(χ) задается соотношениями
Jab
'0 0 0 О Jf О ,0 0 J2°\
где
Σι(®) = і)е(в)(*)е(Чі8іо(*),
(7)
1 Jobef. (х)е(Ь)д-,а( х) =
2
0 0 0 \
0 (Σι)α 0 ’ (8)
0 0 (Σ2)α/
2
ς2(®) = \ j{2)e-{a)ix)em-Ax),
a и J“2b обозначают генераторы соответственно для вектора Ф)ь(ж) и антисимметричного тензора Фтп(ж). Уравнение (6) записывается короче с использованием коэффициентов вращения Риччи:
Ф(ж) = О,
2 m
(12)
7 [аЬ]с — 7[Ьа]с — е(Ь)р;ае(а)е(с) ■ W
1. Цилиндрические координаты, разделение переменных
Будем рассматривать уравнение (9) в цилиндрических координатах (г, φ,ζ). В работе [9] после разделения переменных была получена система уравнений по переменной г для массивной частицы Штюкельберга в магнитном поле (аналогичный анализ в кулоновском поле был сделан в работе [10]). В статье [9] использовалась следующая подстановка для волновой функции в циклическом базисе (в котором генераторы J\2, Jψ диагональны):
Ф = е-шеітфеік2(Н,НиН2у, Η = h{r),
Hi = (h0(r),h1(r),h2(r),h3(r))t,
я2 = (ВД,я<(г))*.
Из этой системы уравнений, учитывая отсутствие магнитного поля и ограничения, связанные с безмассовостью частицы, получаем следующие 11 уравнений:
. , , 1 ,, 2т - 2
—геп0 — ıkh2 4—ı=hx----—П\ —
Д 2Дг
1 и1 2т+ 2 и _п Д3 2Дг 3~ ’
1 . 2т — 2 π
-leh — ъкЕ2 —ч=-Ё\ — 1=—Ει~
λ/2 1 2ҳ/2r
1 , 2т + 2
"Ті3_ vir 3-4
1 w ™ , , 1 R/
—ı=h-----~^h H—t=B2-
л/2 л/2г λ/2
2ττι
Ч---ι^Β2 ~ ікВ3 4“ ϊε,Ει = Λ-ı,
2у2г
. _ 1 2m Ч- 2 π
zfc/i Ч- îeS2--------------—-Βι—
λ/2 2^2γ
1 2m — 2
---7Ξ-Β3 + „ —В3 = h2,
Д 2Дr
1 ./ m i,, 1 R/
V2 ДгД
2 m
1 , 2 m
~l 1 ~ д 2 ~ ^дr 2 = ;
переменные ^1,2,3, -Bıj2,3 относятся к шести компонентам антисимметричного тензора; h, /10,1,2,3 относятся к скаляру и 4-вектору. Размерности этих компонент подчиняются правилу
[h] = 1, [SJ = 1, [SJ = 1,
[ho], İhı], [^2], [^з] = -jr· (13)
Введем сокращающие обозначения
lid т\ lid т\
ат Д г ) ’ т Д \с/г г ) ’
1 fd т + 1λ
“m+1 = д + “Г“) ’
(Ю)
2Д1
-В2 + ікВі + іеЕ3 — h3;
(11)
1 , 2 m
Vİ 0 + 2^ ° 1 ’
—ikho — ieh2 — O,
1 , 2 m
~дК + Шт°~^'
1 , 2 m
--ı=h2 Ч-7=— /ι·2 4- ıkh3 = O,
Д 2 2Дг
1 , 2m — 2 1 , / i 2m + 2 _ n
^Λι “ vir'“1 + Ti'*’+ 17§Г'*3 “ °’
1 id m 4-І m+1 ҳ/2 τ-
1 ( d m — 1'
ат-1=ДДУ + ~гг~ J ’
, 1 id m—l\
bm_1 ~ Д {& ~ ) ’ ( }
тогда система уравнений примет вид
ie/io ikh2 Ч- Ьш—іНі &т-\-іЬ3 — 0, (15)
—ieh — ікЕ2 4- Ьт-іЕі — ат+іЕ3 = ho,
—amh 4- am+ıS2 — ікВ3 4- ієЕі = hi,
ikh + іеЕ2 - am+ıBı - bm-ıB3 — h2,
bmh + ЬтВ2 4- ікВі + іеЕ3 — h3\ (16)
Qjjnho zc/iı — О, xkh3 їб/12 — О
bmho i^h3 О, bmh2 4“ ikh3 0,
bjn—\hi 4~ Q"m+ih3 — 0, ikh\ a^h2 — 0. (12)
Дальше будем использовать метод Федорова-Гронского [11]. Для этого введем оператор третьей проекции спина Y — —İJ12 (он относится к циклическому базису). Убеждаемся, что эта 11-мерная матрица удовлетворяет минимальному уравнению У(У—1)(У4-1) = 0. Оно позволяет ввести три проективных оператора с необходимыми свойствами
Pi = l-Y{Y - 1), Р2 = l-Y{Y + 1), Рг = 1 - Υ2;
Р2 = Рг, Р2 = Р2, Р2 = Р3, Р1 + Р2 + Р3 = 1. (18)
Соответственно, полную волновую функцию можно разложить в сумму трех частей
ф = Фі + Ф2 + Ф3> Φσ = Ρσф, σ — 1,2, 3.
Получаєм явный вид провктивных операторов
/° 0 0 0 0 0 0 0 0 °\
'о 0 0 0 0 0 0 0 0 о'
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/
/° 0 0 0 0 0 0 0 0 0 °\
го 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0/
/1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 °\
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
\0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0/
Затем находим структуру проективных составляющих полной волновой функции (учитываем, что в соответствии с методом Федорова-Гронского каждая составляющая должна определяться только одной функцией от переменной г):
Фі(г) = (О, О, Λι, О, О, Дь 0,0,0,0,53)71 (г),
Ф2(г) = (О, О, О, О, h3,0,0, Е3, Ви 0,0)7з(г),
Фз(г) = (h, h0,0, h2,0,0, Е2,0,0, В2,0)*/3(г). (19)
Действуя проективными операторами на систему уравнений (15)-(17), получаем три подсистемы
Pi : -amh + amB2-ikB3 + imE1=h1,
djntiiQ îTrıhı — O, %khı djnh 2 — О,
Pi
-amf3(r)h + amf3(r)B2 - ifc/i(r)53+ +imfı(r)E1 = fi{r)hi =>- amf3 = (ДД, Omh(r)h0 - imfi(r)hi = 0 =>- amf3 = Ci Д, -ikfx{r)hi - amf3(r)h2 = 0 =P am/3 = СіД;
p2
bmh{r)h + bmf3(r)B2 + *&/2(г)-Ві+ -Mm/2(r).B3 = /2(r)/i3 =>· bmf3 = <72/2, -bmh{r)h3 - imf2(r)h3 = 0 =>· bmf3 = <72/2, -bmh(r)h2 + ikf2(r)h3 = 0 =P bmf3 = <72/2;
P3
-imf3(r)h0 - ikf3(r)h2 + Ьт_іД(г)/іі-
— Ьт-ііі{т)кз — О =P bm-ifı — C3f3,
-imf3(r)h - ikf3(r)E2 + Ьт_іД(г)5і-
-От+іДМ-Ез = /з(г)/іо =>
“P bm— ıfı — С’з/з) am+i/2 — C4f3,
ikf3(r)h + imf3(r)E2 - am+i/2(r)5i-
~bm-ifi(r)B3 = f3(r)h2 =P
^ bm l/l — С’з/з) ΰτη+іД — С4/з,
-ikf3(r)h0 - imf3(r)h2 = 0,
bm-ıfı(r)hı + am+1f2(r)h3 = 0 =P
^ bm ı/ι — С’з/з) аш+і/2 — C4/3·
С учетом наложенных связей получаем алгебраическую систему уравнений
—C\h ~Ь С\В2 — ікВ3 χττιΕχ = /ї-х,
(7i— imhı — 0, —ikh\ — C\h2 — 0,
(72/ı + C2B2 + ikB\ + imE3 — h3,
—C2h0 — imh3 — 0, —C2h2 + ikh3 — 0, —imh0 — ikh2 + C3h\ — C3h3 — 0,
-imli — İâ:52 + C3Eı — C4E3 — 0,
P2 : bmh + bmB2 + ikBı + imE3 = h3,
- bmh0 - imh3 — 0, -bmh2 + ikh3 — 0;
· İttt/io ikh2 -p bm—ihi орп+і^з — 0,
İTîih ikE2 byyı—\E\ djfljr\E3 — /io> tkh ımE2 я^-хі-Ві Ьт—\B3 — /ı2,
xkh3 imh2 0, bfn—і /ї-і ftm-t-i^3 0·
Накладываем условия Федорова-Гронского (эти условия позволяют преобразовать дифференциальные уравнения в алгебраические):
ikh + гтР2 — С4В3 — (73Р3 = /i2,
—ikho — imh2 — 0, C3h\ + C4h3 — 0. (20)
Соберем вместе дифференциальные условия связи
bm-ıfı(r) = C3f3(r), dmf3(r) = Cıfı(r),
am+ıf2(r) = C4f3(r), bmf3(r) = C2f2(r). (21)
Из (21) следуют уравнения второго порядка для отдельных функций
1®то/з — CxC3f3, (1Тп Ьгп _ ıfı=CıC3fı, ат+іЬт/з — С2С4Д, bmdm+ıf2 — C2C4J2. (22)
Парамєтрьі в каждой паре могут быть выбраны одинаковыми: С3 = Сі, С4, = С2. При этом условия связи и уравнения принимают вид
bm-ıfı(r) = Cı/з, йщ/з = Cifi,
«m+1/2W — С2/3) bmf3 — C2f2i
[bm-lO-m - C2]f3 = 0, [ambm-1 - C?]/i = О,
[am+ıbm - С|]/з = 0, [6mam+ı - Cf]/2 = 0. (23)
С учетом явного вида (14) операторов первого порядка полученные четыре уравнения записываются так:
-<2
d?
d2 dr2
d2 1 d m2
dr2 + dr rp2
Г
1 d (то --- l)2
2 + r dr r2
d2 1 d m2
dr2 + dr
Г
1 d (to + l)2
2 + r dr rp2
— 2(72
— 2(7.
/з = О,
/i = О, /з = О,
/2 = 0.
Очевидно, должно выполняться условие 2Cf = 2С2 ξ С2, т. е. имеем три уравнения:
ar^ rar г2
(24)
Напомним, что в теории обычной безмассовой векторной частицы также возникает уравнение вида (24):
d2 id о d^ + rdr+m
Z = у/m2 - k2r, f(z) = J±m(z). (25)
Следовательно, в уравнениях (24) надо полагать
—С2 —т2 — к2 =>· С — гу/т2 — к2. (26)
В новой переменной z — —гСг — у/т? — к2г уравнения (24) принимают бесселевский вид:
(d2 İd m2\ , , .
{d? + zdz + 1-^ )Λ = °,ή = .4„Μ,
(m — І)2'
d? İd dz2 z dz^
/ı=0,
fl — J±(m-l)(z), /2 = J±(m+l)(z)·
(27)
2. Анализ алгебраической системы
Напомним равенства Сі — С2 — С3 — С4 — С/у/2 и обратимся к алгебраической системе уравнений
—imh0 — ikh2 + С/ y/2h\ — С/ y/2h3 — О,
—imh — гкЕ2 + C/y/2Eı — С/у/2Е3 — h0,
—C/y/2h + С/у/2В2 — гкВ3 + imEı — hi,
ikh + imE2 — C/y/2Bi — C/y/2B3 — h2,
C / yplh + C/y/2B2 + ikBi + imE3 — h3,
C/y/2h0 — imhi — 0, —ikh0 — imh2 — 0,
—C/y/2h0 — imh3 — 0, —C/y/2h2 + imh3 — 0,
C/y/2hi + C/y/2h3 — 0, —ikhi — C/y/2h2 — 0. (28)
Ее можно записать в матричной форме АцхцФ = О
---im c ---ik C
( 0 V2 V2 0 0 0 0 0 0 ^
---im -1 0 0 0 c ---ik c 0 0 0
V2 V2
c 0 -1 0 0 im 0 0 0 c ---ik
V2 V2
ik 0 0 -1 0 0 im 0 c 0 c
V2 V2
c 0 0 0 -1 0 0 im ik c 0
v/2 V2
c ---im
0 \/2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 ---ik 0 ---im 0 0 0 0 0 0 0
0 c 0 0 ---im 0 0 0 0 0 0
V2
0 0 0 c ik 0 0 0 0 0 0
V2
0 0 c 0 c 0 0 0 0 0 0
V2 V2
^ 0 0 ---ik c 0 0 0 0 0 0 0 /
v/2
Ф — (h,hı,h2,h3, Eı, Е2, Е3, Bı, В2, В3У.
Убеждаемся, что определитель этой матрицы обраща- рангом. При С = гу/т2 — к2 ранг матрицы А8хц равен
ется тождественно в нуль при любом выборе параметра С. шести. Ранг не изменится, если убрать строки 1 и 8. В ре-Ранг матрицы равен восьми. Удаление строк с номерами зультате приходим к шести независимым уравнениям 9-11 приводит к матрице Л8хц нового размера с тем же
1
(—im —1 О
с
v/2
ik О
vi 0
О Я
η n SL· _____ju С
U U V2 lK y/2
О —1 О О im О О
О 0-10 —im ООО
О
О О
О Я
V2
0 \
-ік
—1 О О im 0 — Я
• .У Г*
ът ък -Ц=
V2
О о
о о
\ 0 —ik 0 —im 0 0 0 О
x(h,h0,hı,h2,h3,Eı,E2,E3,Bı,B2,B3y = 0.
о -Я
ч/2
о о
О /
/ -1 С ---гкҲ
0 0 0 V2
0 -1 0 0 im 0
0 0 -1 0 0 im
0 0 0 -1 0 0
с ---im 0 0 0 0
\ -*а 0 ---im 0 0 0 /
Переносим вправо столбцы, отвечающие переменным к,Ез,В1,В2,Вз, и приходим к неоднородной системе уравнений с пятью свободными параметрами
/м
hi h 2 h3 Sı
\Ε2)
с C
=-[-іт,--д,ік,-д, 0,0) h-
- ( -^,ο,ο,im,О,О ] Ез-
- ( 0,0,--<|,iA,0,0 ) Вг-
I о, ^/2’о, о,о ] В2
/М
hi
h*2
Ы
Ei
\e2J
Ло\
hi
/12
hs
Ei
\e2J
( —i\plkm \Jm2—k2
—ik
iy/2k2 yjm2 —k2
ik
_ к
0 rn k2+m2
\ ypîmyjтп2 — к2 J
( —im \
iyjШ2 —/с2
ik
iyjm2—k2
yp
yflyjm2 —k2
в.
2 5
(ho,hı,h2,h3,Eı,E2y —
■ к y/m2 — A2V
= 0,0,0,0,—,------j=---] B3.
т’ уДт
Представляем найденные решения в 11-мерной форме:
Φι
1 іу/т2 — к2 ,7 гу/гп2 — к2 n п
1, 2772, ,— j 7rCj ,— j U, Uj
V2
V2
- ^О, —гк,--Д, 0,0,0J ·Β3·
В результате находим пять линейно независимых решений: Ф2 = I 0, —
/м
/ii
/і2
/із
Si
\s2/
/Ло\
/її
/l2
/із
Sı
W
/ —im \
iyjm2 —к2
V2 ik
іу/т^—к^
V2 O
o
( i\/2m2 \
у/m2—fc2
—im
iy/Ükn
E·.
3,
\ yfnfl — k* /
o,o,O,O ;
, —im,
i-\/2A
m
-\/m2 — fc2
,im, —1,
iy/2m2 у/m2 — k2
y/2k
у/m2 — k2
T . iy/2km iy/2k2 A:
4/3= 0,-----. , —гА, . =,îA,----,
Vm2 — A:2 %/m2 — A:2 m
,1,0,0,0 ;
A2 + m2
,0,1,0,0 ;
y/2my/m2 — k2
T , „ . iVm2 — A2 iVm2 — A2
Ψ4= 0, -im,------=--, гА,
^2
^2
y/2y/m2 — k2 A λ4
■—-------,-,0,0,1,0 ;
mm )
Φ5= (0,0,0,0,0, —, л/тга!_-fe2, o, o, ο,ι"
m’ v^î
:m
При подстановке их в исходную систему (28) все пять решений дают нули. Следует учитывать, что эти решения найдены с точностью до произвольных множителей.
Заключение
Уравнение для безмассовой частицы Штюкельберга решено в цилиндрических координатах. Полевая функция состоит из скаляра, 4-вектора и антисимметричного тензора. Физически наблюдаемыми величинами являются скаляр (переменная h) и 4-вектор (переменные h0, hi, h2, h3)\ физически ненаблюдаемые переменные — компоненты антисимметричного тензора (переменные Eit Ві). Найдены пять линейно независимых решений. При этом свободными параметрами являются h, Е3, Въ В2, В3.
Литература
1. Duff in, R.l. On the characteristic matrices of the covariant systems / R.l. Duffin // Phys. Rev. - 1938. - Vol. 54, № 12. - P. 1114-1117.
2. Kemer, N. The particle aspect of meson theory / N. Kem-mer // Proc. Roy. Soc. London. A. - 1939. - Vol. 173. -P. 91-116.
3. Огивецкий, В.И. Нотоф и его возможные взаимодействия / В.И. Огивецкий, И.В. Полубаринов // Ядерная физика. -1966. - Т. 4, вып. 1. - С. 216-223.
4. Stueckelberg, E.C.G. Die Wechselwirkungskrâfte in der Elektrodynamik und in der Feldtheorie der Kernkrâfte (Teii II und III) / E.C.G. Stueckelberg // Helv. Phys. Acta. -1938. - Vol. 11. - P. 299-312,312-328.
5. Ruegg, H. The Stueckelberg field / H. Ruegg, M. Ruiz-Altabal // Int. J. Mod. Phys. A. - 2004. - Vol. 119. -P. 3265-3348.
6. Редьков, B.M. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца / В.М. Редьков. - Минск: Беларус, навука, 2009. - 486 с.
7. Плетюхов, В.А. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы / В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев. - Минск: Беларус, навука, 2015. - 328 с.
8. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol. I, II / V.V. Kisel [et al.]. - New York: Nova Science Publishers Inc., 2018.
9. Овсиюк, E.M. Частица Штюкельберга во внешнем магнитном поле. Метод проективных операторов / Е.М. Овсиюк [и др.] // Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук. Серия «Физико-математические науки». - 2022. -№ 5 (57). - С. 69-78.
10. Stuckelberg particle in the Coulomb field, non-rela-tivistic approximation, wave functions and spectra / E.M. Ovsiyuk [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. - 2022. - Vol. 25, № 4. - P. 387-404.
11. Гронский, B.K. Магнитные свойства частицы со спином 3/2. / В.К. Гронский, Ф.И. Федоров // Доклады Национальной Академии наук Беларуси. - 1960. - Т. 4, № 7. - С. 278-283.
References
1. Duffin, R.l. On the characteristic matrices of the covariant systems / R.l. Duffin // Phys. Rev. - 1938. - Vol. 54, № 12. - P. 1114-1117.
2. Kemer, N. The particle aspect of meson theory / N. Kemmer // Proc. Roy. Soc. London. A. - 1939. -Vol. 173, - P. 91-116.
3. Ogievetsky, V.l. Notof і ego vozmojnie vzaimodeistviya [The notoph and its possible interactions] / V.l. Ogievetsky, I.V. Polubarinov // Yad. Fiz. - 1966. - Vol. 4. - P. 216-223 [Sov. J. Nucl. Phys. -1967. - Vol. 4. - P. 156-161].
4. Stueckelberg, E.C.G. Die Wechselwirkungskrafte in der Elektrodynamik und in der Feldtheorie der Kernkrâfte (Teil II und III) / E.C.G. Stueckelberg // Helv. Phys. Acta. -1938. - Vol. 11, - P. 299-312, P. 312-328.
5. Ruegg, H. The Stueckelberg field / H. Ruegg, M. Ruiz-Altabal // Int. J. Mod. Phys. A. - 2004. - Vol. 119, -P. 3265-3348.
6. Red’kov, V.M. Polay chastis v rimanovskom prostranstve і gruppa Lorensa [Fields in Riemannian space and the Lorentz group] /V.M. Red’kov. - Minsk: Belarus, navuka. -2009. - 486 p.
7. Pletyukhov, V.A. Relativistkie volnlvie uravneniya і vnu-trennie stepeni svobodi [Relativistic wave equations and intrinsic degrees of freedom] / V.A. Pletukhov, V.M. Red'kov, VI. Strazhev. - Minsk: Belarus, navuka. -2015. - 328 p.
8. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol. I, II / V.V. Kisel [et al.]. - New York: Nova Science Publishers Inc., 2018.
9. Ovsiyuk, E.M. Chastisa Shtukelberga vo vneshnem mag-nitnom pole. Metod proektivnih operatorov [Stuckelberg particle in external magnetic field, and the method of projective operators] / E.M. Ovsiyuk [et al.] // Proceedings of the Komi Science Centre of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences. Series “Physical and Mathematical Sciences". - 2022. - № 5 (57). - P. 69-78.
10. Stuckelberg particle in the Coulomb field, non-rela-tivistic approximation, wave functions and spectra / E.M. Ovsiyuk [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. - 2022. - Vol. 25, № 4. - P. 387-404.
11. Gronskiy, V.K. Magnitnie svoistva chastisi so spinom 3/2 [Magnetic properties of a particle with spin 3/2] / V.K. Gronskiy, F.l. Fedorov// Dokladi nasionalnoi arademii Belarusii [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], - 1960. - Vol. 4, № 7. - P. 278-283.
Для цитирования:
Семенюк, О.А. Безмассовая частица Штюкельберга, решения с цилиндрической симметрией / О.А. Семенюк, В.А. Плетюхов, А.В. Бурый, А.В. Ивашкевич, В.М. Редьков // Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук. Серия «Физико-математические науки». - 2023. - № 4 (62). - С. 69-76.
For citation:
Semenyuk, О.А. Bezmassovaya chastica SHtyukel'berga, resheniya s cilindricheskoj simmetriej [Massless Stueckelberg particle, solutions with cylindric symmetry] / O.A. Semenyuk, V.A. Pletyukhov, A.V. Bury, A.V. Ivashkevich, V.M. Red’kov // Proceedings of the Komi Science Centre of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences. Series “Physical and Mathematical Sciences". - 2023. - № 4 (62). - P. 69-76.
Дата поступления рукописи: 10.04.2023 Received: 10.04.2023
