CC BY
1830
Секция 2
Список литературы
1. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Персова М.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач. Новосибирск : НГТУ, 2007.
2. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т.5, №5. C.816 - 827.
Алгоритмы решения сопряженных задач со свободными границами на несогласованных сетках
И. М. Кузьмин, Л. Е. Тонков Удмуртский государственный университет Email: imkuzmin@gmail.com DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10058
Рассматриваются численные схемы и параллельные алгоритмы решения сопряженных задач взаимодействия потоков жидкости и газа с деформируемыми телами при наличии развитой поверхности раздела фаз [1]. Исследуемые задачи характеризуются широким диапазоном линейных масштабов, (например, течения в пленках жидкости, колебания тонких пластин в потоке газа), что существенно повышает требования к дискретизации расчетной области и приводит к значительному росту вычислительных затрат и необходимости эффективной параллельной реализации вычислений.
Процедура численного решения строится в рамках разделенного подхода. Решение подзадачи динамики двухфазной среды основано на применении модификации VOF-метода [2] с эффективной процедурой регуляризации поверхности раздела фаз. Решение динамической задачи механики деформируемого твердого тела ищется в геометрически и физически нелинейной постановке с применением явных схем, учитывающих диссипативные свойства системы.
Применение несогласованных расчетных сеток в разделенном подходе предполагает процесс интерполяции между решениями каждой из физических подзадач на интерфейсной границе. Интерполяция осуществляется на основе метода радиальных базисных функций с глобальным и локальным носителем [3].
Программная модель разделенного подхода позволяет решать каждую подзадачу с использованием собственной модели параллелизма: задачу гидро- газодинамики на основе технологии MPI, динамическую задачу механики твердого тела OpenMP, задачу интерполяции данных и деформирования сетки в рамках гибридной модели OpenMP + CUDA.
Показана возможность эффективной и гибкой параллельной реализации алгоритмов решения рассматриваемых сопряженных задач с учетом особенностей каждой из подзадач разделенного подхода.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01-00402).
Список литературы
1. Patel H., Das S., Kuipers J., Padding J., Peters E.A. Coupled volume of fluid and immersed boundary method for simulating 3d multiphase flows with contact line dynamics in complex geometries // Chemical Engineering Science. 2017. Vol. 166. P. 28-41.
2. Shams M., Raeini A.Q., Martin J.B., Branko B.A. Numerical model of two-phase flow at the micro-scale using the volume-of-fluid method // Journal of Computational Physics. 2018. Vol. 357. P. 159-182.
3. Kopysov S. P., Kuzmin I. M., Novikov A. K., Nedozhogin N. S., Tonkov L. E. Radial basis function for parallel mesh-to-mesh interpolation in solving fluid-structure interaction problem // Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ. 2018. Vol. 51, P. 42-51.
Об одном варианте разрывного метода Галеркина
Ю. М. Лаевский, С. А. Литвиненко
Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН Email: laev@labchem.sscc.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10059
В статьях [1] автором вводится новый способ дискретизации области при решении задачи диффузии. Ю.А. Кузнецов предлагает метод конечных элементов, основанный на кусочно-постоянной аппроксимации потоков в смешанной дифференциальной постановке уравнения диффузии. Рассмотрен двумерный случай с многоугольной сеткой. Можно предположить, что для трехмерной задачи реализация
Численное решение дифференциальных уравнений 31
еще более усложнится. Поэтому был выбран способ некоторого упрощения реализации без потери самой идеи -преобразовать предложенный метод посредством введения прямоугольной дискретизации.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 16-29-15122 офи_м)
Список литературы
1. Kuznetsov Yuri A. A. Mixed FE method with piece-wise constant fluxes on polyhedral meshes // Russ.J.Numer. Anal.Math.Modelling. -2014. -№29(4). -С. 231-237.
Аппроксимация одной задачи средне-полевых игр с дробной производной по времени
А. В. Лапин\ S. Zhang2, С. А. Лапин3
1 Казанский (Приволжский) федеральный университет
2Tianjin University of Finance and Economics (Tianjin) Китай
3 Washington State University (Pullman) США
Email: avlapine@mail.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10060
We consider a mean field games model where the dynamics of the agents is subdiffusive. According to the optimal control interpretation of the problem, we have a system involving fractional time-derivatives equations. To approximate the state (Fokker-Planck) equation we use easily implementable operator splitting method. The solution of the constructed mesh state equation is proved to be strictly positive and keep an analogue of the mass balance condition.
The mesh adjoint state equation also has splitting form. We use several iterative methods to implement the constructed nonlinear mesh problem.
(m,k)-схемы решения явных и неявных жестких систем ОДУ
А. И. Левыкин12, А. Е. Новиков3, Е. А. Новиков4 1Новосибирский государственный университет
2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН
3Сибирский федеральный университет
4Институт вычислительного моделирования СО РАН
Email: lai@osmf.sscc.ru
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10061
Представлена оптимальная форма записи методов типа Розенброка с точки зрения числа ненулевых параметров и вычислительных затрат на шаге. Обоснована процедура получения ^^-методов из общеизвестных методов типа Розенброка [1-3]. Приведены формулы преобразования параметров (m,k)-схем для двух канонических форм записи и нахождения вида функции устойчивости схем.
Разработан L-устойчивый (3,2)-метод третьего порядка, для которого требуются два вычисления функции, одно вычисление матрицы Якоби и одна LU-декомпозиция на шаге. На базе метода сформулирован алгоритм интегрирования переменного шага, позволяющий решать как явные, так и неявные системы ОДУ. Приведены численные результаты, подтверждающие эффективность нового алгоритма.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-07-01513 А).
Список литературы
1. E. Hairer, G. Wanner. Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems Berlin : Springer-Verlag, 1996. - 614 p.
2. Новиков Е.А., Шорников Ю.В. Компьютерное моделирование жестких гибридных систем. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012.
3. Levykin A.I., Novikov E.A. A Study of (m,k)-Methods for Solving Differential-Algebraic Systems of Index 1 // Communication on Computer and Information Science, Springer Int. Publishing, 2015. - V. 549, P. 94-107.
