Управление двухточечной краевой задачей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

УПРАВЛЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ

© Ю.Д. Валеев, Д.В. Тишков

Valeyev U.D., Tishkov D.V. The two-point boundary problem control. The control problem for two-point boundary problem of second order differential equation is considered. The allowed controls of the problem belong to the class of piecewise continuous functions. For this problem the ”bang-bang” principle is proved.

Рассмотрим управляемую задачу ж"(£) = и(1)х^),

х(а) = хо, х'(Ь) = х'1, (1)

К*)1 ^ 1,

где кусочно непрерывная функция и : [а,Ь] —► [—1,1] называется управляющим параметром или просто управлением. Каждое решение задачи (1) с заданным управлением и : [а, 6] —*■ [—1,1] назовем фазовой траекторией. Пусть Н — множество всех фазовых траекторий задачи (1).

Далее, рассмотрим управляемую задачу

ж"(£) = и{1)х{1),

х(а) = х0, х'(Ъ) = XI, (2)

К01 = 1>

где кусочно непрерывная функция и : [а,Ь] —► { — 1,1} принимает только значения +1, —1 . Пусть Но - множество всех фазовых траекторий задачи (2).

Поскольку управлений в задаче (1) ,,болыне“, то, очевидно, Но С II . Кроме того, управлять задачей (2) проще, поскольку управления этой задачи принимают значения либо +1, либо — 1 . В связи с этим естественно поставить вопрос, какими возможностями" обладает задача (2) по сравнению с задачей (1). Другими словами, как связаны между собой множества Но и Н . Здесь докажем, что возможности задачи (2) остаются почти такими же, что и у задачи (1).

Отметим, что в классических задачах управления (см., например, [1]) управления принадлежат классу измеримых по Лебегу функций, в задачах же (1) и (2) управление осуществляется кусочно непрерывными функциями, т.е. класс этих управлений значительно уже, чем в классических задачах управления. В связи с этим задачи (1) и (2) представляют интерес.

Для доказательства этого свойства потребуются следующие утверждения, которые доказываются непосредственно.

Рассмотрим краевую задачу для дифференциального уравнения

*"(0 = /(*)>

х{а) = Хо, х'(Ь) = хх, (3)

где хо,хх - заданные числа, функция / : [а, 6] —> К. кусочно непрерывна.

Под решением краевой задачи (3) понимаем функцию х : [а, Ь] —> К. , имеющую кусочно непрерывную вторую производную, которая удовлетворяет во всех точках непрерывности первому равенству в (3) и для которой выполняются краевые условия х(а) = Хо и х'(Ь) = х\ .

Л е м м а 1. Каждое решение х задачи (3) представимо в виде

ь

х^) — х0 + Х1 (£ — а) + J К^, в) f(s)ds, (4)

а

где

х Г о — если а ^ ^ в ^ Ь

К Ц, в) = < ^ ^ 1

' ' [ а — в, если а $5 в < г о

и наоборот, каждая функция х : [а, Ь] —> К.1 ,

представимая в виде (4), есть решение задачи

(3).

Обозначим Loo [а, 6] - множество всех кусочно непрерывных функций / : [а,Ь] —>■ Ж. ; С[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а,Ь] —> R. с нормой |Ы| = max |ж(£)| .

t£[a,b]

Замечание 1. Рассмотрим отображение К : Ьоо[а, Ь] —> С [а, 6], определенное правой частью равенства (4), т.е.

Т е о р е м а 1. Пусть выполнено неравенство Ь — а < л/2 . Тогда оператор К : С[а,Ь] —> С[а,Ь], определенный равенством (5), имеет только одну неподвижную точку.

Следствие. Если Ь — а < у/2 , то задача (6) имеет единственное решение.

Пусть функция / е С[а,Ь]. Определим следующие множества

f Ь Ь

{Kf)(t)-x0 + x1(t-a)+ I K(t,s)f(s)ds. J [-1,1] f(s)ds ={ J u(s)f(s)ds

Таким образом, согласно лемме 1, каждое значение оператора К/ является решением задачи (3) с правой частью, равной /.

Предположим, что существует такая кусочно непрерывная функция

и : [а, 6] —> [—1,1], что для каждой функции

х Є C[a,b] функция / : [а,Ь] ся равенством

определяет-

(fx){t) = u(t)x(t).

Рассмотрим оператор К : С[а,Ь] —> С[а,Ь],

заданный соотношением

и

= ж о + X\{t — а) + J K(t, s)u[s)x(s)ds

(5)

Неподвижной точкой оператора К называется такая функция х 6 С[а,Ь] , для которой при всех I £ [а,Ь] выполняется равенство

ж (2) = (Кх)^) =

О

= хо + хі(2 — а) + J К(<, 5)и(«)ж(в)с(5.

а

Согласно лемме 1 и замечанию 1, неподвижная точка х оператора К является решением задачи

x"(t) — u(t)x(t), х(а) = х0 ,х'(Ь) — X2.

(6)

Оператор К : С[а,Ъ] —+ С[а,Ь\ называется сжимающим (см. [2]), если найдется такое число д Є (0,1), Для которого при всех х, у £ С[а, Ь] выполняется неравенство

11Кх - Ку\\ ^ q\\x - у||.

Л е м м а 2. Пусть Ъ — а < у/2 . Тогда оператор К : С'[а,Ь\ —> С[а,Ъ], определенный равенством (5), является сжимающим.

і, Ь]

■1,1] и кусочно непрерывна},

{-1, 1 }f(s)ds = { u(s)f(s)ds\

к:[а,&]—►{ —1,1}и кусочно непрерывна}.

Выше определенные множества будем называть интегралами от многозначных функций.

На основании теоремы о среднем доказывается

Л е м м а 3. Пусть функция / 6 Ьоо[а,Ь]. Тогда справедливо равенство

и и

I[-1,1 }f{x)dx - J{-1, 1 }f(x)dx.

(?)

Л е м м а 4. Пусть функция / £ Ьоо[а,Ь\. Тогда для любой функции и £ [а, 6], удовле-

творяющей для любого t £ [а, 6] неравенству |к(£)| ^ 1 , существует такая последовательность функций ип £ £00[а,6],п = 1,2,..., для любого п = 1,2,... и для любого < £ [а, Ь] удовлетворяющих равенству |и„(<)| = 1, для которых справедливо соотношение

I

Нт тах | (и(х) — un(x))f(x)dx\ = 0. (8)

п *■ оо й, -г е [гг, Ь] ]

Т

Доказательство. Пусть е > 0 . Разобьём отрезок [а,Ь] на п непересекающих-ся интервалов равной длины. Обозначим точки разбиения этих интервалов

'і > •

= Ь.

Согласно лемме 3, для каждого интервала ж"], г = 1,2,..., п найдется функция

-1

Vх і

< є

t Є І и"'

1^00 [^

г-1

такая, что для любого выполняется равенство

n(t)\ = 1 и справедливо соотношение

u{x)f(x)dx — u™(x)f(x)dx.

(9)

Определим функцию ип £ Ьоо [а, 6] равенства-

г{х) =

м"(х), если X £ [ж",ж"],

и->(х), если X £ (х",!^],

и"(ж), если х 6 (ж"_1;ж:

Согласно определению функции и„ , для любого п = 1,2,... и для любого < е [а, 6] выполняется равенство |и„(2)| = 1 .

Теперь покажем, что для этой последовательности справедливо соотношение (8). Пусть N таково, что для любого п ^ N и любого г = 1, 2, . . ., п выполнена оценка

|/(х)|(1х < е.

Пусть £ [а, 6], < > г. Обозначим

[ЖГ(1)-1’ЖГ(<)5 и [<(Т)- 1-жГ(г)] такие интервалы, для которых справедливы включения * е [*"(,)_!, *?(()], Г £ К(,)-1’ г"(г)Ь Из определения последовательности функций ип, п = 1,2,... и равенства (9) вытекает соотношение

(и(х) - ип(х))/(х)дх =

(м(х) - ип{х))/{х)дх-

.(0-1

т

J (и(х) - ип(х))/(х)с1х

(10)

.(г)-1

Из равенства (10) для любых I и т Е [а, 6] вытекает оценка %

I /(и(х) - ип(х))/(х)с1х\ ^

Так как I и г произвольны, то для любого п ^ N выполняется оценка

тах

г,т£[а,Ь]

(н(х) - ип(х))/(х)йхI < 4е.

(П)

Таким образом, доказано, что для любого с > 0 существует такое число N , для которого при всех п 5? Лг для последовательности нп, п = 1, 2, . .. выполняется оценка (11). А это означает, что равенство (8) справедливо. Лемма доказана.

Из леммы 4 вытекает

Л е м м а 5. Пусть функция х £ С[а,Ь] и пусть функция и £ Ь^а^Ь] удовлетворяет для любого < £ [а, 6] неравенству |м(<)| ^ 1. Далее, пусть последовательность функций ип £ 1^00[а,Ь\,п = 1,2,... удовлетворяет

утверждению леммы 4 для заданных функций х£С[а,Ь] и и£Ь ос [а, 6]. Тогда для этой последовательности ип £ Ьоо[а,6],п = 1,2,... выполняется равенство

ъ

Ит тах | А'(^, й)(и(«) — и„(в))ж(в)£/8| = О,

n^cote[a,Ь] 7 а

где ядро А'(^,в) определено в лемме 1.

Т е о р е м а 2. Пусть выполнено неравенство Ъ — а < л/2 . Тогда для любого х £ Н найдется такая последовательность хп £ Но, п = 1,2,..., что

Ит хп = ж,

п—> СО

т.е. справедливо включение Н С #о,

г(?е Н о — замыкание множества Н о в пространстве С[а.Ъ\.

Доказательство. Пусть ж £ Н . Тогда найдется кусочно непрерывное управление и : [а, Ь) —>■ [—1,1], для которого при всех t £ [а, Ь] выполняется равенство

ж(г) = ж0 + Жх(< - а)+

К{Ь, в)и(в)ж(«)Й5,

(12)

,(0-1

>(0-1

,(г)-1

,(г)

I /(ж) | дх + 2

\]\х)\(1х < 4е.

,(г)-1

где ядро А'(^,в) определено в лемме 1. Далее, пусть последовательность функций

и„ £ 1/ос[а, Щ, п = 1,2,... для любого ^ 6 [а, Ь] удовлетворяет равенству |ип(<)| = 1 и соотношению

!

Нт тах

п —* оо t, т 6 [а, Ь]

(м(г) - ?лп(т))ж(г)йг| = 0.

Согласно лемме 4, такая последовательность существует. Далее, пусть последовательность х„,п = 1,2,... для любого t £ [а,Ь] удовлетворяет равенству

^п(^) — Ж о “Ь х\(^

и

+ У А'(2, 5)ип(в)ж„(8)Й5.

(13)

Согласно лемме 1 и теореме 1, такие функции хп существуют и являются фазовыми траекториями задачи (2) с управлениями и = ип . Тогда из (12), (13) при любом I £ [а, Ь] получим

ъ

ж(<) — Хп({) = J А'(<, в)и(в)ж(в)(/в —

Из последнего соотношения вытекает оценка

ъ

\х — хп\\ ^ тах | А'(<, в)(и(в) — ы„(5))ж(в)с/5| +

*€[а,Ь] 7

-(-(/УЖ - Ж,;

где д = тах / |А'(£, в)|с?в < 1 (см. лемму 2). ге[а,Ь] а

Поэтому имеет место соотношение

тах |/ А'(г, в)(ы(5) — ?/гг(в))ат(в)с?5| <6[<М] а____________________________________

1-9

Следовательно, согласно лемме 5, Нт ||ж — жп|| = 0 . Теорема доказана.

О

- J К (г, 8)ип(в)хп(8)с1в =

а

Ь

= J А'(<, 5)(м(в) - Ып(5))ж(а-)оГ5+

ЛИТЕРАТУРА

1. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

2. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. М.: Наука, 1968.

о

+ J К(1, в)ип(в)(а;(в) - Жп(«))^в.

Поступила в редакцию 24 марта 1999 г.