Обобщенная формула Грина интегрального представления решения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

\

Карабельская И. В. КагаЬеккауа I. V.

аспирант кафедры «Физика», доцент кафедры «Информатика и ИКТ», Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования «Уфимский

Абызбаев И. И. Abyzbaev 1.1.

доктор технических наук, профессор кафедры «Разработка и эксплуатация нефтяных и нефтегазовых месторождений», Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация

Ахметов И. В. Akhmetov I. V.

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Информатика и ИКТ», Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация

государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация

УДК 537.3-047.37

ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА ГРИНА ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ

Исследования электрических полей постоянного тока в системах со сложными и геометрическими параметрами имеют важное научно-техническое значение при геофизических поисках, научно-техническое и экономическое значение при геофизических поисках глубокозалегающих полезных ископаемых методом электроразведки, скважинной и межскважинной электроразведки на постоянном токе. Подобные электрические поля возникают также в электрохимических методах защиты и обработки металлов.

В статье сформулирована математическая модель краевой задачи, описывающей электрические поля с цилиндрическими неоднородностями, электродами и изоляторами, которая определяет функцию Грина в многосвязной области, учитывающей неоднородные краевые условия граничной задачи с двумя переменными х и у, в которой искомые функции находятся обратным преобразованием. Рассмотрены формула Грина для каждой области и алгоритм решения краевой обобщенной задачи; дано обобщенное интегральное представление Грина решения краевой задачи с учетом неоднородных краевых условий граничной задачи; дан вид упрощенного интегрального представления Грина, не содержащего неизвестные искомые функций и их производные по участкам границы многосвязной области.

Эффективность применения обобщенной формулы Грина интегрального представления решения позволяет создать автоматизированную систему научных исследований электрических полей, которую можно использовать в качестве подсистемы Системы автоматизированного проектирования электрохимических технологий, электрохимической защиты металлических сооружений от коррозии и для автоматизированной интерпретации геофизических методов поиска полезных ископаемых, основанных на постоянном электрическом поле.

В настоящее время имеет место тенденция создания систем автоматизированных научных исследований на основе обобщенных математических моделей, универсальных алгоритмов и пакетов прикладных программ.

В данной работе разработаны и апробированы на ЭВМ комбинированные алгоритмы численного анализа электрических полей, описываемых трехмерными нелинейными самосогласованными краевыми задачами в неоднородной среде с цилиндрическими неоднородными включениями, изоляторами и электродами.

Этот класс моделей охватывает достаточно широкий круг теоретических задач электрических и тепловых полей, имеющих важное практическое приложение.

Ключевые слова: математическая модель, исследования электрических полей постоянного тока, самосогласованная краевая задача, функция Грина, системы со сложными и геометрическими параметрами, обобщенная формула Грина интегрального представления решения.

GENERALIZED GREEN'S FORMULA INTEGRAL REPRESENTATION

Research electric DC fields in systems with complex and geometric parameters are of great scientific and technological importance in the search for geophysical scientific, technological and economic importance in the search for deep-seated geophysical minerals by electrical, borehole and cross-well electrical DC. Similar electric fields also occur in electrochemical methods of protection and treatment of metals.

FOR SOLUTION

Electrical facilmes and systems

The paper formulated a mathematical model of a boundary value problem describing the electric field with cylindrical inhomogeneities electrodes and insulators. This boundary value problem determines the Green function in a multiply connected domain, taking into account inhomogeneous boundary conditions of the boundary value problem with two variables x and y, in which the unknown functions are the inverse transformation. We consider the Green's formula for each area, and an algorithm for solving the boundary value of the generalized problem. It summarizes the integral representation of the Green value problem given inhomogeneous boundary conditions of the boundary problem; is a view of a simplified representation of the Green's integral not containing unknown unknown functions and their derivatives on the boundary areas multiply. These features are included in this boundary problem, which determines the Green function.

The effectiveness of the generalized Green's formula the integral representation of the solution allows you to create automated research system (ARS) of the electric fields in complex systems by computational experiment based on the developed application packages. ARS electric fields can be used as a subsystem CAD electrochemical technologies, electrochemical protection of steel structures against corrosion and for automated interpretation of geophysical methods of mineral resources based on a constant electric field.

Currently, there is a tendency to create automated systems ARS research based on mathematical models of generalized, universal algorithms and packages RFP applications.

The desire to obtain reliable numerical analysis of using the limited resources of computing resources leads to the need to develop efficient algorithms. The main difficulty, being on the way, is three-dimensional and multiply the calculated areas of nonlinear mathematical models containing as initial data are smooth and discontinuous functions.

The difficulty of solving such problems in general makes it necessary to develop efficient algorithms for a particular class of problems. These algorithms are usually based on a combination of different computational methods.

In this paper we propose to develop, test on a computer, combined algorithms of numerical analysis of electric fields described by the three-dimensional self-consistent nonlinear boundary value problems in heterogeneous environments with cylindrical heterogeneous inclusions, insulators and electrodes.

This class of models covers a fairly wide theoretical problems of electric and thermal fields with important practical applications.

Key words: mathematical model, the study of electric DC fields, self-consistent boundary value problem, Green's function, the system complex and geometric parameters, the generalized Green formula for the integral representation of the solution.

Исследования электрических полей постоянного тока в системах со сложными и геометрическими параметрами имеют важное научно-техническое значение при геофизических поисках, научно-техническое и экономическое значение при геофизических поисках глубокозалегающих полезных ископаемых методом электроразведки, скважинной и межскважинной электроразведки на постоянном токе. Подобные электрические поля возникают также в электрохимических методах защиты и обработки металлов [1 - 13].

Авторами сформулирована математическая модель краевой задачи, описывающей электрические поля с цилиндрическими неоднородностями, электродами и изоляторами. Эта краевая задача определяет функцию Грина в многосвязной области, учитывающей неоднородные краевые условия граничной задачи с двумя переменными х и у, в которой искомые функции находятся обратным преобразованием. Рассмотрены формула Грина для каждой области и алгоритм решения краевой обобщенной задачи; дано обобщенное интегральное представление Грина решения краевой задачи с учетом неоднородных краевых условий граничной задачи; дан вид упрощенного интегрального представления Грина, не содержащего неизвестные искомые функций и их производные по участкам границы многосвязной области. Эти функции включены в данную граничную задачу, которая определяет функцию Грина.

Эффективность применения обобщенной формулы Грина интегрального представления решения позволяет создать автоматизированную систему научных

исследований (АСНИ) электрических полей в сложных системах методом вычислительного эксперимента на основе разработанных пакетов прикладных программ. АСНИ электрических полей можно использовать в качестве подсистемы Системы автоматизированного проектирования электрохимических технологий, электрохимической защиты металлических сооружений от коррозии и для автоматизированной интерпретации геофизических методов поиска полезных ископаемых, основанных на постоянном электрическом поле.

В настоящее время имеет место тенденция создания систем автоматизированных научных исследований на основе обобщенных математических моделей, универсальных алгоритмов и пакетов прикладных программ.

Стремление к получению достоверного численного анализа математических моделей с использованием ограниченных ресурсов вычислительных средств приводит к необходимости разработки эффективных алгоритмов. Основная трудность, находящаяся на этом пути, заключается в трехмерности и многосвяз-ности расчетных областей, нелинейности математических моделей, содержащих в качестве исходных данных гладкие и разрывные функции.

Трудности решения таких задач в общем случае приводят к необходимости разработки экономичных алгоритмов для определенного класса задач. Эти алгоритмы, как правило, основаны на комбинировании различных вычислительных методов [10, 15, 16, 19, 20].

Авторами разработаны и апробированы на ЭВМ комбинированные алгоритмы численного анализа электрических полей, описываемых трехмерными нелинейными самосогласованными краевыми задачами в неоднородной среде с цилиндрическими неоднородными включениями, изоляторами и электродами. Этот класс моделей охватывает достаточно широкий круг теоретических задач электрических и тепловых полей, имеющих важные практические приложения [1 - 9, 11 - 14, 17, 18].

Пусть трехмерная электрохимическая система (ЭХС) - область интегрирования Q состоит из М цилиндрических областей (сечение области Q плоскостью z = const), имеет границы раздела сред у (i = 1, 2, ..., М - 1), N- — точечных источников поля с интенсивностями 1ц (j = 1, 2, ..., N) электродов с границами S.^ (к = 1, 2, ..., Кр и известными поляризационными зависимостями плотностями тока от разности потенциалов на границе электрод/проводящая среда, Р- — электродов с заданным распределением тока или электроизоляторов [1].

Рассмотрим краевую задачу:

LG. = ^A+^A-a2Gr-S(x-4)(y-Tj), (1)& ^ (х,У)еП,

(£»7)е а

-0,i = l,2,...,Ml<M, (2)

ik

G.-G., г г+1

5G. + 8 G.+1

у. ' г дп г+1 дп 'i

= 0,

(3)

dn

I.

i =1,2,...,M2 <M -1

= 0, i =1,2,...,M~ <M, p=l,2,...,P..<P. ' ' ' ' 3 r 11 г

гр (4)

_ М -

Задача (1) - (4) определяет в области О = £ П.

1=1 1

функцию Грина С(х,у,£,,г(), которая учитывает некоторые однородные краевые условия задачи [1]:

д2й. д2й. ~

дх2 ду 1

'iJ=

ui+ C.kix>y) Цк

Sik

(5)

i =1,2,...,M, (6)

U; - U.,1

г г+1

- 0 5 ui + 8 "+1 y. ' 1 дп г+1 dn

= о,

г = 1,2,...,МЛ, (7)

а.

д ui

t дп

I.

ip

= Угр (х,у,г), р=1,2,..., Р.,г = 1,2,...,М\

(х,у) е О. (8)

Будем предполагать, что решение этой задачи можно найти в аналитическом виде, например, методом интегральных преобразований [9, 14].

Рассмотрим формулу Грина для "

области П.:

|Т (иЬу-уЬи)с1£1- =

^ 1 дп дп 1

г

каждой

(9)

где

5Г U Sik+U hp^i-l

Подставив в формулу (9) вместо функции V функцию Грина С^(Р,0), определяемую в П. решением краевой задачи (1) - (4), получим обобщенное интегральное представление Грина решения краевой за-

дачи (5) - (8) в области П.:

1 3

)

dU.

G^)dSik +

1г

51

_ dG.

k=1 дп 1 дп

ik

К. г

+ £ к=К,

_ dG.

J Щ

S„

1г+1 ik

1 дп 1 дп

dU. ^ Ъ^-Щ +

ik

li - dG. dU. + 2 f (U- -^J— G;^-)dl.+

n=l i 1 dn i dn ip

U _ dG. dU.

+ у f gj. —l— Q.-l-)dl. +

n-P / v i дп i dn ' v

lz'+l ip

_ dG.

y . , 1 dn ' i-1

G.

dU.

_ dG,

G,

■ )dy- 1 + г дп ' г-1

dU,

г дп

Щ;

(10)

где ^.= 1, если (х,у) е £1^., у.=1/2, если (х,у) 6 Б., V. =0, если (х,у) ёП..

При i = 1 в правой части (10) отсутствует пятый член суммы, а при i = М отсутствует последний. Умножив обе части (10) на <г. и просуммировав по I от 1 до М, получим интегральное представление решения задачи (5) - (8) в области О:

М

М Ni

~ Z cr.v.U.(x,y) +11 1..С.(х,у,х..,у., i=i 1 1 1 i=i j=i У 1 У У

_ dG.

)-

м, кл.

-i J i

1 ¿1 I {Ui dN '

ik

dU. G.—pbdS.! -г dN ' ik

продолжение формулы...

Electrical facilities and systems

+

M

KM

окончание формулы. _ dG. 811.

* -51 {ut m' Gt^dSik+ ik

i=M]+1 k-

dU.

M Ki _ dG.

blj«'Ht-

1г+1 ik

МЪ PXi

ÔG.

dU.

+ä д,; ^ w-

ip

+

ip рЛ.

_ dG. dU.

M -

+ y y f (U.

r=M,+l г 9JV г dN' ip

3 ip

M pi _ ÔG. ÖC7.

+ У У f (U. —Ï— G.-—^-)dl. +

;=i г г cW ip

ip

M2+X - dG. SU.

м2 - dG. dl1.

+ S +

M - dG. dlJ.

+ у f (и.—l— G.-l-)dy. , +

/=4+2 ¿J 2 S7V J Vl

где

-= <7.-

-= ст.-

= «г.-

5 ,

Cik{Q)

= -E Z J

z=l ¿=1 S., ik

Четвертая сумма справа в (7) с учетом условий (8) и (4) преобразуется к виду:

МЪ РМ - Щ дй.

й Ы Ч

ip

IP

мъ ри

Рассмотрим седьмую и восьмую суммы. Очевидно, что

_ dG. dU.

S I (W-W^/-1 +

м2+1

/=2 Гм

M-

_ 3G.

0СЛ

+ Л i^/w-W^r

1=1 7i

\{U,

_ dG~ dU~ G,-2

)dy. +

2 <W "2 fflV ' r\ '1 _

_ SG, dU,

ÔG

M„+l

2--G

ßt/

M,

Mn,

dN

М2+1 Ô7V

2+1

М„

+

dG

Af„

ЭС/

G,

M,

l)dyM =0, (15)

М2

что следует из условия (7) и (3).

Таким образом, с учетом (8) - (11) интегральное представление Грина упрощается и принимает вид:

M

"I i=l

M

км

_ 5G,

dt/.

г'=М^+1 i=l &

г'А:

M

К. i

dG. i

dU. i"

M-l - 5G. dU. dG. dG. dU. dGU. dG. dG.

dN г дп ' г дп ' dN г dn

Упростим выражение (11). Второй член левой части (11) — неизвестная функция, поэтому введем обозначения: М ^

¿5 д^>^¥=р1(^'р=(х'у)-(12)

Рассмотрим в (12) первую сумму справа. Из граничных условий (6) и (2) выразим dG■ / dN и dU■ / dN через С-, и. и подставим полученные выражения в эту сумму и после некоторых преобразований получим:

М\ КЦ - Щ ди,.

1к

1=1 k=Kli+llk M P\i - dG. dl1.

3 r ip

p.

M ri _ dG. du.

+ У y f (U. —l— G.-l-)dl. +

i=\ p=RMl 1 dN i dN) ip 1г ip

M - dG. dÜ.

+ S i (U.—f - G.—±)dy. . + i=M2+2 r;_i idN 1 dN i~l

dS.k=F2(p). (13)

М-1 - dG. ди.

где ш - - ^С) + Г2С) + -РзС) •

Интегральное представление (16) не содержит неизвестных искомых функций и их производных по участкам границы многосвязной области О, которые включены в граничную задачу (1) - (4), определяющую функцию Грина.

Замечание.

Если М^ =М, Ку =К., М2 = М, М= М, то решение задачи (5) - (8) находится в явном виде, которое, как нетрудно видеть, совпадает с решением, полученным по методу Грина.

I I G(P,Q)çip(Q)dliD=F(p). 14

¿=1 р= 1/. 1 YlP 1Р 3

IP

Электротехнические комплексы и системы

Список литературы

1. Карабельская И.В. Исследования электрических полей постоянного тока в системах со сложными геометрическими параметрами // Электротехнические и информационные комплексы и системы. — 2015.

— Т. 11. — № 1. — С. 45-51.

2. Карабельская И.В. Примеры расчета электрических полей при электрохимической защите трубопроводов от коррозии // Электротехнические и информационные комплексы и системы. — 2015. — Т. 11. — № 2. — С. 23-29.

3. Карабельская И.В. Методы расчета электрических полей при электрохимической защите трубопроводов от коррозии в неоднородных и клиновидных средах // Электротехнические и информационные комплексы и системы. — 2015. — Т. 11. — № 4. — С. 25-33.

4. Карабельская И.В., Абызбаев И.И., Ахметов И.В., Майский Р.А., Янченко С.В. Моделирование методов исследования скважин на основе обобщенной формулы Грина // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. — 2016. — Вып. 2 (104). — С. 18-27.

5. Иванов В.Т., Болотнов А.М., Гадилова Ф.Г., Кильдибекова Г.Я., Кризский В.Н., Надергулов И.У, Карабельская И.В. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах // Известия вузов: Электромеханика. — 1987. — № 11.

— С. 21-26.

6. Иванов В.Т., Болотнов А.М., Гадилова Ф.Г., Кильдибекова Г.Я., Кризский В.Н., Надергулов И.У, Карабельская И.В. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах // I Всесоюзн. конф. по теоретической электротехнике: тез. докл. — Ташкент, 1987. — С. 34-35.

7. Болотнов А.М., Иванов В.Т., Кильдибекова Г.Я., Карабельская И.В. Методы расчета трехмерных краевых задач для эллиптических уравнений в многосвязных областях с цилиндрическими границами. — Деп. в ВИНИТИ 4.12.86. № 8870. — В 86. — Уфа: БГУ, 1986. — 49 с.

8. Ураков А.Р., Карамов В.И., Карабельская И.В. Исследования автомодельных процессов нестационарной ЭХО // Современная электротехнология в машиностроении: сб. тр. Всеросс. науч.-техн. конф.

— Тула, 1997. — С. 161-162.

9. Иванов В.Т., Гусев В.Г., Фокин А.Н. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. — М.: Машиностроение, 1986.

— 211 с.

10. Андреев И.Н. Коррозия металлов и их защита.

— Казань: Татарское кн. изд-во, 1979. — 120 с.

11. Заборовский А.И. Электроразведка. — М.: Гостехнефиздат, 1948.

12. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин. — М.: Недра, 1981. — 334 с.

13. Козырин А.К. Электрическая корреляция разрезов скважин. — М.: Недра, 1985.

14. Иванов B.T, Масютина М.С. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа. — М.: Шука, 1983. — 143 с.

15. Иванов B.X ^которые проблемы вычислительной математики применительно к расчетам электрических полей в электрохимических системах I Препринт докл. Президиуму БФЛИ СССР.

— Уфа: БФЛИ СССР, 1983. — 39 с.

16. Самарский A.A. Проблемы применения вычислительной техники II Bестник AH СССР. —

1984. — № 11. — С. 17-29.

17. Иванов B.X II Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами: тез. докл. B^^K^. конф. — Уфа: БФAH СССР, 1976.

— Ч. 1. — С. 19-20.

18. Иванов B.X Методы расчета трехмерных электрических полей в электролитах II Kраевые задачи математической физики и их приложения. — Уфа: БФAH СССР, 1976. — С. 18-53.

19. Иванов B.T, Глазов ИП., Махмутов М.М. Расчет трехмерных электрических полей в неоднородной среде с протяженными тонкими цилиндрическими электродами II Электричество. —

1985. — № 6. — С. 48-52.

20. Самарский A.A. Bведение в численные методы.

— М.: Hаука, 1982. — 271 с.

References

1. Karabel'skaya I.V. Issledovaniya elektricheskikh polei postoyannogo toka v sistemakh so slozhnymi geometricheskimi parametrami II Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. — 2015. — T. 11.

— № 1. — S. 45-51.

2. Karabel'skaya I.V. Primery rascheta elektricheskikh polei pri elektrokhimicheskoi zashchite truboprovodov ot korrozii II Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. — 2015. — T. 11. — № 2. — S. 23-29.

3. Karabel'skaya I.V. Metody rascheta elektricheskikh polei pri elektrokhimicheskoi zashchite truboprovodov ot korrozii v neodnorodnykh i klinovidnykh sredakh II Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. — 2015. — T. 11. — № 4. — S. 25-33.

4. Karabel'skaya I.V., Abyzbaev I.I., Akhmetov I.V., Maiskii R.A., Yanchenko S.V. Modelirovanie metodov issledovaniya skvazhin na osnove obobshchennoi formuly Grina II Problemy sbora, podgotovki i transporta nefti i nefteproduktov. — 2016. — Vyp. 2 (104). — S. 18-27.

5. Ivanov V.T., Bolotnov A.M., Gadilova F.G., Kil'dibekova G.Ya., Krizskii V.N., Nadergulov I.U., Karabel'skaya I.V. Kompleks programmno-algoritmich-eskogo obespecheniya chislennykh issledovanii elektricheskikh polei v nekotorykh slozhnykh sistemakh II Izvestiya vuzov: Elektromekhanika. — 1987. — № 11.

— S. 21-26.

6. Ivanov V.T., Bolotnov A.M., Gadilova F.G., Kil'dibekova G.Ya., Krizskii V.N., Nadergulov I.U., Karabel'skaya I.V. Kompleks programmno-algoritmich-eskogo obespecheniya chislennykh issledovanii elektrich-eskikh polei v nekotorykh slozhnykh sistemakh II I Vsesoyuzn. konf. po teoreticheskoi elektrotekhnike: tez. dokl. — Tashkent, 1987. — S. 34-35.

зз

Electrical facilmes and systems

7. Bolotnov A.M., Ivanov V.T., Kil'dibekova G.Ya., Karabel'skaya I.V. Metody rascheta trekhmernykh kraevykh zadach dlya ellipticheskikh uravnenii v mnogos-vyaznykh oblastyakh s tsilindricheskimi granitsami. — Dep. v VINITI 4.12.86. № 8870. — V 86. — Ufa: BGU, 1986. — 49 s.

8. Urakov A.R., Karamov V.I., Karabel'skaya I.V. Issledovaniya avtomodel'nykh protsessov nestatsionarnoi EKhO // Sovremennaya elektrotekhnologiya v mashinos-troenii: sb. trudov Vseross. nauch.-tekhn. konf. — Tula, 1997. — S. 161-162.

9. Ivanov V.T., Gusev V.G., Fokin A.N. Optimizatsiya elektricheskikh polei, kontrol' i avtomatizatsiya gal'vano-obrabotki. — M.: Mashinostroenie, 1986. — 211 s.

10. Andreev I.N. Korroziya metallov i ikh zashchita. — Kazan': Tatarskoe kn. izd-vo, 1979. — 120 s.

11. Zaborovskii A.I. Elektrorazvedka. — M.: Gostekhnefizdat, 1948.

12. Dakhnov VN. Elektricheskie i magnitnye metody issledovaniya skvazhin. — M.: Nedra, 1981. — 334 s.

13. Kozyrin A.K. Elektricheskaya korrelyatsiya razr-ezov skvazhin. — M.: Nedra, 1985.

14. Ivanov V.T., Masyutina M.S. Metody resheniya pryamykh i obratnykh zadach elektrokarotazha. — M.: Nauka, 1983. — 143 s.

15. Ivanov V.T. Nekotorye problemy vychislitel'noi matematiki primenitel'no k raschetam elektricheskikh polei v elektrokhimicheskikh sistemakh / Preprint dokl. Prezidiumu BFAN SSSR. — Ufa: BFAN SSSR, 1983.

— 39 s.

16. Samarskii A.A. Problemy primeneniya vychislitel'noi tekhniki // Vestnik AN SSSR. — 1984. — № 11. — S. 17-29.

17. Ivanov VT. // Teoriya informatsionnykh sistem i sistem upravleniya s raspredelennymi parametrami: tez. dokl. Vsesoyuzn. konf. — Ufa: BFAN SSSR, 1976. — Ch. 1. — S. 19-20.

18. Ivanov VT. Metody rascheta trekhmernykh elektricheskikh polei v elektrolitakh // Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki i ikh prilozheniya. — Ufa: BFAN SSSR, 1976. — S. 18-53.

19. Ivanov V.T., Glazov N.P., Makhmutov M.M. Raschet trekhmernykh elektricheskikh polei v neodnorod-noi srede s protyazhennymi tonkimi tsilindricheskimi elektrodami // Elektrichestvo. — 1985. — № 6. — S. 48-52.

20. Samarskii A.A. Vvedenie v chislennye metody.

— M.: Nauka, 1982. — 271 s.