CC BY
45
Карабельская И.В. КагаЬвккауа I. V.
аспирант кафедры «Технологические машины и прикладная физика», доцент кафедры «Информатика и ИКТ» ФГБОУ ВО «Уфимский государственный университет экономики и сервиса», Россия, г. Уфа
Абызбаев И.И. Abyzbaev 1.1.
доктор технических наук профессор кафедры «Разработка и эксплуатация нефтегазовых месторождений» ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», Россия, г.Уфа
УДК 621.313.33:64.067
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ПРИ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЕ ТРУБОПРОВОДОВ ОТ КОРРОЗИИ В НЕОДНОРОДНЫХ
И КЛИНОВИДНЫХ СРЕДАХ
В статье изложены методы решения систем параллельных подземных трубопроводов в неоднородных и клиновидных средах: методы расчета электрических полей при электрохимической защите трубопроводов от коррозии, рассмотрены некоторые задачи расчета параметров электрохимической защиты трубопроводов от коррозии. Подобные задачи возникают в различных проблемах прикладной электрохимии. Для каждой задачи, рассмотренной в примерах, сформулирована математическая модель самосогласованной краевой задачи, описывающей электрические поля с цилиндрическими неоднородностями, электродами и изоляторами; вычислительные алгоритмы понижения размерности задачи, иллюстрирующих возможности применения дифференциально-разностного метода с аппроксимацией производных по переменной у, применения дифференциально-разностного метода с аппроксимацией производных по переменной z, для понижения размерности данной краевой задачи, преобразующейся в п двумерных краевых задач. Решение краевых задач построено методом интегральных уравнений с использованием функций Грина, определяемых из краевых задач.
В статье рассмотрен метод решения интегральных уравнений и пример расчета для определения параметров электрохимической защиты от коррозии металлических сооружений, находящихся в проводящем пространстве; приводится таблица распределения плотности тока по длине трубопроводов (по оси z) при данном распределении токов 1,1', 13 на каждый трубопровод; приводятся результаты расчета потенциальных полей при катодной защите параллельно уложенных трубопроводов.
Одной из проблем, выдвигаемых современным техническим прогрессом в области трубопроводного транспорта, является повышение его надежности. Надежность магистральных нефтегазопроводов во многом определяется эффективностью комплексной защиты, которая включает в себя защиту изоляционными покрытиями и катодной поляризацией (катодной и протекторной защитой) [2].
Для обеспечения надежной электрохимической защиты трубопроводов от коррозии необходимы знания параметров, обеспечивающих распределение защитной плотности тока и потенциала вдоль трубопроводов. Такие параметры можно рассчитывать методами математического моделирования и вычислительного эксперимента [2]. Для решения задач расчета электрических полей разрабатывались общие и специальные методы математической физики [9, 14-15, 18-19]. В этих работах имеется достаточно полный обзор рассмотренных задач расчета параметров электрохимической защиты металлических сооружений и трубопроводов в частности.
Ранее в работе [2] были изложены методы решения систем трубопроводов, расположенных в тоннеле и в вертикально-неоднородной среде.
Здесь же будет показано изложение методов решения систем параллельных подземных трубопроводов в клиновидных и неоднородных средах.
В данной работе предлагаются разработанные, апробированные на ЭВМ, комбинированные алгоритмы численного анализа электрических полей, описываемых трехмерными нелинейными самосогласованными краевыми задачами в неоднородной среде с цилиндрическими неоднородными включениями, изоляторами и электродами. Этот класс моделей охватывает достаточно широкий теоретических задач электрических и тепловых полей, имеющих важные практические приложения [1-8, 10-13, 16-17].
Ключевые слова: математическая модель, самосогласованная краевая задача, исследование электрических полей постоянного тока, системы со сложными и геометрическими параметрами, дифференциально-разностный метод по переменной у, дифференциально-разностный метод по переменной z, преобразование задачи в n двумерных краевых задач, понижение размерности задачи, метод решения интегральных уравнений.
METHODS FOR CALCULATING ELECTRIC FIELDS AT ELECTROCHEMICAL PROTECTION OF PIPELINES AGAINST CORROSION IN INHOMOGENEOUS
MEDIA AND WEDGE
The article describes methods for the parallel solution of systems of underground pipelines in heterogeneous environments and wedge: methods of calculation ofelectric fields for electrochemical protection ofpipelines from corrosion, the problem of calculating the parameters of electrochemical protection of pipelines from corrosion. Such problems arise in various problems of applied electrochemistry. For each task, discussed in the examples, formulated a mathematical model of self-consistent boundary value problem describing the electric field with cylindrical inhomogeneities, electrodes, and insulators; computational algorithms decrease the dimension of the problem that illustrates the application of the differential-difference method with the approximation of derivatives by y, the application of differential-difference method with the approximation of derivatives with respect to variable z, to reduce the dimensionality of the given boundary problem is converted into n two-dimensional boundary value problems. Solution of boundary value problems is constructed by the method of integral equations using green's functions determined from boundary value problems.
This paper presents a method of solving integral equations and a sample calculation to determine the parameters of electrochemical protection against corrosion of metal constructions which are in the conducting space; a table the current density distribution along the length of the pipelines (z-axis) for a given distribution of currents I, I2, I3, for each pipeline; the results of the calculation of potential fields in cathodic protection of parallel pipelines.
One of the problems put forward by modern technological advances in the field of pipeline transport is to increase its reliability. Reliability of trunk oil and gas pipelines is largely determined by the effectiveness of comprehensive protection, which includes protection insulating coatings and cathodic polarization (cathodic and cathodic protection) [2].
To ensure reliable electrochemical protection of pipelines against corrosion requires knowledge of the parameters that ensure the distribution of the protective current density and potential along the pipeline. Such parameters can be calculated by methods of mathematical modeling and computational experiment [2]. For the decision of problems of calculation of electric fields was developed for General and special methods of mathematical physics [9, 14-15, 18-19].
In these works there is a fairly complete review considers the task of calculating the parameters of cathodic protection of metallic structures and pipelines in particular.
Earlier in [2] outlined the methods for solving systems of pipes located in the tunnel and in a vertically inhomogeneous medium. Here you will see the presentation of methods for solving systems of parallel buried pipes in tapered and inhomogeneous media.
In this work, we developed, tested on the computer, combined algorithms of numerical analysis of the electric fields described three-dimensional self-consistent nonlinear boundary value problems in an inhomogeneous medium with inhomogeneous cylindrical inclusions, insulators and electrodes. This class of models covers the theoretical problems of electric and thermal fields, which have important practical applications [1-8, 10-13, 16-17].
Keywords: mathematical model, self-consistent boundary-value problem, the study of electric fields DC system with complex and geometric parameters, the differential-difference method on a variable y, the differential-difference method on a variable z, the transformation of the problem into n two-dimensional boundary value problems, the reduction of the dimensionality of the problem, method of solution of integral equations.
Пример 1. Катодная защита системы трубопроводов в клиновидных средах. Система трубопроводов может пролегать в геологических структурах с различным расположением неоднородностей, в том числе, например, и в средах с клиновидными неоднородностями [8,20]. При этом электрическое поле определяется решением краевой задачи
d2Ui d2Ui d2Ui 1
(X - Хл Г 0
4- + —4+—ту- =--5(x -x0) 5 (у -у0) 5(z - ZfJ, i = 1,2,...,N;
8x2 Эу2 Э^21 Г 0 0 0
дил
dz
Э U
NN
z
=0
5z
: 0 , U. — 0 при Vx2 + z2
да
(1)
г=0
Ui
Эу
Э U-
y=0
yU
= 0, i = 1,2,...,N;
y=H
[U]| =0,
lq П
= 0, q =1,2,...,N-1.
Г
И опять для простоты изложения будем считать, что система трубопроводов находится в одном к-ом слое. При этом граничные условия принимают вид:
Uk + СР (:X,Urk
Э U
k
Эп
Г
= UMp = 2= 1,2, ,L.
(2)
Р
Дифференциыьно-дыгностным методом чыппуоувимациею арсооввиныи уоцзддачо(1),(В) ¡^г^сщ^по^-ется на п двумерных краевых задач:
д2и. д2и. о г
до2 X2 ' ™ & 0 0
Эи,
15
Эz
Э U;
NS
г=0
Эz
z=0
0, U= - 0 при °x2 + z2
/i3
(3)
[Us h =0, Г^-Ч
q
Эп
= 0, q =1,2,...,N-1.
Г
тт Э U k
+ СР (x, z) г ks
ks + -p (x, z) rk~n
Г
= UMps, Р= 1,2,.,L; s=1,2,.,n
р
ЭО
Решение краевых задач (3) строится методом интегральных уравнений с использованием функций Грина, определяемыхизкраевыхзадач
д2о. д2о.
+-= - 8(х-а)8{г-р);
дх2 да2 5 *
д2 а
дг
= 0,
д а
д^
z= 0
°=0
= 0, %
0 при у!о2 р у2
мр =о, ддПр
е К дп
1т
= 0, д=1,2,...Л
Решение этой задачи строится аналитически.
Пример 2. Катодная защита системы трубопроводов параллельных подземных трубопроводов в неоднородной среде вдоль трубопроводов. Система трубопроводов, как правило, пересекает различные геологические структуры, так что при расчете элек-
а2с д21/ 1 < о , .нсл
трических полей необходимо учитывать неоднородность среды вдоль трубопроводов. Подобная задача подробно рассмотрена в [18]. В отличие от задачи в [18], здесь учитывается глубина залегания трубопроводов.
Электрическое поле находится решением граничной задачи
д2и д2и 1 Э< [ .ЭТА 1 [ о 5 ч >
д и
дz
1 ==
z=0
дд
= 0, с
7=Н
0 при у/х2 + у2
Щ д о, [дЩЩ]
д1д ддГ
Н==п
= 0, д=1,21.-,Ы-0;
(4)
= и
дУ
у=0
= 0, 0 < г < Н , -оо < х<оо;
ТГ С 0 и
с + СР -к-
= СГ Мр(С' 0 < нн < Н, Р = 1<р..., и.
Тр
(5)
Краевые условия (5) получены в результате Дифференциально-разностным методом с ап-
применения итерационного процесса, предложен- проксимацией производных по г задача (4), (5)
ного к краевым условиям на трубопроводе (подробно расщепляется на п двумерных краевых задач: эти процессы описаны в [18]).
d2uc d2U.
——н---
дх2 dy2
1S-A/US= -
-^Six-xtfSfy-yJ;
Us 0 при y/x2 + y2
(6)
dU<
dy
= 0, -00 < X <
00
JM)
Uc+ С
д и<
г
= UMps^' P =l>2,...,L;s = l,2,...,n.
P
Краевые задачи (6) сводятся к граничным интегральным уравнениям. Функции Грина имеют вид:
С5(Р, д) = ^(К0(Я5г) + К0и5?)) ,
где г - расстояние между точкой Р и точкой (), г - расстояние между точкой Р и точкой (] - зеркальным отображением через границу полуплоскости.
Пример расчета.
Для определения параметров электрохимиче- необходимо рассчитать потенциальное поле много-
ской защиты от коррозии металлических соору- электродной системы в неоднородной системе в
жений, находящихся в проводящем пространстве, неоднородном пространстве
div (ст(р) grad U) = - Д 1/)(Р- Pj) ;
(7)
8U
дп
V=o
i=l,2,..„
(8)
dU
и + Т].(ст(р)—) = Uj(p) , ре SJD , i= 1,2,..., т{;
(9)
J v^-ds = V - i= i>2>—>щ;
g у иП ь
(10)
U -> 0 , р -> оо.
(П)
Здесь и - функция, характеризующая потенциал электрического поля, <Т(р) - кусочно-непрерывная функция, описывающая удельную электрическую проводимость среды. Для получения более равномерного распределения плотности тока
на поверхностях защищаемых сооружений обычно применяются несколько анодных заземлителей, расположенных в разных точках пространства.
В (7) /. - интенсивность точечного источника (анодного заземлителя), находящегося в точке Р..
Бц- граница \ - го изолятора или непроводящего экрана (например, поверхность земли, плоскость симметрии), Б1 э - граница 7-го электрода, т. е. металлического сооружения, п - внешняя нормаль к поверхности электрода Б1Э, 1]^ - функция, в общем случае нелинейная, выражающая зависимость разности потенциалов ¿7.{р) — 11{р) на границе 7-й электрод - электролит от плотности тока; эта разность потенциалов обуславливается, например, наличием на поверхности сооружения тонкого изоляционного покрытия.
С целью получить желаемое распределение плотности тока на поверхностях совместно защищаемых сооружений часто контролируют, т.е. задают ток, поступающий к данному конкретному сооружению. Это обстоятельство выражено условиями (10), (/я, < т^, где т, - число таких сооружений
. Эти же условия будут учитывать наличие таких сооружений, которые находятся в зоне влияния токов катодной защиты других сооружений, но не защищаются (не подключены к данной катодной установке), т.е. суммарный ток, стекающий с поверхности каждого из них, равен 1Э = 0. На поверхностях таких сооружений помимо катодных будут и
анодные участки, которые увеличивают коррозионную опасность.
Ниже приводятся результаты расчета потенциальных полей при катодной защите параллельно уложенных трубопроводов при Аэ = 5А , 12э=\0,АЛ, Рэ = 51А.
Если сопротивление единицы длины трубопроводов = = /Л; =1 ■ переходное сопротивление С = 240 ом • м2, С„ = 113 ом • м2, С3= 80 ом • м2, а анодные заземлители расположены на расстоянии Ь = 500 м от первого трубопровода и на расстоянии Н = 5 км друг от друга по трассе трубопроводов, то все трубопроводы катодно поляризуются и максимальные М и минимальные т падения потенциалов на изоляции трубопровода получаются такие (см. таблицу 1).
Из таблицы 1 видно: анодный заземлитель 1 = 72,4 А находится на расстоянии 500 м от первого трубопровода. Сопротивление единицы длины всех трубопроводов = 1ом/м, I = 1,2,3. Переходное сопротивление изоляционных покрытий 240 ом • м2, 113 ом • м2, 80 ом • м2, соответственно. При каждом значении г на трубопроводе даны два значения плотности тока - максимальное и минимальное по сечению.
Таблица 1
Распределение плотности тока по длине трубопроводов (по оси г) при данном распределении токов / / / / на каждый трубопровод
г(М) 0 250 500 750 1000 1250
1 труба 1,83 1,8 1,51 1,07 0,76 0,59
1,59 1,53 1,27 0,86 0,59 0,43
}. шА/ш2 2 труба 3,25 3,23 2,94 2,45 2Д1 1,92
2,54 2,54 2,3 Г,87 1,58 1,42
3 труба 11,67 11,51 10,74 9,74 8,95 8,35
9,72 9,57 8,79 7,73 6,89 6,29
г(М) 1500 1750 2000 2250 2500 /А = 72,4 А
1 труба 0,49 0,43 0,4 0,39 0,38 Л = 5 А
0.34 0,29 0,27 0,25 0,25
}. шА/ш2 2 труба 1,84 1,75 1,72 1,71 1,7 12 =10,4А
1,34 1,3 1,29 1,28 1,28
3 труба 7,91 7,58 7,34 7,18 7,09 /3 =5 7 А
5,85 5,53 5,31 5,14 5,05
М1 = 0,44 в,М2 = 0,38 в,М3 = 0,94 в, т^ = 0,76 в, = 0,13 в, 0,40 в.
При Ь = 50 метров катодио поляризуются только поверхности второго и третьего трубопроводов, причемМ2 = 3,4 в, т2 = 0,04 ъ,М= 2,6 в, тц = 0,33 в, а на поверхности первого трубопровода между соседними анодными заземлителями образуется анодная зона длиной в 4 км, а катодными будут зоны длиной в 1 км напротив каждого анодного заземли-теля. При этом, если потенциал третьего трубопровода на месте соединения с анодным заземлителем ф=Ъ,тоф=\,Ъ в, ф=2,2 в.
Таким образом, анодные участки на поверхностях сооружений появляются не только под влиянием катодной защиты соседних сооружений, когда данное сооружение не подключено к станции катодной защиты, но и при неудачном расположении анодных заземлителей или при неправильном распределении тока на сооружении.
Формула (14) позволяет вычислить К к_ с любой степенью точности. Суть этого метода как раз и состоит в том, чтобы формулой (14) достаточно вычислить коэффициенты при т = к , т.е. в точке, где имеется особенность поведения ядра.
Расположим все контуры у., ('. , в одну последовательность / (| = 1,2,..., /,). в^которой каждый контур встречается один лишь раз, и установим для каждого контура вариант обхода по какому-либо принципу. Уравнения всех контуров запишем в параметрическом виде а. = (р.{т),/3. = у.{т), I = 1,2,..., I причем параметр Т увеличивается при движении в положительном направлении, так что конечное значение этого параметра для контура Ск должно быть началом для контура Ск+]. При такой конструкции параметр Т для всех контуров будет меняться по некоторой величины б// на контуре С1 для конечного б// на контуре С1. Заменив переменную интегрирования на Т , приходим к уравнению вида (12) [22].
Другие методы решения интегральных уравнений и библиография по данному вопросу освещены в [23].
Метод решения интегральных уравнений
Среди численных методов решения интегральных уравнений второго рода заслуживает особого внимания метод Крылова-Боголюбова [21]. Суть этого метода покажем на примере интегрального уравнения
d2
ft(t)-A J fi(t)K(t,T)dt= f(t) (12) dl
в котором ядро Ki t, T) имеет разрыв при совпадении аргументов t—T.
В соответствии с приближенным методом Крылова-Боголюбова решение интегрального уравнения (12) заменим решением систем линейных алгебраических уравнений
(13)
(14)
Список литературы
1. Карабелъская И.В. Исследования электрических полей постоянного тока в системах со сложными геометрическими параметрами [Текст] / И.В. Карабельская // Электротехнические и информационные комплексы и системы. -2015.-Т. 11. -№1,- С. 45-51.
2. Карабелъская И.В. Примеры расчета электрических полей при электрохимической защите трубопроводов от коррозии [Текст] / И.В. Карабельская // Электротехнические и информационные комплексы и системы. - 2015. - Т. 11. - №2. - С. 23-29.
3. Доломатов М.Ю. Проектирование ИС по свойствам и электронным характеристикам сложных многокомпонентных органических систем [Текст] / М.Ю. Доломатов, И.В. Карабельская, Э.А. Ковалева // Электротехнические и информационные комплексы и системы. - 2014. - Т. 10. - №2. - С. 45-51.
4. Иванов В. Т. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах
м
■uk-X^mKmk=fk.k = 1.2,...,M.
где jUk~ приближенное значение jU(t) при/— tkfk_ — f (tj,
К
fm+ 2 9r_1 d-d,
mk- ¡my*. tk=2-^h+dl,
fm 2
[Текст] / В.Т. Иванов, А.М. Болотнов, Ф.Г. Гадилова, Г.Я. Кильдибекова, В.Н. Кризский, И.У. Надергулов, И.В. Карабельская // Известия вузов: Электромеханика. - 1987. - № 11. - С. 21-26.
5. Иванов В.Т. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах [Текст] / В.Т. Иванов, А.М. Болотнов, Ф.Г. Гадилова, Г.Я. Кильдибекова, В.Н. Кризский, И.У. Надергулов, И.В. Карабельская // I Всесоюзная конф. по теоретической электротехнике: тез. докл. - Ташкент, 1987.
- С. 34-35.
6. Болотнов А.М. Методы расчета трехмерных краевых задач для эллиптических уравнений в многосвязных областях с цилиндрическими границами [Текст] / А.М. Болотнов, В.Т. Иванов, Г.Я. Кильдибекова, И.В. Карабельская. - Деп. в ВИНИТИ 4.12.86. № 8870. - В 86. - Уфа: БГУ, 1986. - 49 с.
7. Ураков А.Р. Исследования автомодельных процессов нестационарной ЭХО [Текст] / А.Р. Ураков, В.И. Карамов, И.В. Карабельская // Современная электротехнология в машиностроении: сб. трудов Всероссийской науч.-техн. конф. - Тула, 1997. - С. 161-162.
8. Иванов В.Т. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки [Текст] / В.Т. Иванов, В.Г. Гусев, А Н. Фокин. - М. Машиностроение, 1986. - 211 с.
9. Андреев И.Н. Коррозия металлов и их защита [Текст] / И.Н. Андреев. - Казань: Татарское кн. изд-во, 1979. - 120 с.
10. Заборовский А.И. Электроразведка [Текст] / А.И. Заборовский. - М.: Гостехнефиздат, 1948.
11. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин [Текст] / В.Н. Дахнов.
- М.: Недра, 1981. - 334 с.
12. Козырин А.К.Электрическая корреляция разрезов скважин [Текст] / А.К. Козырин. - М.: Недра, 1985.
13. Иванов В.Т. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа [Текст] / В.Т. Иванов, М.С. Масютина. - М.: Наука, 1983. - 143 с.
14. Иванов В.Т. Некоторые проблемы вычислительной математики применительно к расчетам электрических полей в электрохимических системах [Текст] / В.Т. Иванов; препринт докл. Президиуму БФАН СССР. - Уфа: БФАН СССР, 1983. - 39 с.
15. Самарский А.А. Проблемы применения вычислительной техники [Текст] / А.А. Самарский // Вестник АН СССР. - 1984. - № 11. - С. 17-29.
16. Иванов В.Т. [Текст] / В.Т. Иванов // Тез. докл. Всесоюзной конф. «Теория информационных систем и систем управления с распределенными
параметрами»: ч.1. - Уфа: БФАН СССР, 1976. - С. 19-20.
17. Иванов В.Т. Методы расчета трехмерных электрических полей в электролитах [Текст] / В.Т. Иванов // Краевые задачи математической физики и их приложения. - Уфа: БФАН СССР, 1976. - С. 18-53.
18. Иванов В.Т. Расчет трехмерных электрических полей в неоднородной среде с протяженными тонкими цилиндрическими электродами [Текст] / В.Т. Иванов, Н.П. Глазов, М.М. Махмутов. - Электричество. - 1985. - № 6. - С. 48-52.
19. Самарский А.А. Введение в численные методы [Текст] / А.А. Самарский. - М.: Наука, 1982.
- 271 с.
20. Дмитриев В.И. Метод решения задач электродинамики неоднородных сред [Текст] / В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1970. - №6. - С. 1458-1464.
21. Канторович Л.В. Приближенные методы высшего анализа [Текст] / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. - М.: Физматгиз, 1962. - 708 с.
22. Бобрик А.И., Решение некоторых задач для уравнения Пуассона с граничными условиями IV рода [Текст] / А.И. Бобрик, В.Н. Михайлов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1974. - № 1.
- С. 126-134.
23. Берлань А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. [Текст] / А.Ф. Берлань, В.С. Сизиков. - Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1986. - 543 с.
References
1. Karabel'skaja I.V. Issledovanija jelek-tricheskih polej postojannogo toka v sistemah so slozh-nymi geometricheskimi parametrami [Tekst] / I.V. Karabel'skaja // Jelektrotehnicheskie i informacionnye kompleksy i sistemy. - 2015. - T. 11. - № 1. - S. 45-51.
2. Karabel'skaja I. V. Primery rascheta jelek-tricheskih polej pri jelektrohimicheskoj zashhite trubo-provodov ot korrozii [Tekst] / I.V. Karabel'skaja // Jele-ktrotehnicheskie i informacionnye kompleksy i sistemy.
- 2015. - T. 11. - № 2. - S. 23-29.
3. DolomatovM.J. Proektirovanie IS po svojstvam i jelektronnym harakteristikam slozhnyh mnogokom-ponentnyh organicheskih sistem [Tekst] / M.Ju. Dolomatov, I.V. Karabel'skaja, Je.A. Kovaleva // Jelek-trotehnicheskie i informacionnye kompleksy i sistemy.
- 2014. - T. 10. - № 2. - S. 45-51.
4. Ivanov V.T. Kompleks programmno-algorit-micheskogo obespechenija chislennyh issledovanij jele-ktricheskih polej v nekotoryh slozhnyh sistemah [Tekst] / V.T. Ivanov, A.M. Bolotnov, F.G. Gadilova, G.Ja.
Kil'dibekova, V.N. Krizskij, I.U. Nadergulov, I.V. Karabel'skaja // Izvestija vuzov: Jelektromehanika. - 1987. - № 11. - S. 21-26.
5. Ivanov V.T. Kompleks programmno-algorit-micheskogo obespechenija chislennyh issledovanij jelektricheskih polej v nekotoryh slozhnyh sistemah [Tekst] / V.T. Ivanov, A.M. Bolotnov, F.G. Gadilova, G.Ja. Kil'dibekova, V.N. Krizskij, I.U. Nadergulov, I.V. Karabel'skaja // I Vsesojuznaja konf. po teoreticheskoj jelektrotehnike: tez. dokl. - Tashkent, 1987. - S. 34-35.
6. Bolotnov A.M. Metody rascheta trehmernyh kraevyh zadach dlja j elliptiche skih uravnenij v mnogosv-jaznyh oblastjah s cilindricheskimi granicami [Tekst] / A.M. Bolotnov, V.T. Ivanov, G.Ja. Kil'dibekova, I.V. Karabel'skaja. - Dep. v VINITI 4.12.86. № 8870. - V 86. - Ufa: BGU, 1986. - 49 s.
7. Urakov A.R. Issledovanija avtomodel'nyh processov nestacionarnoj JeHO [Tekst] / A.R. Urakov, V.I. Karamov, I.V. Karabel'skaja // Sovremennaja jele-ktrotehnologija v mashinostroenii: sb. trudov Vserossi-jskoj nauch.-tehn. konf. - Tula, 1997. - S. 161-162.
8. Ivanov V.T. Optimizacija jelektricheskih polej, kontrol' i avtomatizacija gal'vanoobrabotki [Tekst] / V.T. Ivanov, V.G. Gusev, A.N. Fokin. - M. Mashinos-troenie, 1986. - 211 s.
9. Andreev I.N. Korrozija metallov i ih zashhita [Tekst] / I.N. Andreev. - Kazan': Tatarskoe kn. izd-vo, 1979. - 120 s.
10. Zaborovskij A.I. Jelektrorazvedka [Tekst] / A.I. Zaborovskij. - M.: Gostehnefizdat, 1948.
11. Dahnov VN.Jelektricheskie i magnitnye metody issledovanija skvazhin [Tekst] / V.N. Dahnov. -M.: Nedra, 1981. - 334 s.
12. Kozyrin A.K.Jelektricheskaja korreljacija razrezov skvazhin [Tekst] / A.K. Kozyrin. - M.: Nedra, 1985.
13. Ivanov V.T. Metody reshenija prjamyh i obratnyh zadach jelektrokarotazha [Tekst] / V.T. Ivanov, M.S. Masjutina. - M.: Nauka, 1983. - 143 s.
14. Ivanov V.T. Nekotorye problemy vychislitel'noj matematiki primenitel'no k raschetam jelektricheskih polej v jelektrohimicheskih sistemah [Tekst] / V.T. Ivanov; preprint dokl. Prezidiumu BFAN SSSR. - Ufa: BFAN SSSR, 1983. - 39 s.
15. Samarskij A.A. Problemy primenenija vychisli-tel'noj tehniki [Tekst] / A.A. Samarskij // Vestnik AN SSSR. - 1984. - № 11. - S. 17-29.
16. Ivanov V.T. [Tekst] / V.T. Ivanov // Tez. dokl. Vsesojuznoj konf. «Teorija informacionnyh sistem i sistem upravlenija s raspredelennymi parametrami»: ch.1. - Ufa: BFAN SSSR, 1976. - S. 19-20.
17. Ivanov V.T. Metody rascheta trehmernyh jele-ktricheskih polej v jelektrolitah [Tekst] / V.T. Ivanov // Kraevye zadachi matematicheskoj fiziki i ih prilozhenija.
- Ufa: BFAN SSSR, 1976. - S. 18-53.
18. Ivanov V.T. Raschet trehmernyh jelektricheskih polej v neodnorodnoj srede s protjazhennymi tonkimi cilindricheskimi jelektrodami [Tekst] / V.T. Ivanov, N.P. Glazov, M.M. Mahmutov. - Jelektrichestvo. - 1985. -№ 6. - S. 48-52.
19. Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody [Tekst] / A.A. Samarskij. - M.: Nauka, 1982. - 271 s.
20. Dmitriev V.I. Metod reshenija zadach jelek-trodinamiki neodnorodnyh sred [Tekst] / V.I. Dmitriev, E.V. Zaharov. // Zhurnal vychisl. matem. i matem. fiz.
- 1970. - №6. - S. 1458-1464.
21. Kantorovich L.V. Priblizhennye metody vyss-hego analiza [Tekst] / L.V. Kantorovich, V.I. Krylov. -M.: Fizmatgiz, 1962. - 708 s.
22. Bobrik A.I., Reshenie nekotoryh zadach dlja uravnenija Puassona s granichnymi uslovijami IV roda [Tekst]/ A.I. Bobrik, V.N. Mihajlov // Zhurnal vychisl. matem. i matem. fiz. - 1974. - № 1. - S. 126-134.
23. Berlan' A.F. Integral'nye uravnenija: metody, algoritmy, programmy. [Tekst] / A.F. Berlan', V.S. Sizikov. - Spravochnoe posobie. Kiev: Naukova dumka, 1986. - 543 s.
