Авторегрессионная модель ветрового волнения водной поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

комплексирования систем определения координат и параметров движения, динамические свойства корабля, условия плавания, а также инерционность органов управления требуют уточнения полученных результатов для конкретного проекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Г. /« ш\

1. Васильев К.К. Теория автоматического управления (следящие системы). Ульяновск: УлГТУ, 1999. 96 с.

2. Красовский H.H. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. 475 с.

3. Сэйдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

4. Цыпкин ЯЗ. Адаптация, обучение и самообучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968. 232 с.

5. Васильев К.К. Оптимальное стохастическое управления движением корабля // Вестник УлГТУ, 2000. №3. С. 27-37.

Васильев Александр Николаевичу магистр техники и технологий по направлению «Радиотехника», окончил радиотехнический факультет Ульяновского государственного технического университета, инженер кафедры «Телекоммуникации». Имеет работы в области анализа тепловых процессов в твердотельных структурах, а также в области моделирования систем управления подвиэ/сными объектами.

УДК 621.391

В. Р. КРАШЕНИННИКОВ

АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ВЕТРОВОГО ВОЛНЕНИЯ ВОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Предлагается модель, позволяющая имитировать ветровое волнение водной поверхности, что может быть использовано при статистическом моделировании систем управления надводными судами.

При проектировании систем управления морскими подвижными объектами необходимо исследование их поведения в условиях волнения. Выполнить такое исследование аналитически не всегда удается из-за случайного характера волнения. Поэтому целесообразно применить статистическое моделирование, для чего нужно иметь модель, позволяющую достаточно адекватно имитировать реальное волнение водной поверхности. В этой статье предлагается пространственно-временная авторегрессионная

модель, имитирующая динамическое трёхмерное волнение с заданными параметрами.

Картина волнения определяется волновой ординатой (ВО) z = f(x,y,t),

равной отклонению кромки воды в точке у) в момент времени t от её среднего уровня. Случайный характер волнения обусловливает представление ВО в виде случайного поля. Это поле трёхмерно (зависит от трех переменных X, >',/), но может рассматриваться и как изменяющееся со временем двумерное поле. Среднее значение поля равно нулю по смыслу ВО. 11а ограниченных пространственно-временных участках можно предположить, что поле однородно и стационарно. Если еще предположить гауссовость, то поле будет полностью характеризоваться своей корреляционной функцией (КФ)

V(x,y,t) = М[/(0Д0)/(| х\у \,\t |)]. (1)

Путем обработки многочисленных натурных экспериментов был найден ряд аппроксимаций временной КФ морского волнения [1]. В частности, используется экспоненциально-гармоническая аппроксимация

V(0 ДО = а2 ехр(-а 111) cos cot 5 (2)

где С2 - дисперсия; ОС - параметр затухания; (О = 2я ! Т - угловая частота; 'Г - период волнения.

Вид КФ (2) обусловлен двумя факторами - движением волн и изменением их формы со временем. Пусть направление оси координат ОХ совпадает с направлением движения волн. Если бы форма волн не менялась, то по оси движения КФ имела бы вид (2):

У(хД0 = V(0909xtc-t) = ехр(-а, \x/c-t \)cos(aK/c-6Jt), (З)

где с - скорость движения волн и параметр затухания КФ для волн с неменяющейся по времени формой. Форма реальных волн меняется со временем. Учтём это изменение введением в (3) временного затухания:

V(x,09t) = а2 ехр(-а? |f j)exp(-a, \ x(c-t\)cos(pox/c-<at)9 (4)

где #2 - параметр этого дополнительного затухания КФ.

При X = О КФ (4) должна быть равна КФ (2), следовательно, параметры

должны удовлетворять условию СХ\ + = ^ .

Общее направление движения волн совпадает с направлением ветра (по оси ОХ), но линии гребней волн лишь приблизительно прямые, параллельные оси OY. Поэтому зависимость КФ по оси OY, видимо, также имеет вид (2), но со значительно меньшими значениями затухания и частоты. Примем для простоты чисто экспоненциальную зависимость, т.е. добавим к

(4) множитель ехр(-а31 у |). Учитывая также, что для ветровых

»

гравитационных глубоководных волн с = g / ¿У, где g - ускорение силы тяжести, окончательно получаем КФ волнения

V(x,y,t) =

= сг2 ехр(-а3 | у |)ехр(-сг2111) ехр(-а, | х/с -11)cos(<mlc-at)У'

Перейдем к построению модели, порождающей случайное поле с КФ (5). Будем рассматривать дискретное сеточное поле [2]

Z = {z* = f(iAx, jAyJtAt) ■ (i, У') eQ,k е К} г

где ¡Q - плоская M*N-сетка с единичным шагом и К = {0, 1, 2, ....}-множество значений временного индекса. Ось i сетки Q направлена вниз, а ось j - направо, т.е. i - номер строки, a j - номер столбца.

Подставляя X = iAx,y = у Ay, t = М/ в (5), получаем КФ сеточного поля Z:

„I __ ^ [ --- f ►

где Р, = ехр(-«! юАх / g); р2 = ехр(-а2 АО; р3 = ехр(-а3 Ay); Ь-gAtlcoAx; (p = o)2Ax/g-t y/ = coAt.

Построим сначала случайное поле на сетке П с КФ

К«,7,0) = ЛИ-<72ЛИСОв?»-> (7)

' в

получающейся из (6) при к = 0. Для этого образуем сначала столбцы Uj = (w, jiUijf-^MjnJ = U—j ^ , с помощью авторегрессионной модели

" • ^ ' ' t [I Г- ,1 | ■ ♦ [ | А. „ _____

uMj = ^л/у > um-\j = Pi cos <Р * "л/у + W1-A2 cos2 PZm-xj > (8)

где {<?//} - система независимых стандартных гауссовских величин;

У2 = (1 - р,2 )(1 - 2р,2 сов 2(р + р* ) /(1 + р,2). Тогда каждый из этих

2 (¿|

столбцов будет иметь КФ Р\ С08 ЦН , т.е. второй множитель из КФ (7).

ч

Из1 этих столбцов сформируем кадр как совокупность столбцов

о _ /—о —о —о \

. И/ — , И^;, порождённых авторегрессионной моделью

w\ =u\>wj = +<Jl-plujJ = 29...N. (9)

О 1 2

Пусть последовательность независимых полей (кадров),

сформированных таким способом. Каждый из этих кадров имеет КФ (7).

гу 0 _ О

В качестве начального кадра ноля £ возьмём^ — УУ . Следующий

кадр появляется после через промежуток времени А/. За это время волны переместятся вниз (по оси \) на расстояние С А/ 5 т.е. на И - С А/ / Ах шагов сетки (если потребуется, округлим Л до целого

значения). Поэтому сдвинем изображение 2Г° па к шагов вниз. Сверху

останется ¡1 пустых строк. Заполним их, используя уравнение (9) и последнее из уравнений (8) при / = /?, Л-/,...,/. В результате получим

кадр 2 , отличающиися от а подвижкои всех волн на п шагов вниз без изменения их формы.

Осталось, таким образом, учесть временную динамику волнения, чему в

/к/

КФ (6) соответствует множитель Р2 . Это можно сделать с помощью

авторегрсссиоинои модели

I ^ 1/0

г = Ргг

Аналогичным

образом строятся последующие кадры 2 . Таким образом, к (8) и (9)

добавляются уравнения

» г* = + . (Ю)

г

Модель (8)-(10) позволяет с небольшими вычислительными затратами имитировать динамическое волнение с волнами, движущимися по направлению оси к

Рис.1. Имитированный кадр изображения

Пусть теперь направление ветра и движения воли составляет угол <7 с осью i. Тогда за время At между двумя соседними кадрами все волны сместятся по сетке Q на h = С At COS в / Ах по оси i и на С At sin 0 / Ах

по оси j. Это повлияет только на формирование кадров Z , для чего (при дробном смещении по j) может понадобиться внутристрочная интерполяция. В остальном же модель (8)-(10) не меняется.

На рис.1 показан один кадр, имитированный с помощью описанной модели. Визуально он вполне похож на картину взволнованной ветром воды.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лукомский Ю.А., Чугунов B.C. Системы управления морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1988. 272 с.

2. Васильев К.К., Крашенинников В.Р. Методы фильтрации многомерпых случайных полей. Саратов: Изд-во СГУ, 1990. 128 с.

; Крашешшныков Виктор Ростиславович, доктор технических наук, профессор, действительный член РАЕН, окончил механико-математический факультет Казанского государственного университета. Профессор кафедры САПР УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области представления и статистических методов обработки многомерных случайных полей, в частности, изображений и их последовательностей.

УДК 621.391

М. Н. СЛУЖИВЫЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КАНАЛОВ РАДИОСВЯЗИ

Содержит обзор математических моделей каналов радиосвязи. Приведены теоретические и экспериментальные результаты, отражающие достоинства и недостатки различных моделей. Рассмотрены, перспективы практического применения моделей в системах связи 4-го поколения.

ВВЕДЕНИЕ • |

В течение двух последних десятилетий в технике систем связи интенсивно осваивается СВЧ-диапазон (0.3...40 ГГц). Одной из важнейших характеристик любой системы радиосвязи является адекватная модель канала связи (модель распространения радиоволн). На сегодняшний день разработано большое количество моделей каналов связи как для мобильных

26

Вестник УлГТУ 4/2001

систем, так и для стационарных. Каждая из моделей имеет ограниченное применение, поэтому для каждого определённого диапазона условий используется своя модель.

МОДЕЛИ КАНАЛОВ СВЯЗИ С УЧЁТОМ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

РАДИОВОЛН

В работе [1] представлен ряд моделей предсказания свойств каналов связи, а также некоторые алгоритмы, позволяющие повысить качество этих моделей. Модели каналов могут быть разделены на две категории: модели внутренних каналов (внутри помещений) и модели внешних каналов (на открытой местности). В данной статье рассмотрены только модели внешних каналов, которые, в свою очередь подразделяются на модели для ближней зоны (местность с плотной застройкой, участки распространения < 10 км, мощность передатчика 0.01 - 1 Вт, высота антенны превышает высоту рядом расположенных зданий) и модели для дальней зоны (открытая местность, участки распространения > 10 км, мощность передатчика 1-100 Вт, высота антенны от 3 до 10 м).

Наиболее популярными моделями для дальней зоны являются Okumura модель [2], ITU (CCIR) модель [3], Lee модель [4], COST-231-Walfisch-Ikegami модель [5].

Модель Okumura основана на эмпирических данных, снятых в различных ситуациях для случаев нерегулярной местности. Результаты обработаны статистически и представлены в виде графиков. Эта модель специально разработана для мобильных систем связи диапазонов ультравысоких частот (УВЧ) и очень высоких частот (ОВЧ) и она не требует сложных вычислений и теоретических выкладок. Экспериментальные данные этой модели также используются в ITU(CCIR) модели.

Модель Hala [6] является аналитической моделью, полностью основанной на экспериментальных данных модели Okumura и требующей малые вычислительные затраты.

Модель ITU (CCIR) основана на экспериментальных данных, полученных во многих странах. Благодаря своей простоте эта модель используется при частотной координации и частотном планировании при небольших расстояниях от базовой станции до абонента (-10 км).

У. К. Ли предложил свою модель канала [4] в 1982 г. Она может быть легко адаптирована к локальной местности путём незначительного количества измерений на заданной территории и соответствующего изменения её параметров. Модель имеет более высокую точность по сравнению с другими моделями. Кроме этого вычислительные затраты невелики и сам алгоритм расчёта прост. На основе этой модели проектируются такие системы связи, как AMPS, DAMPS, GSM, IS-95, PCS и

др.

Вестник УлГТУ 4/2001

27