O’RTA ARIFMETIK VA O’RTA GEOMETRIK TUSHUNCHAGA BOG’LIQ KETMA-KETLIKLAR LIMITI Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

O'RTA ARIFMETIK VA O'RTA GEOMETRIK TUSHUNCHAGA BOG'LIQ KETMA-KETLIKLAR LIMITI

Djabbarov Odil Djurayevich TDTU Olmaliq filiali katta o'qituvchisi [email protected] Akbaraliyev Asliddin Akmal o'g'li TDTU Olmaliq filiali "Mashinasozlik texnologiyalari" yo'nalishi talabasi [email protected]

Abstract: This article deals with the analysis of the problem presented and solved by the German mathematician K. Gauss. The solution of this problem was studied usin-ga differential equation. A mathematical model of the problem of the connection of sequences with arithmetic averages is developed.

Keywords:sequence, limit, differential, arithmetic mean, geometric mean, ascending, descending.

Аннотация: В этой статье рассматривается анализ задачи, представленной и решенной немецким математиком К. Гауссом. Изучалось решение этой задачи с помощью дифференциального уравнения. Разработана математическая модель задачи о связи последовательностей со средними арифметическими.

Ключевые слова: последовательность, предел , дифференциал, среднее ариф-метическое, среднее геометрическое, возрастание, убывание.

Annotasiya: Ushbu maqolada nemis matematigi K. Gauss tomonidan keltirilgan va xal etilgan masalaning tahlili o 'rganilgan. Bu masalaning differensial tenglama yor- damidagi yechimi o 'rganilgan. Ketma- ketliklarni o 'rta arifmetiklar bilan bog'liqligi masalasini matematikmodeli ishlab chiqilgan.

Kalit so'zlar: Ketma- ketlik, limit ,differensial, o 'rta arifmetik, o 'rta geometrik, o 'suvchi, kamayuvchi.

KIRISH

qanoatlantiruvchi {xn} va {yn}, n G N ketma-ketliklar berilgan bo'lsin. Bu ketma-ketliklar uchun limn_,m xn va limn_,„ yn larni hisoblashni ko'raylik. Bu masalani dastlab nemis matematigi K.F.Gauss xal etgan.

Ma'lumki, xn > 0, у > 0, n E N. U xolda 4ab < ^, a > 0, b > 0 formulaga asosan

К VOLUME 1 | ISSUE 1

ISSN 2181-1784

VOLUME 1 I ISSUE 1 ISSN 2181-1784

*п + yn

^TT Уп

X,

Уi

îl+1 I

х-п+Уп

71+1

< Уп, u xolda < yn < y1

yn > л:п > x±. Bundan {xn} va {y„}lar mos ravishda o'suvchi, yuqoridan chegaralangan va kamayuvchi, quyidan chegaralanganligi kelib chiqadi. Demak, bu ketma-ketliklar limitga ega, ya'ni lim xn = A f lim yn = В

tenglikdan limitga o'tsak, A = В kelib chiqadi.

bo'lsin. Quyidagi Agar xn — yn = zn deb belgilasak,

kelib chiqadi.

ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODLAR

Mazkur maqolani tahlil qilish jarayonida ilmiy bilishning mantiqiylik, tarixiylik, izchillik va matematik usullaridan keng foydalanildi. O'rta arifmetik va o'rta geometrik tushunchaga bog'liq ketma-ketliklar limiti haqidagi matematik formulalar borasida o'zaro tahlil olib borildi. Tadqiqot jarayonida Л.Д. Кудрявцев и другие. "Сборник задач по математическому анализу' nomli kitobi mantiqiy manba sifatida olindi.

MUHOKAMA VA NATIJALAR Bu masalani nemis matematigi K.V. Borxardtning differensial tenglama yordamidagi yechimi bilan tanishib chiqaylik. Soddalik uchun quyidagicha belgilashni kiritaylik. Aytaylik m0 va Щ - ixtiyoriy ikkita musbat sonlar berilgan

bo'lsin (m0 > n0). Bu sonlardan m1 = , щ = n0 sonlarni tuzamiz.

So'ngraTiii уащ sonlardan m1 + щ

пь =

n

= Vml 7h

sonlarni tuzamiz. Bu jarayonni davom ettirib, {mk},{n.k}, k = 0,1,2,... sonlar ketma-

ketligini hosil qilamiz.

Masala. Quyidagi limitni toping:

Yechish. Faraz qilaylik bu limit a ga teng bo'lsin. Bundan esa a = f(jn0,n0X bu yerda /- qandaydir funksiya va a = fim^n^) kelib chiqadi. Agar m0 va n0 larni biror jc soniga ko'paytirsak, boshqa m1,nlfm2fn2,... sonlarni ham k songa ko'paytirishga teng bo'ladi. Bu esa a sonim0 va n0 larga nisbatan birinchi darajali bir jinsli funksiya ekanligi kelib chiqadi, ya'ni

VOLUME 1 | ISSUE 1 ISSN 2181-1784

quyidagini hosil qilamiz: xuddi shunday:

y:.. . bilan belgilash kiritib,

y = 3*1

tr-^J ma 27Î

771-,

1+*

— — fHo + flQ

m1 -

2ylm0 n0 m0+n0

2\'x 1+x

Bu tengliklarni differensiallab,

dx-,

1-x

2U-Ï3)

ni topib, ni o'rniga qo'yib,

ni hosil qilamiz. Oxirgi tenglikni x bo'yicha differensiallab,

Elementar almashtirishlar yordamida quyidagi tenglikka kelamiz:

Agar oxirgi tenglamada jc ni x1 ga almashtirsak, x1 x2 ga o'tadi. Agar x1 ni x2 ga almashtirsak, x2 x3 ga o'tadi va x.k. Shuning uchun

w = -■[;■:) deb olib,

ga ega bo'lamiz. Agar n cheksizlikka intilsa , 1 — xn nolga intiladi, bundan esa ekanligi kelib chiqadi. U holda

Bu esa (mk — nh) = 0 ekanligini anglatadi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR (REFERENCES)

R

VOLUME 1 | ISSUE 1 ISSN 2181-1784

1. Л.Д. Кудрявцев и другие. Сборник задач по математическому анализу. Москва. Наука, 1984.

2. Н.Я. Виленкин и другие. Задачник по курсу математического анализа. часть 1. Москва. Просвешение. 1971.

3. И.И.Ляшко и другие. Справочние пособие по математическому анализу. Киев. Виша школа. 1984.

4. В.В.Амелькин. А.П. Садовский. Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск. Высшая школа. 1982.