Беспоисковый алгоритм параметрической оптимизации ПИ-регулятора с полупостоянным интегрированием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оригинальная статья / Original article УДК 681.515.4

DOI: http://dx.d0i.0rg/l0.21285/1814-3520-2018-6-98-108

БЕСПОИСКОВЫЙ АЛГОРИТМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПИ-РЕГУЛЯТОРА С ПОЛУПОСТОЯННЫМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ

© В.В. Куликов1, Н.Н. Куцый2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Как известно, в автоматических системах с большим запаздыванием (когда запаздывание по значению превышает наибольшее значение постоянных времени объекта регулирования) применения пропорционально-интегрального, пропорционально-интегрально-дифференцирующего регуляторов не обеспечивает приемлемого качества переходных процессов, что заставляет обращаться к тому или иному классу регуляторов, компенсирующих отрицательные влияния запаздывания. В настоящей работе рассматривается известный своими преимуществами пропорционально-интегрально-дифференцирующий регулятор с полупостоянным интегрированием, относящийся к классу регуляторов с переменной структурой, не использующих скользящий режим. В данной работе формируется алгоритм автоматической параметрической оптимизации, вычисляющий оптимальный вектор настройки пропорционально-интегрального регулятора с полупостоянным интегрированием в автоматической системе для объекта с большим запаздыванием при независимости настраиваемых параметров регулятора от момента переключения, исходя из минимума интегрально-квадратичного критерия. МЕТОДЫ. Ввиду того, что используемый регулятор относится к классу регуляторов с переменной структурой и рассматривается объект с запаздыванием, то использование аналитических подходов к настройке такого регулятора крайне сложно. Это вынуждает решать задачу параметрической оптимизации регулятора с помощью алгоритмического метода. В настоящей работе используется градиентная процедура, в которой составляющие градиента вычисляются с помощью функций чувствительности с их известными преимуществами. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Сформированный алгоритм автоматической параметрической оптимизации определил оптимальные параметры пропорционально-интегрального регулятора с полупостоянным интегрированием для заданного объекта с большим запаздыванием при минимуме интегрально-квадратичного критерия. Достоверность найденного вектора настройки регулятора, сформированного алгоритмом автоматической параметрической оптимизации, подтверждается расчетом матрицы Гессе и апробированной вычислительной методикой. ВЫВОДЫ. Алгоритм автоматической параметрической оптимизации с достаточной для практики точностью решает поставленную задачу параметрической оптимизации. Полученный положительный опыт оптимизации пропорционально-интегрального регулятора с полупостоянным интегрированием позволяет применить его к другим регуляторам с переменной структурой, не использующих скользящий режим, и, таким образом, в дальнейшем расширить практику применения градиентного алгоритма на основе функций чувствительности для такого класса регуляторов с переменной структурой при различных законах переключения структур регулятора.

Ключевые слова: пропорционально-интегральный регулятор, чувствительность, запаздывание, задача параметрической оптимизации, интегрально-квадратичный критерий.

Информация о статье. Дата поступления 18 апреля 2018 г.; дата принятия к печати 21 мая 2018 г.; дата онлайн-размещения 29 июня 2018 г.

Формат цитирования. Куликов В.В., Куцый Н.Н. Беспоисковый алгоритм параметрической оптимизации ПИ-регулятора с полупостоянным интегрированием // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 6. С. 98-108. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-6-98-108

SEARCH-FREE ALGORITHM FOR PARAMETRIC OPTIMIZATION OF PI CONTROLLER WITH SEMI-PERMANENT INTEGRATION

V.V. Kulikov, N.N. Kutsyi

1Куликов Владимир Валерьевич, соискатель кафедры автоматизированных систем, e-mail: godefire@mail.ru Vladimir V. Kulikov, Competitor for a scientific degree of the Automated Systems Department, e-mail: godefire@mail.ru

2Куцый Николай Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: kucyinn@mail.ru

Nikolai N. Kutsyi, Doctor of technical sciences, Professor of the Automated Systems Department, e-mail: kucyinn@mail.ru

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation

ABSTRACT. PURPOSE. It is a well known fact that proportional integral (PI) and proportional integral derivative (PID) controllers when applied in automatic systems with a large delay (when the delay value exceeds the highest values of controlled object time constants) do not provide acceptable quality of transients. This makes us address to some classes of regulators compensating the negative impacts of delay. This article deals with the known for its advantages PID controller with semi-permanent integration that belongs to the class of regulators with a variable structure that do not use a sliding mode. On the basis of the minimum integral-square criterion this work forms the algorithm of an automatic parametric optimization (APO) that calculates the optimal adjustment vector of the PI-controller with semi-permanent integration in an automatic system for the object with a large delay when adjustable parameters of the controller are independent from the moment of switching. METHODS. Due to the fact that the controller applied belongs to the class of regulators with a variable structure and the study is devoted to an object with delay, the use of analytical approaches to the adjustment of such regulator is extremely difficult. Therefore, an algorithmic method should be used to solve the problem of controller parametric optimization. This study also employs a gradient procedure which enables to calculate gradient components using the functions of sensitivity with their known advantages. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The formed APO algorithm has determined the optimal parameters of the PI controller with semi-permanent integration for a given object with a large delay at the minimal integral-quadratic criterion. The validity of the found vector of controller adjustment generated by the APO algorithm is confirmed by the calculation of Hessian matrix and proven by the computing methodology. CONCLUSIONS. The APO algorithm solves the set problem of parametric optimization with the accuracy sufficient for practice. Received positive experience in the optimization of PI-controller with semi-permanent integration allows to apply it to other regulators with variable structure that do not use the sliding mode. In future it will allow to extend the use of the gradient algorithm based on the sensitivity functions for this class of controllers with variable structure under different laws of controller structure switching.

Keywords: proportional integral (PI) controller, sensitivity, time delay, parametric optimization problem, integral-quadratic criterion

Information about the article. Received April 18, 2018; accepted for publication May 21, 2018; available online June 29, 2018.

For citation. Kulikov V.V., Kutsyi N.N. Search-free algorithm for parametric optimization of a PI controller with semipermanent integration. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 6, pp. 98-108. (In Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2018-6-98-108

Введение

Запаздывания довольно часто встречаются в промышленных процессах, связанных с транспортировкой, перемешиванием, горением веществ и т.п. При отношении Тоб/Гобш > 1, где Тоб - величина запаздывания, Гобш = max(7об1, 7об2,..., Гобл) постоянная времени объекта регулирования, типовые непрерывные регуляторы - интегральный (И), пропорционально-интегральный (ПИ), пропорционально-интегрально-дифференцирующий (ПИД) - не обеспечивают требуемое качество протекания переходных процессов3. Одним из распространенных способов регулирования такими объектами является применение ПИ-регуляторов, имеющих в своей структуре звено запаздывания [1-9]. Другой способ компенсации запаздывания объекта заключается в применении в ПИ-регуляторе полупостоянного интегрирования, что позволяет избежать увеличения количества настраиваемых параметров регулирующего устройства3. Данный регулятор относится к классу регуляторов с переменной структурой. Такие регуляторы трудно настраиваемы и тем самым приходится прибегать к приближенным методам, что в общем случае снижает положительные качества регуляторов с переменной структурой (РПС). А это путь к алгоритмическим методам настройки. Именно этому и посвящается статья.

3Говоров А.А. Методы и средства построения регуляторов с расширенными функциональными возможностями для непрерывных технологических процессов: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.06. Москва, 2002. 499 с. / Govorov A.A. Methods and tools for constructing regulators with extended functional capabilities for continuous technological processes: Doctoral dissertation in technical sciences: 05.13.06. Moscow, 2002. 499 p.

Положительный опыт работы [9] по применению градиентного алгоритма на базе теории чувствительности к вычислению вектора настраиваемых параметров пропорционального регулятора, работающего в системе с переменной структурой, определяет стремление применить его к рассматриваемому регулятору и, таким образом, решить для него задачу параметрической оптимизации.

Под задачей параметрической оптимизации понимается поиск таких значений вектора настраиваемых параметров регулятора ^ =(ф,д2), которые обеспечивают минимум критерия, представленного ниже.

Автоматическая система

Структурная схема рассматриваемой автоматической системы представлена на рис. 1.

M0 >{ ■>s(t, q ) Gc( p, q) u(t) ^ Gp( p) x(t) ^

к У * [(-)

Рис. 1. Структурная схема автоматической системы Fig. 1. Block diagram of the automatic system

Процессы, протекающие в данной автоматической системе, можно описать следующим образом:

eft q )=Aft)-x(f);

u(t)=Gc(p,q )eft q); (1)

x(t)=GP(p)u(t),

где e(t, q) - ошибка системы регулирования; A(t) - задающее воздействие; u(t) - регулирующее воздействие; x(t) - выходная координата автоматической системы регулирования (АСР); Gc(p, q) - оператор регулятора; Gp(p) - оператор объекта регулирования; p = d/dt - оператор дифференцирования.

Оператор объекта регулирования Gp(p) в настоящей работе выбран в таком виде, с помощью которого можно описать процессы большинства промышленных объектов:

Gp (p) =-^-e^6P, (2)

p (To61P + 1)(To62p +1)

где kob - статический коэффициент усиления; 7оЬ1,7оЬ2 - постоянные времени; Tob - время запаздывания.

В качестве базовых значений параметров оператора объекта (2) взяты данные из работ, посвященных алгоритмам автоматической параметрической оптимизации (АПО)4 [10]:

4Куцый Н.Н. Автоматическая параметрическая оптимизация дискретных систем регулирования: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.06. Иркутск, 1997. 382 с. / Kutsiy N.N. Automatic parametric optimization of discrete control systems: Doctoral dissertation in technical sciences: 05.13.06. Irkutsk, 1997. 382 p.

Тоб1 = 10, Тоб2 = 40, коб = 1, Тоб = 50.

(3)

Исходя из параметров (3), объект (2) обладает большим запаздыванием, так как

Тоб/ Тобт > 1.

Учитывая3 выражение, определяющее значения регулирующего воздействия и((), представим следующим образом:

u(t) =

qiS(t,q) + q2 - s(t,q), g( t, s(t,q), s (t,q)) = 1; P

q-s(t,q) + q2- 0(t),g(t, s(t,q), s(t,q)) = 0. P

(4)

где - функция переключения, представленная одним из возможных выражений:

g(t) =

[1,s(t,q)s(t,q) > 0; 10, s(t,q)<s(t,q) < 0.

(5)

Отметим, что в плане дальнейшей научной работы поставлена задача по исследованию влияния различных вариантов функции переключения (5) в регуляторе (4) на качество переходных процессов.

На рис. 2 изображена структурная схема исследуемого регулятора.

g(t)

Рис. 2. Структурная схема ПИ-регулятора с полупостоянным интегрированием Fig. 2. Block diagram of the PI controller with semi-permanent intégration

В качестве критерия оптимизации формируемого алгоритма АПО выбран широко распространенный в практике автоматического регулирования функционал:

I = p2(t,q)dt. (6)

о

Алгоритм оптимизации

При формировании алгоритма АПО в настоящей работе использованы методы теории чувствительности для непрерывного класса систем [11], так как координата точки разрыва tm

(1,2,..,m) регулирующего воздействия u(t) не зависит от q [12-14].

В настоящей работе выведена модель для расчета функций чувствительности настраиваемых параметров регулятора (4):

ii(t) = Gp(p) = 1,2;

dqi

^ = s(t,q) -ii(t)Gc(P,q);

dqi dqi

du(t)

dq1

= s(t,q)-^1(t)Gc(P,q);

(7)

du(t)

dq2

1 s(t,q) - & (t)Gc (P, q), g( t, s(t,q), s (t,q)) = 1; P

10(t) - £ (t)Gc (P, q), g( t, s(t,q), s(t,q)) = 0. P

В процессе оптимизации вектор q настраиваемых параметров изменяется в соответствии с градиентной процедурой [10]:

q[l] = q[l -1] - rVqI(s(t, q[l -1])), (l = 1,2,...),

(10)

где Г = = - диагональная матрица весовых коэффициентов; 5- символ Кроне-кера; I(^(t, q[l -1])) - вектор-градиент (6). Определение вектор-градиента q[l -1]))

в данной работе связано с вычислением вектора функций чувствительности 5 для рассматри-

ваемого РПС:

;=(ШЛСО).

(11)

Реализация сформированного алгоритма АПО на компьютере требует формирования условия останова процесса оптимизации, в работах [11, 12] применено такое условие, опробованное для алгоритмов АПО на базе теории чувствительности:

Si [l] = Si [l -1] +

f1 при Ai[l] x AI[l -1] < 0 10 при Ai[l] xAi[l -1] > 0,

(12)

Su, [l] = S» [/ -1] +

1 di(ql) di(ql-1) _

1 при ——^—-< 0

dq} dq}

_ di(ql) di(ql-1) _

0 при ——^—-> 0.

dq j dq.

,(j = 1,2).

(13)

Здесь а1 [1 ] = i (д1) -1 (д1 1) - разность между критериями оптимальности в двух следующих итерациях.

<

Сформированный алгоритм АПО по вычислению настраиваемых параметров считается завершенным при выполнении условия:

(Si [Z] > nSi ) v ((Sôi, [Z] > nôi, ) л (Sôi [Z] > nff, )),

(14)

где п81, пэ/ , иэ/ - заданные положительные значения, характеризующие число соответствующих смен знака приращений критерия оптимальности, и знака каждой из составляющих градиента. Конкретные значения параметров п31, пы , % получены в результате предварительного исследования.

Проверка работоспособности алгоритма оптимизации

Для сформированного алгоритма АПО необходимо провести его исследование на предмет проверки достоверности вычисленных значений настраиваемых параметров Ц * с точки зрения нахождения минимума критерия (6).

В настоящей работе для этого используется расчет матрицы Гессе (далее Н(/)) и дополнительно применяется вычислительная методика из работы [9].

Как известно, положительно определенная матрица Н(/) в точке Ц * свидетельствует о нахождении минимума критерия (6):

H ( I ) =

ô21 ô2 i

ôq2 ô4lô42 ô21

ô21 ô21 ô4i ôq,

ô4lô4l ôq\

(i, J = l,2).

(15)

Представим критерий Сильвестра положительно определенной матрицы (15):

ô2I ô2I

ô > 0, ^ > 0,det H (I) > 0.

ôq2

ôq2

(16)

Определение элементов матрицы (15) строится на основе функций чувствительности второго порядка

ô&(t ) ô£(t )

ôql ôq2

ô^2(t ) ô^2(t )

ôql ôq2

fa (t )l(i, J = l,2).

(17)

Аналитический поиск функций чувствительности (15) является трудоемкой задачей, поэтому в настоящей работе использован более простой способ на основе модели чувствительности [11, 12], которая в настоящей работе реализована в сторонней программе УгёБ^ 7.0.

В рамках представленной работы выведем модель функций чувствительности 2-го порядка для системы (1) с регулятором (4):

J ) = G, (p)

ô 2u(t )

ôq, ôq.

,(i, J = l,2).

a2u(t ^ aG ( P,q ) s,, q ) _GM> & (t ) _GM> & (t ) _ G, ( P, q , ),

дq7

д2 u(t )

- (t) - - Kll(t), g(t, s(t,q), S(t,q)) = l

P

- (t) - - 0(t), g( t, s(t,q), S(t,q)) = 0

(1B)

д 2u(t )

дqlдq2

- z2(t) - -£(t) - G,(P, q)Çu(t), g(t, s(t,q), S(t,q)) = l

P

- & (t ) - - 0(t ) - G, ( p, q )£i2 (t ), g( t, s(t, q ), S (t, q )) = 0

P

д 2u(t )

- - & (t) - £(t) - Gc(p, q)£l(t), g(t, s(t,q), S(t,q)) = l P

- - 0(t) - 4 (t) - Gc(p, q)£l(t), g(t, s(t,q), S(t,q)) = 0 p

д2u(t)

дq2дq2

- 2 i & (t) - G, (p, q(t), g( t, s(t, q), S(t,q )) = l

P

- 2 i 0(t) - Gc(P, q&22(t), g(t, s(t,q), s(t,q)) = 0

p

Далее представим матрицу И([) для модели (17) при критерии (6):

H ( I ) =

J 2(&l2(t )-&l(t)s(t, q))dt J 2(£(t)£(t)-&2(t)s(t, q ))dt

0 0

œ œ

J 2(& (t )& (t ) - &2l(t )s(t, q ))dt J 2(&2 (t ) - &22(t )s(t, q ))dt

(19)

Как было отмечено выше, дополнительно для проверки работоспособности сформированного алгоритма АПО и, соответственно, проверки корректности вычисления (19) использована методика, ориентированная на вычислительный эксперимент4. Суть этой методики заключается в том, что происходит запуск алгоритма АПО как минимум с трех различных начальных

значений настраиваемых параметров д° = (д0,qlk)(k = 1,2,3), далее в точках д* = (д*к,д2к)

пространства настраиваемых параметров проверяется необходимое условие экстремума критерия оптимальности по д *:

si (q*) dq

= (0 ± А),

(20)

где а - погрешность вычисления.

— <

œ

œ

0

0

Дополнительно для проверки на достоверность результатов работы сформированного алгоритма АПО привлекается условие:

I(д*) < I(д) (21)

для д* исследуемого диапазона настраиваемых параметров.

На основе вышесказанного, резюмируем, что в настоящей работе показателем работоспособности сформированного алгоритма АПО является выполнение критериев (16), (20), (21) для д*.

Результаты исследования

В качестве результата проведенной проверки работоспособности представим расчет матрицы Н(/) и графики переходных процессов в начальных и конечных точках работы алгоритма АПО (рис. 2) при задающем воздействии = 1' .

Рис. 2 демонстрирует то, что сформированный алгоритм АПО системы с регулятором (4) обеспечивает вычисление д* с начальных значений д0, при которых переходный процесс в автоматической системе имеет как колебательный характер, так и монотонный. Таблица показывает, что матрица Н(/) положительно определена в конечных точках алгоритма д*. Рис. 3-6 иллюстрируют картины сходимости алгоритма (10).

Рис. 3. Графики переходных процессов x(t) в начальных (1) и конечных (2) точках работы алгоритма

АПО при параметрах объекта (3) Fig. 3. Graphs of transient processes x(t) in initial (1) and end (2) points of APO algorithm operation for object

(3)parameters

2 4 6 S 10 12 14 16 IS 20 22 24 26 28 30 32 34 2 4 6 6 10 12 14 16 16 20 22 24 26 28 30 32 34

1 I

Рис. 4. Значения составляющих градиента dI/dq1(l), dI/dq2(l) критерия оптимизации (6)

в ходе работы алгоритма АПО при параметрах объекта (3) Fig. 4. Values of the components of gradient dI/dq1(l), dI/dq2(l) of the optimization criterion (6) under APO algorithm operation for object (3)parameters

Рис. 5. Значения настраиваемых параметров регулятора q1(l), q2(l) (4) в ходе работы алгоритма АПО при параметрах объекта (3) Fig. 5. Values of adjustable parameters of the controller q1(l), q2(l) under APO algorithm operation

for object (3) parameters

Рис. 6. Значения критерия оптимизации I (6) в ходе работы алгоритма АПО

при параметрах объекта (3) Fig. 6. Values of the optimization criterion I (6) under APO algorithm operation for object (3) parameters

Результаты работы алгоритма АПО при параметрах объекта (3) Results of APO algorithm operation for object (3) parameters

№ No. Ч0 ч2 * 4i * ч* 10 I * H (I) det H (I )

1 0,1 0,01 0,2626 0,0207 41,5 22,1 (35,8;771,6) (14884,7;445475,6) 4462992

2 0,3 0,04 0,3606 0,0201 41,7 21,4 (30,1 ;741, 1 ) (13555,7;405987.9) 2174106,5

3 0,4 0,001 0,4324 0,0193 64,2 21,1 (27,3;751,6) (13267.4;394606.1 ) 800968,7

Для параметров объекта (3), согласно таблице, матрица Н(/) положительно определена, что подтверждает вместе с методикой работы4 нахождение сформированным алгоритмом АПО оптимальных параметров регулятора (4), исходя из минимума критерия (6).

Заключение

В настоящей работе, с помощью сформированного градиентного алгоритма, решена задача параметрического синтеза ПИ-регулятора с полупостоянным интегрированием для объ-

екта с большим запаздыванием при интегрально-квадратичном критерии качества. Работоспособность сформированного алгоритма АПО подтверждена положительно определенной матрицей H(I) и вычислительной методикой работы4.

Библиографический список

1. Ramirez A., Mondie S., Garrido R., Proportional integral retarded control of second order linear systems, 2013 IEEE 52nd Annual Conference on Decision and Control (CDC). 2239-2244.

2. Ramirez A., Garrido R., Mondie S. Integral Retarded Control Velocity Control of DC Servomotors, in IFAC TDS Workshop (Grenoble, France. 2013). Grenoble, 2013. Р. 558-563.

3. Villafuerte R., Mondie S., Garrido R. Tuning of Proportional Retarded Controllers: Theory and experiments, IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2013. Vol. 21 (3). Р. 983-990,

4. Larsson P. and Hagglund T. Comparison between robust PID and predictive PI controllers with constrained control signal noise sensitivity, 2nd IFAC Control Conference on Advances on PID Control. (Brescia, Italy, 28 March 2012). Brescia, 2012. P. 175-180.

5. Airikka P. Another novel modification of predictive PI controller for processes with long dead time", IFAC Conference on Advances in PID Control. (Brescia, Italy, 28-30 March 2012). Brescia, 2012.

6. Airikka P. Stability analysis of a predictive PI controller, 21st Mediterranean Conference on Control and Automation. (Crete, Greece, 25-28 June 2013). Crete, 2013. P. 1380-1385.

7. Shinder D., Hamde S. and L. Wagmare nonlinear predictive proportional integral controller for multiple time-constants, international journal of innovative research in advanced technology. 2014. Vol.1. Issue. 7. P. 53-58.

8. Airika P. Controller, reliable predictive PI tuning, the 19th world Congress IFAC, (Cape town, South Africa, 24-29 August 2014). Cape town, 2014. P. 9301-9306.

9. Prakash G. and Alamelumanga V. development of predictive Pi controller for fractional order of the quadruple tank process, WSEAS transactions on systems and control. 2015. Vol. 10. P. 85-94.

10. Куцый Н.Н., Маланова Т.В. Оптимизация автоматических систем с широтно-импульсной модуляцией при параметрическом несоответствии // Математическое моделирование и информационные технологии: материалы IX школы-семинара молодых ученых (г. Иркутск, 2007 г.). Иркутск, 2007. С. 97-101.

11. Костюк В.И., Широков Л.А. Автоматическая параметрическая оптимизация систем регулирования. М.: Энерго-издат, 1981. 96 с.

12. Городецкий В.И., Захарин Ф.М., Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении. Л.: Энергия, 1971. 345 с.

13. Тихонов О.Н. Автоматизация производственных процессов на обогатительных фабриках. М.: Недра, 1985. 272 с.

14. Куцый Н.Н., Осипова О.Н. Параметрическая оптимизация систем с интегральной широтно-импульсной модуляцией с использованием беспоискового градиентного алгоритма // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2012. № 1. С. 2-6.

References

1. Ramirez A., Mondie S., Garrido R., Proportional integral retarded control of second order linear systems, 2013 IEEE 52nd Annual Conference on Decision and Control (CDC). 2239-2244.

2. Ramirez A., Garrido R., Mondie S. Integral Retarded Control Velocity Control of DC Servomotors, in IFAC TDS Workshop (Grenoble, France. 2013). Grenoble, 2013, рр. 558-563.

3. Villafuerte R., Mondie S., Garrido R. Tuning of Proportional Retarded Controllers: Theory and experiments, IEEE Tr ans-actions on Control Systems Technology, 2013, vol. 21 (3), рр. 983-990.

4. Larsson P. and Hagglund T. Comparison between robust PID and predictive PI controllers with constrained control signal noise sensitivity, 2nd IFAC Control Conference on Advances on PID Control. (Brescia, Italy, 28 March 2012). Brescia, 2012, рр. 175-180.

5. Airikka P. Another novel modification of predictive PI controller for processes with long dead time\", IFAC Conference on Advances in PID Control. (Brescia, Italy, 28-30 March 2012). Brescia, 2012.

6. Airikka P. Stability analysis of a predictive PI controller, 21st Mediterranean Confer-ence on Control and Automation. (Crete, Greece, 25-28 June 2013). Crete, 2013, рр. 1380-1385.

7. Shinder D., Hamde S. and L. Wagmare nonlinear predictive proportional integral controller for multiple time-constants, international journal of innovative research in advanced technology. 2014, vol. 1, Issue 7, рр. 53-58.

8. Airika P. Controller, reliable predictive PI tuning, the 19th world Congress IFAC, (Cape town, South Africa, 24-29 August 2014). Cape town, 2014, рр. 9301-9306.

9. Prakash G. and Alamelumanga V. development of predictive Pi controller for frac-tional order of the quadruple tank process, WSEAS transactions on systems and control. 2015, vol. 10, рр. 85-94.

10. Kucyj N.N., Malanova T.V. Optimizaciya avtomaticheskih sistem s shirotno-impul'snoj modulyaciej pri parametrich-eskom nesootvetstvii [Optimization of automated systems with pulse-width modulation under parametric mismatch]. Mate-rialy IX shkoly-seminara molodyh uchenyh "Matematicheskoe modelirovanie i informacionnye tekhnologii" [Materials of IX school-seminar of young scientists "Mathematical modeling and information technologies", Irkutsk, 2007]. Irkutsk, 2007, рр. 97-101. (In Russian).

11. Kostyuk V.I., Shirokov L.A. Avtomaticheskaya parametricheskaya optimizaciya si-stem regulirovaniya [Automatic parametric optimization of control systems]. Moscow: Energoizdat Publ., 1981, 96 р. (In Russian).

12. Gorodeckij V.I., Zaharin F.M., Rozenvasser E.N., Yusupov R.M. Metody teorii chuvstvitel'nosti v avtomaticheskom upravlenii [Methods of sensitivity theory in automated control]. Leningrad: Energy Publ., 1971, 345 р. (In Russian).

13. Tihonov O.N. Avtomatizaciya proizvodstvennyh processov na obogatitel'nyh fabrikah [Automation of production processes at concentrating mills]. Moscow: Nedra Publ., 1985, 272 р. (In Russian).

14. Kucyj N.N., Osipova O.N. Parametricheskaya optimizaciya sistem s integral'noj shirotno-impul'snoj modulyaciej s ispol'zovaniem bespoiskovogo gradientnogo algoritma [Search-free gradient algorithm-based parametric optimization of systems with integral pulse-width modulation]. Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol', diagnostika [Instruments and Systems. Monitoring, Control and Diagnostics], 2012, no. 1, рр. 2-6. (In Russian).

Критерии авторства

Куликов В.В., Куцый Н.Н. имеют равные авторские права и несут равную ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Kulikov V.V., Kutsyi N.N. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interest

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.