CC BY
9Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 2 | ISSUE 1
educational, natural and social sciences О ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
BA'ZI MASALALARNING YECHILISHI
Egamov M. X.
Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti dotsenti Berdiyev D.F. Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti o'qituvchisi
Abdullayev A.K. Qamashi tumani 85- sonli umumiy o'rta ta'lim maktabi o'qtuvchisi
ANNOTATSIYA
Maqolada matematika bo'yicha ba'zi masalalarining yechish yo'llari ko 'rsatilgan.
Tayanch so'zlar: funksiya, ellips, maksimum, kritik, chegaralangan, yuqoridan, quyidan, ketma-ketlik, kamayuvchi, o 'suvchi, limit.
АННОТАЦИЯ
В статье показаны пути решения некоторых задач по математике. Ключевые слова: функция, эллипс, максимум, критическая, последовательность, ограниченная, с верху, с низу, убывающая, возрастающая, лимит.
ABSTRACT
Solutions of some tasks in mathematics are shown in article. Keywords: function, an ellipse, at most, critical, the sequence, limited, with top, with a bottom, decreasing, increasing, a limit.
KIRISH
Maqolada keltirilgan masalalar va ularning yechilishi, matematikaga qiziquvchilar uchun uslubiy yordam bo'ladi, deb hisoblaymiz hamda o'quvchilaming ijodiy fikrlash qobiliyatlarini o'stirishga xizmat qiladi.
1-masala. Hajmi V ga teng va eng kichik sirtga ega bo'lgan to'g'ri to'rt burchakli ochiq hovuzning o'lchovlari topilsin.
Yechish. Ma'lumki, to'g'ri to'rt burchakli ochiq hovuz parallepiped shaklida bo'lib, uning hajmi V = sacocH ga teng. Asos tomonlarini x va y desak, uning yuzi
saSOS = xy va bundan H = =V (*) . Berilgan to'g'ri to'rt burchakli ochiq
Sflsos ХУ
(*) ( 11 ^
havuzning sirti Ssirti = xy + 2H(x + y)=xy + 2V — + — I = f (x; y) ikki o' zgaruvchining
Ix y J
funksiyasi bo'ldi. Ikki o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumga ega bo'lishining
547
Scientific Journal Impact Factor
zaruriy shartiga ko'ra
fx (x; j ) = fy(x; y) =
2V
y=IV"
i
xy + 2V
V
{ { xy + 2V
V
f1
—+ — vx y ;
2V
= y--r = 0
x
bundan <
11
—+ —
vx y ;
V !
2V
= x--- = 0
y
2V
y=
2V
x--T = 0
' 2V"2
x
bundan x = y = V2V va H = -^Í-V bo'ladi.
kelib chiqadi. Demak,
x(2V - x3 )= 0
Uning sirti SsirtI = 3^4V2 ga teng.
2-masala. Muntazam uchburchakli piramida asosining bir tomoni bilan piramida balandligining yig'indisi bir metr. Shunday piramidalar ichidan eng katta hajmlisi topilsin.
Yechish. Agar piramida tomoni uzunligini x desak, u holda masala shartidan a + H = 1 ^ H = 1 - a = 1 - x bo'lib, muntazam uchburchakli piramida hajmi
■J3 S
V (x) =—x2 (l - x ) bo'ladi. Bu funksiyaning hosilasi V '(x) = — (2 x - 3x2 ) bo'lib,
12
12
2
(2 - 3x) = 0 ^ x = 0, x = - bu nuqtalarda funksiya hosilasi nolga aylanadi. Bu
nuqtalar son o'qini (-œ;0)u[0;
u
\
2
— ;+œ
V 3 ;
oraliqlarga ajratadi. Shu sababli
x e (- œ; 0)^ V'<0, i x e[ 0;2W V '> 0, î
2 m y 2 1
x = a = —, H = 1 — = —
3 3 3
f oA
x e
0;:
V ' > 0, î
v 3 ;
x e
— ;+œ
V 3 ;
^ V' < 0, i
i
v 3 ;
= — bo'ladi. Demak, 81
bo'ladi.
3-masala. Birinchi avtomobil y = x2 + 4 parabola bo'yicha va ikkinchi avtomobil y = -x - 4 to'g'ri chiziq bo'yicha harakatlansa, avtomobillar orasidagi eng qisqa masofani toping.
Yechish. Ma'lumki, y = - x - 4 to'g'ri chiziq va y = x2 + 4 parabola orasidagi eng qisqa masofa, y = -x - 4 to'g'ri chiziq va parabolaning y = -x - 4 to'g'ri chiziqqa paralel urinma to'g'ri chizig'i orasidagi masofa bo'ladi. y = x2 + 4 parabolaning urinma to'g'ri chiziqlari y = kx+b ko'rinishda bo'lib, y = -x - 4 to'g'ri chiziqqa paralel bo'lgani uchun k = -1 ga teng. Bundan
-1
17
y'(x0 )=2x0 = -1 ^ x0 = — ; y0 =17 ^ M01-1 ;—
-1 17
2 4
x
x
2
3
;
2
Scientific Journal Impact Factor
nuqtasidan y = -x - 4 to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofa d =
ga teng bo'ladi.
4-masala. Uchlaridan biri
\Ax0 + By о + C
29
2 2 x y
2 ,2 = 1 giperbolaning nuqtasi
a b
bo'lib, ikki tomoni shu girebolaning asimptotalarida yotuvchi romb yuzini toping.
Yechish. Asimtotasi y = ±—x
a
bo'lib, burchak koefitseti tg — = — = k
2 a
bo'ladi.
-a ko ra: sm — =
2 i
. a
sm — b
a 2
2 a a
cos —
2
b a
—, cos —
a
a2 + b2
2"Л
a2 + b2
2 2 2 ^ a x = a + x - 2axcos— ^
2
a a 2 cos— = — 2x
(*). Kosinuslar teoremasidan foydalanilsa:
-¡aar+b
x = ■
2
(* *)
bo'ladi. AABC yuzi SMBC = 1 AB ■ AC sin a = 1 x2 sin a budan rombning yuzi
M a2 + b2
M ab
S„„„ я = 2 ■ SMBC = x2 sin a =--2sin—cos — = — bo'ladi.
ромб
4
aa — cos — 2 2 2
5-masala. Hozirgi zamon elektron hisoblash mashinalari yordamida musbat a sonidan kvadrat ildiz chiqarishda foydalaniladigan {xn} ketma- ketlikni qaraymiz. Bu
ketma-ketlik ushbu xn+1 = ^
a
xn + —
x
, n = 1,2,3,.... rekurrent formula bilan aniqlanadi,
n y
bu yerda xl sifatida ixtiyoriy musbat sonni olish mumkin. Bu ketma-ketlikning yaqilashuvchiligini hamda 4â soni uning limiti ekanini isbotlang.
MUHOKAMA VA NATIJALAR
Isboti. Shartga ko'ra x > 0 bo'lgan holda rekurrent formuladan, ya'ni n = 1
bo'lganda x2 = -
2
xj +--
a x
1 y
dan x2 > 0 ekani kelib chiqadi. Bundan esa, yana o'sha
Scientific Journal Impact Factor
formuladan, n = 2 bo'lganda x3 > 0 ekani kelib chiqadi. Buni davom ettirsak, hamma xn lar uchun x > 0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi, n > 2 da ham x„ lar x„ >4a tengsizlikni qanoatlantirishni ko'rsatamiz.
Rekurrent formulani ushbu
xn+1 = '
4a
4a
+ -
4a
x.
ko'rinishda ifodalab, ixtiyoriy
n y
I x \ 1
t > о t = uchun f (t ) = t + - funksiyaning qiymati 2 dan kam emasligidan
V Va y t
( t + - > 2 tengsizligiga ko'ra) foydalanamiz. Ixtiyoriy n > 1 uchun xw+1 >4â ekanini va
n
= 2 nomerdan boshlab
■ja
x„
4a x,
4a \ 4a
n y
t + -
V t y
. 4â r>--2 = V a
^ x.
>4â
ekanini hosil qilamiz. Nihoyat n > 2 da {xn} ketma-ketlik o'smaydi, rekurrent
4a
formuladan xn+1 = —
x„
4a
~T +
yja x
n y
x
ekanini hisobga olgan holda -Jn+L < 1 yoki xn > xn+1 ga ega bo'lamiz. Demak, {xn}
a
/ + xS
V xn y
ni topamiz, bunda esa xn > 4a
x
ketma-ketlik n > 2 da o'smaydigan(kamayuvchi) bo'lgani uchun va quyidan 4a son bilan chegaralanganligi uchun u limitga ega. Bu limitni c bilan belgilab,
lim x^, = lim x„ = c va c = lim x ^ = lim —
n+1 n n+1
n^œ n^œ n^œ n^œ 2
f a 1 / a \
xn + — = — c + - 1 ni
V xn y 2 V c J
ni hisobga olib
c =
c + a I ega bo'lamiz. Demak, c = 4a . Shunday qilib, lim xn+1 = lim x„ = c = 4â
ekanligini isbot qildik. XULOSA
Bunda x ni to'g'ri tanlash: a > 1 bo'lganda x4 soni 4â sonidan farqi 10-10 sonidan ortmaydi. Biz yuqorida ketma-ketlikni limitga ega ekanligini ko'rsatishda quydagi teoremadan foydalikdik. Teorema. Agar o'suvchi (kamayuvchi) ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo'lsa, u holda ketma-ketlik limitga ega bo'ladi.
REFERENCES
1. Мирзахмедов М.А., Сотволдиев Д.А. Укувчиларни математик олимпиадаларга тайёрлаш. Т. Укитувчи, 1983.
2
xn+1 =
2
2
1
x
2
x
n
1
2
n^œ
Oriental Renaissance: Innovative, R VOLUME 2 | ISSUE 1
educational, natural and social sciences О ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor SJIF 2021: 5.423
2. Бердикулов М.А, Исломов Й. Ухшашлик билан боглик; масалалар. 2 Х,ажм мавзуси. Физика, математика ва информатика журнали. 4-сон 2013 йил.
3. Демидович Б.П. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" М. Наука, 1977.
4. Гуломов О, Шарипов Э, Шодиев С. "Олимпиада масалалари ечими" ФМИ, 2015 йил.
