Имитатор волнового воздействия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.39

В. Р. КРАШЕНИННИКОВ, А. Н. ВАСИЛЬЕВ, А. А. АНИКИН, Е. А. ГЛАДКИХ

ИМИТАТОР ВОЛНОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

Рассмотрена математическая модель случайного процесса, имитирующего воздействие морского волнения на корабль. Приведены методы, позволяющие точнее аппроксимировать спектры морского волнения.

Введение

Движение корабля происходит в условиях постоянного воздействия ветра, течений и морского волнения [1]. Взаимодействие перемещающихся частиц воды и воздуха с корпусом корабля приводит к возникновению гидроаэродинамических сил и моментов, которые образуют ветро-волновые возмущения. Существенная часть мощности исполнительных органов управления (рулей, подруливающих устройств, движителей ит. п.) расходуется на компенсацию возмущающего воздействия среды.

Это отрицательно сказывается на характере движения и качестве управления кораблем.

В настоящее время для математического описания спектра нерегулярного морского волнения предложено большое количество формул, в той или иной степени согласующихся с результатами натурных исследований. Они образуют группы экспоненциальных и дробно-рациональных спектров [1]. 12-я Международная конференция опытовых бассейнов (МКОБ) в 1969 г. рекомендовала пользоваться типовыми спектрами волнения, полученными для конкретных мест и условий. При отсутствии информации о типовом спектре района было предложено пользоваться следующей интерпретацией стандартного спектра МКОБ:

(а) = 7.06 тЗ

а

л

а

\

т

V ° /

ехр

/

-1.25

а

\4

/п

V а /

где с = 2п/Т - средняя частота волнения;

В. Р. Крашенинников, А. А, Аникин, А. Н. Васильев, Е. А. Гладких, 2005

Ь% ~ средним период волнения;

а,„ = 0.71а - частота максимума спектра; кз%

- высота волны 3%-й обеспеченности.

При проектировании систем управления кораблем часто возникает необходимость имитации сил и моментов, воздействующих на корабль в результате нерегулярного волнения. При этом желательно, чтобы имитируемая волновая ордината имела спектр, близкий к (1), а сам имитатор был достаточно прост в реализации. В этой статье рассматривается задача аппроксимации спектра (1) дробно-рациональным спектром авторегрессионного процесса.

Имитация волнения дискретным фильтром второго порядка

Для имитации волновой ординаты рассмотрим рекурсивный фильтр

х„ = I 2е

х соб р ~(е~2а )х„_2 ,(2')

где - независимые стандартные гауссов-

ские случайные величины. Его передаточная функция [2]

Н(г) =

У

1-(2*Га С08р)2-1+(в"2а)2-2

Порождаемый сигнал хп имеет 2 -спектр

2 2 у г

22 — 2в~асобР г+е~2а)(\-2е'аг+е~2аг2)

(3')

и корреляционную функцию (КФ)

Вх(п) =

У

(1 - <Г2а) [sin р I yj\ - 2ela cos Р + (Г* *,(4)

х<Г°" cos(p«-i|;)

где

i 1— с~'а jcosр (l-e"2a)crgp

у =arctg)r-о ч _ -arctg

(l + e"2a)sinp

1 + е

Если обозначить р = е , а = е cos р , то эти формулы примут вид:

(2')

Я(г) =

7

l-2az 1 + p~z

2 -2 '

2 2 у z

(z2 -2a z+ p2)(l-2a z + p2z2 j £r(«)=y2£p"cos(p« -y ),

,(3')

где у = arcig

5 =

(i-p2)<*gP 1 + p2 1

(l-p2)|sin р|л/1-2р2cos2p + p

Если значения процесса хп относить к моментам времени 1п - пЬЛ, т. е. взять интервал дискретизации по времени At, то в формулы (4) и (4') нужно подставить п/М вместо п:

Вх(п,М) = Вх(пА^ = = у2В' еаШ соб (р пМ -у *) = (5)

= у2£'е_(аА/)л сов((рД0 и-у ');

Отсюда следует, что для того, чтобы КФ процесса хп=х\пАимела вид (4), нужно

в формирующем фильтре (2) взять значения а* =аА^ и р* = рД/ вместо аир, что и соответствует масштабированию по време-

ни.

При этом для того, чтобы сигнал хп имел

требуемую дисперсию I), нужно выбрать значение у из условия

^=£х(0)=у2Я(а,р)со8у .

Для каждых а и р будет своё у , а именно,

У =

D.

В (a, р) cosv)/

(l - р2)л/l - 2р2 cos2Р + р4 |sin Р |

cosy

= и(

Рассмотрим также аналог производной сигнала хп = х(«А/), т. е. его конечную разность

kAt

(6)

Операции (6) соответствует передаточная функция фильтра

(4>) Поэтому z -спектром сигнала zn будет z -

спектр (3), умноженный на Я1 (z)#, (z

^ «=

1

(kAt)

1 — z

= —r-(2-z* -z_i)S (z).

Отметим, что сигнал z имеет дисперсию

2 (Dx-Bx(kAt))

D. =

(kAt)

(7)

Пусть ордината волнения представляет собой непрерывный случайный процесс у({)

со стандартным спектром (1). Подберём рассмотренный выше дискретный процесс

хп-х(пА/) так, чтобы хп по возможности лучше соответствовали отсчётам процесса

Г I

с интервалом дискретизации , т. е. чтобы хп можно было принять за у(пА{):

хп « у(иДг).

При этом нас не будет особенно интересовать, что происходит в промежуточные моменты времени между О, А?, 2А1,... Поставленную задачу можно решить многими способами. Полученные при этом решения будут как раз и отличаться поведением процессов в эти промежуточные моменты.

Рассмотрим следующий вариант приближения. Пусть непрерывный процесс д-(/) имеет

КФ вида (5):

Тогда его спектр будет иметь вид

(l-p2)|sin р|л/1-2р2 cos2p + р4 (а2 + р2)(аcosy + р siny ) + (а cos\^ -р siny)ст а4+2(а2-р2)а2+(а2 + р2)2

(8)

2у2-у/а2 + (3

X

(l-p2)|sin P|7i-2p2cos2P + p4 (а2 + p2)cos(i}/ — х) -ь cos (ц; + x)®2 аЧ2(а2-р2)а2+(а2 + р2)2

где х = агс^(Р /а) •

Если спектр (8) достаточно близок к спектру (1) при некоторых а, р и у , то значения

сигнала х = х(п М), формируемого дискретным фильтром (2), будут иметь ту же самую КФ, что и отсчёты сигнала в моменты

времени иА/. Следовательно, значения сигнала хп = х(пАмогут служить достаточно хорошим приближением и отсчётов сигнала в моменты и А/.

Дробно-рациональный спектр (8) имеет известные отличия от экспоненциального спектра (1), особенно неприемлемое из которых -«задранность» низких частот. Попробуем ослабить эти отличия с помощью конечно-разностного дифференциировапия. Операцию (6), поскольку она затрагивает только значения в моменты , можно считать применённой к непрерывному процессу х(¿).

При этом спектр преобразуется следующим образом:

2/£сгДг -ЛстД/

— е —е

5,(<т) =

(к At)

2(l-cos(£aA ?)) (kAtf

(9)

F(a) =

2(l-cos(A:aA0) (kAt)2

2(1-cos (to))

(702

где Н = &Д/1 - шаг численного дифференцирования. При ¡г —» 0 множитель (10) стремится к

а2, что является известным фактом -при дифференцировании сигнала его спектр

умножается на а2. Но мы располагаем только конечно-разностным вариантом (9), поскольку

мы имеем только значения л'(яА/). Коэффициент (10) по-своему хорош для аппроксимации спектра (1). Это периодическая функция,

которая даже лучше, чем ст2, т. к. а2, хотя и подавляет низкие частоты, но поднимает высокие, а ^(су) этого недостатка лишена. Таким образом, имеется дополнительная возможность улучшения аппроксимации спектра (1). При этом дисперсия сигнала г связана с дисперсией дифференцируемого сигнала соотношением (7).

Отметим, что деление на кА1 в (6) выполнять не обязательно, так как здесь дифференцирование не имеет своего определённого смысла - мы хотим только изменить вид спектра. Поэтому можно рассмотреть просто разности процесса хп через к шагов:

zn=z(nAt) =

= x(nAt)-x((n-k>)At^ = xtl -хп_к.

(6')

Тогда спектром будет

S2 (a) = 2 (l - cos (kAtv)) Sx (a), (9')

а соотношение между дисперсиями -

Д=2 (D,-B,(kAt)).

Чтобы «выправить» дисперсии, т. е. снова иметь Dx> нужно к у добавить дополнитель-

(Г)

ныи множитель

D.

т.е. спектр умножается на множитель

2 (Д-В, (**))'

Естественно, что при к -»оо ковариация Вх ) 0, т. е. хп и хп_к становятся независимыми, поэтому в (7?) будет происходить просто удвоение дисперсии.

\

2-

Рис. 1. Спектры волнения:

1 - спектр МКОБ, аппроксимирующий дробнора-циональный спектр

Фильтры более высоких порядков

Рис. 2. Спектры фильтров с повышенной

кратностью корней: 1 - аппроксимируемый спектр МКОБ, 2 - фильтр с тремя корнями; 3 - фильтр с четырьмя корнями

Отметим также, что вместо операции (6') можно в формирующем фильтре заменить

на Ъ>п . Это сделать программно проще в

датчике возмущающей последовательности. На рис. 1 приведён пример аппроксимации стандартно спектра описанным методом.

Повысить качество аппроксимации стандартного спектра в низкочастотной области можно за счёт увеличении количества корней дискретного фильтра, т. е. порядка авторегрессии. На рис. 2 представлены примеры аппроксимации стандартного спектра с помощью фильтров третьего и четвёртого порядков.

Кажущийся спектр и его моделирование

Если корабль имеет скорость V под углом к направлению движения волн, то спектр

волнения изменяется довольно просто: нужно взять только другие значения параметров а и

Р:

а, =а

1 + ^(3 §

, Р* = Р

1 + ^-Р

сг

(И)

и использовать эти кажущиеся значения ак и

р^ во всех предыдущих расчётах. При этом

следует учесть следующее.

1) Дисперсия волнения при этом преоб-

разовании спектра не должна измениться. Это уже учтено в виде коэффициента у , который пересчитывается для конкретных значений а^, и Ву .

2) Частота максимума кажущегося спектра смещается относительно максимума исходного спектра согласно (11). Это учитывается при пересчёте коэффициентов формирующего фильтра.

3) Меняется и временная коррелирован-

ность кажущегося волнения, т. е. £(/)• И это тоже учтено в формирующем фильрте.

Силы и моменты волнового воздействия

Силы и моменты волнового воздействия на корабль плохо исследованы, особенно при нерегулярном волнении.

В первом приближении можно принять, что

My(t)=Ayy^{t)*JrV|íУ^(t), М (п&1) = Ауг\

(12)

где К. и А. - коэффициенты, значения которых в разных источниках сильно различаются. Поэтому при имитации этих сил и моментов с

помощью процесса хп~х\г\А{) или

1п =г(иД/) теряет смысл добиваться точного

значения дисперсии этих процессов. Достаточно только, чтобы соблюдалась пропорция дисперсий при различной балльности.

При имитации Му(пА() нужна производная г\ - процесса 2л=2(«Д/). Её

®

придётся заменить на конечную разность

г.. -1

п-т

тАг

(13)

как это сделано в (6). При этом никаких поправок в коэффициенте у делать не нужно,

так как здесь действительно вычисляется производная. А увеличенный шаг /г = тАг может понадобиться для сглаживания производной. Обычно принимается к- 0.1 секунды.

Заключение

Предложенный метод позволяет с небольшими вычислительными затратами имитировать случайные процессы, близкие по своим корреляционным и спектральным свойствам к случайным волновым воздействиям на корабль, описываемым стандартным спектром МКОБ. Это может быть использовано при математическом моделировании проектируемых систем управления кораблями.

я

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Крашенинников Виктор Ростиславовичу

доктор технических наук, профессор кафедры САПР. Окончил механико-математический факультет Казанского университета. Имеет статьи и монографии по статистическим методам обработки случайных полей, изображений и их последовательностей.

Васильев Александр Николаевич, магистр техники и технологий по направлению «Радиотехника», окончил радиотехнический факультет УлГТУ. Аспирант кафедры САПР. Имеет работы по анализу тепловых процессов в твердотельных структурах и по моделированию систем управления подвижными объектами.

Аникин Александр Александрович, инэ/се-нер-математик, окончил экономико-математический факультет УлГТ\г. Аспирант кафедры САПР. Имеет работы по ком-плексированию средств навигационной информации.

Гладких Екатерина Анатольевна, студентка специальности «Прикладная математика и информатика» экономико-математического факультета УлГП1.

1. Лукомский, Ю. А. Управление морскими подвижными объектами / Ю. А. Лукомский, В. М. Корчанов. - СПб.: Элмор, 1996. - 320 с.

2. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Левин. - М.: Радио и связь, 1989. - 665 с.