CC BY
13
УДК 621.373.826
АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ТРЕХТЕМПЕРАТУРНОМ
ПРИБЛИЖЕНИИ
И. Г. Лебо
Получено автомодельное решение для системы уравнений теплопереноса в трехтемпературном приближении. Это решение использовалось для тестирования двумерной программы расчета уравнений радиационной газовой динамики.
Для описания теплопереноса в плотной плазме (например, в мишенях, облучаемых мощными лазерными либо корпускулярными потоками) часто используется трехтсм пературная модель [1, 2]. В этом случае наряду с температурами электронов и ионов вводится "температура квантов". Ниже дано краткое описание этой модели. Нренебре гая рассеянием фотонов, уравнение переноса излучения можно записать в виде
+ = *„(/„ - /„), КР = (1)
Здесь Ivp.lv ~ равновесное планковское и неравновесное значения спектральной интенсивности излучения, Хо ~ коэффициент поглощения излучения на частоте и с учетом вынужденного испускания, - телесный угол.
Проинтегрировав первое уравнение в (1) по полному телесному углу А-к. получим
ди
+ сИУЯ = сХЛи»г ~ I Ый,С> и"» = сЗГехр(ЫкТ)-1У (2)
и,
и -
4тг
с3(ехр(/г1//кТ) - 1)'
= J I„{1(1(1,
ч
где Uv - объемная спектральная плотность энергии излучения, S„ - спектральный поток энергии излучения. Первое уравнение в (1) домножим на телесный угол i) и проинте грируем по телесному углу 4тг ; тогда получим
IdS, с ~
сЖ + 3grad£/ =
В лазерных мишениях, где типичные размеры плазмы Ьн ~ 100 — 1000 мкм, а времена изменения газодинамических параметров порядка 0,1 - 1 и с, первый член в первом уравнении (1), как правило, по порядку величины много меньше, чем член в правой части (xt/ ~ 1 /Lh), и им можно пренебречь, тогда
Я = -r^-grad U„. (3)
Усреднив по частотам уравнения (2) и (3), получим уравнения в одногрупповом приближении, описывающие перенос излучения в плазме
^ + divVKr = Q, WT = - уgradf/. Здесь U - усредненная по частотам плотность энергии излучения, WT - радиацион-
оо
ный поток энергии, QeT = / хЛ^^р ~ Uu)du - член, описывающий обмен энергией между
о
фотонами и электронами, 1Т - усредненный по спектру пробег излучения. Следуя [I] предположим, что "фотонный газ" имеет планковское распределение по частотам (энергиям квантов), причем эффективная температура фотонов Тг, вообще говоря, отличает ся от температуры плазмы. Тогда £/„ = (8тг hi/3 / c3)[exp(hi/ / kTr) — I]-1 и U — АаТ^/с, а =
27ГГ>&4/15/г3с2 - постоянная Стефана-Больцмана. Вводим понятие плотности радиацион
—♦
ной энергии на единицу массы ет = U/р, тогда Wr = —clrgT&d(peT)/3. Следуя [1], введем понятие усредненной по частотам длины свободного пробега квантов (росселандового
СО дц ОО J^J
пробега) /г = / Iv-^dvlJ -^du]-1. Обмен энергией между фотонным и электронным о г о г
компонентом плазмы можно представить в виде: QeT — Jem — Jabs = AcrT*/lp — AaT^/l'p Здесь /р,/р - усредненные ("планковские") длины пробега квантов при излучении и поглощении. Если предположить, что эти длины пробегов имеют такой же вид, как в случае свободно-свободных квантовых переходов (тормозной механизм поглощения и испускания квантов [1]), тогда /р = аьТ3'5/р2, Гр = а,ьТ°,5Т?/р2, и обменный член имеет сравнительно простой вид: QeT — (4ар2/аьТ°,5)(Те — Тт).
В том случае, когда учитываются только свободно-свободные переходы, коэфф! циент аь вычисляется аналитически (см. [1]). Для учета влияния свободно-связанных
и связанно-связанных переходов в расчетах используются интерполяционные значения аь либо таблицы (см., например, [3]). Ниже приведена система уравнений, описывающих перенос энергии между электронным, ионным и радиационным компонентами плазмы, которая запрограммирована в двумерной лагранжевой программе "АТЛАНТ" (см. [3]). В программе "АТЛАНТ" отдельно на каждом шаге по времени используется блок подпрограмм, рассчитывающий электронный (подпрограмма "НЕАТЕ"), ионный (подпрограмма "HEATI") и радиационный теплоперенос (подпрограмма "HEATR '):
Pllf = P-jj- = -divVKi, = -divWr,
где
We — -/CegradTe, W, — -KigradT,, WT - -/crgrad(/>er).
В случае радиационной теплопроводности при определении потока энергии удобнее пользоваться градиентом удельной радиационной энергии ег, умноженной на плотность р. В этом случае граничное условие на внешней поверхности имеет простой
—*
вид: WT = (среТ cosi?)/2 = с/эег/4, то есть получается линейная зависимость потока от удельной энергии. Коэффициент радиационной теплопроводности кт = с/г/3, г скорость света, 1Г - росселандов пробег.
Особенность уравнения переноса радиационного потока по сравнению с уравнениями теплопроводности для электронного и ионного компонентов в виде граничного условия состоит в том, что в радиационной задаче имеется условие третьего рода на внешней границе. Обмен энергией между электронным, ионным и радиационным компонентами плазмы учитывается с помощью уравнений
de de de
-jj- = Cv{Te - Ti)/rei, = -C„(Te - T,)/rei - Qer(Te - Tr), ~ = Qer{Te - Tr).
Эти уравнения решаются в подпрограмме "RELAXR".
Для решения уравнения радиационного переноса, как и в уравнениях для электронного и ионного теплопереноса, используются неявные консервативные разностные схемы (подробнее см. [4]). Программы расчета уравнений теплопроводности многократно тестировались с помощью автомодельных решений (см., например, [5]). Однако в сл\ iac радиационной теплопроводности из-за нелинейной зависимости удельной радиационной энергии от температуры использовать традиционный метод разделения переменных не
удается. К тому же, в радиационной задаче существенное влияние на полученное ре шение оказывает учет излучения с поверхности (что приводит к граничному условию третьего рода).
Для тестирования тепловой части программы "АТЛАНТ" предложено автомодель мое решение для следующей системы уравнений (при р = 1).
^ = "С?е,(Ге - Г,),
г^Ъг^2 = ®еГ(Те ~ Тт де, 1 д 2 дТ2 ,п[гггг^
дет 1 д 2 дег
Рис. 1. Распределения по радиусу радиационной температуры на моменты времени < 1. / = 5, £ = 10 (усл. единиц).
При £ = 1 ее = с„Ге, е, = СиТ, и ег = аТг4. Пусть Те = Т?гтГ, Т, = Т°гтГ и Т, тут1\ ке = к0гЗт+2^Зп-1? к, = куг19 Хг = хОг2Г15 = Яет _ ^ гЗт/3п-1
Подставив эти выражения в (4), получим связи для постоянных коэффициентов
с„пге° = -д°г(т;0 - Ге°),
/c°re°m(4m + 3) = -g°r(Te0-rr°),
cvT?n = к°т(т + 3)Т° + Q°ei(Te° - 7?), 4na(rr0)4 = 4m(4m + 3)Х>(ГГ0)4 + Q°er(Te° - Tr°).
При m > Ов центре мишени температура равна нулю (граничные условия первою рода). На правой границе будут условия второго рода для электронной и ионной тепло проводностей, и можно написать условие третьего рода для уравнения радиационной теплопроводности (при г = R)
We = -K°ernT?R4m+1t4n-\ W, = -K°mT?Rm+'tn, Wr = -Х°Т4тГхсГ.
Ниже приведены результаты сравнения численных и аналитических решений для < л\ чая т = 0,4, п = 2, Т? = 1, If = 2, Те° = 3, 0 < t < 100, 0 < г < R = 1, Q„ = 0. 64r1,2i5, Qei = 574,85/*, с, = 143,712.
На рис. .1 представлены "профили" радиационной температуры (распределения по радиусу) для трех моментов времени t = 1, t = 5, t = 10. Абсолютное значение темпера туры выросло в 100 раз в соответствии с аналитическим решением. Для определения точности решения рассчитывалась погрешность Delta = abs(TT — Ггап)/Тгап, где / расчетное значение радиационной температуры, Ттап - аналитическое значение. Расч< ты были выполнены в квазиодномерном приближении. На сетке, содержащей 60 узлов, было выполнено два расчета при различных граничных условиях: 1) на границе зад;) ются аналитические значения потоков We, W{, Wr, и 2) в уравнении для радиационного переноса задается граничное условие третьего рода WT = —1,6eT/t (см. рис. 2а). Видно, что в случае граничных условий первого рода во всей области счета, кроме окрестности г = 0, ошибка составляет менее 1% (в окрестности нуля решение стремится к нулю, поэтому точность аппроксимации несколько хуже).
На рис. 26 представлены результаты решения уравнений теплопереноса с граничными условиями третьего рода. По оси ординат "невязка" отложена на логарифмической шкале. Видно, что и в этом случае относительная погрешность расчета ( невязка ) мала, в частности, и вблизи границы г = R (на уровне нескольких процентов). С увеличением числа узлов сетки точность решения возрастает.
В статье приведно аналитическое решение системы уравнений трехтемпературно! о теплопереноса в плазме. Это частное аналитическое решение может быть полезным npi
полир 3 I J997
Краткие сообщения по физике ФИАН
InDelto
Delta
0.2
0.1
0.01 ■
¡t-10
0.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
a
О 0.2 0.4 0.6 0.8 .0 б
Рис. 2. Относительная погрешность расчета (Delta = (ТГ —tran)/Tran) па моменты времени I = 5, f = 10 в случае граничного условия второго рода (а) и граничного условии третьего рода (b). Tr,Tran = 7,0,4i2 - расчетное и аналитическое значения температуры.
отладке и тестировании программ, предназначенных для решения уравнений радиационной газовой динамики, а также для качественного анализа радиационных явлений в плотной плазме.
[1] Зельдович Я. Б., Р а й з е р Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., Физматгиз, 1963.
[2] Афанасьев Ю. В., Гамалий Е. Г., Розанов В. Б. Труды ФИАН. 134, 10, (1982).
[3] L е b о I. G., Popov I. V., R о z а п о v V. В., Т i s h k i п V. F. Journal of Russian Laser Research, 15, 136 (1994); Препринт ФИАН N 2, M., 1993.
[4] T и ш к и н В. Ф. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, М., 1979.
[5] Змитренко Н. В., К у р д ю м о в С. П. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, N 39, М., 1981.
ЛИТЕРАТУРА
Поступила в редакцию 14 января 1997 i.
