(b,s)-pыhkи на деформированных стохастических базисах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.217

(В,8)-РЫНКИ НА ДЕФОРМИРОВАННЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ БАЗИСАХ © 2008 г. О.В. Назарько

This work is devoted to the deformation of stochastic bases. Such a deformation presents itself a sequence of probability measures regulated "aggressive" buying up stocks. On so obtained deformed stochastic bases we consider financing types of the portfolio of securiti es, deformed and weakly deformed martingales.

Данная статья посвящена изложению новой методологии, связанной с моделированием финансовых рынков, подверженных «агрессивной» скупке акций, под которой мы понимаем следующую ситуацию: юридическое или физическое лицо скупает акции определенного типа для достижения каких-либо политических целей, как-то: завладение контрольным пакетом акций с целью смены руководства акционерного предприятия; завладение блокирующим пакетом акций; поглощение компании.

Основная черта «агрессивной» скупки - невозвращение скупленных акций на рынок в течение длительного срока. Этим существенным моментом «агрессивная» скупка отличается от обычной спекулятивной купли-продажи акций.

Идею предлагаемой методологии поясним на следующем примере.

Пример 1. Рассмотрим фильтрацию, порожденную следующим деревом (рисунок).:

Пусть

if

TV и -rt=О

, F, P - стохастический базис,

где

N<co, Fn=a\ÄlA\,Al,.

; Ah,

А2 ,

An-1,

n—2

А2 , ■

, An-1 ■

А1 А2 А2

■ А1 А2

■ Ап, Ап ,

, А2

F = FN, а мера Р

нагружает все атомы а -алгебры 1;. Будем считать, что событие АП заключается в том, что акция, эво-

люция дисконтированной цены (Сп, 1;„ которой

определена на заданном базисе, скуплена на момент времени п «агрессивным» скупщиком. Пусть 2"

в„

TV

:=U К

2=1

стве

,F„,o'

Q

<N

Пример 2. Пусть (i С стохастический базис.

TV и О

В„ :=

, F,Р - произвольный

рф„У о

Ап е F„

u Ak Ы1

^ = ^ О 1' п - условная вероятность. Таким образом, как в примере 1, так и в данном примере финансовый рынок, подверженный «агрессивной» скупке акций, должен рассматриваться не на исходном стохас-

Р У 0, (2 Рв" - условная вероятность. Ясно, что О^ ^=0 . Это равенство означает, что <2 ^ --вероятность событий, заключающихся в том, что акция скуплена до момента п включительно, равна нулю. Таким образом, в каждый момент времени п мы рассматриваем исходный финансовый рынок на редуцированном вероятностном простран-

тическом базисе {l С, общей структуре [ Í1

TV и -»<=0

TV

1;. /' , а на некоторой более

пп=0,F,P, 0 Ь котоРУю

Интуитивно последовательность

мы назвали деформированным стохастическим базисом (DSB).

Введем следующее общее определение

Определение 1. Пусть - стохас-

тический базис, где N <оо, Р0= £¡10 , Ру = Р. Под его деформацией будем понимать последовательность

Q= С^^ьо вероятностных мер Vп и удовлетворяющих условиям:

заданных на

вероятностных мер \ регулирует процесс

скупки акций одним «агрессивным» скупщиком (или усредненным скупщиком). Обобщим пример 1 следующим образом.

Qn '-(J fl„ n = 0,1,. ,,N

(полагаем

<<Q%

'« Pn ■■= P

n

n

Деформированным стохастическим базисом будем называть стохастический базис, снабженный деформацией. Б8Б будем называть слабо деформируемым стохастическим базисом (\VDSB), если

п = 0Д,..,ЛГ. (2)

Пример 2 (продолжение). Структура

Теорема 1. Пусть задан произвольный \VDSB. Рассмотрим портфель л = , у„ ценных бумаг с капиталом (3), где §п - -адаптированная последовательность случайных величин (с.в.). Пусть -произвольная -предсказуемая последователь-

ность с.в. Тогда следующие условия равносильны:

n n=0'Г,P,q

N

а) Xn-l +fn= ßnBn-1 + YnSn-l > ß

< 1,

-п.н.,

из примера 2 является Уи = 1,2,...,ЛГ (вид финансирования портфеля);

Б8Б. Таким образом, условия (1) имеют свою первооснову в примере 2.

Справедливы следующие простые свойства

1. Если Ае ¥п и то

Ук = п,п + \,...,Х.

Это означает, что если какая-то мера О ^ ■- «про-индикатировала» тот факт, что совершилось событие А , означающее скупку акций, то этот же факт должны «проиндикатировать» и все последующие меры

-. Экономически это означает, что акции, скупленные «агрессивным» скупщиком, не возвращаются на рынок до терминального момента N.

2. Если на Б8В при всех п - 0.1....Л/ выполняется

= Р„ , т.е. тогда Уп :

F P Qn^ '

n n=0, F' PQ n=0

из примера 1 является

WDSБ. Таким образом, условия (2) имеют свою первооснову в примере 1.

Если в примере 1 деформацию задать по-другому, то легко получить пример Б8В, не являющегося

\VDSB. Например, если положить О ^ '= Р, а 0<2) задать таким образом, что 0<2> т 0<2> С2 т " • то

д<2> ({} У 0, в то время как С)<]} (¡1 ^ « • То есть

ме-

ры 2' и О"' неэквивалентны.

На стохастическом базисе , Р, Р рас-

смотрим ф, -рынок, состоящий из предсказуемого банковского счета Вп и акции с ценой . Как обычно, портфель указанных ценных бумаг обозначим через я = $„, у п , а полный капитал портфеля л: -через

Хп = РпВп + у„Бп +Е„ (Р -п.н.). (3)

>(1)

б) В„_ фрп + Ау„ =/„+ gn_ 1, У п = (балансовое соотношение);

в)ЛХи=/?иЛВи+ГиЛ£и+/и+Яи,

V« = 1.2.....N (формула приращения капитала);

П.Н.,

-п.н.,

г) А| Zjl

1 В,

QC-пн.,

у \ ) П — 1 ПП

У п = \,2,...,М (формула приращения дисконтированного капитала).

Доказательство. а)=>б). Из равенства а) вычтем соотношение (3), записанное для момента времени п — 1 (ясно, что оба эти равенства выполняются

Q

€>-1

то д*+%~рп+1 |Ря Q Рп . Это выполняется, в частности,

если Уп (отсутствиедеформации).

Это свойство описывает некоторую другую ситуацию, отличную от разобранной нами в примерах 1 и 2. В данном случае последовательность мер

^ьо не может являться индикатором скупки.

Действительно, если <2^^^ 0, то обязательно и Ри 3= " • т.е. событие А было невозможным в изначальной модели стохастического базиса.

Пример 1 (продолжение). Структура

почти наверное (п.н.)):

Хп-\ + /и = ßrßn-1 +YnSn-1

Хп-1 - ßn-Фп-1 + Yn-l^n-l + Sn-1

/« =В„-1^„ +5'л_1Луп (последнее равенство справедливо п.н.). По-

лучили балансовое соотношение б). б)=>в). Применяя соотношение (3), имеем (<2 ^ - п.н.):

ЛХИ =ХИ =/?И5И + £и -Р„_ 1 X

х5и_! -Яи-1 = /?и5и ~РпВп-1 +АХ

х5и_1 - РП-\ВП_Х + упБп - уп5п_х + уп5п_х -~ Уп-\$п-\ +ёп~ ёп-1 = Фп^Вп + Гй^й >

и Яи—1•

Применяя ко второй скобке балансовое соотношение б) (которое верно ~ п.н.. и следовательно,

по определению 1, <2 ^ - п.н.), получаем нужный вид в) приращения капитала.

в)=>г). Преобразуем приращение дисконтированного капитала:

i

Xn \Bn

X„ X

n-1

XX

XX

n-1

BB

n-1

BB

^ 1

B

^ 1

B

^ 1

XnABn

1Bn

ax, b„

1

B„

X

B

n !XBn+ XX n

П — 1 — 1 '

Заменяя в скобке Х„ выражением (3), а АХП - в соответствие с формулой в), получаем

(

Xn \Bn

1

B

n-1

ßnBn +y„S„ +g„

B

ABn+pnABn +

n

+ynb%+f„+g„j-Гп^„АВп gnABn

1

B

B„

B„

n- 1

+ ßnABn+ynASn+fn+gr

g n

Sn (Bn-1~ Bn ) Sn~ Sn-1 | ft

+gn+ B„

Bn- 1Bn gn _, ' ^™

Bn-1

S П

zYr

B„

Bn 1 Bn 1 B

Sn , Sn Sn-

Bn-1 Bn 1 Bn- 11

n1 \

+ Jj^ + S2L = r А B„-1 В Гп

\Bn ,

g

Bn-l B

что и требовалось. Ясно, что это равенство выполняется <2 - п.н. г)=>а). Расписывая формулу г) и затем применяя (3), имеем

Xn Xn-1

B B

= Yr

n1

Sn yBn

Sn-1 fn

gn

B

n1

Bn 1 Bn

ßnBn +r»S» +gn Xn-1

B„

B

= YT.

n-1

Sn Sn-1

Bn

B

n1

fn , gn

B

n-1 s

B

> ßn +Yn

gn

' B„

Xn-\ _

Y n

в„ Bn Bn

-Yn

n—1

fn

B„

Sn B„

П „ >РпВп-\+Уп$п-\ =Хп-\+1п-

эи-1 ап-\ ап

Ясно, что последнее равенство выполняется -п.н. В силу условия (2) последнее равенство выполняется (_/" '' - п.н. Доказательство завершено.

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что импликации а)=>б), б)=>в) и в)=>г) выполняются для произвольного Б8В, и лишь импликация г)=>а) требует, чтобы деформируемый стохастический базис был слабым.

Результаты данной работы кратко изложены в [1].

Литература

1. Назарько О.В. // ОППМ. 2006. Т. 13. Вып. 6. С. 10381039.

Ростовский государственный строительный университет

6 сентября 2007 г.

S

n

п