Уравнения чувствительности импульсной системы стабилизации толщины изоляции кабеля со вспомогательной регулируемой величиной при параметрическом несоответствии Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Зл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-0406

Уравнения чувствительности импульсной системы стабилизации толщины изоляции кабеля со вспомогательной регулируемой величиной при параметрическом несоответствии

77-30569/341367

# 03, март 2012

Куцый Н. Н., Осипова Е. А.

УДК 681.51

Иркутский государственный технический университет

kucyinn@mail.ru osipovaelizaveta@yandex.ru

Введение

В настоящей работе рассматривается система стабилизации толщины изоляции кабеля [1] с возмущениями, как со стороны самого объекта, так и со стороны его исполнительного механизма (ИМ). С целью повышения качества регулирования в системе образовано два контура, так что в процессе формирования регулирующего воздействия участвует помимо основной стабилизируемой величины воздействие из промежуточной точки объекта, причём задействован только один регулятор. Вспомогательная регулируемая величина берётся после ИМ объекта, что в значительной мере продиктовано предположением о главенствующей роли возмущений, идущих со стороны этого механизма. Ведь если сравнить инерционность и запаздывание вспомогательного и основного каналов объекта по отношению к этим возмущениям и регулирующему воздействию, то у вспомогательного они окажутся существенно меньше [2].

Важно, что в данном случае регулятор представляет собой существенно нелинейный импульсный элемент (ИЭ), осуществляющий интегральную широтно-импульсную модуляцию (ИШИМ) Такой вид модуляции позволяет достаточно простыми техническими средствами реализовать устройство управления ключами модулятора, что даёт свои известные преимущества [3].

Известно, что разработка и исследование беспоисковых алгоритмов автоматической параметрической оптимизации (АПО), базирующихся на теории чувствительности, способствуют более широкому внедрению систем с широтно-импульсной модуляцией в практику автоматического регулирования [4, 5, 6]. Однако, у таких алгоритмов есть недостаток: необходимость иметь точное описание той автоматической системы регулирования (АСР), для которой вычисляются оптимальные, исходя из принятого критерия, значения настраиваемых параметров [7].

Ясно, что объекты регулирования реальных автоматических систем во многих случаях подвержены влиянию параметрических возмущений. Это обстоятельство обуславливает возникновение параметрического несоответствия, под которым понимается отличие параметров оператора модели объекта регулирования Ом (р, Рм ), используемого в анализаторах чувствительности алгоритмов АПО, и

оператора реального объекта АСР Ог (р, Рг) при совпадении их структур [4, 8, 9].

Соответственно Рм и Рг - это и есть векторы значений параметров в операторах

модели объекта регулирования и объекта в реальной системе. Вышесказанное приводит к проблеме определения оптимальных настраиваемых параметров в условиях параметрического несоответствия.

Для решения сформулированной выше проблемы выбран подход, согласно которому в составе общей процедуры адаптации объединяют процедуры идентификации и определения оптимальных, исходя из принятого критерия, значений настраиваемых параметров [10]. Система в этом случае включает в себя идентификатор, оценивающий модель объекта, и оптимизатор, в котором производится настройка регулятора, а её структурная схема может иметь вид, представленный на рис. 1.

Рис. 1. Схема системы управления с идентификацией объекта

Выбранная структура системы позволяет выполнить идентификацию параметров оператора модели объекта регулирования в соответствии со схемой, представленной на рис. 2.

Рис. 2. Схема идентификации параметров оператора модели объекта регулирования

Целью настоящей работы является исследование вопроса получения уравнений чувствительности для реализации процедуры идентификации параметров объекта регулирования в системе стабилизации толщины изоляции кабеля с интегральным широт-но-импульсным модулятором и дифференциатором.

1. Постановка задачи

Рассматривается идентификатор (рис. 1 и рис. 2), на который возлагается решение задачи параметрической идентификации. Эта задача сводится к нахождению значений параметров модели, которая наилучшим образом аппроксимирует заданную систему, обеспечивая, например, минимум квадратичного отклонения

<х> 2

Л = !(хм (*)- х- (*)) &. (1)

0

Здесь Хм (*) - переходный процесс модели системы регулирования при оптимальных значениях настраиваемых параметров, вычисленных с использованием оператора Ом; хг (*) - переходный процесс реальной АСР при тех же значениях

настраиваемых параметров.

Вышеназванная задача решается для системы [1], структура которой показана на рис. 3.

Рис. 3. Исследуемая АСР

Модель выбранной системы регулирования с сосредоточенными параметрами зададим в виде операторных уравнений

е(г, д, й) = 5ос(г, д, й)-8з(г),

81 (г, д, й) = е(г, д, й) - к/Р ктУгг (г, д, й),

таР +1

(г, д, й )=О^ (г, д, й), д, г), (2)

У1г (г, д, й ) = ^ (Р )игя (г, д, й), Р

$ос (t, д, й)=кзе

-Т3 Р к0

У г (г, д, й)'

с начальными условиями установившегося режима экструдерной линии для электропривода тянущего устройства

Уг (0)= У0, 6(0) = бс, 5(0) =80.

Здесь д = (^1 ,^2 ,---,Чт ) , й = {ка ,Та ) - вектора настраиваемых параметров регулятора и реального дифференциатора, соответственно («штрих» здесь и ниже означает транспонирование); 83 - сигнал требуемой толщины изолирующей оболочки.

Внешний участок объекта регулирования на структурной схеме (рис. 3) представлен в виде

8 = кб,

У,г

где б - объёмная производительность экструдера, для которой свойственно появление случайных изменений; Уг - линейная скорость протяжки кабельного изделия по всей длине экструдерной линии; к - коэффициент, характеризующий зависимость б от

Уг.

Технологически из-за нецелесообразности измерения толщины изоляции непосредственно на выходе из формирующего инструмента, приходится устанавливать датчик толщины изоляции после выхода кабельного изделия из охлаждающей ванны.

Этим объясняется наличие звена чистого запаздывания е Т3Р, где т 3 - время запазды-

Ь г "

вания, определяемое из соотношения: 13 =——, в котором Ь - длина охлаждающей

Угг

ванны; У^. - номинальная скорость протяжки.

После того как кабель вышел из охлаждающей ванны, бесконтактным прибором, состоящим из источника света и светодиодной решетки, измеряется толщина его изоляции. Для простоты математического описания такой датчик представлен в виде

безынерционного звена с коэффициентом передачи . Результат же измерения обозначен символом 80С.

При этом следует отметить, что именно гиперболическая зависимость между 8 и У1г предопределила положительный знак обратной связи внешнего контура. Такая обратная связь обеспечивает работоспособность рассматриваемой системы, позволяя при увеличении 80С сформировать команду на увеличение , а при уменьшении 80С - на

уменьшение У1г.

Как отмечалось выше, вспомогательная регулируемая величина выбрана так, что внутренним участком объекта регулирования оказался ИМ. Роль ИМ в заданной АСР играет электропривод тянущего устройства Ое (р) (рис. 4), а возмущение /, идущее с его стороны, может выражаться, например, в виде случайных изменений нагрузки на валу. Так как в рамках статьи невозможно в более полном объеме описать схему рис. 4, добавим только, что инерционность электропривода такова, что по отношению к ней

время запаздывания Т3 является довольно большим [2].

Рис. 4. Фрагмент исследуемой АСР

Для измерения Vtr используется тахогенератор, напряжение UTG которого пропорционально Vtr

UTG = kTGVtr ;

ктс - коэффициент преобразования линейной скорости протяжки кабельного изделия в напряжение.

Характеристика ИЭ Giel может быть представлена

Г0к при кт < t < кт + tk, (Sl(Л q, d), q, t) = jо при кт + к <t <(k + 1)T, 0k = sign e1 [ кт ], к = 0, 1, 2, ... .

Здесь т - период цикла работы ИЭ; t^ - времени действия к -ого импульса, для определения которого предлагается в тактовый момент времени измерять ошибку регулирования е1[кт ], а затем в зависимости от измеренного значения ошибки выполнять

следующее. Если [в^кТ] |> 0 , то ^ - наименьший положительный на (0, Т) корень уравнения

5 (б! (г, д, й), д )=ф(*„ ),

иначе гк = 0 и ыгз(ег(г,д, й),д,г)= 0 при кТ<г<(к + 1)Т . В случае отсутствия такого корня гк = Т.

Величина 5 (в^г, д, й), д) определяется, исходя из

кТ+ги кТ+ги кТ+ги т

5(в1, д) = | |в1(г,д, й)|Ж + д2 { |в1(г,д, й) Ж + ... = { £|в1(г,д, й)]Ж,

кТ кТ кТ ]=1

где ги - время, отсчитываемое внутри периода Т. Опорный сигнал Ф(^и ) реализован в виде параболы второй степени: Ф(ги ) = ^ .

2. Вывод уравнений чувствительности

Как известно, параметры объекта регулирования можно разделить на три группы: коэффициенты передачи, постоянные времени и запаздывания. Исходя из этого, рассматривается случай несоответствия параметров реального объекта к^, Т*, Т^ и его

модели кт1 , Тг , Т3 .

Представим способ получения уравнений, которые позволяют вычислять функции чувствительности по интересующим нас параметрам модели системы.

Символами 1, Ят , ЯТз будем обозначать функции чувствительности системы (2) по параметрам км , Тг , Т3, соответственно.

Дифференцируя последнее уравнение системы (2) по коэффициенту усиления кт1 , получим

Я (г) = дхм (г) = д8ос(г, g, й) = _к е-тзр ко ду (г, g, й) (3) дкт1 дкт1 6 У,2 (г,д, й) дкт1 '

дУг (г, д, й)

Четвёртое уравнение позволяет для сомножителя - записать выраже-

дкт1

ние

= Ое (р {и„ (г, д, й)+^

1т1 I Р Р 1т1 ,

В

где-- символ обобщённого дифференцирования.

да

и,

По формулам обобщённого дифференцирования для регулирующего воздействия ,(г, д, й), претерпевающего разрывы в моменты времени (кТ + гк ), к = 0, 1, 2, ...,

имеем

= _Е 8(г-(кТ+к )), к = 0, 1, 2

дкт1 к ^кт1

Здесь

Жь

- производная длительности к -ого импульса по параметру км;

т1

8(г _ (кТ + гк)) - смещённая дельта-функция; Ди^ - приращение регулирующего воздействия в моменты переключения.

Учитывая, что в моменты (кТ + г к ) при г к > 0 выполняется равенство вида

кТ+гк т „ ч.

I ЕЧ 8(г, д,й)^ = г

кТ ]=1

дифференцированием интеграла в левой части равенства и степенной функции в правой приходим к тому, что

Ж, кТ+гк к = |

dki

т1 кТ

Е Я] М^д4

V ]=1

dt■.

уу

3|е1 (г, д ,й )

/V дкгт1 к = 0, 1, 2, ....

Из второго уравнения системы (2) вытекает, что

де1 (г, д, й)_ де(г, д, й) кйР дУг (г, д, й) - кт

2гк _ Е81 (кТ + гк^

V ]=1

у

дк

дк

дкгт1 Tdp + 1

где для первого слагаемого справедливо следующее:

де(г, д, й) д5ос (г, д, й)

дк

гт1

дк

т1

дк,

= 5кт (г ) .

гт1

Так, при моделировании решения уравнения чувствительности (3) для вычисления

д|е1 (г,д ,й )|

дк

остаётся воспользоваться правилом раскрытия знака модуля:

гт1

д е1 (,й)

дк

т1

де1 (,й)

дк

гт1

де1 (,й)

дк

, при е1 (,й )> 0, , при е1 (,й) < 0.

гт1

Найдём уравнение чувствительности по параметру Тг оператора Ое (Р), который носит название электромагнитной постоянной времени цепи якоря.

Аналогично уравнению (3) запишем

. (t) = дхм (t) = d5oc(tLqLd) = к е-т3 p кО dVtr (t, q, d) Л) дтг дтг 6^ V2 (t,q, d) дтг "

тг i \ 7 (\ dVtr(t, q, d) 7 dro(t, q, d) Зная, что Vtr (t) = кгro(t), имеем ---- = кг----, где теперь требу-

дтг дтг

dro(t, q, d)

ется определить выражения для нахождения--.

Обратим внимание на то, что в исследуемой АСР (рис. 3 и рис. 4) уравнение относительно ro(t) имеет вид

ffl(t) = GUim1 (p) • кр1 • Urs (t) + Gmc (p) • Mc (t) + Gf (p) • f (t). (4)

Здесь Gu i (p) - это оператор замкнутого контура по задающему воздействию

Uim1 (t) = _im1 Urs(t); GM (p) - оператор замкнутого контура по возмущающему воз-p с

действию Mc (t) (статический момент нагрузки); Gf (p) - оператор замкнутого контура по возмущающему воздействию f (t).

Опираясь на структурную схему рис. 4, можно определить, что каждый из трёх вышеперечисленных операторов имеет вид

1 R C J_

^ (p) = ^ +' M Jp =r,„ См'1„,n , (5)

11 CJRr • C Jp(^p +1)+CJCJR

Jp(^p+1) e

G (p) = _ 1 Jp = (тrp +1) (6)

GmM)=_ 1 + Cм • CjRr - " Jp^p +1)+CCJRr' ( )

Jp(rrp +1)

G (p)=_J_=_(т> +1)_ (7)

ЛЮ = 1 + CM • Ce Rr " Jp(Trp + 1)+ CMCjRr { )

Jp(rrp +1)

После подстановки в уравнение (4), найденных операторов (5), (6), (7) и дифференцирования его по параметру Тг получим следующее выражение:

q, й)

дТ

(Р )-

Зр(ТТгР +1) + смсе/я,

■и,

й)+^ £ииЛ,М1+

м е / г

г

+

сеР

зр(Тгр+1)+смсе1К у

Согласно формулам обобщённого дифференцирования находим

Р дТг

\ / Ь )-мс (Г))

Би„ (,й) , Жк (е1 (t,q,й) ^) . чЧ

гЛ 1 } = -1Аи£ кУ и 7 7 8(t-(кТ + tk)), к = 0, 1, 2 дТ к ™ ЛТ у х к,}

где

дТ

— = I

ЛТг кт

Ж- ктV'

1Л] КМ,й |

V ]=1

]-1

д|в1 (^ q ,й )

дТ

t - -(кТ

ЛЛ /

Л:

)) V

т

^к -I Я] |81 (кТ + tк )]

выражение для вычисления —1-вытекает из выкладок подобных приведённым

дТ

выше для

д|е1 ^^ ,й )

дк

т1

В случае уравнения чувствительности по параметру транспортного запаздывания

(t) = %« = = -к5кее-зр'

дт

дт

р + 1 дУ1г (t,q,й)

Уг (t, q, й) УГ (t, q, й) дт3

дУг (t, q, й)

вывод выражении, позволяющих определить производную -, достаточно

дт3

легко повторить, используя вышеприведенные выкладки.

3. Применение

Параметрическая идентификация, если она необходима для повышения эффективности настроИки системы, достаточно просто вводится перед стадией вычисления оптимальных (или в общем случае близких к оптимальным), исходя из принятого критерия качества регулирования, настраиваемых параметров. Для этого, в соответствии с процедурой, достаточно подробно изложенной в работе [9], необходимо сформировать такой алгоритм АПО, который, исходя из минимума квадратичного отклонения (1), будет находить новые значения параметров оператора Ом (р, Рм ).

Так, например, если из всех параметров объекта регулирования рассматриваемой системы стабилизации толщины изоляции кабеля учитывать возможность изменения

а

т

3

лишь трёх из них: кгт1, Т*, т3, то в соответствии с указанной процедурой необходимо сначала определить формулы для частных производных /1:

^ = Л = - 2 (хм (г) _ ^ (г ^ „ =

дкт1 0 дкт1 0 дкт1 (8)

= 2 (Хм (г)_ хг (г;

0

д/

^Т = 2¡Ятг (Хм (г)_ Хг (г)) Л;

дтг 0

д/

-Г1 = 2 !Ят3 (Хм (г)_ Хг (г)) Л.

дт3 0

(9)

(10)

А затем на базе градиентной процедуры [7] сформировать алгоритм поиска таких значений кт1, Тг, Т3, которые обеспечили бы минимум квадратичного отклонения (1).

Из формул (8)-(10) видно, что в сложившейся ситуации для определения составляющих градиента требуются функции чувствительности Як. 1, Ят , ЯТз . При этом

следует ещё раз подчеркнуть, что уравнения чувствительности, построенные в предыдущем разделе, могут оказаться весьма полезными для вычисления таких функций.

Заключение

В настоящей статье представлены уравнения чувствительности по некоторым переменным параметрам объекта регулирования системы стабилизации толщины изоляции кабеля. Однако общие принципы построения, которые при этом можно было наблюдать, естественным образом распространяются и на уравнения, которым удовлетворяют функции чувствительности по любым другим параметрам модели системы. При этом важно, что для построенных подобным образом уравнений характерна ориентированность на методы компьютерного моделирования, и это, кстати, вполне оправдано. Ведь в силу довольно сложного характера закона регулирования в рассматриваемой системе, применение аналитических методов для совместного решения уравнений исходной системы (2) и соответствующих уравнений чувствительности является здесь малопривлекательным.

Таким образом, предлагается возможный способ получения таких уравнений чувствительности по параметрам объекта регулирования, которые позволяют сформировать анализаторы чувствительности. Последние имеют большое значение для успешного применения на практике алгоритмов оптимизации и адаптации двухконтурных систем с интегральным широтно-импульсным модулятором и дифференциатором, поскольку они в полной мере учитывают особенности указанных систем.

Наконец, вычисленные в результате реализации таких анализаторов функции чувствительности могут сыграть существенную роль при поддержке работоспособности

промышленных систем регулирования с ИШИМ в условиях действия на них всякого

рода параметрических возмущений.

Литература

1. Хуссейн Хишам Исследование принципов стабилизации толщины пластмассовой изоляции (оболочки) в производстве кабельных изделий: Дис. ... канд. техн. наук. Иркутск, 2002. 101 с.

2. Плютто В.П. Практикум по теории автоматического регулирования химико-технологических процессов / В.П. Плютто; под ред. В.В. Кафарова. М. : Химия, 1969. 114 с.

3. Никитин А.В. Параметрический синтез нелинейных систем автоматического управления: Монография / А.В. Никитин, В.Ф. Шишлаков; под ред. В.Ф. Шишлакова. СПб. : СПбГУАП, 2003. 358 с.

4. Куцый Н.Н. Автоматическая параметрическая оптимизация дискретных систем регулирования: Автореферат дис. ... д-ра техн. наук. Москва, 1997. 44 с.

5. Высотская О.В. Разработка и исследование алгоритма автоматической параметрической оптимизации для систем с широтно-импульсной модуляцией: Автореферат дис. ... канд. техн. наук. Иркутск, 2003. 17 с.

6. Маланова Т.В. Алгоритмическое обеспечение автоматической параметрической оптимизации систем с широтно-импульсной модуляцией: Автореферат дис. ... канд. техн. наук. Иркутск, 2010. 18 с.

7. Костюк В.И. Автоматическая параметрическая оптимизация систем регулирования / В.И. Костюк, Л.А. Широков. М. : Энергоиздат, 1981. 96 с.

8. Куцый Н.Н., Маланова Т.В. Оптимизация автоматических систем с широтно-импульсной модуляцией при параметрической несоответствии // Материалы IX школы-семинара «Математическое моделирование и информационные технологии». сб. науч. трудов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН. 2007. С. 97-101.

9. Куцый Н.Н., Маланова Т.В. Применение обобщенного дифференцирования при формировании анализаторов чувствительности для систем с широтно-импульсной модуляцией // Науч. вестн. НГТУ. 2009. №1 (34). С. 3-10.

10. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник для вузов./ В.Я. Ротач. - 5-е изд., перераб. и доп. М. : Издательский дом МЭИ, 2008. 396 с.

electronic scientific and technical periodical

SCIENCE and EDUCATION

_EL № KS 77 -3()56'J..VaU421100025. ISSN 1994-jMOg_

Equations of sensitivity for the pulse system of cable insulation thickness stabilization with auxiliary adjustable variable at parametric discrepancy

77-30569/341367

# 03, March 2012 Kucyi N.N., Osipova E.A.

National Research Irkutsk State Technical University

kucyinn@mail.ru osipovaelizaveta@yandex.ru

Equations of sensitivity with respect to parameters of the controlled object were obtained. They allowed forming an automatic parameter optimization algorithm for the integral pulse-duration modulation system with two circuits at parametric discrepancy of a real object and its model. The pulse system of cable insulation thickness stabilization with an auxiliary controlled variable is considered.

Publications with keywords: parameter identification, pulse multicircuit system of control, integral pulse-duration modulation, generalized derivation, sensitivity equation Publications with words: parameter identification, pulse multicircuit system of control, integral pulse-duration modulation, generalized derivation, sensitivity equation

References

1. Khussein Kh. Issledovanie printsipov stabilizatsii tolshchiny plastmassovoi izoliatsii (ob-olochki) vproizvodstve kabel'nykh izdelii. Kand. tekhn. nauk diss. [Study of the principles of plastic insulation thickness (shell) stabilization in the manufacture of cable products. Cand. tech. sci. diss.]. Irkutsk, 2002. 101 p.

2. Pliutto V.P. Praktikumpo teorii avtomaticheskogo regulirovaniia khimiko-tekhnologicheskikh protsessov [Workshop on the theory of automatic control of chemical and technological processes]. Moscow, Khimiia Publ., 1969. 114 p.

3. Nikitin A.V., Shishlakov V.F. Parametricheskii sintez nelineinykh sistem avtomaticheskogo upravleniia [Parametric synthesis of nonlinear control systems]. St. Petersburg, SUAI Publ., 2003. 358 p.

4. Kutsyi N.N. Avtomaticheskaiaparametricheskaia optimizatsiia diskretnykh sistem reguli-rovaniia. Diss. dokt. tekhn. nauk. Aftoref. [Automatic parametric optimization of discrete control systems. Dr. tech. sci. diss. Synop.]. Moscow, 1997. 44 p.

5. Vysotskaia O.V. Razrabotka i issledovanie algoritma avtomaticheskoiparametricheskoi optimizatsii dlia sistem s shirotno-impul'snoi moduliatsiei. Kand. tekhn. nauk diss. Aftoref. [ Research and development of algorithms for automatic parametric optimization for systems with pulse-width modulation. Cand. tech. sci. diss. Synop.]. Irkutsk, 2003. 17 p.

6. Malanova T.V. Algoritmicheskoe obespechenie avtomaticheskoi parametricheskoi optimizatsii sistem s shirotno-impul'snoi moduliatsiei. Kand. tekhn. nauk diss. Aftoref [Algorithmic support of automatic parameter optimization of systems with pulse-width modulation. Cand. tech. sci. diss. Synop.]. Irkutsk, 2010. 18 p.

7. Kostiuk V.I., Shirokov L.A. Avtomaticheskaia parametricheskaia optimizatsiia sistem reg-ulirovaniia [Automatic parameter optimization of control systems]. Moscow, Energoizdat Publ., 1981. 96 p.

8. Kutsyi N.N., Malanova T.V. Optimizatsiia avtomaticheskikh sistem s shirotno-impul'snoi moduliatsiei pri parametricheskoi nesootvetstvii [Optimization of automated systems with pulse-width modulation with parametric mismatch]. «Matematicheskoe modelirovanie i in-formatsionnye tekhnologii». Mat. 9 Shkoly-semin. ["Mathematical Modeling and Information Technologies". Proc. 9th Workshop]. Irkutsk, ISDCT SB RAS Publ., 2007, pp. 97-101.

9. Kutsyi N.N., Malanova T.V. Primenenie obobshchennogo differentsirovaniia pri formiro-vanii analizatorov chuvstvitel'nosti dlia sistem s shirotno-impul'snoi moduliatsiei [Generic differentiating application at the formation of sensitivity analyzer for the pulse-duration modulation systems]. Nauchyi vestnikNGTU [Scientific Herald of the Novosibirsk STU], 2008, no. 1 (34), pp. 3-10.

10. Rotach V.Ia. Teoriia avtomaticheskogo upravleniia [Automatic control theory]. Moscow, MEI Publ., 2008. 396 p.