CC BY
6
УДК 539.12
DOI 10.19110/1994-5655-2021-6-59-65
А.В. ИВАШКЕВИЧ
СТРУКТУРА ПЛОСКИХ ВОЛН ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 3/2, БЕЗМАССОВЫЙ СЛУЧАЙ, КАЛИБРОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ
Институт физики им. Б.И. Степанова Национальной академии наук Беларуси, г. Минск, Беларусь
A.V. IVASHKEVICH
THE STRUCTURE OF THE PLANE WAVES FOR A SPIN 3/2 PARTICLE, MASSLESS CASE, GAUGE SYMMETRY
B.I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus,
Minsk, Belarus
Аннотация
Исследуется структура решений типа плоских волн для релятивистской частицы со спином 3/2, описываемой 16-компонентным вектор-биспино-ром. В безмассовом случае применяются два представления уравнения: одно в базисе Рариты-Швингера; второе строится на основе применения дополнительного преобразования и содержит тензор Леви-Чивита. Во втором представлении для безмассового случая очевидным образом строятся калибровочные решения в виде градиента от произвольного биспинора. Показано, что общее решение безмассового уравнения содержит шесть линейно независимых решений. В явном виде установлены четыре решения, которые могут быть отождествлены с калибровочными и поэтому отброшены как нефизические. Процедура исключения калибровочных компонент проведена в обоих представлениях безмассового уравнения.
Ключевые слова:
спин 3/2, базис Рариты-Швингера, плоские волны, безмассовая частица, калибровочная симметрия
Abstract
The structure of plane wave solutions for a rela-tivistic spin 3/2 particle described by a 16-compo-nent vector-bispinor is studied. In the massless case, two representations of the equation are used: in the Rarita-Schwinger basis and in a special second basis in which the wave equation contains the Levi-Civita tensor. In this second basis, the existence of trivial solutions in the form of a gradient on arbitrary bispinor becomes obvious. It is shown that the general solution of the massless equation consists of 6 linearly independent solutions. It is explicitly proved that four of them can be identified with gauge solutions and, therefore, can be removed as non-physical. The exclusion procedure of gauge components is carried out in both representations of the massless equation.
Keywords:
spin 3/2, Rarita-Schwinger basis, plane waves, massless particle, gauge symmetry
Введение
После работ Паули-Фирца [1, 2] и Рариты-Швингера [3] в физической литературе всегда присутствовал интерес к теории частиц с высшими спинами, в том числе и к частице со спином 3/2 [320]. Для описания частицы со спином 3/2 требуется 16-компонентная волновая функция с трансформационными свойствами вектор-биспинора относительно группы Лоренца. В литературе наибольшее внимание привлекло существование аномальных решений для массивной частицы в присутствии внешних полей, которым сопоставляется скорость частицы большая, чем скорость света. Отдельный интерес представляет случай безмассовой частицы со спином 3/2. Как показали Паули и Фирц [1], здесь существует специфическая калибровочная симметрия, выражающаяся в том, что 4-градиент от произвольной биспинорной функции дает решения безмассового волнового уравнения, т. е. в безмассовом случае среди множества решений волнового уравнения всегда присутствуют четыре калибровочные решения, которые являются физически ненаблюдаемыми, по-
скольку, например, не дают вклада в тензор энергии-импульса частицы. В данной работе мы проследим за степенями свободы безмассовой частицы со спином 3/2 на основе построения в явном виде решений типа плоских волн, и найдем решения, которые не содержат калибровочных компонент
1. Безмассовая частица
Система уравнений первого порядка для безмассовой частицы в базисе Рариты-Швингера имеет вид [16]
daYaФп - 1 дкт'Фг - 1 Ykda^a+
+ 1 Yk (Yada)Y% = 0, да (Га)к Фг
0, (1)
(ra)k
Y4 - 1 YlSa - 1 Ykgal + 3YkYaYl, (2)
биспинорные индексы у матрицы Га опускаем. Ниже будем использовать известные свойства матриц Дирака [17]:
YaYb + YbYa = 2gab, YaYa
4,
YaYbYd = Yag - Ybg + Ydg - iY5eabdcYc; (3) в спинорном базисе имеем
Y5 = +iY0Y1Y2Y3
I 0 0 -I
e0123 = +1.
(Г a)
al n
YaS1 - 1 Yl Sa + 2C 1
I un 3 I иП ~ 3
Yngal + 1 YnY aYl,
da(r a)ln^l = 0.
(5)
fr'a\l 2^axl I 2c„, „al i „5 ^ alk. (Г )n = 3Y Sn + у Yng - 3 Y en Yk,
т. е. уравнение (1) приводится к виду
(6)
2 2с i
3 daYa^n + у Ynda^a - 3Y5eanlkdaYkФ = 0; (7)
параметр с пока не фиксирован. Затем в уравнении (7) перейдем к новой волновой функции Ф с помощью матрицы Б :
sn Sm
Ф = SФ, Sdar ^-1Ф = 0, = Sm + aYmYn, (S-1 )k = Sk + bYlYk, SS-1 = I a + b + 4ab = 1. (8)
В результате находим новое представление для матриц уравнения
где действующие в 16-мерном пространстве волновой функции матрицы задаются соотношением
Если воспользоваться формулой для произведения трех матриц Дирака, то для матриц (Га)к можно получить другое представление:
2 ?
(Га)к = 3- 3Y5eakln1n, да(Га)1кФг = 0. (4)
Совершим над уравнением [1] последовательно два преобразования. Сначала умножим его слева на невырожденную матрицу С со структурой СП = 6П + cYnYk, в результате получаем другие матрицы
(Га)П:
ak m
(П
+YkS
YaSk m
3- b
ka m
1 1 2b
- 3+3+У+b
2с — 1 1
3 (1+4a) + 2a +3
2с - 1 1
—3—(1 + 4a) + 2a +3
+
+
+Ymg'
ak
2с 1 1
--- (1 + 4k) + 2a +1 +
+b
2с - 1 1
—3—(1 + 4a) + 2a +3
3 + b
2с 1 1
3 (1 + 4a) + 2a +3
iY5eamknYn- (9)
Потребуем, чтобы в (9) осталось только слагаемое, содержащее символ Леви-Чивита. Это дает три уравнения на параметры а,Ь,с (помним об условии
а + Ь + 4аЬ = 0):
2 2с - К „ п , Ь
3 = —^(1+4а)Ь +2аЬ +3,
2b
Y +
2с - „ , b
—— (1+4a)b +2ab +3
2с - 1, 1
3 (1 + 4a) + 2a + 3+
+ i 2C-1 (1 + 4a)b +2ab + b
Их решение следующее:
k
Ф = Бф, a = -3, b = -1, с = 2, Skn + 2YnYk, Skn = Skn - 3YnYk,
(10)
(S-1)n = Sk - YnY■
k
k
Отсюда, воспользовавшись формулой для умножения трех матриц Дирака, получим
(11)
Следовательно, уравнение для безмассового поля со спином 3/2 в этом базисе имеет вид
да(Г)^Фк = 0, -да[П5Ск^п]Фк = 0. (12)
Очевидно, что вектор-биспинор в виде градиента от произвольного биспинора Ф(х)
Фgkrad (x) = дkФ(x)
(13)
всегда будет решением уравнения (12). Это свойство иначе называют калибровочной симметрией. В исходном базисе калибровочные решения представляются так:
ф9гаЛ(х) = д1ф - YlYkд1 Ф, I = 0,1,2,3. (14)
0
0
Уравнение (12) можно записать в безиндекс-ной форме, если ввести шесть матриц:
пак _ (,Лпа}) к [па] _ _ . \ап]. ст )т, г1 И >
^пак _ ( к ^
я о .¿[па}"ф
-г7 7ида 0 .
0,
(15)
где Ф - это (4 х 4)-матрица, ее первый индекс бис-пинорный, второй - векторный. Простота уравнения (15) обманчива, фактически имеем следующее:
(-г) {75 (71 0 .[01} + 72 0 .[02} + 73 0 .[03})доФ+
+75(7и 0 .[01] + 72 0 .[12] - 73 0 .[31})д1Ф+
7 0 . ' + 7 0 . 5(-.0 0 ,.[01} + 72 0 .[12} - 73
+75(70 0 .[02} + 73 0 .[23} - 71 0 .[12})д2Ф+
+75(7° 0 .[03} + 71 0 .[31} - 72 0 .[23})д3^ _ 0.
(16)
Будем искать решения уравнения (16) в виде плоских волн, ориентированных вдоль оси х3 (это не уменьшает общности рассмотрения, поскольку всегда можно выбрать систему координат так, чтобы удовлетворить условию к0 _ (е, 0,0, к)) :
[Фап ]
е-шек ф
Фа
(/ 0 /1 [_2 / 3\
90 91 92 93
_0 _ И/2 _3
¿1 ¿2 ¿3 у
(17)
С учетом подстановки (17) уравнение (16) упрощается
-е75(т1 0 .[01} + 72 0 .[02} + 73 0 .[03})д0Ф+
+к75 (70 0 .[03} + 71 0 .[31} - 72 0 .[23})д3Ф _ 0,
(18)
кратко его можно записать так:
-е^5 В0Ф + к^5В3Ф
0.
(19)
Ниже будем использовать матрицы Дирака в спинор-ном базисе [16]:
7
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0
1 0 0 0 7 _ 0
0 1 0 0 1
0 0 0 г \ 0
0 0 -г 0 3 0
0 -г 0 0 , 7 _ 1
V г 0 0 0 0
-1\ 0
0 0
01 1 0 0 0 0 -1 0 0
также потребуются выражения для шести (транспонированных) матриц:
ит _ .гг _
ит] _ .гг _
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 .[02} 0 0 0 -1
0 0 0 1 , .гг _ 0 0 0 0
V0 0 -1 0 1 0 0
/0 0 0 0 /0 /0 1 0 0
0 0 1 0 .[23} 1 0 0 0
0 -1 0 0 , .гг _ 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 [31} _ 0 0 0 0 [12}_ 0 0 0 0
.гг _ 1 0 0 0 ' .гг _ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
Дальше находим 16 уравнений, которые разбиваются на четыре независимые системы:
I,
II,
III,
IV,
гк -ге 0 -(к + е)\
к е -(е + к) 0
0 0 гк -к
0 0 -ге е /
/ гк ге 0 (е - к)\
-к -е -(е - к) 0
0 0 -гк -к
0 0 ге е
/-гк -ге 0 -(е - к)\
-к -е (е - к) 0
0 0 гк -к
0 -ге е
/0 / гк ге 0 (к + е)\ /
-к -е -(к + е) 0
0 0 -гк -к
0 0 ге е
МЛ
¿3 _1
_0 _3 ¿1
/М
93
\/1/
V/2)
{/_0\
/ 3
91 \92/
0;
Требование равенства нулю определителей приводит к одному и тому же условию
22
(к2 - е2)
0.
(20)
Способ исследования уравнений такой: находим линейно независимые решения каждой подсистемы, при этом описываем только входящие в нее переменные, а остальные полагаем равными нулю; таким образом, находим все независимые решения исходной системы из 16 уравнений. Будем строить решения, предполагая е > 0 . Это означает, что исследуем случай частиц, для античастиц соответствующие решения можно получить с помощью операции зарядового сопряжения Фс _ (72 01)Ф* из строящихся ниже решений. Положительность энергии возможна в двух случаях: к > 0, е _ к и к < 0, е _ -к; для определенности следим за вариантом к > 0. Тогда приведенные выше уравнения упрощаются (сразу приводим их решения):
I,
-г 1
0 0
-г 1 0 0
0
-2
г
г
-2 0
-1 1
МЛ
¿3 _1
vw
¿0- любое, ¿3 _ -¿0, Н1 _ 0, _2 _ 0; (21а)
II,
г г 0 0
-1 -1 0 0
0 0 -г -1
0 0 г 1
/кр\
_3 ¿1
_0,^0-любые, _3 _ -_0, ¿1 _ ¿¿2;
(21Ь)
0
III,
/ -г -г
-1 -1
0 0
V 0 0
0 0 \
-1
/1о\
9_з
\/2)
-г 1/
до/2-любые, д3 = -д0, / = гД;
(21с)
IV,
г г 0
-1 -1 -2
0 0 г
0 0 г
2 \ 0
-1 1
/ Л
/ з .01 \92/
0;
/о-любое, /з = -/о, 01 = 0, 02 = 0.
Следовательно, общее решение системы уравнений имеет вид
Ф
/ о -г/2 / 2 -/ Л
до 0 0 -до
Но 0 0 -Но
{¿о г¿2 ¿2 -¿о/
(22а)
его можно разложить в суперпозицию шести независимых:
Ф
+
Г/ о 0
0 0
0
_0
Но 0
-/л 0 0 0
+
/
/_0
00
0 0
00 0 -до 00 00
+
/
00
000
0 0 -Но 0 0 0
+
/0 0 0 0 \
0 0 0 0
_0 0 0 0
0 0 -¿о)
+
0 -г/2 / 2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 + 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 {¿2 ¿2 0
+
(22Ь)
В свою очередь, калибровочные решения имеют вид (множитель вге1вгкг опускаем)
Фо
жК Ф2
/ьд
Ь2
Ьз
Ф1
0, фК = гк
Ь1 Ь2 Ьз \ь4)
(23)
где Ь1 .. .Ь4 - произвольные числовые параметры. Для матрицы общего калибровочного решения имеем следующее представление (учитываем е = к > 0, далее этот общий множитель опускаем)
Ф
К
(-гЬ1 0 0 гЬ{\
-гь2 0 0 гь2
-гЬз 0 0 гЬз
\-гЬ4 0 0 гЬ4)
(24)
Легко убедиться, что все независимые калибровочные решения удовлетворяют полученным выше уравнениям:
I,
II,
-г -г 0
1 1 -2
0 0 г
0 0 -г
г г 0
-1 -1 0
0 0 г
-2\ /-гьл
0
-1 1
+гЬ4 0 0
0;
/
0 -гЬз +гЬз
0
00
1
0 0
0;
(25)
III,
IV,
-г -г 0 0 -гЬ2
-1 -1 0 0 +гЬ2
0 0 г -1 0
0 0 -г 1 V 0 \
г г 0 2 (-гЬ1 \
-1 -1 -2 0 +гЬ1
0 0 -г -1 0
0 0 г 1 0
0;
0.
Также замечаем, что первые четыре решения в суперпозиции (22Ь) являются чисто калибровочными (см. (25)), поэтому они могут быть отброшены. Таким образом, в (22а) остаются только два независимых решения, они не содержат калибровочных компонент:
Ф
(26)
Теперь исследуем эту задачу используя исходный базис Рариты-Швингера (4). В матричной форме уравнение записывается так:
0 -г/2 / 2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 + 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 Ы2 ¿2 0
2г
3 да1а ® I - 31Ъда1и ® и"
Ф = 0.
(27)
Для плоских волн уравнение принимает вид (см. (19))
-2ге7°Ф + 2гк73Ф - е^ВоФ + к^5 В3Ф = 0. (28)
После необходимых вычислений находим 16 уравнений, группируем их в четыре несвязанные подсистемы:
(-гк -ге -2г(е + к) к е -(е + к)
-2г(е - к) 0 гк
-(к + е) \ -2г(е + к) к
/
/¿о\
¿3
Н1 \Н2)
II,
гк -к -2г(е + к) 0
ге -е 0
-2г(е + к)
(е - к)
-2г(е - к) к
-2г(е - к)
-(е - к)
гк
/
ге
/м
Нз ¿1 ^2)
0
ге
III,
-гк -ге -2г(е - к)
-к -е (е - к)
-2г(е + к) 0 гк
\ 0 -2г(е + к) -ге
-(е - к)\ /90\
-2г(е - к) к
/
93 /1 /2
IV,
гк -к
-2г(е - к) 0
ге -е 0
-2г(е - к)
(к + е) \ -2г(е + к) к
-2г(е + к) -(к + е) гк
/
/0
/3 91 92
0.
Дальнейший анализ проводится по прежней схеме. Строим решения, предполагая е > 0. Положительность энергии возможна в двух случаях: к > 0, е _ к и к < 0, е _ -к; следим за вариантом к > 0. Тогда системы упрощаются (общий множитель е _ к опускаем)
-г -г -4г -2
/М
II,
III,
IV,
1 1- 2 -4г ¿3
0 0 г -1 _1
0 г
/0 /г г 0 1\ 0\ /_2 \ /_0\
-1 -1 0 0 _3
-4г 0 -г -1 ¿1
-4г г {¿2/
/0 / -г -г 0 1\ 0\ /90\
-1 -1 0 0 93
-4г 0 г -1 /1
-4г -г
/0 /г г -4г 1\ 2\ / /2\ //0\
-1 -1 -2 -4г /3
0 0 -г -1 91
00
1
0.
92
Общее решение имеет вид
Ф
/0
1 (/1 + г/2)
4 ^¿2 - ¿1)
V ¿0
/1 0 0
¿1
/2 0 0
¿2
-/0 \
-1 (/1 + г/2)
- 4 ^¿2 - ¿1) -¿0
/
(29)
его можно разложить в линейную суперпозицию:
Ф
/0 0
0 0
00 00 00 00
-/0\ 0
0 0
+
0 0 0
00
0 0 0
-¿0)
+
+
0 /1 0 0
4/1 0 0 -4/1
0 -0 0 0
0 -0 0 0
+
+
+
+
0 0
- 4 ¿1 0 0 4 ¿1
4 0
+
4
¿1 0 0 /
0 0 /2 0
4/2 0 0 -4/2
0 0 0 V 0 00
/
0 0
4 ¿2 0
0 0 0
¿2
0 0
0 0
- 4 ¿2 0
+
(30)
Преобразование к этому базису найденных выше калибровочных решений Ф задается соотношением:
Ф
к
-т- ъ^-к
Фа - 1а1ЪФъ ,
где Фъ _ дъФ.
(31)
В результате для матрицы общего калибровочного решения в базисе Рариты-Швингера находим следу-ющкее представление:
Ф
/-гкЬ1 +гкЬ2 +гкЬ3 \-гкЬ4
г(е + к)Ь2 г(е - к)Г/1 -г(е - к)Ь4 -г(е + к)Ь3
(е + к)Ь2 -(е - к)Ь1 -(е - к)Ь4 (е + к)Ь3
геЬ1 \ -геЬ2 -геЬ3 геЬ4 )
(32)
Для ситуации е _ к > 0 (с учетом последующего сокращения общего множителя е
Ф
к
/0к 9К
_К
/1к
9К _к
¿к
ик
/-гЬ1 2гЬ2
+гЬ2 0
+г^3 0 \-гЬ4 -2гЬ3
к /2
9к _2к
¿к
212 0 0 213
к ) получаем
/к \
9к _3к
¿кк)
гГ/1 -гЬ2 -гЬ3 гЬ4
/
(33)
Это общее калибровочное решение можно разложить в суперпозицию четырех независимых
/-гЬ1 0 0 гЬЛ /0 0 0
Ф
к
00 00
+
00 00
0 0 0
+
\ 0 0 0 0 / \-гЬ4 0 0 гЬ4/
+
+
0 2гЬ2
+гЬ2 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 -2гЬ
СП2 0 0 0
0 0
0
-гЬ2
0 0
0 0
0 -гЬ3 Ь3 0 )
+
(34)
Первые два решения в (30) являются очевидно калибровочными, их можно отбросить, тогда остаются четыре решения:
Ф
10 /1 0 10 (г 0 0 /2 0 \
4 /1 0 0 - 4 /1 + 4 /2 0 0 - 4 /2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
+
а
+
+
0 0
0 0
- 4 dl 0
( 0 d1
( 0 00
0 00
4 d2 00
0 0 d2
0 0
0 4 dl 00
+
0 0
4 d 0
\
(35)
неиспользованными являются два калибровочных решения
Ф(к
0 2iL2 2L2 0
+iL2 0 0 -iL2
0 0 0 0
0 0 0 0
( 0 0 0 0 \
0 0 0 0
+L 0 0 -iL3
\ 0- -2iLä 2L3 0
(36)
Исследуем следующий вопрос: можно ли в решениях (35) выделить те, которые отождествимы с калибровочными решениями (36). Нужно решить уравнение
Ф
0
1 (fl + if2 ) 4(id2 - dl) 0
fl 0 0
dl
f2 0 0
d2
0
-1 (fl + if2 ) 4(id2 - dl) 0
/
( 0 2iL2 +iL2 0 +iLs 0
0
2L2 0 0
-2iL3 2L3
0
-iL2
-iL3 0
относительно переменных ¡1,/2,й1,й2. В результате находим два простых решения:
¡1 = 2гЬ2, ¡2 = 2Ь2 ¡1 = г/2;
¿1 = —2гЬз, й2 = 2Ьз ¿2 = гй1.
Таким образом, найдены два решения, которые устраняются калибровочными преобразованиями (напоминаем, что параметры ¿1 и ¡2 независимые):
¡1 =+г/2, ¿2 = +гйх,
Ф
( 0 if2 f2 0
0 0 - 2 f2
- 2 dl 0 0 2 dl
К 0 d1 id1 20
(38)
Не устраняются калибровочным преобразованием следующие два решения:
(39)
они не содержат калибровочных компонент и являются физическими.
Резюмируем результат. В явном виде построены шесть линейно независимых решений уравнения
fl -if2, d2 = -idl,
0 - if2 f2 0\
ф = 0 0 0 0
0 0 0 0
0 dl - idl 0
для безмассовой частицы со спином 3/2, среди них найдены два решения, которые не содержат калибровочных компонент
Литература
1.
2.
3.
4.
6.
7.
8.
(37) 9.
Pauli W., Fierz M. Über relativistische Feldle-ichungen von Teilchen mit beliebigem Spin im elektromagnetischen Feld // Helv. Phys. Acta. 1939. Vol. 12. P. 297-300.
Pauli W., Fierz M. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. London. A. 1939. Vol. 173. P. 211-232.
Rarita W., Schwinger J. On a theory of particles with half-integral spin // Phys. Rev. 1941. Vol. 60, No. 1. P. 61-64.
Гинзбург В.Л. К теории частиц со спином 3/2 // ЖЭТФ. 1942. Т. 12. С. 425-442.
5. Давыдов А.С. Волновое уравнение частицы, имеющей спин 3/2, в отсутствие поля // ЖЭТФ. 1943. Т. 13, № 9-10. С. 313-319. Johnson K., Sudarshan E.C.G. Inconsistency of the local field theory of charged spin 3/2 particles // Ann. Phys. N.Y. 1961. Vol. 13, No. 1. P. 121-145.
Bender C.M., McCoy B.M. Peculiarities of a free massless spin-3/2 field theory // Phys. Rev. 1966. Vol. 148, No. 4. P. 1375-1380. Hagen C.R., Singh L.P.S. Search for consistent interactions of the Rarita-Schwinger field // Phys. Rev. D. 1982. Vol. 26, No. 2. P. 393398.
Baisya H.L. On the Rarita-Schwinger equation for the vector-bispinor field // Nucl. Phys. B. 1971. Vol. 29, No. 1. P. 104-124.
10. Loide R.K. Equations for a vector-bispinor // J. Phys. A. 1984. Vol. 17, No. 12. P. 2535-2550.
11. Плетюхов ВА, Стражев В.И. К теории частиц со спином 3/2 // Изв. вузов. Физика. 1985. Т. 28, № 1. С. 91-96.
12. Capri A.Z., Kobes R.L. Further problems in spin-3/2 field theories // Phys. Rev. D. 1980. Vol. 22. P. 1967-1978.
13. Darkhosh T. Is there a solution to the RaritaSchwinger wave equation in the presence of an external electromagnetic field // Phys. Rev. D. 1985. Vol. 32, No. 12. P. 3251-3255.
14. Cox W. On the Lagrangian and Hamiltonian constraint algorithms for the Rarita-Schwinger field coupled to an external electromagnetic field // J. Phys. A. 1989. Vol. 22, No. 10. P. 1599-1608.
15. Deser S, Waldron A., Pascalutsa V. Massive spin-3/2 electrodynamics // Phys. Rev. D. 2000. Vol. 62. Paper 105031.
16. Napsuciale M., Kirchbach M., Rodriguez S. Spin-3/2 Beyond Rarita-Schwinger Framework // Eur. Phys. J. A. 2006. Vol. 29. P. 289-306.
17. Редьков В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца. Минск: Белорусская наука, 2009. 486 с.
18. Плетюхов ВА, Редьков В.М., Стражев В.И. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы. Минск: Белорусская наука, 2015. 328 с.
2
19. Elementary Particles with Internal Structure in External Fields. Vol I. General Theory / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, YA. Voynova, V. Balan, V.M. Red'kov New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. 404 p.
20. Решения уравнения для частицы со спином 3/2 и оператор спиральности / А.В. Ивашкевич, Е.М. Овсиюк, В.В. Кисель, В.М. Редьков // Веснш Брэсцкага ушверсггэта. Серыя 4. Фiзiка, матэматыка. 2020. № 1. С. 15-35.
References
1. Pauli W, Fierz M. Über relativistische Feldle-ichungen von Teilchen mit beliebigem Spin im elektromagnetischen Feld // Helv. Phys. Acta. 1939. Vol. 12. P. 297-300
2. Pauli W, Fierz M. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. London. A. 1939. Vol. 173. P. 211-232.
3. Rarita W, Schwinger J. On a theory of particles with half-integral spin // Phys. Rev. 1941. Vol. 60, No. 1. P. 61-64.
4. Ginzburg V.L. K teorii chastic so spinom 3/2 [To the theory of particles of spin 3/2] //J. of Experimental and Theoretical Physics. 1942. Vol. 12. P. 425-442.
5. Davydov A.S. Volnovoe uravnenie chasticy, ime-jushhej spin 3/2, v otsutstvie polja [Wave equation for a particle with spin 3/2, in absence of external field] // J. of Experimental and Theoretical Physics. 1943. Vol. 13, No. 9-10. P. 313-319.
6. Johnson K., Sudarshan E.C.G. Inconsistency of the local field theory of charged spin 3/2 particles // Ann. Phys. N.Y. 1961. Vol. 13, No. 1. P. 121-145.
7. Bender C.M., McCoy B.M. Peculiarities of a free massless spin-3/2 field theory // Phys. Rev. 1966. Vol. 148, No. 4. P. 1375-1380.
8. Hagen C.R., Singh L.P.S. Search for consistent interactions of the Rarita-Schwinger field // Phys. Rev. D. 1982. Vol. 26, No. 2. P. 393398.
9. Baisya H.L. On the Rarita-Schwinger equation for the vector-bispinor field // Nucl. Phys. B. 1971. Vol. 29, No. 1. P. 104-124.
10. Loide R.K. Equations for a vector-bispinor // J. Phys. A. 1984. Vol. 17, No. 12. P. 2535-2550.
11. Pletyukhov VA., Strazhev V.I. K teorii chastic so spinom 3/2 [To the theory of particles of spin 3/2] // Russian Physics J. 1985. Vol. 28, No. 1. P. 91-96.
12. Capri A.Z., Kobes R.L. Further problems in spin-3/2 field theories // Phys. Rev. D. 1980. Vol. 22. P. 1967-1978.
13. Darkhosh T. Is there a solution to the RaritaSchwinger wave equation in the presence of an external electromagnetic field // Phys. Rev. D. 1985. Vol. 32, No. 12. P. 3251-3255.
14. Cox W. On the Lagrangian and Hamiltonian constraint algorithms for the Rarita-Schwinger field coupled to an external electromagnetic field // J. Phys. A. 1989. Vol. 22, No. 10. P. 1599-1608.
15. Deser S., Waldron A., Pascalutsa V. Massive spin-3/2 electrodynamics // Phys. Rev. D. 2000. Vol. 62. Paper 105031.
16. Napsuciale M, Kirchbach M, Rodriguez S. Spin-3/2 Beyond Rarita-Schwinger Framework // Eur. Phys. J. A. 2006. Vol. 29. P. 289-306.
17. Red'kov V.M. Polja chastic v rimanovom pros-transtve i gruppa Lorenca [Particle fields in the Riemann space and the Lorentz group]. Minsk: Belorusian Science Publ., 2009. 486 p.
18. Pletyukhov VA., Red'kov V.M., Strazhev V.I. Rel-jativistskie volnovye uravnenija i vnutrennie stepeni svobody [Relativistic wave equations and internal degrees of freedom]. Minsk: Belorusian Science Publ., 2015. 328 p.
19. Elementary Particles with Internal Structure in External Fields. Vol I. General Theory / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, Y.A. Voyno-va, V. Balan, V.M. Red'kov New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. 404 p.
20. Reshenija uravnenija dlja chasticy so spinom 3/2 i operator spiral'nosti [Solutions of the wave equation for a spin 3/2 particle and helic-ity operator] / A.V. Ivashkevich, E.M. Ovsiyuk, V.V. Kisel, V.M. Red'kov // Bull. of Brest University. Series 4. Physics, Mathematics. 2020. No. 1. P. 15-35.
Статья поступила в редакцию 25.02.2021.
