CC BY
18
УДК 537.86
П. А. Головинский1'2, В. А. Астапенко2, Ю.А. Кротов3, А. В. Яковец2
воронежский государственный технический университет 2 Московский физико-технический институт (государственный университет) 3АО «НИИ «Полюс» им. Ф. М. Стельмаха»
Электрон графена в поле резонансной плоской электромагнитной волны
Получено аналитическое волковское решение безмассового уравнения Дирака для графена в поле импульса медленного света произвольной временной зависимости и определены условия применимости такого подхода. С помощью метода собственного времени Фока-Швингера найдена функция Грина с точным учетом влияния внешнего классического поля волны.
Ключевые слова: графен, функция Грина, дираковские фермионы, медленный свет.
P. A. Golovinski1'2, V. A. Astapenko2, Y. A. Krotov3, A. V. Yakovets2
1 Physics Research Laboratory, Voronezh Technical State University 2 Moscow Institute of Physics and Technology (State University) 3 PC Research Institute «Polyus» named after M. F. Stelmakh
Electron of graphene in the field of a plane electromagnetic wave
Analytical Volkov's solution of the massless Dirac equation for graphene in the field of a slow light short pulse in the arbitrary time dependence is obtained. Following the Fock-Schwinger proper time method, the Green's function, with account taken of the influence of the external classical wave field, is derived.
Key words: graphene, Green's function, Dirac massless fermions, field of slow light short pulse.
1. Введение
Уникальные свойства графена составляют предмет широких фундаментальных и прикладных исследований [1,2]. Во многом интерес к ним связан с тем, что квазичастицы и антиквазичастицы в графене обладают особыми свойствами, являясь безмассовыми фер-мионами, удовлетворяющими двумерному уравнению Дирака [3, 4]. Поскольку скорость Ферми в графене значительно меньше скорости света в вакууме с, нелинейные процессы квантовой электродинамики будут возникать в графене в полях умеренной интенсивности в сравнении со сверхсильными полями релятивистской интенсивности, которые требуются для наблюдения нелинейных эффектов в вакууме [5]. Это делает графен уникальной модельной системой, позволяющей изучать эффекты квантовой электродинамики сверхсильных полей [6-8], а также с помощью искривленного графена - явления общей теории относительности, включая эффект Хокинга [9].
Взаимодействие сильного лазерного поля с графеном приводит к многофотонным процессам [10], в том числе к генерации высоких гармоник. Для описания генерации гармоник в графене в присутствии лазерного поля получено адиабатическое решение зависящего от времени уравнения Дирака [11]. Анализ спектра состояний Флоке в однородном периодическом электрическом поле показал, что он аналогичен электронному спектру в пространственной сверхрешетке графена [13]. Взаимодействие лазерного излучения циркулярной
поляризации приводит к возникновению в спектре флоке-состояний запрещенной зоны, превращая его в изолятор [14-16]. Состояния Флоке в графене используются при расчете генерации гармоник в графене [17,18]. Точные аналитические решения Флоке для электронов и дырок в графене в поле гармонической волны позволяют получить выражение для нелинейной плотности тока [19]. Точные решения уравнения графена получены также для магнитного поля, перпендикулярного плоскости графена, и электрического поля, параллельного этой плоскости [12]. Отметим, что в ряде расчетов генерации гармоник структура графена в сильно возбужденном состоянии полностью игнорируется в полной аналогии с генерацией гармоник в газах и используется волковская волновая функция свободного электрона [20].
Динамика графена в лазерном поле ультракоротких импульсов требует для своего описания построения нестационарных волновых функций [21,22]. Наряду с волновыми функциями, функции Грина являются одним из важнейших инструментов описания электронной структуры графена, включая такие свойства, как локальная плотность состояний и процессы рассеяния на примесях. Их аналитическое представление оказалось весьма плодотворным и продолжает развиваться в различных приближениях [23-25]. Функции Грина используются в решении задач проводимости графена [26], и важно отметить, что точные функции Грина могут быть построены для графена в однородном электрическом и магнитном полях [27].
Развитие технологии медленного света позволяет получить условия, полностью эквивалентные квантовой электродинамике электрона в сильном лазерном поле в вакууме [28]. Настоящая работа посвящена построению точных решений для волновой функции и функций Грина в поле импульса медленного света с групповой скоростью, согласующейся со скоростью Фермии в графене.
2. Дираковские фермионы в поле плоской электромагнитной волны
Длина волны квазичастиц в графене значительно меньше длины волны света при той же частоте. Поэтому в обычных условиях можно считать поле волны в пространстве изменяющимся адиабатически плавно по отношению к движению квазичастиц. Этот факт позволяет получить аналитическое решение задачи в адиабатическом приближении [11]. Аналогичным образом решение получается и в случае нормального радения волны, когда электрическое поле можно считать однородным в плоскости графена. Технология медленного света позволяет согласовать скорость квазичастиц графена и групповую скорость электромагнитной волны. Точное решение уравнения для квазичастиц графена в таком поле для согласованных скоростей можно получить, следуя методу Волкова [29-31]. Движение электрона графена во внешнем поле плоской волны описывается уравнением Дирака для безмассового фермиона [4,32]:
Р — е^ + буду, @ — е^ + еуау, ах, ау — матрицы Паули. Переменная т связана со временем £ соотношением т — г^¿, г^ есть скорость Ферми и q — (х,у). Мы используем релятивистскую систему единиц, в которой К — с — 1.
Поле плоской линейно поляризованной в плоскости графена электромагнитной волны описывается зависимостью
г— — а (р - еА(х,у,$) ф. Здесь ф — двухкомпонентная волновая функция:
(1)
(2)
А(£) — ехА(0, £ — ау - т.
При а — 1 скорости электромагнитной волны и квазчастиц графена совпадают.
(4)
Уравнение Дирака (1) в отсутствие поля имеет решение
fc = U±> = + ( ) ,
Е <±> = ±к.
Для решения задачи с полем введем обозначения
L+ = h + idT, L- = h - idT, (5)
где
h =( . ° , ^ - грУ+ a(y>T)) ,a = -eA. (6)
V Px + гру + a(y, T) 0 J
В этих обозначениях уравнение (1) есть Ь~ф = 0. Очевидно, что тогда справедливо и квадрированное уравнение
Нф = 0, (7)
где
Н = L+L- == д2 - дХ - д2у - 2гадх + а2 + а'р, (8)
а Р = аХ + aaz .
Следуя Волкову, будем искать решение уравнения (7) в виде
фк = егхF(£), х = kq - кт,( = ау - т. (9)
Подстановка (9) в (8) при а = 1 приводит к уравнению
2 (ik - iky) F' + (2ак + а2 + a'ft) F =0 (10)
с решением
\ г У- _ 2ак + а2 + dp )
F =eXP \2 J ^ к - ky ) Uk
Окончательно решение уравнения (1) запишется в виде
Фк = exp \ (kq - кт) + 2 У 2ak + - ^ °' ^ j uk (11)
Сингулярность в решении (11) аналогична сингулярности в решении Волкова для размерности 3+1 в безмассовом пределе.
3. Построение функции Грина методом собственного времени Фока—Швингера
Построим функцию Грина G(q,q\), являющуюся решением уравнения
L-G(q,q{) = S(x - x{)S(q - qi), (12)
где q = (у,т). Поскольку проекция импульса кХ - сохраняющаяся величина, то решение ищем в виде
те
G(q,qi ) = 2- J йкх егк*(х-х1>9кх (y,t,yi,h), (13)
-те
где функция дкх удовлетворяет уравнению
L-9kx = 5(у - yi)5(t - ti), (14)
Ь± лкх - гРу+а(у,Т)) ± гдт. (15)
х \ кх + гру + а(у, т) 0 )
Далее воспользуемся методом собственного времени Фока-Швингера [33, 35, 35]. Применение этого метода расширено на случай наличия не только поля плоской волны [36,37], но и для дополнительного электрического и магнитного полей, а также для различных размерностей [38-41]. Определим пропагатор
те
9кх (У, I, У1, Ь) = -Ь+ [ (1,з (д\ е-г°Нх |^> , (16)
где
Нх = Р2У - Р2Т + Ь (17)
и Ь = (кх + а)У + а'р. Обозначим для дальнейшего р\ = —гду,рУ = —гдт, д\ = у, дУ = т,
Р = (Р 1,Ру), Я = (Ч\, ЧУ).
Дифференцируя матричный элемент (д\ е-гзНх \д\> по переменной в, можно записать:
iд8 (q\ e-%sHx \qi) = (q\Hxe-sHx \Ql) . (18)
Вставляя единичный оператор I = e-zsHxyezsHx в правую часть уравнения (18), получим
idds (q, s \ qi, 0) = ( q, s\Hx:(p(s),P(s)) \qi, 0). (19)
где \q, s) \q1, 0) являются собственными векторами операторов q^(s) и q^(0) с собственными значениями q и q1 соответственно: q^(s) \q, s) = q^ \q, s), q^(0) \q1, 0) = q1 \q, 0), p^(s) = etsHxp^e-tsHx, q^(s) = etsHxq^e-tsHx . Переменная s формально рассматривается как новое «время». Операторы p(s) = (р^(s),pv(s)), q^(s) = (((s),r(s)), входящие в уравнение ((18)), взяты в представлении Гейзенберга и удовлетворяют уравнениям
^ = г[Нх, p„(s)] , *№ = i[Hx, q,(s)] . (20)
В качестве следующего шага решим уравнения для p^(s) и q^(s) и запишем решение для p^(s) и р^(0) через q^(s) и q^(0).
Вводя новые переменные pv = ру — рт= ру + рт, £ = у — т, ц = т + у, гамильтониан Hx можно представить как
Hx = pvpz + Ь(у — т). (21)
Соответствующие уравнения Гейзенберга для операторов имеют вид
dn(S) --i[Hx,Pt(s)]=0, (22)
ds
= i[Hx, pv(s)] = —2dj: = i[Hx, as)]=2ps(s), = i[Hx, ф)] = 2pv(s).
dPv(s) ли t м ~db — =t[Hx, pv(s)] = —2-
dgs) d
dr](s)
d
Проинтегрируем уравнения Гейзенберга. Из первого уравнения следует
Pi (s) = я, ■k(s) = (рт(0) + ру(0)) = const.
и
0
Третье уравнение тогда имеет решение
t(s) - т = 2tTs, (24)
которое оправдывает термин собственное время для переменной s.
*Ш=ф) = (рг (8) + ру (8)) = (25)
= (Рт (0) + Ру (0)) = const. Второе уравнение имеет решение
pv (s ) = - 1b + Dv. (26)
Подставим решение (26) в четвертое уравнение системы (22). Тогда
^ = - h + 2Dv (27)
as ж
и
Ф)
ф) -v(0) = -1 J bdC + 2Dvs. (28)
m
Выразим константу Dv:
_ ф) -ф) + 1 г
^ =-2в-+ (29)
?(0)
Тогда
К Ф) - л(0) 1 /\
т
Теперь можно записать выражение для гамильтониана с учетом коммутационных соотношений для операторов координат:
<д, 8\Нх(р(з),р(8)) \д, 0) =
1 1С (зо)
= < Ч, 8\ (Ф) - №)) ( Ф) - Ф)) + ^) _ т у ь% \дь 0). ^ ;
?(0)
Учитывая коммутатор
1т,ч(*)] = [£(*) - 2-5, ф)] = 4г8, (31)
в итоге будем иметь
1 ? 1 Г
<д, 8\ Нх(р(8), р(8)) \д, 0) = (£ - £ 1)(г] -ф - - + — ] Ъ(%. (32)
Уравнение (19) принимает вид
гds {д, s | qь 0) =
1 j 1 Г
J? ^-V 0 - - +
V ь J
{ , | , 0) , (33)
а его решение
(д,з \дь 0) = ^^ ехр ± (^ — ^ ^ — Щ) —
V )
(34)
С учетом связи переменных ] = у + т, ^ = у — т имеем — £х)(г] — ] 1) = (у — у\)2 — (т — т\)2
у—т
(^1^0) = ехр ( ± ((у — у,)' — (г — тО2) — ■"■_■/ ь,(
С(ч,41) „„„ I 1 (/„. _ л'Л _
(У — У 0 — (т — тх)
у -
(35)
Определим константу С(д,д 1). Должно выполняться граничное условие
(Я\дь0)\= 5(д — д 1), (36)
и мы представим С( , ) в виде
С(д, д 1) = СФ(д,д 1), (37)
где Ф(д, д) = 1, а постоянная С определяется условием нормировки:
те
ехр(^ (у' — т')) йудт = 1. (38)
— те
Тогда получим
С=Ь (39)
Осталось определить функцию Ф( д, д 1). Для этого нам потребуются дополнительные условия [42]:
Ря ((1, в \Чь 0) = ((1, Ря(в) \Чь 0) , (40)
Рц (Я\ д 1,0) = (д,в\р?(,в) \дь0). Уравнение для определения функции Ф(д,д 1) принимает вид
РяФ(д, дг) = 0. (42)
Тем самым Ф( д,д 1) = 1, и построение функции Грина завершено.
4. Заключение
Рассмотренный нами случай согласования фазовой скорости воздействующего поля электромагнитной волны со скоростью Ферми в графене обеспечивает полную картину двумерной релятивистской задачи. Мы получили точные решения волковского типа для волновой функции в случае волны произвольной формы и длительности. Эти решения можно использовать в качестве базиса при рассмотрении различных процессов взаимодействия лазерного излучения ультракороткой длительности с графеном. К числу таких явлений можно отнести, в частности, генерацию гармоник и рассеяние на примесях. Инструмент в виде метода собственного времени Фока-Швингера дал возможность получить аналитическое выражение для функции Грина графена в поле резонансной электромагнитной волны. В полученных выражениях явно учтено, что при совпадении скорости электромагнитной волны с квазиимпульсом квазичастицы возникает резонанс, который проявляется в виде сингулярности в фазе решения. Данные результаты могут представлять интерес для выявления особенностей взаимодействия релятивистских частиц с лазерным излучением,
и
используя существенно меньшие напряженности поля и лучшие контролируемые условия взаимодействия. Как и в случае задачи с размерностью 1+3, использованный метод можно развить и для случая наличия дополнительного магнитного или электрического полей.
Работа выполнена при поддержке ГЗ Минобрнауки РФ № 2014/19. Литература
1. Castro Neto A.H., Guinea F., Peres N.M.R., Novoselov K.S., Geim A.K. // Rev. Mod. Phys. 2009. V. 81. Р. 109-162.
2. Katsnelson M.I. Graphene: carbone in two dimensions. Cambridge University Press. Cambridge, 2012. 351 p.
3. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V., Jiang D., Katsnelson M.I., Grigorieva I.V., Dubonos S.V., Firsov A.A. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene // Nature. 2005. V. 438. Р. 197.
4. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene // Nature Mater. 2007. V. 6. Р. 183-191.
5. Avetissian H.K. Relativistic Nonlinear Electrodynamics. New York: Springer, 2006.
6. Katsnelson M.I., Novoselov K.S., Geim A.K. Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene // Nature Phys. 2006. V. 2. Р. 620-525.
7. Katsnelson M.I., Novoselov K.S. Graphene: New bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics // Solid State Comm. 2007. V. 143. Р. 3-13.
8. Zubkov M.A. Schvinger pair creation in multi-layer graphene // Pis'ma v ZhETP. 2012. V. 95. Р. 540-543.
9. Lorio A., Lambiase G. Quantum field theory in curved graphene spacetimes, Lobachevsky geometry, Weyl symmetry, Howking effect, and all that // Phys. Rev. D. 2014. V. 90. Р. 025006.
10. AveJissian H.K., Avetissian A.K., Makrtchian G.F., Sedrakian Kh. // Journal of Nanophotonics. 2012. V. 6. Р. 061702(17).
11. Faisal F.H. Adiabatic solutions of a Dirac equation of a new class of quasi-particles and high harmonic generation from them in an intense electromagnetic filed //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2011. V. 44. Р. 11001(6).
12. Peres N.M.R., Castro E.V. Algebraic solution of a grapheme layer in transverse electric and perpendicular magnetic fields // J. Phys.: Condens. Matter. 2007. V. 19. P. 406231(10).
13. Savel'ev S.E., Alexandrov A.S. Massless Dirac fermions in laser field as a counterpart of grapheme superlattices // Phys. Rev. B. 2011. V. 84. Р. 035428(6).
14. Calvo H.L., Perez-Piskunow P.M., Usaj G., Balseiro C.A., Foa Torres L.E.F. Floquet chiral edge states in grapheme // Phys. Rev. B. 2014. V. 89. Р. 121401(R).
15. Sentef M.A., Claassen M., Kemper A.F., Moritz B., Oka T., Freericks J.K., Devereaux T.P. Theory of Floquet band formation and local pseudospin textures in pump-probe photoemission of grapheme // Nature Communications. 2015. V. 6. Р. 7047.
16. Usuj G, Perez-Piskunow P.M., Foa Torres L.E.F, Balseiro C.A. // Phys. Rev. B. 2014. V. 90. Р. 115423(12).
17. Gupta A.K., Alon O.E., Moiseyev N. Generation and control of hight-order harmonic by the interaction of an infrared laser with a thin graphite layer // Phys. Rev. B. 2003. V. 68. 1651XX(13).
18. Al-Nail I., Sipe J.E., Dignam M.M. High harmonic generation in undoped graphene: Interplay of inter- and intraband dynamics // Phys. Rev. B. 2014. V. 90. Р. 245423(7).
19. Lopez-Rodroguez F.J., Naumis G.G. Analitic solution for electrons and holes in graphene under electromagnetic waves: Gap appearance and nonlinear effects // Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 201406(4).
20. Sorngard S.A., Simonsen S.I., Hansen J.P. High-order harmonic generation from graphene: strong attosecond pulses with arbitrary polarization // Phys. Rev. A. 2013. V. 87. P. 053803(5).
21. Kelardeh H.K., Apalkov V., Stockman M.I. Graphene in ultrafast superstrong laser fields // Phys. Rev. B. 2015. V. 91. P. 045439(8).
22. Faisal F.H.M. A theory of multiple photon absorption by grapheme in intense laser fields // Ann. Phys. 2013. V. 525. P. 171-179.
23. Lawlor J.A., Ferreira M.S. Green functions of graphene: An analytic approach // Physica B. 2015. V. 463. P. 48-53.
24. Bena C. Green's functions and impurity scattering in graphene // Phys. Rev. B. 2009. V. 79. P. 125427(7).
25. Ulybyshev M.V., Zubkov M.A. Green functions in graphene monolayer with Coulomb interactions taken into account // Solid State Communications. 2013. V. 159. P. 55-59.
26. Ferreira A., Viana-Gomes J., Nilsson J., Mucciolo E.R., Peres N.M.R., Castro Neto A.H. Unified description of the dc conductivity of monolayer and bilayer graphene at finite densities based on resonant scatterers // Phys. Rev. B. 2011. V. 83. P. 165402(22).
27. Margia G., Raya A., Sánchez A., Reyes E. The electron propagator in external electromagnetic fields in lower dimensions // Am. J. Phys. 2010. V. 78. P. 700-707.
28. Vlasov Y.A., O'Boyle M., Hartman H.F., McNab S.J. Active control of slow light on chip with photonic crystal waveguides // Nature. 2005. V. 438. P. 65-69.
29. Volkov D.M. Uber eine Klass von Loder Diracshen Gleichung // Zeitchrift für Physic. 1935. V. 94. P. 250.
30. Berestetskii V.B., Lifshitz E.M., Pitaevskii L.P. Quantum Electrodynamics, Second Edition: Volume 4 (Course of Theoretical Physics). Oxford: Butterworth-Heinemann, 2008. 667 p.
31. Pardy M. Massive Photons and Volkov Solutions // Int. J. Theor. Physics. 2004. V. 43. P. 127-139.
32. Calvo H.L., Pastawski H.M., Roche S., Foa Torres L.E.F. Tuning laser-induced band gaps in graphene // Appl. Phys. Lett. 2011. V. 98. 232103(3).
33. Fock V. // Physik Z. Sowjetunion. 1937. V. 12. P. 404; V.A. Fock - selected works: quantum mechanics and quantum field theory / by L.D. Faddeev, L.A. Khalfin, I.V. Komarov. New York: Chapman & Hall/CRC, 2004. 562 p.
34. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev. 1951. V. 82. P. 664-679.
35. Boschi-Filho H., Farina C., Vaidya A. Schwinger method for the electron propagator in a plane wave field revisited // Phys. Lett. A. 1996. V. 215. P. 109-112.
36. Fradkin E.S. Application of functional methods in quantum field theory and quantum statistics (II) // Nucl. Phys. 1966. V. 76, P. 588-624.
37. Itzikson C. Zuber J.-B. Quantum Field 36. Theory. New York: Dover Publications, 2005. 752 p.
38. Fradkin E.S., Gitman D.M., Shvartsman Sh.M. Quantum Electrodynamics with Unstable Vacuum. Berlin: Springer-Verlag, 1991. P. 1-300.
39. Boudjedaa T., Chetouani L., Guechi L. Schwinger metod for particles of spin zero and 1 in the field of plane wave plus constant magnetic field // Phys. Scripta. 1995. V. 52. P. 9-16.
40. Gavrilov S.P., Gitman D.M. Proper time and path integral representation for the commutation functions //J. Math. Phys. 1996. V. 37. P. 3118-3130.
41. Gavrilov S.P., Gitman D.M., Yokonuzo Y. Dirac fermions in strong electric field and quantum transport in graphene // Phys. Rev. D. 2012. V. 86. 125022(12).
42. Schwartz M.D. Quantum Field Theory and Standard Model. Cambridge: Cambridge University Press, 2014. 850 p.
References
1. Castro Neto A.H., Guinea F., Peres N.M.R., Novoselov K.S., Geim A.K. Rev. Mod. Phys. 2009. V. 81. P. 109-162.
2. Katsnelson M.I. Graphene: carbone in two dimensions. Cambridge University Press. Cambridge, 2012. 351 p.
3. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V., Jiang D., Katsnelson M.I., Grigorieva I.V., Dubonos S.V., Firsov A.A. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene. Nature. 2005. V. 438. P. 197.
4. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene. Nature Mater. 2007. V. 6. P. 183-191.
5. Avetissian H.K. Relativistic Nonlinear Electrodynamics. New York: Springer, 2006.
6. Katsnelson M.I., Novoselov K.S., Geim A.K. Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene. Nature Phys. 2006. V. 2. P. 620-525.
7. Katsnelson M.I., Novoselov K.S. Graphene: New bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics. Solid State Comm. 2007. V. 143. P. 3-13.
8. Zubkov M.A. Schvinger pair creation in multi-layer graphene. Pis'ma v ZhETP. 2012. V. 95. P. 540-543.
9. Lorio A., Lambiase G. Quantum field theory in curved graphene spacetimes, Lobachevsky geometry, Weyl symmetry, Howking effect, and all that. Phys. Rev. D. 2014. V. 90. P. 025006.
10. Avetissian H.K., Avetissian A.K., Makrtchian G.F., Sedrakian Kh. Journal of Nanophotonics. 2012. V. 6. P. 061702(17).
11. Faisal F.H. Adiabatic solutions of a Dirac equation of a new class of quasi-particles and high harmonic generation from them in an intense electromagnetic filed. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2011. V. 44. P. 11001(6).
12. Peres N.M.R., Castro E.V. Algebraic solution of a grapheme layer in transverse electric and perpendicular magnetic fields. J. Phys.: Condens. Matter. 2007. V. 19. P. 406231(10).
13. Savel'ev S.E., Alexandrov A.S. Massless Dirac fermions in laser field as a counterpart of grapheme superlattices. 2011. Phys. Rev. B. 2011. V. 84. P. 035428(6).
14. Calvo H.L., Perez-Piskunow P.M., Usaj G., Balseiro C.A., Foa Torres L.E.F. Floquet chiral edge states in grapheme. Phys. Rev. B. 2014. V. 89. P. 121401(R).
15. Sentef M.A., Claassen M., Kemper A.F., Moritz B., Oka T., Freericks J.K., Devereaux T.P. Theory of Floquet band formation and local pseudospin textures in pump-probe photoemission of grapheme. Nature Communications. 2015. V. 6. P. 7047.
16. Usuj G, Perez-Piskunow P.M., Foa Torres L.E.F, Balseiro C.A. Phys. Rev. B. 2014. V. 90. P. 115423(12).
17. Gupta A.K., Alon O.E., Moiseyev N. Generation and control of hight-order harmonic by the interaction of an infrared laser with a thin graphite layer. Phys. Rev. B. 2003. V. 68. 1651XX(13).
18. Al-Nail I., Sipe J.E., Dignam M.M. High harmonic generation in undoped graphene: Interplay of inter- and intraband dynamics. Phys. Rev. B. 2014. V. 90. P. 245423(7).
19. Lopez-Rodroguez F.J., Naumis G.G. Analitic solution for electrons and holes in graphene under electromagnetic waves: Gap appearance and nonlinear effects. Phys. Rev. B. 2008. V. 78. P. 201406(4).
20. Sorngard S.A., Simonsen S.I., Hansen J.P. High-order harmonic generation from graphene: strong attosecond pulses with arbitrary polarization. Phys. Rev. A. 2013. V. 87. P. 053803(5).
21. Kelardeh H.K., Apalkov V., Stockman M.I. Graphene in ultrafast superstrong laser fields. Phys. Rev. B. 2015. V. 91. P. 045439(8).
22. Faisal F.H.M. A theory of multiple photon absorption by grapheme in intense laser fields. Ann. Phys. 2013. V. 525. P. 171-179.
23. Lawlor J.A., Ferreira M.S. Green functions of graphene: An analytic approach. Physica B. 2015. V. 463. P. 48-53.
24. Bena C. Green's functions and impurity scattering in graphene. Phys. Rev. B. 2009. V. 79. P. 125427(7).
25. Ulybyshev M.V., Zubkov M.A. Green functions in graphene monolayer with Coulomb interactions taken into account. Solid State Communications. 2013. V. 159. P. 55-59.
26. Ferreira A., Viana-Gomes J., Nilsson J., Mucciolo E.R., Peres N.M.R., Castro Neto A.H. Unified description of the dc conductivity of monolayer and bilayer graphene at finite densities based on resonant scatterers. Phys. Rev. B. 2011. V. 83. P. 165402(22).
27. Margia G., Raya A., Sanchez A., Reyes E. The electron propagator in external electromagnetic fields in lower dimensions. Am. J. Phys. 2010. V. 78. P. 700-707.
28. Vlasov Y.A., O'Boyle M., Hartman H.F., McNab S.J. Active control of slow light on chip with photonic crystal waveguides. Nature. 2005. V. 438. P. 65-69.
29. Volkov D.M. Über eine Klass von Loder Diracshen Gleichung. Zeitchrift für Physic. 1935. V. 94. P. 250.
30. Berestetskii V.B., Lifshitz E.M., Pitaevskii L.P. Quantum Electrodynamics, Second Edition: Volume 4 (Course of Theoretical Physics). Oxford: Butterworth-Heinemann, 2008. 667 p.
31. Pardy M. Massive Photons and Volkov Solutions. Int. J. Theor. Physics. 2004. V. 43. P. 127139.
32. Calvo H.L., Pastawski H.M., Roche S., Foa Torres L.E.F. Tuning laser-induced band gaps in graphene. Appl. Phys. Lett. 2011. V. 98. 232103(3).
33. Fock V. Physik Z. Sowjetunion. 1937. V. 12, P. 404; V.A. Fock - selected works: quantum mechanics and quantum field theory / by L.D. Faddeev, L.A. Khalfin, I.V. Komarov. New York: Chapman & Hall/CRC, 2004. 562 p.
34. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization. Phys. Rev. 1951. V. 82. P. 664679.
35. Boschi-Filho H., Farina C., Vaidya A. Schwinger method for the electron propagator in a plane wave field revisited. Phys. Lett. A. 1996. V. 215. P. 109-112.
36. Fradkin E.S. Application of functional methods in quantum field theory and quantum statistics (II). Nucl. Phys. 1966. V. 76, P. 588-624.
37. Itzikson C. Zuber J.-B. Quantum Field 36. Theory. New York: Dover Publications, 2005. 752 p.
38. Fradkin E.S., Gitman D.M., Shvartsman Sh.M. Quantum Electrodynamics with Unstable Vacuum. Berlin: Springer-Verlag, 1991. P. 1-300.
39. Boudjedaa T., Chetouani L., Guechi L. Schwinger metod for particles of spin zero and \ in the field of plane wave plus constant magnetic field. Phys. Scripta. 1995. V. 52. P. 9-16.
40. Gavrilov S.P., Gitman D.M. Proper time and path integral representation for the commutation functions. J. Math. Phys. 1996. V. 37. P. 3118-3130.
41. Gavrilov S.P., Gitman D.M., Yokonuzo Y. Dirac fermions in strong electric field and quantum transport in graphene. Phys. Rev. D. 2012. V. 86. 125022(12).
42. Schwartz M.D. Quantum Field Theory and Standard Model. Cambridge: Cambridge University Press, 2014. 850 p.
Поступила в редакцию 21.07.2016.
