Автоматизация систем защиты от коррозии на основе расчёта электрического поля при нелинейных граничных условиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

9. Игнатьев А. А. Экспериментальные исследования виброакустических характеристик токарного станка ПАБ-350 / А. А. Игнатьев, В.В. Коновалов, А.Г. Мотков // Автоматизация и управление в машино- и приборостроении: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2011. С. 91-96.

Коновалов Валерий Викторович -

аспирант кафедры «Автоматизация и управление технологическими процессами» Саратовского государственного технического университета

Игнатьев Александр Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация и управление технологическими процессами» Саратовского государственного технического университета

Konovalov Valerij Viktorovich -

the post-graduate student of chair «Automation and management of technological processes» the Saratov State Technical University

Ignatyev Aleksandr Anatolyevich -

doctor of technical sciences, professor, head. Department «Automation and management of technological processes» the Saratov state technical university

Статья поступила в редакцию 23.05.2011, принята к опубликованию 24.06.2011

УДК 537.311.5:517.956

Е.Н. Минаев

АВТОМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМ ЗАЩИТЫ ОТ КОРРОЗИИ НА ОСНОВЕ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

Представлен принцип автоматизированного управления в системах катодной защиты металлических конструкций. Рассмотрен числено-аналитический метод расчёта стационарного электрического поля при определении параметров катодной защиты от коррозии плоских и цилиндрических поверхностей, контактирующих с агрессивными водными средами. В данном методе краевая задача с нелинейными граничными условиями сводится к дискретному аналогу интегрального нелинейного уравнения, которое решается методом итераций. Показаны относительно высокая скорость и широкая область сходимости итерационного процесса. Определены параметры защиты.

Электрическое поле, система управления, коррозия

E.N. Minaev

AUTOMATIC CONTROL OF CATHODIC PROTECTION SYSTEM BY CALCULATION OF ELECTRICAL FIELD WITH NONLINEAR BOUNDARY CONDITION

Numarical-analitical method for calculation of stationary electrical field is presented. It is used for definition of cathodic protection current of plane and cylindrical surface by contact with aggressive water-solution. In this method nonlinear boundary problem is replaced to the discrete analogy of integrate equation. This equation is solved by method of iteration. It is proved, that iteration method is suitable. Electrical current of protection is defined.

Electrical field, integrate equation, corrosion

Одним из эффективных способов понижения коррозии металлов является катодная поляризация [1]. Организация катодной защиты имеет два аспекта. Первый аспект (электрохимический) заключается в определении потенциала приэлектродного слоя в данной точке защищаемой поверхности и, соответственно, плотности внешнего тока на границе металл-электролит в этой точке, которые обеспечили бы понижение скорости коррозии до приемлемых значений. Поскольку существует не одно значение защитного потенциала, а некоторый интервал, нужно определить зависимость изменения скорости коррозии в этом интервале. Данный вопрос решается на основе законов электрохимической кинетики [2], в соответствии с ней растворение металла состоит из двух процессов: анодного и катодного, которые могут быть пространственно разъединены. Катодная и анодная реакции осуществляются частицами разного сорта. Анодный процесс или собственно коррозия реализуется в основном ионами металла, переходящими с поверхности в раствор.

Сопутствующий катодный процесс - ионами водорода или молекулами кислорода, при этом они принимают электроны и восстанавливаются. При пространственном разделении поверхности на макроанод и макрокатод на обоих электродах протекают как анодные, так и катодные реакции, но на аноде преобладает анодная, а на катоде - катодная реакция (рис.1), где

J k ▲

ia J а 1 it ia Jk

it

Jk

а

•а -к

1 а, 1 а соответственно плотности токов анодно-

а ^ ^ а

Рис. 1. Суммарные и парциальные плотности тока на электродах

раствор

2

го растворения на аноде и на катоде, ]к, ]к -соответственно плотности токов катодного восстановления деполяризатора на аноде и на катоде, ]а, 1 - суммарные (внешние) плотности токов анода и катода, которые в дальнейшем будем обозначать как 1. Скорости реакции подчиняются кинетическим законам Тафеля, при

определённых условиях скорость процесса может тормозиться диффузией деполяризатора [2]. Теория данного процесса была разработана А.Н. Фрумки-ным [3], согласно этой теории, общей переменной, благодаря которой катодная и анодная реакции взаимосвязаны, является электродный потенциал р. Каждая из реакций, отдавая или принимая электроны, влияет на величину потенциала, а тем самым на скорость другой одновременно протекающей реакции. В отсутствии внешней поляризации устанавливается общий для обеих реакций потенциал, обычно называемый компромиссным. По мере смещения потенциала в сторону отрицательных значений скорость анодного растворения уменьшается, а скорость катодного восстановления увеличивается.

Сущность катодной защиты металла заключается в преднамеренном понижении при-электродного потенциала (катодная поляризация). Технически она осуществляется за счёт подключения металлической поверхности к «минусу» источника постоянного тока (рис. 2).

Рис. 2. Принцип работы системы

катодной защиты: 1 - анод, 2 - электроизоляция, 3 - катод (защищаемая поверхность)

\г

Электрохимический аспект проблемы рассмотрен нами в [4,5,6], в них представлены метод определения скорости коррозии при катодной поляризации, а также защитные потенциалы в типичных условиях эксплуатации.

Второй аспект организации катодной защиты - математический. Поскольку реальные металлические конструкции имеют протяжённые размеры, а электропроводность коррозионных водных сред на много меньше, чем у металлов, наблюдается значительная неравномерность распределения потенциала в растворе и по поверхности металла, то есть система анод - раствор - защищаемая поверхность имеет рассосредоточенные параметры. По мере увеличения расстояния от участка защищаемой поверхности до анода, потенциал уменьшается и может оказаться недостаточным. Возникает вопрос о радиусе действия анода или о величине тока на аноде, который бы обеспечил защиту по всей поверхности. Расчёт распределения потенциала сводится к решению стационарного дифференциального уравнения в частных производных. В РФ вопросы расчёта электрического поля применительно к прогнозированию коррозии и определению характеристик систем защиты были рассмотрены в работах Ю.Я. Иосселя, Г.Э. Клёнова, Э.С. Кочанова и др. [7, 8]. Учитывая специфику электрохимических систем, граничные условия на поверхности, как правило, являются разнородными с преобладанием условий третьего рода. В общем случае граничные условия - нелинейные. Именно этот случай рассмотрен в данной работе.

Рассмотрим плоскую поверхность на которой размещена система периодически повторяющихся протяжённых полосовых анодов шириной порядка несколько сантиметров каждый. Над поверхностью расположен неограниченный объем жидкости. Пусть задано расстояние между соседними анодами 2xN. Будем исходить из условия, что катодная защита осуществляется по всей поверхности, тогда в точке xN должен поддерживаться минимальный защитный потенциал ртт. Расчёт катодной защиты заключается в определении тока на аноде, при котором это требование выполняется. Запишем дифференциальное уравнение плоскопараллельного поля

д 2р д 2р

+--2 = 0, 0 < x <¥, 0 < у <¥,

(1)

дx ду

где x - координата, направленная вдоль поверхности, у - координата, направленная по нормам вглубь раствора, р = р (x, у) - потенциал в объёме жидкости. С учётом периодичности распределения потенциала, достаточно ограничиться областью 0 < x < xN, причём на границах этой области выполняются условия

др=0, x=0, 0<у <¥ дР=0, x=1, 0<у <¥ (2) дс дк

где принято обозначение I = кN . На границе металл-раствор со стороны жидкости задана нелинейная зависимость между плотностью тока и потенциалом, которая в электрохимии имеет название поляризационная кривая

0 < х < I,

1

1( = I (Р), У = 0,

ду

(3)

- Р

Рис. 3. Нелинейная зависимость на поверхности катода

1 - удельная электропроводность раствора. Типичный вид этой кривой представлен на рис. 3 [6]. Как показывают исследования автора, ниже точки перегиба она может быть аппроксимирована степенной зависимостью с показателем степени меньше единицы

1 = а0(-р) \ (4)

а выше этой точки - экспоненциальном зависимостью

( * Л

• г. Р - Р ■ /-ел

1 = ^ехр —— + 1о. (5)

I ^ 0

С учётом граничных условий (2) применим к краевой задаче интегральное косинус - преобразование с конечными пределами интегрирования

Рк (У) = IР(- У) ^кр -, (6)

l

j(x,.У) = ^г + тХ jk(y)cosj^1x I. (7)

j 0 2 ^ - f ^

^ У) = у + у — Р к (У^О^-у-

Тогда уравнение (1) преобразуется в обыкновенной дифференциальное уравнение для изображения Р к (у )

= 0,0 < у <¥, ^ (8)

решение которого с учётом условий на бесконечности (у ® ¥, рк ^ ¥) имеет вид

— ( кр ^

Р к (У) = Л ехр1-—у1. (9)

Найдём Ак из условия на границе (3), для чего применим к нему интегральное преобразование (6). Выполним последовательность преобразований

УР к

dy !

1Jf (j(x))cosV кЛx I dx, y = 0', (10)

- у A = j J f (j (x))cos[ k-f x ] dx, (11)

Ak = -|^Jf(j(x))cosfkf x] dx. (12)

Подставляя Ак в выражение для изображения (9) и возвращаясь от изображения к оригиналу по формуле (7), найдём при у = 0

Р0 2 - 'г1 (-......(кР-т1<Р - У-• (13)

j (x.°) = j- - л! Х ¡1f (j (x '))cosf kf x '] co^; T

л! k=1 о k V l

Чтобы получить интегральное уравнение, нужно поменять местами порядок интегрирования и суммирования. В результате образуется ядро интегрального уравнения

B(x, x') = g ^co^у x'j cosf^ xj . (14)

Рассмотрим сходимость данного ряда. Используя известные тригонометрические формулы и учитывая, что полученные ряды можно заменить элементарными функциями [9], выполним следующие преобразования

;ы I ;ы л 1 ы, ,.1 ы. .

cos|— x I cos|— x I = — cos—(x - x) + — cos — (x + x), (14.1)

V l 0 V l 0 2 l 2 l

1 ^ i л ]

Х - cos (x - x') = - lnI 2 sin 2l (x - x') \, (14.2)

У 1 cos (х + х') = - ln| 2 sin — (х + х') I,

tí к Г ; I 2/ 7

5 (х, х') = - 2 í ln

f

4

——

Sin — (х - х ) • Sin — (х + х ) 2/ 2/

• — , П ■ — / 1 I — , — I

Sin—(х - х ) • Sin—(х + х ) = — í cos — х - cos— х к

2/ 2/ 2 I / / I

В(х, х') = - 2ln I 2

—

—

cos—х - cos—х //

(14.3)

(14.4)

(14.5)

(14.6)

При х стремящемся к к, ядро В(х, х') обращается в бесконечность, наблюдается особенность.

Возникшее затруднение автор предлагает решить следующим образом: формально перепишем граничное условие (3) в виде

lj = j, y = 0, 0 < х < /, д y

(15)

где 1 - плотность тока на поверхности нелинейно зависящая от потенциала 1 = I (р), и далее разобьём поверхность на малые участки хи-1 < х < хп, в пределах которых плотность тока будет постоянной и равной ]п (п = 1,2,3...N).Обычно данная операция выполняется на конечном этапе построения вычислительного алгоритма, нами же она проведена при постановке задачи

д j 1 . .

-ZT- =Y jn , У = 0 х«-1 < х < хп .

ду i

(16)

Конечной целью расчёта является определение вектора плотностей тока на катоде (12,1314...1). Анод расположен на участке 0 < х < х1, плотность анодного тока у находиться из условия электронейтральности

j1 У Jn .

(17)

n=2

Применим к граничному условию (16) интегральное преобразование и найдём константы Ak в выражении (9)

djк 1 У 1

- = - > I i cosí - /

dy I У Í jn cosÍkT ^ У = 0'

/ Njn r

— Ak =—У^-

/ —I n=1 к

sin í

к— Л . (к—

~х- Уsin 1 тх"-■

Л

(18) (19)

Ак =- .2

/2 Njn (

' У n

—21 n=1 к

sin í

к— Л . (к—

~х- Уsin \-х"-■

(20)

Подставим найденное значение Лк в выражение для изображения (9) и, далее возвращаясь от него к оригиналу по формуле (7), получим

j х- у)=j - —к уу $

I — i к=1 n=1 к

2/ ^ Njn (

sin í

к—

к—

Л

-х,„

Тх" J-sin 1 /

0

expf-yJcos(' ^ х|. (21)

■2 ^^ к2

Рассчитаем потенциал на границе y = 0 и, поменяв местами суммирование по к и n,

получим дискретный аналог интегрального уравнения

р 0 2' ^ . ^ 1

Р (- ,0) = ^-1»-77

' ж21 »=1 "1к~1 к

2

^ 1 ( В (-», -) = —77

в1П I

кж

кж

--„ I- вт!

-

п-1

=1 к2

вт I

кж

Т

--п I- МП!

кж

~Г

п-1

сов|^у- -(22) сов( -| (23)

Поскольку ядро уравнения В(-п, -) является равномерно-сходящимся рядом, а такие ряды можно почленно складывать, изменение порядка суммирования по к и п справедливо.

Определить Р0 из граничных условий не представляется возможным. Действительно, по определению косинус-преобразования

Р0 =

I

| р (-, у)Ух.

(24)

Применим это преобразование к уравнению Лапласа (1) и с учётом граничных условий (2) найдём

У2 р

Уу у

0 + Гс 2р (-, у)У- = 0,

с-2

У2 р 0 , Ср(', у) Ср(0, у)

+

Уу2 с- с-

Р 0 = С1 у + с.

= 0,

(25)

(26) (27)

Используя условие на бесконечности (у ® ¥, р 0 ^ ¥), определим р0 = С . Так как

всюду на границе заданы производные, определить С невозможно, поскольку для любой константы производная равна нулю. Таким образом, задача решена с точностью до неопределённой константы. Этот результат является ожидаемым. Стационарные краевые задачи, на границах которых заданы только производные, с точки зрения математической физики относятся к классу некорректных в том смысле, что не допускают однозначного решения [10]. Для придания краевой задаче корректности необходимо ввести некоторое дополнительное условие для определения С (условие однозначности). Вопрос о том, как задавать константу С, будет рассмотрен ниже.

Чтобы повысить скорость сходимости ряда В(-п, -), перейдём к средним по участкам

-т1 < - < -т значениям потенциала рп

Р т

А-

лт

| р (-,0)У- т = 1,2,3... N.

(28)

Учитывая равномерную сходимость ряда и возможность его почленного интегрирования, внесём в выражении (22) знак интеграла под знак ряда и, вычислив интегралы от косинусов, прийдём к системе нелинейных уравнений относительно вектора потенциалов.

1 2 ¥

Рт = С - —77 - Ат,п • 1п (Р»), т = 1,2,3.. N, (29)

А-ж 7 п=1

где ]п = ]п (рп) - зависимость вида (4), (5) или какого-либо другого, а коэффициенты Атп

определяются числовыми рядами

¥ 1

А = — —

т, п / 1 1 3 к=1 к

(

в1П I

кж \ . (

Т-п 81П|

кж

т

Л (

-

в1П I

кж

Т

кж

т

-

(30)

Отметим, что предложенный метод следует отнести к группе методов граничных элементов (МГЭ), поскольку он удовлетворяет двум основным особенностям МГЭ: 1) Исходная 238

-

т-1

-т I- в1П

краевая задача, заданная в области, заменяется на эквивалентную, заданную только на границе этой области,, причём дискретизация непрерывных функций требуется только на границе. В данном случае краевая задача (1), (2), (3), заданная на бесконечной полосе 0 < х < I, 0 < у <¥, заменяется эквивалентной системой уравнений (29), заданной на границе 0 < х < 1. 2) Существует некоторое аналитическое выражение, позволяющее определить искомую функцию в объёме, используя только её значения на границе без применения численных методов в объёме. В рассматриваемом случае таким аналитическим выражением является формула (21).

Решение системы уравнений (29) будем искать методом последовательных приближений (простой итерации). В развернутом виде итерационный процесс может быть представлен следующим образом

1Рр

< = с + в 11 л + В12 л 2 + Аз л + ...Вшл р? = с + В2лр + В22 Л + В23 лр + ....в2М]

= С + В 31 л + В32 л + Взз Л + ...ВзЛ

(31)

р' = с + Втл> + ВМ2Л + Втл + ...Втл>

N

л? = -у лР, лГ1 = / (р?), ...лТ = / (р'),

п=2

где р = 0,1,2,3.... - номер итерации, Я - номер последней итерации. Процесс прекращается, если

XI лр - лГ\ < £, £ << 1.

(32)

п=1

Далее осуществляется проверка, является ли последнее приближение решением системы уравнений. Это делается простой подстановкой

Р = Ц«, &, & ,....(')

(2 = /2«, &, & ,..()

(33)

[р N = I' (рЯ, р 2, ,-р N)

В основе метода последовательных приближений лежит понятие о сжимающем отображении [11,12]. Вектор-функция / = (/1,/2,/3,..../') является оператором Г , заданным в пространстве К-мерных векторов (р1, р 2, р3,.... & ). Для таких пространств норму можно ввести несколькими способами. Нами используется норма и метрика р [12]

&

= тах |рп I, р (р, р ) = тах

Р п рп

(34)

Если оператор Б является сжимающим, то итерационный процесс (31) сходится к решению, причем решение является единственным. Достаточным условием сжимаемости оператора Б для данной метрики является условие [12]

тах тах

р т

X

5 /т,

— = тах а р

5 Р п

5 ],

= Я < 1,

5Р п

(35)

(36)

п=1

1

212 N

q£ А 3Я maxSiА»,»\<L (37)

Ахк Яа m n=1

Следует подчеркнуть, что это условие является достаточным, но не является необходимым, или, другими словами, если оно выполняется, то итерационный процесс гарантировано сходится к решению, если же оно не выполняется, то это ещё не означает расходимости. В последнем случае вопрос о сходимости решается непосредственно во время вычислений.

Как видно из выражения (36), коэффициент сжатия q обратно пропорционален интервалу разбиения поверхности на участки Ах . Возникает вопрос: не может ли попытка повышения точности за счёт уменьшения Ах (увеличения числа уравнений) привести к ухудшению сходимости или даже расходимости? Исследуем этот вопрос более подробно, для чего выделим из q составляющую q1 , не зависящую от физико-химических исходных данных расчёта, учтём при этом, что l / Ах = N, где N - число уравнений

2 l2 N

qi =--7 max S| Am,n I (38)

Ахж3

2l2 2l

n=1

2

qi N max AmJ = — N2 max A^ (39)

Ахк m,n к m,n

Используя тригонометрические формулы и учитывая, что косинус любого аргумента не превосходит по модулю единицы, запишем

¥ 1 (кк Л max Am, J < 4 S77 sin21 —Ах I (40)

k=1 k3 ^ 2l

max| AmJ < 2 S

k=1

1 ^ 1 (кк ^

¥ ~S F ИТ Ах

(41)

к=1

Заменим ряд в последнем выражении повторным интегралом J [9] и введем обозначения а = жАх /1 = ж / N

¿кНШФ2^!*^ (42>

2 J = (1п 2) а2 + а21п а - - а2 - а2 - —------..., (43)

2 2 18•8 16•900•8

2 J =

к

2

N2

к

-1,2 + lnI-I , (43а)

I 2 N 00

q1 £ —

к

2l ( ( к

- 1,2 + 1пI-I , (44)

ч 12 N // ' 7

В выражении (43) члены со степенями выше второй не учитываются ввиду их малости. Проведём оценку увеличения ^ при увеличении N используя (44). При увеличении числа уравнений в 5 раз (от 10 до 50), ^ увеличился менее чем в 1,5 раза, то есть незначительно. На самом деле увеличение ^ ещё меньше, так как оценка (44) сильно завышена. Проведенные вычислительные эксперименты, о которых будет сказано ниже, подтверждают независимость или слабую зависимость скорости сходимости от числа уравнений.

Для проверки работоспособности алгоритма проводился расчёт тестовой задачи, в качестве которой использовалась задача (1), (2), (3), но условие (3) заменялось линейным. Такая задача может быть решена одним из классических аналитических методов, например методом интегральных преобразований. Эта задача имеет самостоятельный интерес при расчё-

те электрического поля гальванопар или многоэлектродных систем при незначительном разности потенциалов между электродами, порядка (10-50) мВ. Поэтому рассмотрим её подробней. Пусть на аноде малой ширины 0 < х < х1 задана плотность тока ]а, а на протяжённом катоде х1 < х < хы задана линейная связь между потенциалом и плотностью тока. За точку отсчёта потенциала на катоде примем его собственный коррозионный потенциал в отсутствии внешнего поля. Тогда краевая задача имеет вид (хм = /)

^ + = 0, 0 < х </, 0 <у <¥, (45)

Сх2 Су2

ММ = 0, М^у) = 0, (46)

сх сх

яМ = ]а, у = 0, 0 < х < х1, (47)

су

р - аХ М = 0, у = 0, х1 < х < /, (48)

су

где а - удельная поляризуемость металла в растворе. Поскольку на одной и той же координатной поверхности х заданы разнородные граничные условия (смешанная задача), то её нельзя решить аналитическими методами, но, учитывая малость ширины анода, автор предложил способ сведения смешанных граничных условий к условиям третьего рода, в таком виде задача может быть решена аналитически. Преобразуем формально условие (47), дом-ножив слева и справа на а и прибавив потенциал

р - аХ — = -а]а + р, у = 0, 0 < х < х1. (49)

су

Учтём, что ввиду малости ширины анода распределение потенциала на нём можно заменить средним значением

1 х1

р » — |р(х,0)ёх. (50)

Ах 0

В этом состоит приближённость решения. Если данное условие выполняется недостаточно точно, разобьём анод на два или три участка меньшей ширины. Перепишем граничные условия с учётом проделанных преобразований

0 Ср \С2, 0 < х < у = 0 р - аХ — = <! л , (51)

су I 0, х1 < х < хы, у = 0

1

С 2 = -а ]а +--1 р (х,0)ёх, Ах = х1. (52)

Ах 0

Будем решать данную третью краевую задачу так, как - будто константа С 2 известна, и в процессе решения получим уравнение для её определения. Применим к задаче (45), (46),

(51) косинус-преобразование. Поскольку некоторые этапы решения уже рассмотрены в нелинейной задаче, они будут опущены. Изображение для потенциала р к (у) имеет вид

— ( кр Л

рк(у) = А ехр1-—у I. (53)

Применим интегральное преобразование к граничному условию (51)

- арк „/. кр ....

рк -а^-Р = С2— ми — х^ (54) ау кр /

Ак — С 2

I

Б1П

кр

Т

(1 + ал — )к

(55)

Перейдём к определению р 0. Выполняя те же преобразования, что и при решении нелинейной задачи (преобразования (24)-(27)), и используя для определения р 0 граничное условие (51), получим

I I

| р (х,0) - аЛ |

др (х,0)

— С 2 Х1 ,

(56)

0 0 дУ

р 0/1 — С2 х1/1. (57)

Отметим, что если при нелинейной постановке для определения р0 нужно вводить дополнительное условие (условие однозначности), то в данном случае этого не требуется, так как краевая задача (45)-(48) является корректной и р 0 находится по формуле (57). Возвращаясь от изображения к потенциалу, запишем его распределение по границе у — 0

р (х,0) — С 2

Х9 ¥

I р к—1

б1п I

кр

т

х1 I соб|

кр

Т

(1 + аЛ ^) к

(58)

Вычисляя интеграл в выражении (52), найдём уравнение для определения С2

. 2 (кр Л

С2 — -а ]а + С2

Х1 + .

21

Б1П

I

1 ргх1 ^(1 + аЛ кр)к3

(59)

Определив С2 и подставляя его в (58), найдём распределение потенциала на поверхности и далее, используя граничное условие (48), рассчитаем распределение плотности тока на катоде.

Тестовые расчёты заключались в следующем: сначала было рассчитано распределение потенциала и плотности тока по формулам (58), (48), а затем эта же задача решалась методом последовательных приближений по схеме (31), где связь между потенциалом и плотностью тока на границе определялась линейным соотношением (48), которое может быть записано в виде

](р) — - р . а

(60)

Во всех ниже приведённых расчётах итерационный процесс прекращался, если е < 10— . При расчётах использовали следующие электрохимические данные [13]: удельная электропроводность морской воды при температуре 200° С Л — 19,10Ом- • м-, удельная поляризуемость стали в этих условиях а — 0,068 Ом • м2. Первая серия расчётов проводилась при ширине защищаемой поверхности I — хы — 1 м, ширине анода и интервале разбиения Дх — 0,1 м (10 уравнений) и плотности тока на аноде ]а — 10 А / м2. В качестве нулевого приближения брали равномерное распределение плотности тока по катоду ]п — 3 А / м2 (пер-

х

х

х

вый вариант), ]п = 0,03 А / м2 (второй вариант), ]п = 30 А / м2 (третий вариант). Во всех вариантах итерационный процесс сошёлся к точному решению за 8,9 итераций. В четвёртом варианте Дх уменьшили вдвое, увеличив число уравнение до 20. Итерационный процесс достиг точного решения за 8 итераций. В табл. 1 представлены результаты расчёта одного из вариантов.

Таблица 1

Итерационный процесс при I = 1 м, Дх1 = Дхп = 0,1 м, N = 10, р -номер итерации

х, м Плотность тока ]п, А / м2

Расчёт по (58), (48) р=0 р=1 е =18,2 р=3 е =0,52 Р=6 3 е =2-10 р=8 5 е =2-10

0,15 1,44 3,0 1,991 1,463 1,450 1,449

0,25 1,25 3,0 1,455 1,268 1,259 1,258

0,35 1,15 3,0 1,154 1,162 1,157 1,157

0,45 1,10 3,0 0,948 1,091 1,091 1,091

0,55 1,04 3,0 0,801 1,041 1,044 1,044

0,65 1,00 3,0 0,695 1,00 1,012 1,011

0,75 0,99 3,0 0,620 0,991 0,989 0,989

0,85 0,97 3,0 0,573 0,975 0,975 0,975

0,95 0,96 3,0 0,550 0,968 0,968 0,968

Во второй серии вычислительного эксперимента длина защищаемой поверхности - 3 м, Дх = 0,3 м, плотность тока на аноде ]а = 60 А / м2. Начальное приближение - равномерное

распределение с плотностью ]п = 2 А / м2 (первый вариант), число итераций р=31. Во втором

варианте начальное приближение ]п = 0.1 А / м2, число итераций р=34. В третьем варианте

число уравнений увеличили до 20, потребовалось 34 итерации. Отметим, что уменьшение скорости сходимости во второй серии связано с увеличением ширины защищаемой поверхности I (см. формулу (44)). В табл. 2 представлен процесс сходимости последовательных приближений в одном из вариантов.

Таким образом, вычислительные эксперименты показали работоспособность предложенного алгоритма, относительно высокую скорость сходимости, устойчивость к увеличению числа уравнений и изменению нулевого приближения. Последнее свидетельствует об относительно широкой области сходимости.

Убедившись в работоспособности алгоритма, приступим непосредственно к расчету систем катодной защиты в нелинейной постановке. При этом нужно было решить вопрос о задании константы С (условие однозначности). Можно, например, задать нулевое приближение потенциала на аноде р 1, а С найти из первого уравнения системы (29)

Таблица 2

Итерационный процесс при I = 3 м, Дхп = 0,3 м, Дх1 = 0,1 м, N = 10, р -номер итерации

х, м Плотность тока ]п, А / м2

Расчёт по р=0 р=1 р=10 р=20 3 р=31 5

(58), (48) - е =20,0 е =0,26 е =5-10 е =8-10

0,25 5,20 0,1 6,201 5,483 5,501 5,501

0,55 3,20 0,1 3,878 3,217 3,232 3,232

0,85 2,37 0,1 2,754 2,369 2,379 2,379

1,15 1,92 0,1 2,029 1,908 1,913 1,913

1,45 1,62 0,1 1,524 1,628 1,627 1,627

1,75 1,45 0,1 1,165 1,451 1,444 1,444

2,05 1,33 0,1 0,917 1,338 1,326 1,326

2,35 1,26 0,1 0,760 1,271 1,255 1,255

2,65 1,22 0,1 0,684 1,241 1,222 1,222

N

С = ф Е1п ■]„ф), (61)

я=1

а затем решать систему уравнений

N

фт = ф + 2 (Вт,я - Вт)/ (Ъп), т = 2,3,4...N. (62)

п=1

Но такой путь неоптимален. По условию расчёта нужно найти такой ток анода, который бы обеспечил защиту по всей поверхности, в том числе и на её конце

ф(XN ) = jN = jmш, (63)

но, так как начальное приближение (р1 выбирается наудачу или из каких-либо приблизительных оценок, то потребуется рассчитать исходную задачу(1)-(3) несколько раз, постепенно уточняя (р1, до тех пор, пока не будет достигнуто условие (63). Если же мы введём условие (63) в явном виде, то определим нужное значение тока на аноде с первого раза. Таким образом, С определяется из последнего уравнения системы (29)

N

С = фт1п BNn • /я (фя ), (64)

п=1

и решается система уравнений

N

фт = ф т1п (Вт,я - В N ^ )/ (ф п ), Ш = 1,2,3,4...(N - 1), (65)

я=1

при этом число уравнений и число неизвестных уменьшается на единицу. Именно система уравнений (65) используется при практических расчётах. Расчёт нескольких вариантов тестовых линейных и практических нелинейных задач, но уже при помощи системы (65), показал, что алгоритм не ухудшился ни по скорости, ни по области сходимости.

Проводились расчёты систем катодной защиты стали в морской воде при температуре 200 С, удельная электропроводность воды - 4,32 Ом-1 • м_1, минимальный защитный потенциал фт1п =-138мВ , коэффициенты нелинейной зависимости (5): Ь0 = 0,024 А/м2, Ь1 = 55,65 мВ, ф* =-138 мВ, /0 = 0,2 А / м2 [13]. При 600 С удельная электропроводность -7,60 Ом- • м-, минимальный защитный потенциал фт1п = -74 мВ, коэффициенты зависимости (5): Ь0 = 0,037 А/ м2, Ь1 = 45,23 мВ, ф* =-74мВ, /0 = 0,35 А / м2 [13].

Расчёт показал следующее. Если температура 200 С, ширина поверхности I = 1 м, число уравнений N = 10, то число итераций р=4, плотность тока на аноде / = 2,1 А / м2. При 600 С, I = 1 м, число итераций оказалось р=4, плотность тока анода / = 3,61 А / м2. При 200 С, I = 3 м, числе уравнений N = 30, решение получили за 14 итераций, при этом плотность тока анода / = 12,4 А / м2. При 600 С, I = 3 м, N = 30, за 40 итераций нашли / = 28,5 А / м2. Как и при расчёте тестовых задач, увеличение ширины поверхности привело к уменьшению скорости сходимости, что согласуется с оценкой (44). Следует подчеркнуть, что в качестве нулевого приближения можно было использовать распределение плотности тока, полученное на основе решения линейной задачи (45)-(48), однако мы исходили из наи-

худшего случая полного отсутствия информации и во всех вариантах расчёта начальное приближение выбирали произвольно, в виде равномерного распределения с плотностью ]п = 0,1 А / м2. Это делалось с целью ещё раз подтвердить широкую область сходимости алгоритма.

Представляет интерес сравнение результатов расчёта при линейной и нелинейной постановке задачи. Это позволяет ответить на вопрос: насколько необходима нелинейная постановка, или может для технических расчётов достаточно линейного приближения. Для ответа на этот вопрос решали линейную задачу, используя тот же алгоритм (31), но граничное нелинейное условие (5) заменяли линейным (60). Если при расчёте тестов одну и ту же линейную задачу решали двумя разными методами: точным классическим и численным методом последовательных приближений, то в данном случае наоборот, две разные задачи (линейную и нелинейную) решали одним и тем же методом последовательных приближений. Сравнение приведено в табл. 3 и 4, где представлены плотность тока анода /1 и первые восемь (из 29) плотностей тока на катоде.

Таблица 3

Распределение плотности тока при / = 3 м , t = 200 C , N = 29

2 плотность тока, А/м /1 /2 /3 /4 /5 /6 Л /8 /9

нелинейная задача -12,40 3,79 1,07 0,66 0,49 0,41 0,35 0,32 0,30

линейная задача -10,19 0,93 0,73 0,62 0,55 0,50 0,45 0,42 0,39

Таблица 4

Распределение плотности тока при / = 3 м , t = 600 C , N = 29

2 плотность тока, А/м /1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 /8 7 9'

нелинейная задача - 28,51 12,66 2,46 1,45 1,01 0,80 0,67 0,59 0,54

линейная задача -18,69 1,85 1,43 1,20 1,05 0,94 0,85 0,78 0,72

Основным результатом расчёта является плотность тока на аноде. Как видно из таблиц, при температуре 200 С отличие этих плотностей тока при линейной и нелинейной постановке задачи составляет более 20%, при 600 С - более 50%. Второй важной характеристикой расчёта служит плотность тока на участках катода вблизи анода (/2,/3,/4). Эта характеристика важна с точки зрения исследования эффекта «перезащиты», связанного с выделением газообразного молекулярного водорода на поверхности, часть которого, перемещаясь в раствор, разрушает защитные плёнки, а другая часть, перемещаясь в глубь металла, вызывает его водородное охрупчивание и потерю прочности. При 200 С различие /2 при линейной и нелинейной постановке составляет около 300 %, при 600С - около 500%. Приведённое сравнение убедительно свидетельствует о необходимости учёта нелинейных граничных условий при расчёте катодной защиты.

Перейдём к расчёте электрического поля внутренних поверхностей цилиндрических аппаратов и трубопроводов, заполненных раствором. С учётом осевой симметрии задачи, запишем дифференциальное уравнение и граничные условия

дф + + = 0, 0 < х < /, 0 < г < я, (66)

дг г д г д х

ф = 0, х = 0, 0 < г < Я, ф = 0, х = /, 0 < г < Я, (67)

дх дх

X 5 j - i 5 г

r - Л, 0 < х < l, n - 1,2,3...N,

(68)

где г - радиальная координата, Я - радиус трубопровода. Применим к уравнению (66) интегральное преобразование (6) и получим обыкновенное дифференциальное уравнение для

изображения р к

d 2 j +1 dj k

"i T У j' = o.

(69)

ёг2 г ёг

решение которого может быть выражено через функцию Макдональда К 0 (^) и модифицированную функцию Бесселя мнимого аргумента 1) нулевого порядка [14]

jk (r) - AkIo í kp r0 + BkKo í kpr\

(70)

где Ак, Вк - неизвестные константы, определяемые из граничных условий. При г = 0 потенциал и его изображение имеют конечные значения, в то время, как К0 (0) ® ¥ . Отсюда следует Вк = 0 , и решение преобразуется к виду

jk (r) - Ak1 o I r 1

(71)

Константу интегрирования Ак найдём из граничного условия (68), применив к нему интегральное преобразование (6) и выполнив следующие преобразования:

ёрк __ 1 ^ х} , (кр '

= " 1

dr

У f in cosí — хп Idx, nL yn y i n j .

d j k

r - R,

'k kp í kp

—- - — AkI 11 — r dr l k 11 l

Ak--

l

N i í y Jn_

p2 X n-i k2

sln I

kp

Л

"Xn I- sml

х

n-1

1

11(kpR /1)

(72)

(73)

(74)

кр

I ") ^7

Подставим найденное значение Ак в выражение для изображения (71) и, далее возвращаясь от него к самому потенциалу по формуле (7), получим на поверхности г = Я

j(х, R) - С -

21 » " i í ZIT У У jj siní

р Л k-1 n-1 k

kp

-xn I- sin l

kp

) 10(kpR /1)

11(kpR/1)

-cosí

kp

T

(75)

I 7 ^ I

В выражениях (73)-(75) ) есть модифицированная функция Бесселя мнимого аргумента первого порядка. По аналогии с плоской поверхностью поменяем местами суммирование по к и по п, далее прейдём к средним по участкам хт1 < х < хт потенциалам рт. После интегрирования по х, получим систему нелинейных уравнений относительно рт, которая не отличается от системы (29), за исключением коэффициентов Ат п, определяемых чи-

словыми рядами

1

A - У

m, n / j

í

1 k3

Sln I

kp l

Xn I- sinl

kp

T

Л

n-1

f

Sln I

kp

7

Xm |- sinl

kp

T

Л

m -1

10(kpR /1) 11(kpR /1)

(76)

Отметим, что при отношении Я/1 = 3 и к = 1, отношение 1)/11 (^) » 1,06 и с увеличением к быстро стремится к единице [14], а коэффициенты Атп цилиндрической задачи

стремятся к коэффициентам Ат п плоской задачи. Следовательно, плоскую задачу можно

рассматривать как частный случай цилиндрической при Я /1 > 3 .

Как и при расчётах плоскопараллельного поля, расчёт в цилиндрических координатах показал относительно высокую скорость сходимости (10)-(50) итераций. В качестве примера на рис. 4,5 представлено распределение плотности тока при различных параметрах.

В настоящее время на основе данного алгоритма, а также алгоритмов, представленных в [15, 16] формируется пакет прикладных программ.

J,

1,0

0,5

1

\2 1 - t=200C 2 - t=600C

0 50

100

150

х, см

Рис. 4. Распределение катодной плотности тока по цилиндрической поверхности

I = 2 м, Я = 1 м

J,

1,0

0,5

0

\2 1 - t=200C 2 - t=600C

\l

25

50

75 x, см

Рис. 5. Распределение катодной плотности тока по цилиндрической поверхности I = 1 м, Я = 0,3 м

ЛИТЕРАТУРА

1. Бекман В. Катодная защита от коррозии / В. Бекман, В. Швенк. М.: Металлургия, 1984, 281 с.

2. Скорчеллетти В.В. Теоретические основы коррозии металлов / В.В. Скорчеллетти. Л.: Химия, 1973. 264 с.

3. Фрумкин А.Н. Кинетика электродных процессов / А.Н. Фрумкин, З.А. Иоффа, Б.Н. Кабанов. М.: Изд-во МГУ, 1952. 341 с.

4. Минаев Е.Н. Электрохимический метод определения скорости растворения металла при его катодной поляризации / Е.Н. Минаев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2010. №3(48), Вып.3. С. 79-88.

5. Минаев Е.Н. Алгоритм автоматизированного контроля и управления скоростью коррозии при катодной защите / Е.Н. Минаев, В.И. Вахлюева, В.Ф. Пулин // Проблемы управления, передачи и обработки информации: сб. тр. Саратов: СГТУ, 2009. С. 301-306.

6. Минаев Е.Н. Электрохимическая защита металла от коррозии / Е.Н. Минаев // Техногенная и природная безопасность: сб. тр. 1 Всероссийской научно-практической конференции, Саратов, 1-3 февраля 2011 г. Саратов: ИЦ Наука, 2011. С. 164-167.

7. Иоссель Ю.Я. Вопросы расчёта и моделирования электрохимической антикоррозионной защиты / Ю.Я. Иоссель, Э.С. Кочанов, М.Г. Струнский. Л.: Судостроение, 1965. 428 с.

8. Иоссель Ю.Я. Расчёт и моделирование контактной коррозии судовых конструкций / Ю.Я. Иоссель, Г.Э. Клёнов, Р. А. Павловский. Л.: Судостроение, 1979. 297 с.

9. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов / И.Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. М.: Наука, ред. физ.-мат. литературы, 1980, 721 с.

10. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики /А.Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1977. 528 с.

11. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. 1972. 347 с.

12. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. СПб.: Лань, 2007. 672 с.

13. Минаев Е.Н. Исследование электрических полей при катодной защите морской техники / Е.Н. Минаев, Г.П. Турмов // Исследования по вопросам повышения эффективности судостроения и судоремонта: сб. науч. тр. Вып. 37. Владивосток: ДВГТУ, 1996. С. 3-7.

14. Янке Е. Специальные функции (формулы, графики, таблицы) /Е. Янке, Ф.Эмде, Ф. Леш, М.: Физматгиз, 168, 344 с.

15. Минаев Е.Н. Метод расчёта электрического поля на границе металл-электролит при переменном коэффициенте поляризации вдоль границы / Е.Н. Минаев, В.П. Царёв // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2010. №3(48), Вып.3. С. 106-112.

16. Минаев Е.Н. Метод расчёта поля в электрохимической системе щель-плоская поверхность / Е.Н. Минаев // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. 22 Меж-дунар. науч. конф.Т.5. Псков: Изд-во Псков. гос. политех. ин-та, 2009. С. 57-60.

Минаев Евгений Николаевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Общая физика» Саратовского государственного технического университета

Minaev Evgeny Nicolaevich -

Doctor of Technical Science,

Professor of the Department of «General Physics»

of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 11.05.2011, принята к опубликованию 24.06.2011

УДК 65.011.56

А.Ю. Набилкин, С.А. Кравченко, Г.А. Гилев, В.П. Бирюков КОМПЬЮТЕРНАЯ СИСТЕМА ИЗМЕРЕНИЯ СИЛ РЕЗАНИЯ

Предложена компьютерная система измерения сил резания при обработке на металлорежущих станках, разработано программное обеспечение для автоматизированного сбора и обработки данных, а также тарирования измерительной системы.

Сила резания, компьютерная система измерения, механическая обработка

A.Y. Nabilkin, S.A. Kravchenko, G.A. Gilev, V.P. Birukov COMPUTER SYSTEM FOR MEASURING OF CUTTING FORCES

The computer system for measuring of cutting forces is proposed for sensing cutting forces in machining operations. The software is developed for computer-aided data acquisition and processing with option of calibration gauging of the measuring system.

Cutting force, computer measurement system, machining