Теоремы о деформированных мартингалах: разложение Рисса, характеризация локальных мартингалов, вычисление квадратичных характеристик Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.217

ТЕОРЕМЫ О ДЕФОРМИРОВАННЫХ МАРТИНГАЛАХ: РАЗЛОЖЕНИЕ РИССА, ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ЛОКАЛЬНЫХ МАРТИНГАЛОВ, ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК*

© 2015 г. И.В. Павлов, О.В. Назарько

Павлов Игорь Викторович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Ростовский государственный строительный университет, ул. Социалистическая, 162, г. Ростов-на-Дону, 344022, e-mail:[email protected]

Назарько Ольга Валерьевна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ростовский государственный строительный университет, ул. Социалистическая, 162, г. Ростов-на-Дону, 344022, e-mail: [email protected]

Pavlov Igor Viktorovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of the Department of Higher Mathematics, Rostov State University of Civil Engineering, Sotsialisticheskaya St., 162, Rostov-on-Don, 344022, Russia, e-mail: [email protected]

Nazarko Olga Valeryevna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Rostov State University of Civil Engineering, Sotsialisticheskaya St., 162, Rostov-on-Don, 344022, Russia, email: [email protected]

В случае дискретного времени доказывается представление деформированного супермартингала 2-го рода в виде суммы двух деформированных процессов 2-го рода: мартингала и потенциала (разложение Рисса). Дается критерий единственности такого представления. Устанавливается совпадение локального деформированного мартингала 1-го рода с обобщенным деформированным мартингалом 1-го рода и с деформированным мартингальным преобразованием 1-го рода. Приводится формула для квадратичной характеристики деформированного мартингала 1-го рода.

Ключевые слова: фильтрованное пространство, деформированный стохастический базис 2-го рода, слабодеформиро-ванный стохастический базис, деформированные мартингалы, супермартингалы и потенциалы, разложение Рисса, квадратичная характеристика.

In this work in discrete time the decomposition of deformed supermartingale of the 2nd kind as a sum of two deformed processes of the 2nd kind (namely, of a martingale and a potential) is proved (Riesz decomposition). Criterion of the uniqueness of such decomposition is established. The coincidence of local deformed martingale of the 1st kind with generalized deformed martingale of the 1st kind and deformed martingale transformation of the 1st kind is shown. The formula for quadratic variation of deformed martingale of the 1st kind is given.

Keywords: filtered space, deformed stochastic basis of 2nd kind, weakly deformed stochastic basis of 2nd kind, deformed martingales, supermartingales and potentials, Riesz decomposition, quadratic variation.

В работе продолжено изучение деформированных мартингалов 1-го и 2-го рода с дискретным временем. Кроме того, в первой части работы впервые предложена концепция деформированного стохастического базиса 2-го рода с непрерывным временем. Соответствующее определение согласуется с соответствующим определением для дискретного времени (теорема 1).

Основные определения деформированных базисов с дискретным временем и их свойства подробно представлены в [1]. В [2-4] развивается стохастический анализ на этих структурах. В частности, доказаны следующие теоремы: о разложении Дуба для деформированных субмартингалов 1 -го рода, о разложении Крикеберга для деформированных мартингалов 2-го рода, о преобразовании свободного выбора для деформированных субмартингалов 1-го и 2-го рода. Эти

факты систематически применяются при изучении финансовых (Б,8)-рынков на деформированных структурах, а также для дальнейшего развития теории деформированных процессов. Например, если

^1-0 - квадратично интегрируемый деформированный мартингал 1-го рода на ограниченном деформированном стохастическом базисе, то из теоремы о разложении Дуба вытекает формула для подсчета квадратичной характеристики этого мартингала

Mn =ÎEQ{kk [(AZk)2 k=1 L

k-1

Теорема о преобразовании свободного выбора используется, к примеру, в третьей части данной работы

*Данная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 13-01-00637а и 13-07013159).

при доказательстве теоремы 3 о характеризации деформированных локальных мартингалов и т.д.

Вторая часть статьи посвящена доказательству теоремы о разложении Рисса для деформированных супермартингалов 2-го рода (теорема 2). В классическом случае эта теорема также является мощным орудием стохастического анализа.

Определение и некоторые свойства деформированных стохастических базисов 2-го рода

Пусть (□, (Ft )^0) - фильтрованное пространство с непрерывным (или дискретным) временем. Через F_ мы будем обозначать тривиальную ст -алгебру {Q, 0}, а через - наименьшую ст -алгебру, содержащую все Ff. Если (Q, F, p) - вероятностное пространство, а G - ст -подалгебра ст -алгебры F, то будем использовать обозначение: Epf = EP[f\ g].

Рассмотрим семейство Q = (qS ,Ft){o<J<i<00} вероятностных мер Qsj на Fj , а также порождаемое им семейство (e's){o<s<i«»} операторов условного мате-

t o'

матического ожидания: Esf := E^s f, где f - неот-

Fs

рицательная Ft -измеримая с.в.

Определение 1. Тройку (□, (Ft, q) будем называть деформированным стохастическим базисом 2-го рода (DSB2), если удовлетворяются условия:

1) V0 < s < r < t <да справедливо равенство

or = QS|Fr;

2) V0 <s < r < t < да выполняется соотношение

or << oilFr;

3) V0<s < r < t < да и для любой неотрицательной Ft -измеримой с.в. f ost -п.н. выполняется равенство:

Esf = Er Erf .

Если 1) и 3) выполняются, а вместо 2) выполняется условие 2*) V0<s <r < t <да Qrs ~Q'r|F , то

тройку (q , (Ft, q) будем называть слабодеформи-

рованным стохастическим базисом (WDSB).

Следствие 1. Из свойства 1) определения 1 сразу вытекает соотношение Q£|F = Qs|f (V0 <s <r < t <да).

Следствие 2. Из свойства 2) определения 1 очевидным образом следует, что V0<s <r < t <u < да

выполняется соотношение Qrs << Qt

it F,

Следствие 3. Справедливо соотношение

Ol F << Oil F ( V0 < s < r < t <» ).

Действительно, применяя следствие 1 и свойство

2) определения 1, получаем 0.| ^ = 0Г| ^ << 0г| ^ •

Следствие 4. Из свойства 3) определения 1 вытекает, что < . = < .1 <•••<= t < да и для любой

неотрицательной Ft -измеримой с.в. / 0. -п.н. выполняется равенство Е= Е'1 Е'2„Е / .

Теорема 1. Если (р, (Ft)дао, о) есть Б8Б2 с дискретным временем, то

0'-1 << 0'+^ (' е N = {1'2,"-}) (1)

и для всех целых . и t таких, что 0 < . < t < да, выполняется равенство

+2

(2)

QS (A) = EQs+1 eQ^

...EQt-11A, A e Ft

^+1

где ¡а - индикатор события А .

Обратно, если семейство вероятностных мер Fsтаково, что выполняется соотношение

(Qs-i,fs) (1) и меры (qS ,ft)(

'0<s<t

заданы формулой (2), то (р, ^,о) есть Б8Б2 с дискретным временем.

Доказательство. Пусть (р, ^,о) есть Б8Б2

с дискретным временем. Соотношение (1) тривиально следует из свойства 2) определения 1. Докажем равенство (2).

Применяя свойство 3) определения 1, получаем

0. (А) = = е^е'1А =

1 ^

= Е0 (Е.+1E':l2••• Е^А) =

= Е0' Е0** ••• Е0-11А .

Используя следствие 1 при г = . +1, имеем

л\ — рQs р°+1 EQt-l I л =

QS (A) = EQs EQS E

= EQ+1EQ+2...EQ'-11A ,

Fs+1 Ft-1 A

что и требовалось.

Пусть теперь семейство О'-,F5)5еР1) таково, что

выполняется соотношение (1) и меры О' ^)0<5</<оо заданы формулой (2). Покажем, что О = О' ,F/ ){0<'</<да} удовлетворяет определению 1. 1) пусть А е Fr. Из (2) вытекает

о.(А) = ЕО+1 Е°+1 Е0'1 ••• Е0-11А = ОГ(А) , что

г'+1 гг-1

совпадает с пунктом 1) определения 1;

2) пусть А е Fr и 0'г (А) = 0 . Из доказанного выше в пункте 1) вытекает, что ОГ+ЧА) = 0'г (А) = 0. Из (1) получаем 0гг-1 (А) = 0. Отсюда следует, что

t-i

Ог —1

Ер 1 /а — 0 ОГ-1 -пн. и, следовательно, ОГ-2 -пн.

Окончательно имеем

yos+1 /Qs+1

Qrs (A) - EQs Ef

... EQГ-1 E^h ¡л = 0.

Fr-2 Fr-1

Пункт 2) определения 1 доказан. Из формулы (2) вытекает, что

ои

EQs f - eQs eQs+i

EQt-i f

... V if

(3)

для любой К -измеримой с.в. /. Докажем, что Ох п.н. справедливо равенство:

... ЕО''_1

Et f - EQs+1 EQs+i2 Esf ef ef ,

F s F s+1

"f(-

f.

(4)

Прежде всего, используя формулу О

s+1

- QS

s Fc

Доказательство. Корректность определения Ох вытекает из следствия 1. Кроме того, по свойству 2) определения 1 <5 < t <и < да имеем

О5 << ОТ|К = О\ . Таким образом, условия определения 2 выполнены.

Замечание 3. В случае дискретного времени единственное замыкание Б8Б2 определяется формулой

о; = о;+1р, (^о<; <да).

С этого момента мы будем иметь дело только с замкнутыми Б8Б2.

Пример 1. Тривиальный пример WDSB получается следующим образом. Пусть (О )>0 - произвольное согласованное семейство вероятностных

S + 1_ S '

(см. первый пункт доказательства), отметим, что ле- мер, а при 0 < ; < t < да - :— О . Тогда

У0 < ; < г < t < да, о;к — О/|к — ОГ — ОГ, т.е. пункт 1) определения 1 выполняется. Далее, при тех же г и t ОГ — ОГ — О/|к — ОГ-1 к, т.е. и пункт 2*) опре-

вая и правая части равенства (3) определены О. п.н. Применяя это же соотношение, имеем при А е К

-)5+1 / \ г>;+1 ( п' А

7 Оз -Т I -

EQ

(lAZf)-eqs+1 ( iaeQ':f ]-

= eqS+1 EqS

f,

ЕО; (/а/) — ЕО; ЕО; (1аГ) — ЕО; (1АГ) . (5) С другой стороны, применяя формулу (3), получаем

'й^1 \ Т О;+12 Т7О1-1 Г 1 —

деления

выполняется.

-¡r r\t r\t

Наконец,

ErEt f - eqS pQr f - pQi EQt f - EQt EQt f - EQt f -

EsErJ ef„ ef, f ef efr f ef, ef, f ef, f

s r

ЕО; I /АЕО; ЕО;+1 ...ЕО'-1 / I — = ЕО;+1 еО;+1 ЕО;++2... ЕО-1 (/а/) = ео5 (/а/). (6)

1 5 1 5+1 1 '-1

Теперь из (5) и (6) вытекает (4). Наконец, из (4) тривиальным образом получаем свойство 3) определения 1.

Доказательство завершено.

Замечание 1. Если в теореме 1 соотношение (1) заменить соотношением

О5-1 ~о;+1р; (; е N — {1,2,...}),

то эта теорема останется справедливой при замене аббревиатуры DSB2 на WDSБ.

Определение 2. DSB2 (р, (к)дао, о) называется замыкаемым, если V 0 < t <да на К существует вероятностная мера о' с сопоставленным ей тождественным оператором Е' на множестве К' -измеримых с.в., причем V0 < ; <' < да выполняются условия

о; — о;|К; и о; << о'.

Замечание 2. Ясно, что в условиях определения 2 V0 < ; <' < да выполняются соотношения

— ЕО; / — е5/. Таким образом, (□, (к, о), где

о — (о;,Р' ){0<;</<да} есть WDSБ.

Предложение 2. DSB2 с дискретным временем естественным образом расширяется до DSB2 с непрерывным временем.

Доказательство. Пусть дан (замкнутый) DSB2 с дискретным временем, т.е. все три свойства определения 1 выполняются V0 < ^ < г <' <да, где 5,г и ' -натуральные числа. Для любых действительных 0 < ; <' < да полагаем ^ :— ] и О5 о['], где ['] -

целая часть числа '. Беря произвольные 0<; <г <' <да и записывая соотношения 1), 2) и 3) из определения 1 для натуральных чисел 0<[;]<[г]<[']<да, получаем выполнение определе-

1 для (р, (F,)Г-с, Q), где Q -Q,Ft)

qs << qt

t F.

(7)

Предложение 1. Любой DSB2 (^, (^, о) замыкаем единственным образом, если V0 < ^ < да по-

s ,Ft /{0<s<t<да} .

Разложение Рисса для деформированных супермартингалов 2-го рода

В этом параграфе мы будем работать на DSB2 с дискретным временем и обозначать этот базис

(р, (К)да=0,о), где о — (о(й)Л)да—0, а О(и) — ОП-1 (напомним, что К-1 — {Р,0}). При -1 <к <п <да ме-

Qn

ложить qs - Qs

is\ F.

ры

Ql - QT%„ (0 <n <да).

определяются формулой (2),

s

F

s

1

а

Следующее определение можно найти в работах [2-4].

Определение 3. Процесс (х„ , О^)^ , где

Хп е Ь1 (р, Fn, 0(п)), называется деформированным супермартингалом (соответственно, субмартингалом, мартингалом) 2-го рода, если У0 < п < да 0(п) -

п.н. Е0 ) [хи+1^и ]< Хп (соответственно,

EQ [Xn+1\F„] >Хи, EQ [Xn+l\¥n] = Хи).

В дальнейшем вместо словосочетания «деформированный супермартингал (соответственно, субмартингал, мартингал) 2-го рода» мы будем использовать аббревиатуру DSupM2 (соответственно, DSubM2, DM2). Нам понадобится также

Определение 4. Неотрицательный деформированный супермартингал 2-го рода (zn ,Fn, будем называть деформированным потенциалом 2-го рода (DP2), если lim i E-Z = 0, где

-fq(0)f Q(1)

^-1Zn ef_I ef(

E\7 = EQ EQ ...Eq 7 .

(n)

Теорема 2. Пусть (хп ,О^^о - °§ирМ2, мажорирующий некоторый Б8иЪМ2 (т„ ,О(п))^0 • Тогда существует БМ2

М„,F„, 0(п))да=0 и БР2

„,F„,О(„)]да0 такие, что А0< п <да,

Х„ = М„ + 0(„) -п.н. (8)

Разложение (8) единственно тогда и только тогда, когда деформация Q - слабая.

Доказательство. Докажем существование разложения (8).

1. Определим А0 < п <да с.в.

Х„! = Е„+1Хп+1 < Хп 0(п) -п.н. Покажем, что

bn ^n 'n

(n)

XVf , Q(n)t

!n=0

En+1X (l) = En+1En+2 X En Xn+1 = En En+1 Xn+2

что

(X?>, F„,Q(n)i,=0

мажорирует DSubM2

Итак, получаем, что есть DSupM2, мажорируемый исходным DSupM2 (xn ,Fn,Q(n))^0 . Покажем,

У0 < п <да, Хп > Уп 0(п)-п.н., то

Х„1)= Е^Хи+1 > Е„+1¥п+1 > ¥„ 0(п) -п.н.

2. Конструируя Х„2 по Х^ таким же образом, как Х^ по Х„ и т.д., получим убывающую последовательность Б8ирМ2 (х„^),F„, О^ , мажорирующую Б8иЪМ2 (г„ . Обозначим

M„

= lim i хП) Q(n) -п.н. Ясно, что Mn > Yn Q(n) -

k

п.н. Покажем, что

(Mn ,Fn, Q(n)):=0

F„, Q(n)L=0 есть DM2. Дейст-

вительно, так как V0 < n <: Yn <Mn < Xn, то по

теореме Лебега

Enn +1Mn+1 = Enn +1

= lim i En+1 X(k'

Ulli i En хи+1.

k

lim i X(k)

k

(9)

Но легко видеть, что X^ = E^-E^+1Xn+k+1,

x(k+1) _ frn+1frи+2 r?n+k+1 x

x n En+1 ...En+k x'

n+k+1 и, следовательно,

F'

n+1X (k) = x (k+1)

„ Xn+1 =.

(10)

Продолжая равенство (9), имеем Q(n) -п.н. i X(k+1)= M„.

En+^M„+1 = lim „

k

Таким образом, (y„ , Fn, Q(n)):

=0

есть DM2.

3. Обозначим Zn = Xn - Mn и покажем, что

F„ ,0(п) )и=0 есть БР2. Ясно, что это Б8ирМ2. Определим последовательность ) по 2„ так же, как мы определили Х„^ по Х„. Используя формулу (10),

легко показать по индукции, что ^ = х„^ - мп,

У0 < „ < да, У к е N. Имеем

т?п+к7 _ т?0 тЛт?2 т?п+к 7 _ Е-1 Ап+к = Е-1Е0 Е1-Еп+к-1Ап+к =

DSupM2. Действительно, Так как

En+2Хи+2 < Хи+1 Q(n+1) -п.н., то Q(n) -п.н.

En+1En+2Xn+2 <En+^Xn+1 = Х^^. Таким образом, en+1x(1) < Х(1)

en xn+1 < xn .

= E0 E1 En iEn F-lFo ..En-1 E

Fn+1Fn+2 En+k Z e„ En+1 ..En+k-1Zi

1Zn+k)=

= E-1Ej..En 1znk) = El1znk) = E-ХП) - E-Mn.

Опять применяя теорему Лебега, получаем

lim EpZp = lim E-+kZn+k = EÜ1 lim X^k) -El1Yn =

p k k

= E-Y - E-1Y„ = 0.

Таким образом, (^„ ,F„ ,О(п))да=0 есть БР2 и разложение (8) получено.

Докажем теперь вторую часть теоремы 2. Достаточность. Пусть О - WD и пусть

Y,F„,Q(n))f:=0. Действительно, так как Xn = Mn + Zn - кaкое-либо другое разложение вида

n-1

(8). Конструируя, как и в предыдущей части доказательства, хП), получаем Vk е N, хП)— Уп + 2^),

где [ 2Пк),Бп,О(п)| - убывающая последователь-

V Л—0

ность деформированных потенциалов 2-го рода. Обо-

значим lim

k

, F„ ,ßW)r

im iZ(k) = ~ (Q(n) -п.н.).

н.). Ясно, что

Q n)) =n - DP2. Из предыдущей теоремы име-

ем lim i Х^)= Mn (Q(n)-п.н.). Таким образом,

k

Mn = Mn + Zn. Обозначив Yn = Mn - Mn, получаем

Y = Z

Yn Zn

Q(n) -п.н.

0-1) Y qH| !

т.е. Z„ =

Q(k)(^) = 0 и Q(k+1)(л)> 0 . Рассмотрим (

процесс

\2'п, О(п))и=о , определяемый следующим образом: 2'п — 0 при п — 0,1,...,к и 2П — /а при п — к +1, к + 2,... Легко видеть, что этот процесс ненулевой и является одновременно DM2 и DP2. Рассмотрим полученное в первой части теоремы 2 разложение Рисса Хп —Мп+2п, а также разложе ние Хп — (Мп - 2п) + (2п + 2п). Ясно, что

Мп - 2'п,1, О(п))да—0 - DM2 и 2„ + 2'п,¥„,О(п))да—0 -

DP2. Так как О(к+1)(Мк+1 - 2к+1 < Мк )> 0, то разложение Хп — (Мп - 2п)+(2п + 2п) является разложением вида (3), не совпадающим с разложением

Хп —Мп+2п .

Теорема 2 полностью доказана.

Локальные деформированные мартингалы 1-го рода

Следующее определение (как и определение 3) также можно найти в работах [2-4].

Определение 5. Тройку [Q, (Fn )~=0, Q = (Q(n) ^

где Vn — 0,1,2,..., О(п) - вероятностная мера на 1п , будем называть деформированным стохастическим базисом 1-го рода (DSB1), если

Q(n+\ <<Q(n) (n = 0,1,2,...).

Процесс

(xn .Fn, qwl.

где Х„ e L IQ, F.

i(p.F„, Q(n)),

V0 < n <:. Так как

DM2, то Vn > 0,

(Yn, Zn, Q ,n=0 EtniYn = E-1Y0 = с = cons/, т.е. V0 < n < :, £-1ZYn = с . Так как lim E-iZn = 0, то с = 0. Следовательно,

n^:

V0<n<:, EQ-i Z„ = E_iZn = 0. Следовательно, ~n = 0 Q_1 -п.н. Так как Q - WD, то

называется деформированным супермартингалом (соответственно, субмартингалом, мартингалом) 1 -го рода,

если V0 < п < да О(п+1) | К -п.н. Е°пЛ1 Хп+1 К ] < Хп (соответственно, Ео( ) [хп+1рп ]> Хп, ЕО(п+1) Хп+1|К] — Хп).

Дальнейшие определения с формальной точки зрения являются новыми, однако представляют собой очевидные обобщения классических.

Определение 6. Процесс Х — Х' , О('))^0 называется локальным деформированным мартингалом 1 -го рода (LDM1), если существует (локализующая) последовательность марковских моментов %к Т да (к е N) такая, что V к е N, процесс

0 Q(n+l)| F -п.н. Поэтому

2п — 0 О(п)-п.н. Таким образом, Мп — Мп О(п)-п.н. и единственность разложения (8) доказана.

Необходимость. Пусть теперь о - D2 и не является слабой. Тогда 3 к (к > 0) и А е 1к такие, что

Х F

nAXk ' nAXk

Q(nAXk) ^

Q(n AXk )(Q)

есть DM1.

n=0

Замечание 4. Из результатов работ [3, 4] вытекает, что если процесс Х есть DM1, то для любой возрастающей последовательности марковских моментов

(xk ):=1 проЦесс

Х F

ЯДХ^ nAXk !

Q(nAXk) ^

Q(n AXk )(Q)

DM1.

Определение 7. Процесс Х =

Х -F, Q(/t

есть

назы-

вается обобщенным деформированным мартингалом 1-го рода (QDM1), если Vn — 0,1,2,... с.в. Хп ст - интегрируемы по О(п) относительно 1п-1 и Vn е N

Q(n) -п.н.

н. выполняются равенства

E^"^^ Fn-1 ] = Хи_1.

на-

Определение 8. Процесс Х — (Хп ,1п ,О )и=0 зывается деформированным мартингальным преобразованием 1-го рода (DMT1), если существует всюду

определенный предсказуемый процесс (^п ,1п-1)да=1 и DM1 М — (мп ,1п, О^о такие, что Vn е N

АХп — gnАМп О(п) -п.н. (АХп :— Хп - Хп-1, АМп :— Мп -Мп-1).

:

:

0

Теорема 3. Пусть Q = Q(n),Fn )Г=0 - ограниченная деформация 1-го рода (BD1), т.е. Vn = 0,1,2,... плотно-

dQ(n+1)k

сти - " ограничены Qn -п.н. Пусть

dQ(„)

Х = Х„ , 0„1о - случайный процесс (Х0 = 0

0(0) -п.н.). Тогда следующие условия равносильны:

1) Х есть LDM1;

2) Х есть GDM1;

3) Х есть DMT1•

Доказательство. 1) ^ 2). Пусть Х - LDM1 и

(тк )да1 - соответствующая локализующаяся последовательность моментов остановки. Обозначим Х„ЛЧ = Х„.к . Таким образом, V к е N и

V n = 0,1,2,

E'

Q(tI лп)

(х,

■k f

i * а л

п >n

Q(xk л

Хпк J<да и процесс

. Л, есть DM1. Покажем сначала,

1к Л „'^ /„=0

что V „ = 0,1,2,... с.в. Х„+1 ст -интегрируема по

0(„+1 относительно ¥„ при локализующей последовательности событий {.к > п}, к е N . Имеем

: >

EQ

(t* л(п+1))

X

п+1

(t* л(п+1))

= Z eQ

(Tkл(п+1)) ^

i=0

: Q(i л(п+1)) / i \

= Zeq [ xn+1 • % =i}J =

Q(i) (xt\ • I{Tk =i})+ Z EQ(n+1)(xn+1 • I{4 =i}) =

X

n +1

= eq

• i{t k =i}l =

X

n+1

• zI{Tk ~)l =

n n(i) = Z E°

-- ZeQ(,> (X | • I{Tk =i})+ EQ(n+1)(Xn+1 • I{Tk >n}) i=0

Итак, Е0 )(х„+1 • 1{х^>и})<да и нужное утверждение доказано. Отсюда следует, что обобщенное условное матожидание Еи+![хи+1^и ] существует и

конечно 0(„+1) -п.н.

Проверим выполнение мартингального свойства. Имеем 0(„+1 -п.н.:

Е0(п+!^[Х„+!^„ ]• >„} =

= е0(п+!) [х„+11{.к >„}F„]• ¡{ч >„} = /-\(.к Л(п+1}) _ .

= е0 \Хп+1Чч >п}1 Fn } ¡{.к >„}

(последнее равенство учитывает тот факт, что на множестве {.к > п} меры 0(„+1 и 0Хк Л(и+1) совпадают). Далее очевидно, что

EQ

(Tk л(п+1))

= eq

(Tk л(п+1))

ХП+1 • I{Tk >п}\Fn \ I{Tk >n} =

YT k

Xn+1 • ^{Tk

• I{Tk >n}|FTk лп I{Tk >n}

= eq

= X T

(Tk л(п+1))

XT* F.

n+1 Tk лп

• I{t* >n} =

• I{xk >n} = Xn • I{xk >n}.

Переходя к пределу при к ^ да, получаем выполнение 0(„+!) -п.н. равенства Е"+1\х„+1 ] = Хп, что и требовалось.

2) ^ 3). Пусть Х есть GDM1. Из этого следует, что V п е N с.в. х является ст -интегрируемой по 0(п) относительно F„_l (с некоторой локализующей последовательностью (Рк)да=1, Рк е Fи-l). Рассмот-

рим плотность hn-1 =

dQQn\ Fn-1

(точнее, всюду опре-

dQ(n-1)

деленную ее версию) и рассмотрим последовательность {hn-1 < k}t Р. Ясно, что последовательность {hn-1 < k}-{xn_1| < k} является локализующей при

проверке ст -интегрируемости (по Q(n)) с.в. Хп-1 относительно Fn-1. Таким образом, V п е N с.в. АХп является ст -интегрируемой по Q(n) относительно Fn-1. Нетрудно доказать, что V п е N существует

Fn-1 -измеримая с.в. qn > 0 такая, что qnaXn Q(n) -интегрируема. Положим M0 = 0, AMn = qnAXn

(п е N). Тогда AXn = — AMn = gnAMn. Из того, что

Q есть BD1, индуктивно вытекает включение Mn е L1 (р, Fn, Q(n)).

Имеем

EQ(n) (AM,|F,-1 )= EQ(n) (q,АХ,|F,-1) =

= q,EQ(П) (АХ,|F,-1 )= 0.

Таким образом, (m„, Fn, Q(n)) есть DM1 и все доказано.

3) ^ 1). Пусть X допускает представление

АХ, = gnAMn, где (g„ ,F„-1 )ПП=1 - предсказуемая (всюду определенная) последовательность с.в., а

,Fn, Q(n))n=0 есть DM1. Определим последовательность марковских моментов \ (ю) = inf {п > 0: |gn+1 (ю) > k} (считаем, что inf 0 = : ). Ясно, что при

k Tk t

: всюду на

Р . Легко видеть, что Vk еN Vn = 0,1,2,...

F

(п )

IM Tk

п

< :. Кроме того,

:

T

T

k

k

T

k

г =o

EQ

= S E

j =0

q(1"+1Vx> ) (м?| ^IeQ""*1 (M" д j|. .j,).

-EQ

Q" Mj\■ ,{x, =j})+ EQ("+11(M"|.,h>,,}).

Так как Q есть BD1, то отсюда вытекает, что

E

(("+1)AXk )

M к

UV* "

< : .

Следовательно,

E

(("+1)AXk )

AM

n+1

< : .

Далее

ясно,

что

{хк >т} — {g1 <k,...,gm <к}. Поэтому величины gm • /{т<^} (т —1,2,..) ограничены. Так как они, с одной стороны, измеримы относительно 1т-1, а с другой - относительно К , то они измеримы относи-

тельно

F(m-1)A

. Вычислим АХх

АХ"1 =АХ"ДХк = g"ДХк AM"AXk = g" • ,{xk >"}AM"AXk

^Xk -Из

-,(("+1)AXk )

предыдущего

k >

вытекает,

что

eq

Х0 = 0 , то и E

АХ 1,

n+1

<: Vn = 0,1,2... (а так как

(("+1)axi ) i

Х

n+1

<:). Имеем

E

(("+1)AXk) I

= eq

(("+1)AXk )

fe 1|F"AXk )

, + 1^ >" + 1}AM(" + 1)AXk |F"AXk ) =

О((п+1)Лхк) / I \

— gn+1 /{хк >п+1}ео (АМ( п+1)лхк рплхк ).

Но по теореме о преобразовании свободного выбора [3, 4]

Е°((п+1)лхк) (АМ(п+1)лхк (Рплхк )— 0 О(п+1)лхк -п.н.

Следовательно, (Хпк , К , ОплХк )Т=0 - DM1.

Таким образом, (хп , К, О(п))Т=о есть LDM1. Доказательство теоремы 3 завершено.

Литература

1. Назарько О.В., Павлов И.В., Чернов А.В. Деформации и

деформированные стохастические базисы // Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания: материалы регион. науч.-практ. конф. профессорско-преподавательского состава и молодых ученых. Ростов н/Д, 2012. С. 37-54.

2. Павлов И.В., Назарько О.В. Теоремы о разложении де-

формированных мартингалов и их возможное применение в интеллектуальном моделировании // Вестн. РГУПС. 2013. № 4. С. 145-151.

3. Павлов И.В., Назарько О.В. Обобщение теоремы Дуба о

свободном выборе для деформированных субмартингалов // Успехи мат. наук. 2013. Т. 68, вып. 6. С. 175-176.

4. Павлов И.В., Назарько О.В. Теорема о преобразовании

свободного выбора для деформированных субмартингалов // Теория вероятностей и ее применения. 2014. Т. 59, вып. 3. С. 585-594.

References

1. Nazar'ko O.V., Pavlov I.V., Chernov A.V. [Deformation and

deformed stochastic basis]. Matematicheskie metody v sovremennykh i klassicheskikh modelyakh ekonomiki i estestvoznaniya: materialy region. nauch.-prakt. konf. professorsko-prepodavatel'skogo sostava i molodykh uchenykh [Mathematical methods in modern and classic models of economics and science: proceedings of the region. scientific and practical. conf.]. Rostov-on-Don, 2012, pp. 3754.

2. Pavlov I.V., Nazar'ko O.V. Teoremy o razlozhenii

deformirovannykh martingalov i ikh vozmozhnoe primenenie v intellektual'nom modelirovanii [Decomposition theorem of deformed martingales and their possible application in predictive modeling]. Vestn. RGUPS, 2013, no 4, pp. 145-151.

3. Pavlov I.V., Nazar'ko O.V. Obobshchenie teoremy Duba o

svobodnom vybore dlya deformirovannykh submartingalov [Generalization of Doob's theorem on free choice for deformed submartingales]. Uspekhi mat. nauk, 2013, vol. 68, issue 6, pp. 175-176.

4. Pavlov I.V., Nazar'ko O.V. Teorema o preobrazovanii

svobodnogo vybora dlya deformirovannykh submartingalov [A theorem on the transformation of free choice for deformed submartingales]. Teoriya veroyatnostei i eeprimeneniya, 2014, vol. 59, no. 3, pp. 585-594.

Поступила в редакцию

15 января 2015 г.

n

X

k

k ■

k