МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ и численное исследование электрических полей в системах с протяженными электродами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 5l8.5:550.83

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В СИСТЕМАХ С ПРОТЯЖЕННЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ Болотнов А.М., Глазов Н.П., Киселев В.Д., Хисаметдинов Ф.З.

Предлагается математическая модель и численный метод расчета электрических полей катодной защиты трубопроводов протяженными анодами в трехмерной полуограниченной области. С помощью разработанного алгоритма и программы получены оценки влияния электрохимических и геометрических параметров на эффективность катодной защиты магистральных нефтепроводов.

Введение

Катодная защита — наиболее важный и надежный метод борьбы с коррозией, который повсеместно применяется для продления срока службы подземных и подводных сооружений, в том числе магистральных нефтепроводов [1, 2]. Проектирование новых линий трубопроводов и оптимизация параметров в

существующих системах защиты требуют как экспериментальных исследований, так и разработки математических моделей и компьютерных программ для проведения вычислительных экспериментов.

Основная сложность моделирования систем катодной защиты трубопроводов протяженными анодами связана с широким разбросом геометрических параметров исследуемых объектов. Так, например, для трубы диаметром 1 м и длине защищаемого участка 100 км, отношение характерных размеров составляет 1:100000. Примерно такой же порядок имеет отношение диаметра протяженного анода к его длине. Так как длина анода, проложенного вдоль трубы, как правило, в 20 - 40 раз меньше длины защищаемого участка трубы, то свести задачу к двумерной не представляется возможным.

Указанная особенность значительно осложняет применение традиционных подходов, основанных на решении граничных задач для потенциала электрического поля с использованием численных методов. Ранее в работах [3 - 10] были предложены методы решения для некоторых частных случаев рассматриваемой задачи: с точечными анодами, без учета падения потенциала в аноде и в металле трубы.

В данной статье предложен эффективный алгоритм решения трехмерной задачи расчета электрического поля с учетом падения потенциалов в системе протяженных электродов. Разработана программа в среде Бе1рЫ и проведены серии вычислительных экспериментов для оценки влияния электрохимических и геометрических параметров на эффективность катодной защиты магистральных нефтепроводов.

Математическая модель электрического поля протяженных электродов в трехмерной полуограниченной области

Рассмотрим задачу катодной защиты трубопровода цепью равноудаленных протяженных анодов, проложенных в грунте параллельно трубе. Известно, что потенциал стационарного электрического поля при отсутствии точечных источников удовлетворяет уравнению эллиптического типа:

div (s(p) grad u(p)) = 0; p ей, (1)

3

где s — удельная электропроводность; и — потенциал; p ° (х,y, z) — произвольная точка области Qc R . Если удельная электропроводность грунта постоянная (s° const), то (1) превращается в уравнение Лапласа.

Сформулируем граничные условия. На свободной поверхности земли и на плоскостях симметрии St для потенциала ставятся условия второго рода:

ди дп

= 0, (2)

Si

где п — вектор нормали.

На границах грунта с боковыми поверхностями анода Ба и трубы ^ ставятся условия третьего рода, связывающие плотности тока и потенциалы:

au

u ± ces0

an

= je; e = a, t, (З)

Se

где и — потенциал грунта на границе с анодом или трубой; са , сґ — удельные сопротивления оболочки анода и изоляции трубы; Од — удельная электропроводность среды (грунта); фа, фґ — потенциалы сердечника анода и металла трубы. В данной модели предполагается линейная зависимость плотности тока от разности потенциалов на границах анода и трубы с грунтом, поэтому са и сґ являются постоянными величинами для каждого варианта расчета. Ток принят положительным в направлениях «анод - грунт» и «грунт - труба», поэтому в условиях (3) этим границам отвечают знаки «+» и «-» соответственно. Здесь и далее нижний индекс е принимает значение а для анода и ґ для трубы.

Если задан ток /0 в цепи «катодная станция - анод - труба», то в сечениях анода и трубы при х = 0 ставятся условия второго рода:

ax

x=0 AeS

І0 e = a, t, (4)

где са, — удельные электропроводности сердечника анода и металла трубы; Аа, Аг — площади их

сечений; х — направление вдоль осей анода и трубы.

Потенциалы металлов фа и ф{ не являются постоянными величинами: в данной модели они зависят от продольной координаты, то есть фа = фа (х), ф{ = ф{ (х), поэтому необходимы дополнительные соотношения для их определения:

1хе д фе ^ ...

= -^-7^; е = а, г , (5)

Ае дх

где 1ха, 1хг — токи, текущие вдоль оси х в сердечнике анода и в металле трубы.

Алгоритм численного решения задачи

Выделим конечный объемный элемент (КОЭ) анода и трубы, в котором будем считать все параметры постоянными. Будем строить соотношения для средних величин в КОЭ: среднего потенциала металла, среднего потенциала в грунте на границе с КОЭ, средней плотности тока на границе КОЭ с грунтом.

Пусть число КОЭ равно N для анода и M для трубопровода (рис. 1). Из граничных условий (З) сформируем 1-й блок уравнений:

Ina k

Ua,k +Ca AT = Фa,k ; k = 1,...,N , (6)

ASa

Intl

Utl - ct—^ = Ф, і; l = 1,..., M , (7)

t ASt

где Ua , Ut — средние значения потенциала грунта на границе с КОЭ (N + M неизвестных); Ina , Int — токи,

текущие по нормали к боковой поверхности анода и трубы ( N + M неизвестных); ASa , ASt — площади

боковых поверхностей КОЭ анода и трубы; Фa, Ф, — средние значения потенциала сердечника анода и металла трубы в КОЭ ( N + M неизвестных).

Применяя первый закон Кирхгофа к каждому КОЭ анода и трубы и реализуя условие (4), сформируем 2-й блок уравнений:

10/2 - Ixa,1 - Ina,1 = 0, Ixa,k - Ixa,k+1 - Ina,k+1 = 0; k = ^,...,N - 2, Ixa,N-1 - Ina,N = 0, (8)

10/2 - Ixn - Int, 1 = ^ Ixt,l- Ixt,l+1- Int,l+1 = °; l = и-M - 2, Ixt,M-1 - Int,M = ^ (9)

где Ixa, Ixt — токи, текущие вдоль оси x в сердечнике анода и в металле трубы (N + M - 2 неизвестных).

На основе закона Ома, реализуя условие (5), сформируем З-й блок уравнений для токов между соседними

КОЭ, идущих вдоль оси x, и потенциалов металла в средних точках КОЭ :

Фa,k-Фa,k+1 = RaK,k ; k = U.N-1, (10)

ф,,l+1-Фt,l = Rtixtl; l = 1,...,M-l, (11)

где Яа, Я( — продольные сопротивления сердечника анода и металла трубы. Здесь неизвестными являются Фа и Фг, которые входят в уравнения (6) и (7), а также 1ха и 1х{, которые входят в уравнения (8) и (9). Четвертый блок уравнений формируется для потенциалов в грунте на границах анода и трубы:

4ps( p)Ua, k = X

m

4po( p)ut,i=X

ina

- X-

in

t, n

R(Pk, Pm ) „ R(Pl, Pn )

ina

-X

int

k = 1,..., N.

(12)

(1З)

,..'R(Pk, Pm ) „ R(Pl, Pn )

где R(Pk, Pm) — расстояние от точки Pk , в которой определяется потенциал, до точки Pm , которая является центром КОЭ анода или трубы. Здесь неизвестными являются Ua и Ut, которые входят в уравнения (6) и (7), а также Ina и Int, которые входят в уравнения (6) - (9).

Формулами (12) и (13) определяется потенциал системы N+M точечных источников с интенсивностями Ina m , int n в неограниченном трехмерном пространстве. В правые части уравнений (12) и (13) входят

слагаемые не только от «своего» анода и «своего» защищаемого участка трубы, но и от всех других, а также от «зеркальных» относительно свободной поверхности земли анода и трубы, введенных для перехода к задаче в неограниченной области. Последнее обстоятельство практически не усложняет численный алгоритм решения задачи, так как, во-первых, влияние соседних участков быстро убывает по мере их удаления от исследуемого анода, и во-вторых, дополнительный учет слагаемых от соседних участков не сказывается на размерности системы уравнений.

І0 А

Іп/2

ixt,1

ЇХ,

ЇХ,

Труба

І0/2

Iq/2

І,

' ina,1

-A—

I int,2

ina

in

a,N

V

in/2

iXa

ixa2 . . . ixa.

Анод

\inw

Рис. 1. Схема токов в системе «анод - труба».

Таким образом, сформирована система линейных алгебраических уравнений (6) - (13), в которой число уравнений и число неизвестных равно 4 х (N + М) - 2 . Матрица системы устойчива к стандартным методам численного решения. В тестовых расчетах получены численные результаты с нормой невязки, не превышающей 10-16 для числа КОЭ до 2000. Время счета одного варианта (процессор Репііит - 4 с частотой 3 гГц) не превышает 20 минут.

І

0

x

l

l

0

a

Вычислительный эксперимент

В качестве иллюстраций приведем результаты некоторых расчетов. Исследовалось влияние различных параметров на распределение потенциала и плотности тока вдоль анода и трубы. Ток катодной станции определялся из условия минимума отклонения потенциала металла трубы в наиболее удаленной точке от заданного значения защитного потенциала (в приведенных примерах защитный потенциал Фг = - 0.3 В ). Шкала потенциалов приведена относительно потенциала грунта в бесконечно удаленной точке. Значения параметров приведены в таблице и в подрисуночных подписях.

Значения основных параметров

Параметр Вариант 1 (рис. 2) Вариант 2 (рис. 3)

Глубина от уровня земли до оси трубы, м 2.0 2.0

Внешний диаметр трубы, м 1.22 1.22

Толщина стенки трубы, мм 25 25

Удельное сопротивление стали, Ом*м 2.45Е-7 2.45Е-7

Сопротивление изоляции трубы, Ом*мл2 15000 30000

Расстояние между анодом и трубой, м 0.5 0.001; 0.01; 0.1;

Длина анода, км 0.625; 1.25; 1; 10

Глубина от уровня земли до анода, м 2.5; 5.0 5.0

Внешний диаметр анода, мм 2.82 2.82

Удельное сопротивление меди, Ом*м 36 36

Удельное сопротивление грунта, Ом*м 1.75Е-8 1.75Е-8

5000 2000

На рис. 2 представлены зависимости плотности тока на границах «анод - грунт» (а) и «грунт - труба» (б) от продольной координаты х при различных значениях длины анода. Из рисунка видно, что с увеличением длины анода плотность анодного тока уменьшается; равномерность плотности тока на границе «грунт - труба» возрастает.

(а) (б)

Плотность тока анод-грунт, А/м2

Плотность тока грунт-труба, А/м2

Расстояние от КС, км Расстояние от КС, км

Рис. 2. Распределение средней плотности тока вдоль боковой поверхности анода (а) и трубы (б) при значениях длины анода, км (сверху вниз): 0.625; 1.25; 2.5; 5.0.

На рис. 3 представлены зависимости плотности тока на границах «анод - грунт» (а) и «грунт - труба» (б) от продольной координаты х, при различных значениях расстояния от анода до трубы. Из рисунка видно, что межэлектродное расстояние практически не влияет на анодное распределение плотности тока; равномерность плотности тока по поверхности трубы улучшается с увеличением расстояния до анода.

(а)

Плотность тока анод-грунт, А/м

Плотность тока грунт-труба, А/м2 2.8E-5

(б)

Расстояние от КС, км

Расстояние от КС, км

2.4E-5

2.0E-5

1.6E-5

1.2E-5

8.0E-6

Рис. 3. Распределение средней плотности тока вдоль боковой поверхности анода (а) и трубы (б) при расстояниях между анодом и трубой, м (сверху вниз): 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10.

Целью данной работы является создание математической модели и алгоритма численного расчета электрических полей в системах протяженных электродов. Дальнейшее исследование предполагает поиск оптимальных параметров анода с учетом ограничений, накладываемых на плотность анодного тока и на диапазон защитного потенциала трубы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Томашов Н. Д. Теория коррозии и защиты металлов. М.: АН СССР, 1959. 592 с.

2. Глазов Н. П. Подземная коррозия трубопроводов, ее прогнозирование и диагностика. М.: Газпром, 1994. 92 с.

3. Глазов Н. П., Иванов В. Т. Исследование токораспределения на трубопроводе при защите его протяженными протекторами в неоднородной среде //Методы и средства ЭХЗ магистральных трубопроводов от подземной коррозии. М.: ВНИИСТ, 1980. С. 69 - 87.

4. Иванов В. Т., Болотнов А. М. Автоматизированная система научных исследований электрических полей в сложных электрохимических системах на основе вычислительного эксперимента // Электрохимия. 1991. Том 27. Вып. 3. С. 324 - 331.

5. Иванов В. Т., Болотнов А. М. Пакет прикладных программ для численного исследования электрических полей в неоднородных электрохимических системах //Известия ВУЗов: Электромеханика. 1991. № 6. С. 21 - 28.

6. Болотнов А. М. Методы граничных элементов в расчетах электрических полей электрохимических систем. Уфа: БашГУ, 2002. 143 с.

7. Болотнов А. М., Иванов В. Т. Численное моделирование пусковых режимов анодной защиты // Защита металлов. 2001. Том 37. № 2. С. 197 - 200.

8. Иванов В. Т., Глазов Н. П., Макаров В. А. Математическое моделирование электрохимической защиты //Итоги науки и техники. Сер. «Коррозия и защита от коррозии». М.: ВИНИТИ, 1987. Том 13. С. 117 - 194.

9. Bolotnow A. Algorytmy obliczen parametrow ochrony urzadzen technologicznych przed korozja elektrochemiczna // Bezpieczenstwo elektryczne: XII Miedzynarodowa konf. Wroclaw, 1999. T. 1. S. 461 -468.

10. Makarov V. A., Ivanov V. T., Glazov N. P. Mathematical modelling of electrochemical protection // Proc. 10th Int. Cong. on metalliccorrosion. Madras, 1987. Vol. 3. P. 927 - 934.

Поступила в редакцию 11.05.06 г.