Научная статья на тему 'Безитерационные методы решения ДАУ индекса 2'

Безитерационные методы решения ДАУ индекса 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
37
23
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Безитерационные методы решения ДАУ индекса 2»

18 Секция 1

Сеточная схема для однофазной задачи Стефана с дробной производной по времени

А. В. Лапин

Институт вычислительной математики и информационных технологий Казанского федерального

университета

Email: avlapine@mail.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10026

Рассматривается дробно-временная однофазная задача Стефана, которая включает в себя память о накоплении скрытой теплоты. Она ставится в энтальпийной форме (см. [1, 2]), в которой память накопления распределена по жидкой фазе. Сформулированная задача со свободной границей (границей фазового перехода) аппроксимируется неявной сеточной схемой. Для сеточной задачи установлены оценки скорости движения границы фазового перехода. Эти оценки дают возможность выделить "узкую" полосу на расчетном временном слое, которая содержит свободную границу, и в которой требуется решать нелинейную задачу. В оставшейся, большей подобласти, решение удовлетворяет сеточной аппроксимации линейного уравнения теплопроводности. Различные методы декомпозиции области могут быть использованы для решения сеточной задачи с использованием этой информации. Представленные результаты по оценке скорости движения свободной границы обобщают результаты работ [3, 4] для задач Стефана с целочисленными производными. Ряд предложенных итерационных методов является новым и для задач с целочисленным производными.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 19-01-00431).

Список литературы

1. Voller V. R., Falcini F., and Garra R. Fractional Stefan problems exhibiting lumped and distributional latent-heat memory eects// Physical Review E, 2013. 87:042401.

2. Cerentani A. N. A note on models for anomalous phase-change processes// Frac. Calc. Appl. Anal. 2020. V 23, No. 1, P. 167-182.

3. Kuznetsov Yu.A., Lapin A. V. Domain decomposition method to realize an implicit dierence scheme for one-phase Stefan problem // Sov. J. Numer. Anal. Math. Model. 1988. V.3, P. 487-504.

4. Lapin A. V. Domain decomposition method for grid approximation of two-phase Stefan problem // Sov. J. Numer. Anal. Math. Model. 1991. V.6, P. 25-42.

Безитерационные методы решения ДАУ индекса 2

А. И. Левыкин1,2, А. Е. Новиков3, Е. А. Новиков4 Новосибирский государственный университет

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

3Сибирский федеральный университет

4Институт вычислительного моделирования СО РАН

Email: lai@osmf.sscc.ru

DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10027

Представлена форма записи безитерационных (ш,к)-схем решения задачи Коши для дифференциально-алгебраических систем индекса 2. Исследованы условия согласованности и устойчивости. Приведены формулы преобразования параметров (m^-схем для двух канонических форм записи и нахождения вида функции устойчивости схем.

Разработан L-устойчивый (3,2)-метод второго порядка, для которого требуются два вычисления функции, одно вычисление матрицы Якоби и одна LU-декомпозиция на шаге. На базе метода сформулирован алгоритм интегрирования переменного шага, позволяющий решать как явные, так и неявные системы ОДУ индекса не выше двух. Приведены численные результаты, подтверждающие работоспособность нового алгоритма.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-07-01513 А) и поддержке первого автора в рамках государственного задания ИВМиМГ СО РАН (проект 0315-2019-0002).

Методы решения дифференциальных и интегральных уравнений

19

Список литературы

1. E. Hairer, G. Wanner. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems -Berlin : Springer-Verlag, 1996. - 614 p.

2. Levykin, A. I., Novikov, A. E. & Novikov, E. A. Schemes of (m, k)-Type for Solving Differential-Algebraic and Stiff Systems. Numer. Analys. Appl. 13, 34-44 (2020).

3. Novikov, A. E., Levykin A. I., Novikov E. A. (m, k)-Methods for Control Theory Problems.// 15th International Asian School-Seminar Optimization Problems of Complex Systems, OPCS 2019, P. 120-124

Сопряженно операторный дискретный аналог третьей граничной задачи статики упругого тела

А. Г. Максимова1,2, С. Б. Сорокин1,2

1Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН 2Новосибирский государственный университет Email: sorokin@sscc.ru, maksi-nastya@yandex.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10028

Основную трудность при дискретизации третьей основной задачи статики упругого тела [1] представляет построение аппроксимации краевых условий, заданных в терминах напряжений. Необходимость сохранения основных свойств оператора дифференциальной задачи на дискретном уровне требует громоздких и далеко не очевидных построений. Предложенная в работе схема [2-4] построения дискретного аналога третьей граничной задачи статики упругого тела достаточно проста в реализации и заведомо приводит к самосопряженным положительно определенным аппроксимациям статической задачи теории упругости в постановке "перемещения". При этом краевые условия, заданные в терминах напряжений, аппроксимируются автоматически.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 19-19-00272), Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 18-31-00303).

Список литературы

1. Амензаде Ю. А. Теория упругости. Учебник для университетов. Изд. 3-е, доп. М.: Высшая школа, 1976.

2. Коновалов А. Н. численные методы для статических задач упругости. Sib Math J 36, 491-505 (1995). https:// doi.org/10.1007/BF02109837.

3. Sorokin S. B. Justification of a Discrete Analog of the Conjugate-Operator Model of the Heat Conduction Problem J. of Applied and Industrial Mathematics, 2015, Vol. 9, No. 1, pp. 119-131.

4. Sorokin S. B. A difference scheme for a conjugate-operator model of the heat conduction problem in the polar coordinates Numerical Analysis and Applications July 2017, Volume 10, Issue 3, pp. 244-258.

Numerical solution of Maxwell fluid flow near critical point

N. P. Moshkin

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of SB RAS (Novosibirsk), Russia Novosibirsk State University Email: nikolay.moshkin@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2020-10376

An unsteady incompressible viscoelastic stagnation point flow (plane and axisymmetric) at a solid wall is studied. The simplest differential viscoelastic fluid model (i.e., the upper-convected Maxwell model) is used. A front or rear stagnation point on a plane boundary is considered, and a wide range of possible behavior is revealed when the solution at infinity is modulated in time by a specified factor. The solutions of governing equations are found in assumptions that components of extra stress tensor are polynomials of spatial variable along solid wall. The velocity profiles are obtained by numerical integration of a nonlinear ordinary differential equation.

This work was (partially) supported by Russian Foundation for Basic Research (grant No. 19-01-00096 A).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.