Математическое моделирование электрического поля катодной защиты подземного трубопровода протяженным анодом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.688

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ КАТОДНОЙ ЗАЩИТЫ ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА ПРОТЯЖЕННЫМ АНОДОМ

© С. Р. Г арифуллина

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (34 7) 273 6 7 78.

E-mail: sveta_k81@mail.ru

В статье рассмотрена математическая модель и предложен численный метод расчета электрического поля катодной защиты трубопровода в трехмерной области.

Ключевые слова: катодная защита, электрическое поле, численное моделирование, протяженный анод, внешняя задача.

Введение

В настоящее время проблема коррозии подземных конструкций является актуальной прикладной задачей. При эксплуатации трубопроводов необходимы постоянные наблюдения за их состоянием, своевременное выявление различных нарушений в состоянии труб и их ремонт. Электрохимическая защита является одной из основных методов защиты, которая применяется для предотвращения коррозии подземных конструкций. При катодной защите на трубу подается отрицательный потенциал, положительный полюс (анод) относится в сторону от трубы и заземляется. В местах нарушения изоляции отрицательный заряд трубы препятствует притоку отрицательных ионов, ускоряющих коррозию. Численное моделирование катодной защиты трубопровода является эффективным методом исследования, поскольку позволяет учесть особенности электрических полей и на основании численных результатов можно восстановить картину коррозионного процесса, которая недоступна для непосредственного наблюдения.

Теоретические и методические основы применения математических методов к решению задач расчета электрических полей в системах электрохимической защиты заложены в работах [1—3]. В предлагаемой статье приведен алгоритм и результаты численного решения внешней задачи в трехмерном пространстве для потенциала электрического поля в системе протяженных электродов одинаковой длины.

Постановка задачи и алгоритм численного решения

Рассмотрим систему, состоящую из трубопровода и протяженного анода одинаковой длины, расположенных параллельно друг другу. Распределение потенциала электрического поля для такой модели описывается следующей краевой задачей:

Э2и( р) + Э2и( р) + Э2и( р)

Эх2 и( р) + sck

Эу2 Эи( р)

Эz2

= 0, р = (х, у, z) є W, (1)

Эп

= jk , и(Р) + SCa

Эи( р)

Эп

Эи( р)

Эп

= 0.

(2)

(3)

Здесь и — потенциал электрического поля, В; с

с,

удельные сопротивления изоляции анода и Ом • м2,

среды, Ом-1 • м-1, (ра и (рк — потенциалы анода и

к

катода,

а

удельная электропроводность и

трубы, В, Бк, $а и $ - границы катода, анода и

поверхности земли.

Единственность решения внешней задачи имеется лишь при условии стремления функции потенциала к нулю на бесконечности:

и(р) ® 0, при р(х,у, 2) . (4)

Продолжим четным образом решение исходной задачи (1-4) с полупространства на пространство. Ввиду четности граничные условия в верхнем полупространстве совпадают с (2). Зная, что решение по оси 2 имеет полупериод от 0 до Н, будем решать задачу в области П = {2 Є (0, Н ) : (х - Хк )2 + (у ± у )2 > Як , (х - Ха )2 + (у ± Уа )2 > Яа) и с дополнительным условием на плоскостях симметрии:

Эи

Эх

z = 0

= 0, —

Эх

= 0.

(5)

z = H

Существуют эффективные методы сведения трехмерных задач к серии независимых двумерных, например, метод плоскостей [1-2, 4-5]. Построим решение задачи (1-5) дифференциальноразностным методом, для этого разобьем рассматриваемую область П на к -1 плоскостей с постоянным шагом к : 2І = ік, і = 1,..,к-1, к = Н/к .

Воспользуемся аппроксимацией производной второго порядка по 2 в (1) и получим следующую дифференциально-разностную схему:

^ + Э-и21 + —г(и. 1 - 2и. + и.+1) = 0, і = 1,.., к-1. (6) Эх2 Эу2 к2 і-1 . і+1'

Систему (6) запишем в векторном виде:

Ли - Ти = /,

с граничными условиями

r Эи

и + sck

Эп

r Эи

= yk, и + SCa^~

Эп

= У;

(7)

(8)

где и (х, у) = (и 0(х, у), и 1(х, у), ..., и k(х, у)) - неиз-

вестная вектор-функция; T - трехдиагональная матрица k +1 порядка.

S

S

S

S

S

562

раздел МАТЕМАТИКА

Для построения общего решения воспользуемся схемой расщепления [6]. После несложных преобразований получим систему независимых друг от друга двумерных краевых задач:

Ли-ли = Р, (9)

U + ас,

Эи

Эп

r Гг Эи

= Yk> U + sc — Эп

= Y a.

(10)

Воспользуемся формулой Грина [5] для уравнения Пуассона:

2яи,(р) = ЦК0( Д | р -д |)^ШО +

О

+\[иМ) д^1Р - д|) - Ке(Т1|р - д (11)

где Sq = 8а и8к и 5а,и8к,, Sk. и ^а, - образы границ катода и анода, расположенные в верхнем полупространстве, к (г) - функция Макдональда.

Двумерный интеграл, входящий в формулу (11), состоит из известных функций, вычисляется несложно, но имеет ряд особенностей в интегрировании области

У функции Макдональда есть логарифмическая особенность вблизи Sq. После некоторых

преобразований все полученные подынтегральные функции, за исключением одной, будут гладкими, поэтому для их вычисления используются квадратурные формулы Гаусса [7].

Подынтегральная функция вида

к2 + 4(Ж + К)К, яп2 (/7-&к ^ имеет логарифмиче-

R { 4

скую особенность в случае, когда p = q, следовательно, этот интеграл вычислять с помощью гауссовых весов нельзя. Для его вычисления составлена квадратурная формула и в пакете Maple найдены веса, с помощью которых интеграл вычисляется точно.

Разобьем следующим образом область интегрирования w = W +W2 +W3 +W4 (рис. 1)

Область W1 = A, W2 = B u C, W3 = D u F u G u H , W4 = K u L. В каждой из подобластей a, b, c, d, f, g, h, K и L двумерный интеграл сводится к повторному интегралу по углу и радиусу, которые, в свою очередь, вычисляются с помощью квадратурной формулы Г аусса.

Область, расположенная вне W4 , имеет внутренний радиус R*. Интеграл в этой области после преобразований имеет вид:

Іпґ

l (R - RRm )2 + 4^ sin2 ^

R m R

RCm R'm .

xf. — cosq,—smq

i R q R q

djdR.

(12)

Подынтегральная функция в (12) имеет устранимую особенность в нуле, т.к. при К ® 0 выражение, входящее в функцию Макдональда

(К1 - , а при стремлении к бесконечно-

сти функция Макдональда экспоненциально стремится к нулю. Таким образом, при вычислении интеграла (12) можно использовать квадратурную формулу Гаусса.

Рассмотрим одномерный интеграл, входящий в формулу (11). После преобразований его можно представить в виде (13).

В последнем выражении подынтегральную функ-

ЭК0(г) К0(г)

цию —дп-----+ ^ обозначим через К(р, д), а вы-

ражение к (г) — обозначим через F(р, д). Тогда

из формулы (11) можно получить уравнение Фред-гольма второго рода:

2Р^ (р) = Мр) + | и1(д)К(р, | ^(р, . (14)

Sq ^

Теоретическое обоснование

Краевая задача (7)-(8) аппроксимирует задачу (1-4)

Н

к -1 . Приближенное решение задачи (1-4) на плоскостях

г = г , п = 0,1, ... к -1

получено интегрированием

краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (15).

с погрешностью O(h ), где

h =

S

S

S

К

X

0 0

Ut (q)-

+K0( z)

Эп, Ut (q)

Sc

- K0( z)-

Sc

dSq = |

Sq

dSq = I Ui (q)

q /

' ЭК'( z) . K'( z)'

U,(q) - K,( z)^ +

ЭпЧ Scq

ЛІ

Эnq

q

- + -

N)_v

Sc

k /

dS - I K0(z)^dS q > 0 Sc '

(13)

I

S

S

S

Рис. 2. Потенциал на аноде в различных сечениях, В:

а - при 2=0 (м), б -при 2=1500 (м), в - при 2=3000 (м)

Рис.3. Потенциал в различных сечениях на трубе, В:

1 - при г=0 (м); 2- при г=1500 (м); 3 - при г=3000 (м)

Рис.4. Продольное распределение металла трубы1 и аноа относительно оси і

э и + э и

2 ,

+¥<иг

и0) -

2а,

- + ту(и„+1-

к 0

1) = 0,

= 0

п = 1, т :

(15)

т+1

,.2

2

+ 7Г(ит - и к

2аг

т+1)-------Г“ ит

к

= 0

= ^п (х, у), і = 1, N • (16)

Эх2 Эу2

Э2ип Э2ип 1

----- +---- + —

Эх2 Эу2 к2

Э 2ит+1 + Э 2ит

Эх2 Эу2

Эик

ик + С. —-

к і

Эп

Доказана теорема: Дифференциально-разностная

схема (15)-(16) однозначно разрешима, имеет точность 0(к ) и имеет место сходимость в нормах

[ ] 12(Охш) и [ ] С(Пхт')

Вычислительные эксперименты

Изложенный алгоритм апробирован при решении реальных задач расчета электрических полей в системах катодной защиты трубопроводов протяженными анодами. Ниже приведены некоторые результаты.

Эксперимент 1. Расчет проведен при следующих значениях параметров: длина защищаемого участка трубы, м: 3000.0; координаты центра трубы, м: (0.00; -1.61); внешний диаметр трубы, м: 1.22; толщина стенки трубы, м: 0.022; удельное сопротивление трубной стали, Ом-м: 2.45-10-7; сопротивление изоляции трубы, Ом-м2: 60000; напряжение анода трубы, В: 0.822; координаты центра анода, м: (1.628; -2.202); внешний диаметр анода, м: 0.05; диаметр медного сердечника анода, м: 0.04; удельное сопротивление меди, Ом-м: 1.7510-8; сопротивление оболочки анода, Ом-м2: 3669; удельное сопротивление грунта, Ом-м: 1000. На рис. 2 представлены распределения потенциала на аноде в различных сечениях. На рис. 3 показаны распределения потенциала на катоде в различных сечениях. На рис. 4 представлены продольные распределения потенциала на катоде и аноде.

Заключение

1. Сформулирована краевая задача для потенциала электрического поля катодной защиты в системе протяженных электродов и предложен комбинированный алгоритм численного решения этой задачи на основе метода плоскостей и метода граничных интегральных уравнений.

2. Проведено теоретическое исследование модели, доказана теорема о сходимости дифференциально-разностной схемы.

3. Разработан программный комплекс, проведены вычислительные эксперименты, получены достоверные численные результаты.

Работа выполнена в рамках хоздоговорной темы с ОАО «Всероссийский научно-исследовательский институт строительства трубопроводов, объектов ТЭК» (г. Москва).

ЛИТЕРАТУРА

1. Болотнов А. М., Иванов В. Т., Кильдибекова Г. Я. Методы расчета трехмерных краевых задач для эллиптических уравнений в многосвязных областях с цилиндрическими границами // М.: ВИНИТИ № 8870-В86. 1986. 49 с.

2. Иванов В. Т., Глазов Н. П., Макаров В. А. Математическое моделирование электрохимической защиты // Итоги науки и техники. Сер. Коррозия и защита от коррозии. М.: ВИНИТИ. 1987. Т. 13. С. 117-194.

3. Болотнов А. М. Методы граничных элементов в расчетах электрических полей электрохимических систем. Уфа: РИО БашГУ, 2002. 144 с.

4. Болотнов А. М., Глазов Н. Н., Глазов Н. П. // Защита металлов. 2008. Т. 44. С. 438-441.

5. Соболев С. А. Уравнения математической физики. М: Наука. 1992. 431 с.

6. Кронрод А. С. Узлы и веса квадратурных формул. М: Наука. 19б4. 144 с.

7. Иванов В. Т., Газизов Р. Р. Методы граничных интегральных уравнений и их приложения: учебное пособие. Уфа: РИО БашГУ, 1990. 144 с.

8. Болотнов А. М., Гарифуллина С. Р., Литвинова О. А., Глазов Н. Н., Глазов Н. П., Шамшетдинов К. Л., Башаев М. А. Компьютерное моделирование катодной защиты и поиска дефектов в изоляции трубопроводов // Тез. докл. Всероссийской конф. «Физико-химические аспекты технологии наноматериалов, их свойства и применение». Москва: 2009. С. 131.

б

в

а

Поступила в редакцию 25.05.2010 г.