Бэнг-бэнг принцип для линейного дифференциального уравнения второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911

БЭНГ-БЭНГ ПРИНЦИП ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

© А.И. Булгаков, С.Е. Жуковский

Bulgakov A. I., Zhukovsky S. E. The “bang-bang” principle for the second order lineal differential equation. The control problem for the second order lineal differential equation is considered. The allowed controls of the problem belong to the class of piecewise continuous functions. For all boundary- problems the “bang-bang” principle is proved.

Изучается известная проблема упрощения управляемых систем за счет сужения множества допустимых управлении, называемая в литературе Бэнг-бэнг принципом [1, 2\. В работе рассматривается система, описываемая линейным дифференциальным уравнением второго порядка

x"(t)=u(t)x(t), (1)

Обосновывается возможность замены класса измеримых управлений и : [д, Ь ]—» [-1. 11 множеством

кусочно постоянных функций и : [я, Ь] —>{— 1, 1}, имеющих конечное число разрывов. Отметим, что класс таких управлений несколько уже множества измеримых функций и : [я. b |—>{-1. 1}, которое обычно используется [ 1 ] в классических задачах управления. Мы не только доказываем аналог известного результата о том, что замыкания множеств решений «упрощенной» и первоначальной систем управления совпадают, но и предлагаем принципиально новые утверждения, учитывающие линейность дифференциального уравнения. Мы показываем, что для любого управления и : [ a. b ] —> (-1, 11 можно так подобрать последовательность кусочно-постоянных функций и „ : [ а, b ] —» {-1, 1 }, чго соответствующая последо-

вательность фундаментальных систем решений «упрощенных» дифференциальных уравнений

х'п (t)=u„(t)x„(t), te[a,b] (2)

сходится к фундаментальной системе решений исходного уравнения (1). Это утверждение открывает новые возможности в исследовании управления краевыми задачами. Так, в настоящей работе доказывается, чго, если при некотором управлении разрешима какая-нибудь краевая задача для исходного уравнения (1), то найдется последовательность «простых» управлений, обеспечивающих разрешимость той же краевой задачи, причем решения «упрощенных» краевых задач сходятся к решению исходной задачи.

Работа имеет практические приложения, так как содержит алгоритмы упрощения у правляемых систем.

Пусть L[a ь] ~ пространство суммируемых на

ь

функций с нормой || .У || 7 = J|.v(s) \ds\

а

С[а ь] - пространство непрерывных на [а,Ь] функций с нормой Iх I с = max |х(/)|; ^[а,ь\

пространство дифференцируемых функций х : [a,h\—>R , имеющих непрерывную производную

х'еС[а ь] С нормой IX Iи, =|х(бг)| + ||х/|с ;

АГ[ л j - множество кусочно-постоянных функций

и : [л, /;]-»{-1, 1 }, имеющих конечное число разрывов.

Нам потребуются следующие сведения из книги [3] о линейном дифференциальном уравнении второго порядка

x'(t) + p(t)x'(t ) + q(t)x(t) = f (t) , te[a,b], (3)

Здесь p,qs f e L |„ ¿,] • Решением уравнения (3) называют функцию х , имеющую первую и вторую производную х" G Lj а Ь ] и удовлетворяющую при почти всех t равенству (3). Задача Коши с начальными условиями х (а)-а, дг' (я) = (3 однозначно разрешима для любых чисел а, Р . Множество решений V однородного уравнения, соответствующего уравнению (2),

x'(t) + p(t)x'(t)+q(t)x(t) = 0, te[a,b], (4)

является линейным пространством, dim V =2 . Базис этого пространства (х,, х 2 ) называют фундаментальной системой решений. Каждое фундаментальное peiпение х j имеет на \а,Ь | не более конечного количества нулей. Нули фундаментальных решений не совпадают, и между двумя соседними нулями (если они существуют) одного решения лежит один и только один нуль другого решения.

Обозначим Н - множество всех решений уравнения (1) при всевозможных управлениях и : (аг, />1—> | — 1,1 ], Н0 - множество всех решений того же уравнения (1) при всевозможных кусочнопостоянных управлениях меА'|йЬ|. Поскольку кусочно-постоянных функций «меньше», чем измеримых, то, очевидно, Н0 с Я . В то же время, как будет показано ниже, выполнено включение И с.Н0, где Н0 -замыкание множес тва Н0 в пространстве непрерывно дифференцируемых функций а ь |. Таким образом,

Н =Н0. Для доказательства этого факт рассмотрим следующие вспомогательные утверждения Лемма I. Для любых

и Ц) е (—1. 11 найдется такая ишерішая функция V : \а, Ь\—»{ — 1,1}, что

ь ь

I и ( 5 ) / ( 5 ) (^S = | V ( Л-) / ( 5 ) ds . а а

Доказательство. Для произвольного и : |я, Ь\—» [-1,1 ] имеем оценку

I И(лг)||/(5)|Ж < ||/(.у)|</у .

Определим измеримые функции

v_, v+: [a, ¿>]->{-l, 1},

(-1, если /(/)> 0, v_(r) = \ 7

[ 1, если /(/)<О, Í 1, если /(/)>(), v+(/) = i [-1, если /(/)< 0.

Рассмотрим (функцию

^(0 = J V+ (s) fis) ds + J v_ (s) fis) ds.

Так как эта функция непрерывна, и

ь ь

F(a) = -Jl fis) | ds , Fib) = J| fis) | ds,

a a

то можно воспользоваться теоремой Больцано-Коши [4]. Существует такое значение t = с, что

v(.v) =

V+(í), если іє|о,с], v_(s), если íe(c,6|

измерима и у(.у)6 {-1,1 }. Утверждение доказано.

Лемма 2. Для любых функции /, Мб£[вг>], г/ ( / )е [-1, 1 ] существует такая последовательность кусочно-постоянных функций

a,í>!

lim max I Í(«(5)-«m(j))/(í)í/í'| =0.

le[a,b]

Доказательство. Возьмем произвольно е>0. Из абсолютной непрерывности интеграла следует [5] существование такого 5 > 0, что для любого множества е с мерой те<Ь выполнено J | f{s) |í/y<— .

е ^

Разобьем отрезок [а,Ь | на п непересекающихся ин-

Ь-а

тервалов одинаковой длины -------. На каждом I -ом

п

интервале [/,, ti+] ) согласно лемме 1 построим такую измеримую функцию V, : [/,, /|+) ) —>{-1, 1}, что

|v,(j)/(í)ífe= ¡uis)fis)ds . ti U

Определим на [a.b ] функцию vt’;|(.y) = v,(.v), если se / =0,1,2,...,/7-1.

Обозначим Еп = {te | a, b ] | wп it )=1}. Согласно (5,

с. 32], существует такое множество I п , являющееся объединением конечного числа отрезков, что т ( Е „ Д /„ ) < 8 . Определим функцию

Un :[а, l},

1, если telп ,

и п (t) =

-1, если te\a,b |\/„.

b-а

Выберем п так, чтобы

< Ô . Для любого

/ є [ a, b ] сущес твует номер j , при котором te [tj ,tJ+] ). Имеем

Fic) = juis)fis)ds.

\]iuis)-u n{s)) fis) ds\=

a

=11 (m (i)-W„ (5))/(i)£/5| +

Итак, j и ( .v ) / ( .v ) ds = j y ( .y ) / ( .v ) ds , где функі щя +| J (w n (5) - и „ ( s)) fis) ds \ <

<| ] ( и Су) - w „ (5)) fis) ds І +

+ Ґ/ (w и (s) - и „ (5)) fis) ds І < ]„

•j+l

< \ 21 f(s) ds + J 2 I fis) ds < є.

11 Ai

Лемма доказана.

Теорема 1. Для любого х е Н и любых двух числовых последовательностей а „ —> х (а),

[3 „ —> х'(а) найдётся такая последовательность

х п е Н0 , что

x„ia)=а„, *'„(я)=р„. üm хп-лг =0.

и—»« II II »к

Доказательство. Пусть х - некоторое решение уравнения (1) при фиксированном управлении и ,\а, Ь\—»(—1, 11. Выберем такую последователь-

ность и„ є К[а ьу™

шах |/( и „ і s) - и (s) ) xis) ds І -» 0.

feja.fe] a

Обозначим хп - решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям

xnia)^>xia), х'(я)->х'(а).

Оценим разность хп — х .

х'„Ц)-х\0 = ияЦ)хнЦ)-иЦ)хЦ) <=> *я(0-*^) = “|,(0(жи(0--*(0)+(«я(0-и(0)*(0-

Прошггегрируем это уравнение: х'„0)-х\0 = х'п(а)-х\а) +

I

+ |unis)ixnis)-xis))ds^ +

а

/

а

х'(0 - х'(0 = х'^а) - х\а) +

Íí.

и„(®) (*„(я) “ * И +1 (*!(£) - х\%) )dE))d 5+

¿1 ¿1

♦.[(«„С*)“ «(■*))•*(•*)<& ^

x'nit)-x’it) = \ix'n{s)~x\s))\u „ifydt, ds +

a s

t

+ \iun{s)~u(<s))x<<s)ds +

a

+ (x„(a)-x(a))junis)ds + x'n(a)-x'(a) <=>

a

t

Обозначим ф„(/) = J(w„(.y)- w(i))x is)ds +

a

і

+ixnia)-x ia))junis)ds + х'п{а)-х\а) и заме-

тим, что II cpw І —>0 . Далее,

|*и(0“*'(0|^ 1(^-а)|л-;,(5)-д:/(^)|^ + |фл(0|-

а

Пусть |x'(i)-jc#(/)|=y(f), у(а) = 0. Тогда

y\t)<ib-a) yit) + \ip„it)\. Функция

/(/) = .У (0 — ib-a) >’(/)-|ф„(/)|<0 . Решив это уравнение относительно у, получим

мо=Je(b-a)('"s)(|ipw(s) !+/(*) )ds>

а

т. е. |дг^(Г)-х/(0| = |^(6"а)(,”л)(|фя(^)| + Л^))^-Следовательно,

lim х'„ - дм = 0 . Отсюда н Не

lim \\х „ - х = 0 . и-*~ II ” IIИ'

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть для произвольно взятого измеримого управления и : [а, Ь\—» [ — 1, 1 ] набор

(дг,, х 2 ) является фундаментальной системой решений уравнения (1). Тогда существует такая последовательность кусочно-постоянных управлений и п е К[а ^ |, что для соответствующих фунда-

ментальных решений (х ( п, х 2 п ) уравнений (2), удовлетворяющих начальным условиям

х, „(а) -> дг,(я),

х\ „І о) = х\ (а), выполнено

lim \\х „ -х ,• =0, У = 1,2.

. II ». « > 11^

Доказательство. Пусп» *2, “ распо-

ложенные в порядке возрастания нули функций х! ( /), х 2 ( /), примем в »той последовательности нечетные элементы соответствуют фундаментальному решению дг |, а четные - решению х 2 ■ Возьмем

¿»і е (/,, / 2 ). При любом І є [а , 6, 1 выполнено х2 (О Ф 0 . Согласно теореме 1, существует такая последовательность и„єА'|ві)|, что дія соответствующей последовательности решений

х2.п(0ііе [о,А], удовлетворяющей условию

х2,п(а) > хі(а)’ Х2.Л°) —> ^2’ выполнено

шах |х2„(/)-х2(о|->0,

/€[«./>) |

шах |х2и(/)-х2(/)|—>0.

1е[а.Ь | ]

Покажем, что для выбранной таким образом последовательности ип последовательность решений

ДГ| „(О* 1 е > удовлетворяющая условию

х, „ (а) —> х, (а), х[ „(а) —> х,'(а), также сходится, г. е.

шах х, „(0-Х|(0 —>0,

гє[а.Ь|]

шах |х^я(/)-х,/(О|->0.

/є[а.Ь)]

Будем искать решение х, „ в виде х2 „ у . После подстановки в дифференциальное уравнение получаем:

Х2,ПУ+2Х2,ПУ'+Х2.П = МО*2 ,пу =>

=> 1—г = —2 •

'2. п

2,п

V -

'2.п

‘ 2, и

, ( с2.п j

у=с u+J----------'

aX2,n(s)

где х2 „ (s)^0 при всех sЕ [я./?, |. Таким образом,

*i.n(0 = *2,„(0( q.„+J C2'\nds )•

-ds +

-2.П

х1ЛО = с1пх'2„(0 +х£л(/)|-

о х2.п(^) Х2.п(0

Для определения чисел С^ „ воспользуемся на-

чальными условиями:

сШх2.п(а) = х\,Ла)-

' і \ . 2-п '/,<=> с, _ = —1,

Є|.л*2.и(°) +----7Т = *і,і.(*)- Х2п(а)

х2„(д) 2-"v

Аналогично, х((/) = х2(/)( с, +1 ~TT2ds У

х1/(0 = с,х2(0 + х2(0/—^...

ах2(5)“ Х2(0

с2

где

Х,(я)

с, = —-----

х2(я)

заключаем:

, с2 = х2(о)х1/(й)-х2(о)х,(а). Отсюда

max х1іИ(/)-х,(0 ->0,

/є[а. fc] ]

max х#, „(О-^i (О “>0.

/е|а. fc] ]

Теперь возьмем b2 Е (t2 ,12 ) и заметим, что х, (/)/0 при всех t е\Ь\ ,Ь2 ] Построим последовательность и п е ^ | так, чтобы последовательность соответствующих решений

X, _„(/), / е [ Л, , 2 1 ’ удовлетворяющая условию

х\.п(Ь\ -°)=х\,п(Ь\ +0).

х\.п(Ь] -0) = х/, „ (/>, +0), сходилась к решению х,(0, т. е. max |х1и(/)-х,(/)|—>0 и

le\b] . h2 ]

max I хw(/) — —>0 . Повторив приве-

ie[6| , ь2 ]

дешше выше рассуждения, сможем показать, что max |х2я(/)-х2(/)|-»0,

/е [ ¿> | , Ь2 ]

max |х2 п (t)-х2 (/)| —>0. Затем возьмем te[fc| . ь2 1

¿3 g(/3,/4). Ит. д. Описанный алгоритм конечен, через /// шагов мы получим такие последовательности *1 .П>Х2.»>'П° \ш\\х,'П-хА =0, /=1,2.

И_»ооН »IV

Теорема доказана.

Рассмотренное утверждение позволяет «упрощать» управление краевыми задачами. Пусть h » ^2 '• ^[а.ь] ~> R ~ линейные ограниченные функ-ционалы. Рассмотрим краевые задачи

х'(0=и(0х(0, «(/)€ [-1,1],

/,х=а, /2х=|3 (5)

х' (t)=u„(t)x„(t), и п (t )е {— 1, 1},

1\х п =“> 12Хп =Р (6)

Теорема 3. Пусть для некоторого управления и : |<7. /)|—> [ — 1, 1] краевая задача (5) имеет единственное решение х . Тогда существуют такие кусочно-постоянные управления и п Е К [ а ь j, «=1,2,..., при

каждом из которых краевая задача (6) однозначно разрешима, и для последовательности соответствующих решении х „ выполнено lim bfn—лг =0.

II II И'

Доказательство. Пусть ип : [я, Ь\—>{-1,11-

последовательность управлений, существование которой гарантирует теорема 2. Вычислим определители

C|.„=-7-(a/2x2(„-ß/,x2>w),

Д- =

!\х г .п

liх 2. п

— 1\х\,п '^2Х 2,п Л х 2. п '^2 х 1. п

Д=/,Х, ' 12х 2 ~^\ Х 2 ^2*1-

Вследствие разрешимости задачи (5), АфО . Так как Д п —> Д , то, начиная с некоторого значения, при всех

п выполнено Д „ Ф 0, задача (6) однозначно разрешима. Решения задач (5), (6) представимы в виде

Х(/)=С, *,(/) +с2 X 2 (/ ) , хп(1) = сх пхх „(I) +с2 пхг.„(О.

1

Ci=-(a/2x2-ß/ix2),

Д

C2=-7(ß'/lJrl_a/2Xl)’

Д

д

Так как дг; „ — jc , —> 0 , / = 1,2 , то отсюда

II 1'п 1 II W

получаем ||лги -х || ^ —>0.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ли Э.Б.. Маркус Л. Основы теории оптимального управления М.: Наука. 1972.

2. Булгаков А.И., Григоренко A.A.. Жуковский Е.С. Бэнг-бэнг принцип для возмущенного включения с компактноэначным отображением. // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки Тамбов, 2000. Т. 5. Вып. 4. С. 427-429.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям М.; Наука, 1976.

4. Шипачев B.C. Высшая математика М. Высш. шк., 1996.

5. Гутер P.C., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.М Элементы теории функций Справочная математическая библиотека М : Физматгиз, 1963. 244 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных Исследований №01-01-00140.

Поступила в редакцию 20 апреля 2001 г.