Уравнения солитонного типа в теплофизике и их приближенные аналитические решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

УРАВНЕНИЯ СОЛИТОННОГО ТИПА В ТЕПЛОФИЗИКЕ И ИХ ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

© 2006 г.Е.Н. Ладоша, О.В. Яценко

An original technique to solve very applicable in physics second-order soliton equations is developed. It is based on hypothesis that its solutions are stable with respect to some variations of non-linearity. In such conditions an approximate solution should be chosen from the set of explicit analytical ones. Identifying parameters is necessary to compute using an optimization method purposed at minimal difference between the natural and model non-linearity. It seems, solving the laminar combustion problem suggested approach results analytical solutions close to obtained by numerical computing.

Распространяющееся по однородной горючей смеси пламя служит одним из классических примеров автосолитонов [1]. Выделяющаяся в процессе горения среды внутренняя энергия «собирается» (вследствие конкуренции нелинейности и диффузионного переноса) в бегущую локализованную структуру (волну). В реалистичных предположениях процесс описывается уравнением

О ^ + у + Же~©/Т (1 - Т)" = 0, (1)

5г 2 &

Т(-да) = 1, Т(да) = 0,

в котором температура Т и энергия активации © выражены в единицах Тад (температуры сгорания ТВС в адиабатических условиях); " ~ 1 - эффективный порядок брутто-реакции; О, Ж и V - коэффициент диффузии, предельная скорость химического превращения и скорость распространения пламени соответственно. Решение (1) представляет большой практический интерес для приложений, связанных со сжиганием органических топлив, так как позволяет определять брутто-характеристики химизма путем измерения скорости распространения пламени, его толщины и температуры. Эти «чисто химические» характеристики процесса служат основой для проектирования сценариев турбулентности в создаваемых ДВС и других энергосиловых установках.

Краевую задачу для уравнения (1) - (с целью отыскать являющуюся ее собственным значением скорость пламени V) - можно решать различными способами. Я.Б. Зельдович [2], например, разбивал зону горения на две части, в каждой из которых хорошо «работает» соответствующим способом усеченное уравнение (1). Решения усеченных зональных уравнений затем гладко «сшивались» на фронте волны горения, а собственное значение V получалось как подгоночный параметр сшивки. С появлением компьютеров (1) и аналогичные многокомпонентные модели стали интегрировать методом установления [3]: краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения заменяют на эволюционно-краевую задачу для уравнения с частными производными, решение которой на больших временах вырождается в решение исходной.

В данной работе предлагается альтернативный способ машинного решения (1). Основанный на методах оптимизации, он состоит в замене нелинейного третьего слагаемого в (1) качественно и количествен-

но сходным: при этом существенно, что модифицированное уравнение имеет простое аналитическое решение. Рассмотренное ранее в [4] приближенное гиперболическое решение (1) основывалось на замене нелинейного слагаемого.

Же ©/Т(1 - Т) ^ АЬТ2(1 - Т) и характеризовалось экспоненциальной формой «крыльев» пламени. Это решение в точности совпадает с решением известных задач о распространении эпидемий, генов в популяции (впервые получено А.Н. Колмогоровым, И.Г. Петровским и П.С. Пискуновым [5]), а также задачи о распространении радиационных волн в разреженном газе [4].

Однако для среды с интенсивным турбулентным переносом, каковой, в частности, является топливно-воздушный заряд поршневого ДВС [4], можно ожидать более тяжелых крыльев автосолитона пламени. Кроме того, для обоснования предлагаемого метода решения необходимо подтвердить структурную устойчивость решения «подобных» нелинейных модификаций задачи (1). С этой целью рассмотрим здесь также две альтернативные предельные модели - тригонометрическую модель автосолитона пламени с крыльями ~ 1/х и пространственно локализованную -без крыльев.

Первому из этих предельных случаев отвечает замена

Же-©/Т(1 - Т) ^ А((1 - зш2л7>т2лТ в уравнении (1), второму -

Же-©/Т(1 - Т) ^ А8 (2Т - 1) + В8 [1 - (2Т - 1)2]1/2.

Отметим, что в гиперболическом и тригонометрическом случаях двухпараметрическая химическая нелинейность в уравнении (1) вырождается в однопара-метрические зависимости: {Ж, ©} ^ Аь и {Ж, ©} ^ А4 соответственно. При использовании модели локализованного автосолитона число параметров в нелинейности сохраняется {Ж, ©} ^ {А,, В,}.

Другая особенность автосолитона без крыльев состоит в разрыве вторых производных ёРТ/Сг1 на обеих границах локализованной структуры.

Сопоставление всех трех моделей выполним, сравнивая полученные на их основе решения тестовой задачи (1) при верно отражающих реальность значение параметров О = 3, Ж = 22, © = 4/3 и " = 1. Необходимые для расчетов значения Аь, Аь А, и В, определим как обеспечивающие минимум (по квадратичной норме) функционала расхождения

Ф(а) = | [Ге-0/Т(1 - Т) - Щ(Т, а)]2 йТ,

где Щ и а - соответственно аппроксимирующая функция и вектор подгоночных параметров; интегрирование производится от Т = 0 до Т = 1 (выполненное здесь обезразмеривание задачи удобно и не искажает сути дела).

Изображение вклада отдельных слагаемых в уравнение (1) и описанные его модификации приведены на рисунке. Как видно из данных рисунка, а также собранных в таблицу, модель (1) структурно устойчива, что оправдывает правомочность предложенного здесь метода ее решения.

väT(z) i dz J\i )f '

d2T(z D-Ь dz i i Л / i

a

О

х — vi

i

ydT(z) j V

dz

— ' \i \V/(Z)

s \_

dz2 ^ i

Z =

0.5

T(z)

1 ~ vdT(z) dz А u £

Dä2T(z) dz2 i i

-2 О

х-vi z =-

в

Составляющие приближенных решений задачи (1), полученные численным интегрированием краевой задачи (а), применением гиперболической (б), тригонометрической (в) и локализованной (г) аппроксимации Сравнение численного и приближенных аналитических решений задачи (1) об автосолитоне горения

F(T) We ®/T(1 - T) AhT 2(1 - T) At(1 - sin2nT)sin2nT As (2T - 1) +Bs [1 - (2T - 1)2]1/2

T(z) Сеточные значения 1/2 + 1/2 th z/Ah 1/2 + 1/n arctg z/At 1/2 + 1/2 sin nz/As

T'(z) » 1/(2 Ah) 1/(ch2 z/Ah) 1/(nAt) 1/[1 + (z/At)2] n/(2As) cos nz/As

T''(z) » -1/A2 th z/Ah ch-2 z/Ah -2/(TAt2) z/At 1/[1 + (z/At)2]2 -n2/(2As2) sin nz/As

F(z) » Ah/8 (1 + th z/Ah)2 x x(1 - th z/Ah) At [1 - 2(z/At)1/2/(1 + z/At)]x x [1 + (z/At)2]-1 As sin nz/As + Bs cos nz/As

z — x + X — ( + ( — ( ^ + ( - As/2 + As/2

A ^опт - Ah = Ah, опт = 6.107 At = At, опт = 0.792 As = As, опт = 0.407

-^опт - - - Bs = Bs, опт = 0.633

Disc* - 3.59 5.73 4.36

v v4Hcn = 2,61 vh = (DAh/2)1/2 = 3,03 vt= (nDAt)1/2 = 2,73 vs= (2D/As)1/2 Bs = 2,43

A А = 2 34 ^числ Ah =(8D/Ah)1/2 = 1,98 At= [D/(n4t)]1/2 = 1,10 As= [D/(2As)]1/2 = 6,03

J> ОС Ul Ul Ачисл| o'25 = 1,87 Ah| 0,25 = 2,18 Ati 0:25=2,20 Asl 0,25 =2,01

* Disc = 10

= 10 i |lg Рчися (T)-lg Fkt>s (T)

dT

Г

Следует отметить, что модель (1) достаточно универсальна: этим обстоятельством оправдывается неослабевающий интерес к эффективным способам ее исследования. Например, можно показать, что уравнение (1) эквивалентно системе нелинейных уравнений с частными производными, описывающей фотодиссоциацию газа (ФД) под действием интенсивного УФ-излучения [4]. Приведем постановку задачи [4] и докажем эквивалентность соответствующей модели уравнению (1).

Кинетика процессов ФД определяется интенсивностью излучения, его спектральным составом и соответствующими сечениями поглощения. Если интенсивность излучения достаточно велика, химические превращения в волнах ФД существенно неравновесны, т. е. скорости прямых и обратных элементарных реакций заметно отличаются. В этом случае хорошим приближением можно считать следующую постановку задачи. Слой газа, состоящего из двухатомных молекул с концентрацией С0 [см 3] облучается параллельным пучком света интенсивностью I 0 [см-2с-1]. Считается, что: 1) поглощение каждого фотона из пучка приводит к диссоциации поглотившей его молекулы; 2) сечение поглощения молекулами всех фотонов одинаково и равно а [см2]; 3) продукты фотораспада оптически неактивны; 4) энергетика процесса фотораспада не влияет на его кинетику; 5) в среде нет рассеяния.

Соответствующая такой постановке задачи система уравнений переноса излучения и химической кинетики имеет вид

— = -оС1, дк

д

— = -оС1,

dt

(2)

где х - пространственная координата; t - время; I = = 1(х, Г) - интенсивность излучения; с = С(х, Г) - концентрация поглощающих частиц. В работе [4] приведено решение системы (2)

I (к, t) =

g = exp

10

1 + g

С (к, t) =

£0g_

1+g

ОС0

к--

—t

С 0

(3)

которое мы здесь исследуем более подробно, в частности, с целью выявить его место в семействе решений солитонного и автосолитонного типа.

Согласно интерпретации [4], отвечающей физическому уровню строгости, постановка 1)-5), (2) удовлетворяет условиям я-теоремы размерностей, следовательно, задача имеет автомодельное решение. Автомодельная переменная г выбирается типа бегущей волны г = х - (Р/С) t, что соответствует движению профилей 1(г) и С(г) в невозмущенный газ со скоростью % = 10/С°. Постоянство значения % обеспечивается отсутствием затухания излучения в просветляемой среде. Для объяснения физического смысла решения (3) в [4] рассматривается цилиндр единичной длины с основанием площадью а, перпендикулярным направлению светового потока. Через основание цилиндра в единицу времени проходит а1 0 фотонов; в цилиндре содержится

аС0 молекул. Процесс ФД в

цилиндре завершается, когда через его основание проходит аС0 фотонов, на что требуется время t = сС/а 0. Поскольку длина цилиндра равна 1, скорость волны ФД равна % = Ш = I °/С°. Характерный размер области интенсивных фотопревращений совпадает с длиной пробега фотонов в невозмущенном газе I = 1/аС0.

Рассмотрим этот результат с более строгих в математическом отношении позиций. Решение (3) является автомодельным, а его существование обеспечивается законом сохранения частиц и световых квантов в элементарном фотохимическом акте. Переходя к

удобным безразмерным переменным I = I /10,

С = С / С0, получаем компактную запись закона сохранения частиц и фотонов

7 + С = 1. (4)

Подстановка (4) в уравнения (2) позволяет свести их к виду

дХ = -аС0 7(1 -7), ^ = 0^(1 - 7). (5)

дх дt

С учетом эквивалентности комбинаций I (1 -1) = С (1 - ~) следует уравнение переноса для I (и аналогичное для С);

—L+С_ —L = о дк I 0 dt ~ '

(6)

Характеристиками уравнения (6) служат йх/й = или в явном виде

= I 0/C

к - (I 0/C0) t = const ,

(7)

что служит математически строгим основанием для выбора в качестве автомодельной переменной

г = х - (I 7с°) г.

При этом новая переменная отвечает пространственному распределению вещества и интенсивности светового поля в связанной с фронтом волны ФД системе координат.

Согласно классификации [1], отличия между со-литонами и автосолитонами - неравновесными устойчивыми структурами в однородных диссипатив-ных системах - заключаются в «энергетическом» источнике, обеспечивающем их существование. Если источник внешний, говорят о солитонах; диссипатив-ные структуры, существующие за счет «автокатали-тически» активируемых внутренних (средовых) источников, принято называть автосолитонами. Таким образом, волны горения относятся к автосолитонам, а сверхзвуковые радиационные волны [4] - к солитонам. Принципиально же источником авто- и солитонных структур служит специфическая нелинейность модельных уравнений, обеспечивающая существование дополнительных инвариантов (законов сохранения) или, другими словами, наличие дополнительной симметрии. В этом смысле между солитонами и автосо-литонами нет никакой разницы, и деление диссипа-тивных структур на два названных класса имеет под собой лишь физическую по сути интерпретационную подоплеку. Таким образом, волновые математические структуры оказываются универсальными и могут использоваться в качестве шаблонов при описании

множества разнообразных явлений. Удачным примером здесь служит уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова, впервые использованное в работе [5] для описания миграции генов, а затем авторами [4] в качестве модели пламени в предварительно перемешанной топливно-воздушной смеси. В автомодельной форме это уравнение имеет вид

D+ v — + WС2(1 - С) = 0,

5z2

5z

(8)

С(-да) = 1, С(да) = 0

Автомодельная переменная г в (7) имеет волновую структуру г = х - V а скорость распространения возмущения V является собственным значением краевой задачи. Искомая функция С(г) ассоциируется с формой бегущего в пространстве концентрационного, температурного или прочего параметрического профиля, Б - с коэффициентом диффузии, Ж - темпом превращения (сгорания, заражения или другой локальной трансформации среды). Структура уравнения (8) и свойства его решения сохраняются при смене знака перед слагаемым V дС/дг и при замене

С2(1 - С) ^ С (1 - С)2 в третьем слагаемом левой части, если соответствующим образом переставить граничные значение С|Г±: перечисленные манипуляции с коэффициентами определяют лишь направление движения (авто)-солитона.

Покажем, что распространение волны ФД также адекватно описывается уравнением Колмогорова-Петровского-Пискунова (8). Если задача о фотодиссоциации облучаемого УФ-квантами газа сформулирована посредством допущений 1)-5), системы уравнений (2) и естественных условий на бесконечности

С(-да, 0 = 0 , С(да, 0 = С0, С(х, -да) = С0, С(х, да) =

0 ,

/(-да, 0 = I 0 , /(да, 0 = 0 , 1(х, -да) = 0 , 1(х, да) = I 0, (9)

то ее можно свести к задаче о диффузии излучения в оптически активной среде, описываемой уравнением солитона (8). Кроме того, получаемое методом сведения решение не затрудняет, а наоборот, способствует физической трактовке результата.

Доказательство и обсуждение. Рассмотрим первое из безразмерных уравнений (5). Оно эквивалентно системе (2) вкупе с граничными условиями (9), поэтому примем его за исходную математическую формулировку задачи о волне ФД.

Дифференцируя это уравнение по пространственной переменной и заменяя д/ / дг в правой части результата на равносильное (согласно исходному уравнению) выражение -оС0 7(1 - /) , получаем

(10)

5 2 /

„ +оС 0 — + 2(оС0)2 ~2(1 - ~) = 0.

5z2 dz

Идентичность уравнений (10) и (8) очевидна: требуется лишь сопоставить условия на границах. Если теперь автомодельную переменную г привязать к граничным значениям (9), имеем

~(-да) = 1, ~(да) = 0, (11)

что соответствует граничным условиям в модели (8) с точностью до введенной с целью обезразме-рить уравнения масштабной величины I 0.

Умножением обеих частей (10) на (10/С°)(1/оС°) завершаем преобразование уравнений волны ФД (2) к уравнению (8). В результате имеем

10

1 52 ~ 10 5/

+ 2aI0~2(1 - = 0. (12)

С0 оС0 дг2 С0 дг Из (12) следует, что роль коэффициента диффузии Б играет комплекс (I °/С0)(1/оС°), темпа локальной перестройки среды Ж - величина 2о! 0. Собственное значение краевой задачи (11)-(12) V = I 0/С0 совпадает с известным точным решением для скорости асимптотического движения волны горения [4] V = (ЖБ/2)1/2.

Таким образом, эквивалентность моделей (5) и (8) доказана. Более того, «всплывшие» при ее доказательстве размерные комплексы I °/С°, 1/оС0 и о! появляются и при традиционном рассмотрении [4]: они наделяются смыслом соответственно скорости распространения волны ФД, характерной толщины зоны фотореакции и темпа превращения. Новым элементом, появляющимся в интерпретации соли-тонных решений задач о сверхзвуковых радиационных волнах при рассмотрении их на основании (12) является трактовка коэффициента диффузии фотонов в невозмущенную среду как характеристики их блуждания в среде со скоростью V = I °/С° на расстояния порядка длины свободного (до свершения фотохимического акта) пробега.

В заключение отметим, что аналогичные рассуждения позволяют установить связь модели (2) с классической солитонной моделью Кортевега - де Фриза, описывающей эволюцию нелинейной (уединенной) волны на мелкой воде [6-8]. Многочисленность солитонных явлений в физике и их широкое применение в искусственных процессах оправдывают актуальность простых математических моделей и наглядных трактовок, варианты которых представлены в данной работе.

Литература

1. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М., 1991.

2. Зельдович Я.Б. Нелинейные волны: Распространение и взаимодейчтвие. М., 1981. С. 3041.

3. Щетинков Е.С. Физика горения газов. М., 1965.

4. Яценко О.В., Загороднюк В.Т. Компьютерное моделирование задач прикладной физико-химической кинетики. Ростов н/Д, 2001.

5. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенного с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Сер. А. 1937. Т.1. Вып. 6.

6. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М., 1983.

7. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. / Под ред. А.Б. Шабата. М., 1988.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М., 1989.

Ростовский государственный технический университет

20 декабря 2005 г.