Моделирование методов исследования скважин в клиновидной среде с цилиндрическимивключениями Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Карабельская И. В. КагаЬв^ауа I. V

доцент кафедры «Информатика и информационно-коммуникационные технологии», ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация

УДК 537.3-047.37

Абызбаев И. И.

Abyzbaev 1.1.

доктор технических наук, профессор кафедры «Разработка и эксплуатация нефтяных и газонефтяных месторождений», ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация

у 5\

я Л Г 1

' * Л

Могучев А. И. Moguchev A. I.

кандидат технических наук, доцент, декан горнонефтяного факультета, ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН В КЛИНОВИДНОЙ СРЕДЕ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ

ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Введение

При разработке нефтяных и газовых месторождений, при геофизических поисках глубо-козалегающих полезных ископаемых методами электроразведки, скважинной и межсква-жинной электроразведки на постоянном токе изучение структурной неоднородности пласта, включая состояние межскважинного пространства, имеет важное научно-техническое значение. Объемное исследование пластовых систем со сложными геологическими параметрами возможно путем математической обработки наведенного электромагнитного поля.

Задачи и методы решения

В статье представлены математическая модель трехмерной граничной краевой задачи, описывающей электрические поля, создаваемые точечными источниками тока, с цилиндрическими неоднородностями, электродами и изоляторами; вычислительные алгоритмы понижения размерности задачи.

Решение задачи получено при помощи комбинированного метода, основанного на использовании интегрального преобразования, интегральных уравнений и дифференциально-разностного метода.

С помощью преобразований получена двумерная краевая задача, для решения которой используется вторая формула Грина.

Двумерная краевая задача преобразована в одномерную краевую задачу, для которой частное решение находится методом построения функции Грина.

Задача представлена в векторном виде. Общее решение краевой задачи определяется по формуле обращения преобразования Фурье.

Результаты

В данной работе изложен метод решения задачи скважинной и межскважинной электроразведки на постоянном токе в плоско-параллельной среде с цилиндрическими включениями.

В данной работе представлены разработанные, апробированные на ЭВМ комбинированные алгоритмы численного анализа электрических полей, описываемых трехмерными

нелинейными самосогласованными краевыми задачами в плоско-параллельной среде с цилиндрическими неоднородными включениями, изоляторами и электродами.

Этот класс моделей моделей охватывает широкий ряд теоретических задач электрических и тепловых полей, имеющих важные практические приложения [1-13, 15-17, 21, 22].

Для решения задач расчета электрических полей разрабатывались общие и специальные методы математической физики [14, 18-20, 23-25].

Ключевые слова: нефтегазовое месторождение, межскважинное пространство, методы электроразведки, методы скважинной и межскважинной электроразведки, электрические поля постоянного тока, самосогласованная краевая задача, системы со сложными геометрическими параметрами, формула обращения преобразования Фурье, система интегральных уравнений Фредгольма второго рода, вторая формула Грина.

MODELING METHODS OF WELLS THE WEDGE-SHAPED MEDIUM WITH CYLINDRICAL INCLUSION

Introduction

In the development of oil and gas fields, with deep-seated geophysical search for minerals by electrical, borehole and cross-well electrical DC to study the structural heterogeneity of the formation, including the state of cross-borehole space are of great scientific and technological importance. Volumetric study of reservoir systems with complex geological settings is possible by mathematical processing of the induced electromagnetic field.

Objectives and methods of solution

The paper formulated a mathematical model of the three-dimensional boundary of the boundary value problem describing the electric fields generated by the current point sources, with cylindrical inhomogeneities electrodes and insulators; computational algorithms lowering dimension of the problem.

The solution obtained by the combined method based on the integral transformation on integral equations and differential-difference method.

Obtained using a two-dimensional transformation boundary value problem for which the solution is used a second Green formula.

With the help of a two-dimensional transformation boundary value problem is transformed into a one-dimensional boundary value problem for which a particular solution is the method of construction of the Green's function.

Presented task vector. The general solution of the problem is given by the treatment of the Fourier transform.

Results

In this paper a method of solving the problem of borehole and cross-well electrical direct current in a plane-parallel environment with cylindrical inclusions.

This paper presents the developed, tested by computer algorithms combined numerical analysis of electric fields described by the three-dimensional self-consistent nonlinear boundary value problems in a plane-parallel environment with cylindrical heterogeneous inclusions, insulators and electrodes.

This class of models of models covers a wide range of theoretical problems of electric and thermal fields with important practical applications [1-13, 15-17, 21, 22].

To solve the problems of calculation of electric fields developed general and specific methods of mathematical physics [14, 18-20, 23-25].

Key words: oil and gas field, inter-well space, methods of electrical exploration, methods of borehole and cross-well electrical exploration, electric field of direct current, self-consistent boundary value problem, the system with complex geometric parameters, the inversion formula of the Fourier transform, the system of Fredholm integral equations of the second kind, the second Green formula.

При исследовании залежей углеводородов нередко возникает необходимость подробного изучения структуры пласта и учета его особенностей. Среди множества методов

изучения межскважинного пространства на месторождениях нефти и газа можно выделить методы скважиной электроразведки, в основе которых лежит исследование наведен- 73

и системы. № 1, т. 13, 2017

ного электрического поля, путем обработки полученных физических данных можно получить объемную структуру неоднородных пород [1-8].

Скважинная электроразведка позволяет детально изучить структуру нефтегазового месторождения и учесть возможности осложнений [9-16].

Стремление к получению достоверного численного анализа математических с использованием ограниченных ресурсов вычислительных средств приводит к необходимости разработки эффективных алгоритмов. Основная трудность, находящаяся на этом пути, заключается в трехмерности и многосвязности расчетных областей, нелинейности математических моделей, содержащих в качестве исходных данных гладкие и разрывные функции. Трудности решения таких задач в общем случае приводят к необходимости разработки экономичных алгоритмов для определенного класса задач. Эти алгоритмы, как правило, основаны на комбинировании различных вычислительных методов [17-20].

Эффективность и универсальность метода интегральных уравнений позволяет создать автоматизированную систему научных исследований (АСНИ) электрических полей в сложных системах методом вычислительного эксперимента на основе разработанных пакетов прикладных программ.

АСНИ электрических полей можно использовать в качестве подсистемы САПР электрохимических технологий, электрохимической защиты металлических сооружений от коррозии и для автоматизированной интерпретации геофизических методов поиска полезных ископаемых, основанных на постоянном электрическом поле [22-24].

В настоящее время имеет место тенденция к созданию АСНИ на основе обобщенных математических моделей, универсальных алгоритмов и пакетов прикладных программ ППП.

Рассмотрим полупространство, разделенное на п клиновидных областей системой полуплоскостей, сходящихся на дневной поверхности. Все клиновидные области имеют общее ребро. В клиньях расположено

т цилиндрических областей с удельными электропроводностями а., (] = п +1, ..., п + т), отличными от удельных электропроводно-стей клиньев а.(г = 1, ..., п).

Проблема расчета потенциала в условиях среды рассматриваемого типа возникает в задачах скважинной электроразведки. Указанная модель среды является отражением тех случаев, когда месторождение представляет собой серию рудных тел, расходящихся веерообразно от поверхности земли в глубину. Во многих случаях рудные и жильные дайки имеют большую длину по простиранию — вдоль поверхности и по падению — в глубину, и могут быть моделированы в виде секторовидных неоднородностей, значительно отличающихся по своей удельной электрической проводимости от вмещающих пород.

Электрическое поле, создаваемое источником постоянного тока силы I, расположенного в точке М0(х0, у0, z), можно описать следующей краевой задачей:

8 (а(х>У) ^гг)+-Jr (°"(*> >0 ^г-) + °"(х> у)

ôx ' дх ду = -Щх - Xq Щу-у0 Щг%

ду

д2Ц dz2 "

dU

ду

= 0,

dU

U.

у=0

= UJ

dz

z=0

(1) (2)

dU,

r-Ui dni

dU

= aj~dÏ7

г = 1, 2, ..., п + т; (3)

и. —>0 при х2+у^2—ю; г = 1, 2, ..., п + т. (4)

В условиях (3) индексы г и . являются номерами соседних областей.

Решение задачи (1)-(4) можно получить при помощи комбинированного метода, основанного на интегральном преобразовании, интегральных и дифференциальных уравнениях и дифференциально-разностного метода.

Область симметрична по г, поэтому можем применить косинус-преобразование Фурье по г. Получим двумерную краевую задачу:

1 д. , 1 8, , 2Г7

-^-Ях-Xq) 5 (у-уо );

'о _

dU

ду

=о;

^=0

(5)

(6)

иг

*ruJ

щ

S'** дп-i

i

д U.

=а:

8п.

,i = 1, 2, ..., n + m; (7)

U —»0 при где U(x,y,p)

2 оо_

| U(x,y,z)cospzdp; ж q

Q

Г

Щ=

2%

д 8Gi Ылу) Ik^'^lk^ а(х,у) ду

■SQA-M,0);

SGi

ду

-О,

у=О

Gi

S=Gi+l

n,

S^i дп,

= <т

dGi+1

г+1 дп:

1, 2,

—0 при ^х2

Перейдем к полярной системе координат:

-+—

dzG.ldG. 1 1 5 2

(8)

5r2 ■rdr'*(<p)r2d<p(ai<PW~P Gi

dG

S. — граница области, образованной сечением плоскостью z = const либо цилиндрической области Q., либо полуплоскости, ограничивающей клиновидную область Q..

Если воспользоваться второй формулой Грина

JJ(vL«-MLv)ds = J_(v|^-«|^M/ (9)

д<р

(р=0,я

= 0,|G(0,p)jP|<oo;

<p=<t\

= G,

dG■

dG.

<P=4\

dq>

(17)

(18) . (19)

<P=4\

и сделать соответствующие преобразования, то получим систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода:

- т - (б,М.) пт

ги(в)~2£ I {<гГак}иЩ)-^-<В = Р1СКВ,М0). (10)

В качестве вспомогательной функции возьмем G(Q, М), которая является решением краевой задачи:

1 0, , , 1

О —0 при г—ю. (20)

Решение задачи (17)-(20) построим на основе дифференциально-разностного метода. Аппроксимируем производные по ф, тогда получим краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

дг2 г дг r2h2

S2G, 1 dG

__±

(21)

д dGi 9

(11) (12)

d2G,

--~-;-,] = \M\

o— I__ 'j ' '

JV+l +J_

SG,

лг+1 , _2_,„ r

_vjat+i )~P2Gn+,-0;

dr2 r 8r riti

G —0 при r—ю;

J ят , °(<Pj Щ+Ф] -0)

где ^4 = 9 ;

(13)

(14)

О. —»0 при ^Х^ +у^—Ю.

Общее решение задачи (1)-(4) восстанавливаем по формуле обращения преобразования Фурье:

2 оо_

Щх,у,г)=—\Щх,у,р)со5ргс1р. (15) л О

Рассмотрим применение предложенного метода для частного случая двух клиновидных областей с I цилиндрическим включением, т.е. п = 2, т = 1. Задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

_ _ дв (е.МЛ

и@)-21 (а4-а2)ЩМ,)-^—¡-Л = рЮ^Мц ) (16)

Вспомогательная функция 0(0, М) удовлетворяет краевой задаче (11)-(14) для случая двух клиньев. Решение этой задачи можно построить различными методами [18, 26].

N + Г J±\ I,k = J,

Пронумеруем систему уравнений (21) от I до М = N +2 и представим задачу в векторном виде:

1 т у >Т = _Мг-го) дг2 г дг г2 к2 2аккг0

Г—0 при Г—ю. Здесь

Г = )Т,1 = (0,...,1„, 0,...,0)Г

0... 0... о

(22)

А ~вх

Т — С2

о... о 0... о

0...

о

См-1 1 BM_i

о

-С л

д2О0 1 асп 2 ,

Якобиова матрица Т — простой структуры, поэтому она представляется в виде:

Т = Я.~1АЯ, где Л = (Д1,...ДМ) — диагональная матрица М-порядка.

Умножим (22) на матрицу R слева, получим:

д2и„

1 дЦ,

- и" р и» 1сгк hr0

дг2 г дг г2 к2 ,

ип —0 при г—ю; п = 1 , ..., М. (23)

Решение этой задачи определяется методом построения функции Грина:

/г

пк

Un{*) = 2cTh K^(pr0)lvn(pr), r<r0 к

Kvn{pr)lvn{pr^, r>r0,

-Cmrm-l+(Am ~¿Уrm +Bm rm+l = 0

получаем /5=1, //=-]-.

Матрица, построенная из собственных векторов Щ матрицы Т', и будет искомой матрицей К Теперь можно определить решение задачи (22).

V = R U

или

M

Ц(г,р)= Ё ипв^в^...в:1_10 (Яп),} = 1,2,...,М; (26)

* п=\

где ип вычисляются по формуле (24).

Если направляющей цилиндра является эллипс:

(х-хк)2а-2Цу-ук)2Ь-2 = 1, то задача сводится к решению интегрального уравнения:

и{ср)-2{а -а ) \Щ)К(1,<р)& = %>),

4 / 0

где = К<Р) = РЮ{<р,%) (27)

Решение двумерной задачи (5)-(8) находим по формуле - т - двш,м.) тУ2.1 J (агак)ЩМ,)-(28)

а общее решение задачи (1)-(4) — по формуле обращения преобразования Фурье:

(24)

где, = гпь — элемент матрицы R.

Для определения собственных чисел Хп и собственных векторов гл матрицы Т необходимо решить систему уравнений:

^х-Щ-В^ъ =0

(25)

. ~СтгтА+(Ат -Я)тт =о. Характеристический многочлен Якобиевой матрицы задачи (25) раскрывается по следующим рекуррентным формулам: D0(A) = l,Dl(A) = A]-A,DJ(A) =

=Ц. -A)Dj_l(A)-BJ_1CjD._2(A), j = l,...,M.

Корни характеристического уравнения D, = 0 являются собственными числами матрицы T. Собственные векторы вычисляются по явным формулам [7]:

rjs =lsB~{ JS21..^1JD._1(;ii))j)s = lJ2J...,M.

Для матрицы T' собственные векторы вычисляются по формулам:

rj=l'sC 2 Q...СJlDH(Я,), j,s = 1,2,...,M.

Из условия биортогональности собственных векторов матриц T и T

rXs rfl + r2s rj2+-+ rMs rJM= 0, S*j

ds,s = j

U(x,y,z) = — f U(x,y,p) cos pzdp n 0

(29)

Все оценки погрешности, полученные для плоско-параллельной среды, верны и для клиновидной среды.

Вывод

Данный метод решения задачи позволяет рассчитывать поле точечного источника, расположенного вне цилиндрических включений. По принципу взаимности можно получить решение вне цилиндрических включений, когда источник тока расположен внутри цилиндрических неоднородностей.

Методы реализованы на ЭВМ в виде комплекса программ.

Список литературы

1. Доломатов М.Ю., Карабельская И.В., Ковалева Э.А. Проектирование ИС по свойствам и электронным характеристикам сложных многокомпонентных органических систем // Электротехнические и информаци-

онные комплексы и системы. 2014. № 2. Т. 10. С. 45-51.

2. Доломатов М.Ю., Шуляковская Д.О., Карабельская И.В. Интегральные характеристики спектров сложных молекулярных систем и их информационные свойства // Электротехнические и информационные

комплексы и системы. 2015. № 3. Т. 11. С.113-120.

3. Карабельская И.В. Исследования электрических полей постоянного тока в системах со сложными геометрическими параметрами // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2015. № 1. Т. 11. С. 45-51.

4. Карабельская И.В. Примеры расчета электрических полей при электрохимической защите трубопроводов от коррозии // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2015. № 2. Т. 11. С. 23-29.

5. Карабельская И.В., Абызбаев И.И. Методы расчета электрических полей при электрохимической защите трубопроводов от коррозии в неоднородных и клиновидных средах // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2015. № 4. Т. 11. С. 25-33.

6. Карабельская И.В., Абызбаев И.И., Майский Р. А. Моделирование методов исследования скважин на основе обобщенной формулы Грина // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. 2016. Вып. 2 (104). С. 18-27.

7. Карабельская И.В., Абызбаев И.И. Моделирование методов исследования скважин на основе формирования системы эквивалентных интегральных уравнений // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. 2016. Вып. 3 (105). С. 59-71.

8. Карабельская И.В., Абызбаев И.И., Ахметов И.В. Обобщенная функция Грина // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2016. № 2. Т. 12. С. 29-34.

9. Иванов В.Т., Болотнов А.М., Гадило-ва Ф.Г., Кильдибекова Г.Я., Кризский В.Н., Надергулов И.У, Карабельская И.В. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах // Известия вузов: Электромеханика. 1987. № 11. С. 21-26.

10. Иванов В.Т., Болотнов А.М., Гади-лова Ф.Г., Кильдибекова Г.Я., Кризский В.Н., Надергулов И.У, Карабельская И.В. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах // I

Всесоюзн. конф. по теоретической электротехнике: тез. докл. Ташкент, 1987. С. 34-35.

11. Болотнов А.М., Иванов В.Т., Кильдибекова Г.Я., Карабельская И.В. Методы расчета трехмерных краевых задач для эллиптических уравнений в многосвязных областях с цилиндрическими границами. Деп. в ВИНИТИ 4.12.86. № 8870. В 86. Уфа: БГУ, 1986. 49 с.

12. Ураков А.Р., Карамов В.И., Карабельская И.В. Исследования автомодельных процессов нестационарной ЭХО // Современная электротехнология в машиностроении: сб. тр. Всеросс. науч.-техн. конф. Тула, 1997. С.161-162.

13. Иванов В.Т., Гусев В.Г., Фокин А.Н. Оптимизация электрических полей, контроль и автоматизация гальванообработки. М.: Машиностроение, 1986. 211 с.

14. Андреев И.Н. Коррозия металлов и их защита. Казань: Татарское кн. изд-во, 1979. 120 с.

15. Заборовский А.И. Электроразведка. М.: Гостехнефиздат, 1948.

16. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин. М.: Недра, 1981. 334 с.

17. Козырин А.К. Электрическая корреляция разрезов скважин. М.: Недра, 1985.

18. Иванов В Т., Масютина М.С. Методы решения прямых и обратных задач электрокаротажа. М.: Наука, 1983. 143 с.

19. Иванов В.Т. Некоторые проблемы вычислительной математики применительно к расчетам электрических полей в электрохимических системах / Препринт докл. Президиуму БФАН СССР. Уфа: БФАН СССР, 1983. 39 с.

20. Самарский А.А. Проблемы применения вычислительной техники // Вестник АН СССР. 1984. № 11. С. 17-29.

21. Иванов В.Т. Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами: тез. докл. Всесоюзн. конф.: Ч. 1. Уфа: БФАН СССР, 1976. С. 19-20.

22. Иванов В.Т. Методы расчета трехмерных электрических полей в электролитах // Краевые задачи математической физики и их приложения. Уфа: БФАН СССР, 1976. С. 18-53.

23. Иванов В.Т., Глазов Н.П., Махму-тов М.М. Расчет трехмерных электрических

Data processing facilities and systems

полей в неоднородной среде с протяженными тонкими цилиндрическими электродами // Электричество. 1985. № 6. С. 48-52.

24. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 271 с.

25. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод решения задач электродинамики неоднородных сред // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1970. № 6. С. 1458-1464.

26. Сахарников Н.А. Поле точечного источника в среде, состоящей из клиновидных неоднородностей // Ученые записки ЛГУ. Сер. физ. и геол. наук. 1966. Вып. 16. № 329. С. 129-170.

References

1. Dolomatov M.Yu., Karabel'skaya I.V., Kovaleva E.A. Proektirovanie IS po svoistvam i elektronnym kharakteristikam slozhnykh mnogokomponentnykh organicheskikh sistem // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2014. № 2. T. 10. S. 45-51.

2. Dolomatov M.Yu., Shulyakovskaya D.O., Karabel'skaya I.V. Integral'nye kharakteristiki spektrov slozhnykh molekulyarnykh sistem i ikh informatsionnye // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2015. № 3. T. 11. S. 113-120.

3. Karabel'skaya I.V. Issledovaniya elektricheskikh polei postoyannogo toka v sistemakh so slozhnymi geometricheskimi parametrami // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2015. № 1. T. 11. S. 45-51.

4. Karabel'skaya I.V. Primery rascheta elektricheskikh polei pri elektrokhimicheskoi zashchite truboprovodov ot korrozii // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2015. № 2. T. 11. S. 23-29.

5. Karabel'skaya I.V., Abyzbaev I.I. Metody rascheta elektricheskikh polei pri elektrokhimicheskoi zashchite truboprovodov ot korrozii v neodnorodnykh i klinovidnykh sredakh // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2015. № 4. T. 11. S. 25-33.

6. Karabel'skaya I.V., Abyzbaev I.I., Mai-skii R.A. Modelirovanie metodov issledovaniya skvazhin na osnove obobshchennoi formuly Grina // Problemy sbora, podgotovki i transporta nefti i nefteproduktov. 2016. Vyp. 2 (104). S. 18-27.

7. Karabel'skaya I.V., Abyzbaev I.I. Modelirovanie metodov issledovaniya skvazhin na osnove formirovaniya sistemy ekvivalentnykh integral'nykh uravnenii // Problemy sbora, podgotovki i transporta nefti i nefteproduktov. 2016. Vyp. 3 (105). S. 59-71.

8. Karabel'skaya I.V., Abyzbaev I.I., Akhmetov I.V. Obobshchennaya funktsiya Grina // Elektrotekhnicheskie i informatsionnye kompleksy i sistemy. 2016. № 2. T. 12. S. 29-34.

9. Ivanov V.T., Bolotnov A.M., Gadilova F.G., Kil'dibekova G.Ya., Krizskii V.N., Nadergu-lov I.U., Karabel'skaya I.V. Kompleks prog-rammno-algoritmicheskogo obespecheniya chislennykh issledovanii elektricheskikh polei v nekotorykh slozhnykh sistemakh // Izvestiya vuzov: Elektromekhanika. 1987. № 11. S. 21-26.

10. Ivanov V.T., Bolotnov A.M., Gadilova F.G., Kil'dibekova G.Ya., Krizskii V.N., Nadergulov I.U., Karabel'skaya I.V. Kompleks programmno-algoritmicheskogo obespecheniya chislennykh issledovanii elektricheskikh polei v nekotorykh slozhnykh sistemakh // I Vsesoyuzn. konf. po teoreticheskoi elektrotekhnike: tez. dokl. Tashkent, 1987. S. 34-35.

11. Bolotnov A.M., Ivanov V.T., Kil'dibekova G.Ya., Karabel'skaya I.V. Metody rascheta trekhmernykh kraevykh zadach dlya ellipticheskikh uravnenii v mnogosvyaznykh oblastyakh s tsilindricheskimi granitsami. Dep. v VINITI 4.12.86. № 8870. V 86. Ufa: BGU, 1986. 49 s.

12. Urakov A.R., Karamov V.I., Karabel'skaya I.V. Issledovaniya avtomodel'nykh protsessov nestatsionarnoi EKhO // Sovremennaya elektrotekhnologiya v mashinostroenii: sb. tr. Vseross. nauch.-tekhn. konf. Tula, 1997. S. 161-162.

13. Ivanov V.T., Gusev V.G., Fokin A.N. Optimizatsiya elektricheskikh polei, kontrol' i avtomatizatsiya gal'vanoobrabotki. M.: Mashinostroenie, 1986. 211 s.

14. Andreev I.N. Korroziya metallov i ikh zashchita. Kazan': Tatarskoe kn. izd-vo, 1979. 120 s.

15. Zaborovskii A.I. Elektrorazvedka. M.: Gostekhnefizdat, 1948.

16. Dakhnov V.N. Elektricheskie i magnitnye metody issledovaniya skvazhin. M.: Nedra, 1981. 334 s.

17. Kozyrin A.K. Elektricheskaya korrelyatsiya razrezov skvazhin. M.: Nedra, 1985.

18. Ivanov V.T., Masyutina M.S. Metody resheniya pryamykh i obratnykh zadach elektrokarotazha. M.: Nauka, 1983. 143 s.

19. Ivanov V.T. Nekotorye problemy vychislitel'noi matematiki primenitel'no k raschetam elektricheskikh polei v elektrokhimicheskikh sistemakh / Preprint dokl. Prezidiumu BFAN SSSR. Ufa: BFAN SSSR,

1983. 39 s.

20. Samarskii A.A. Problemy primeneniya vychislitel'noi tekhniki // Vestnik AN SSSR.

1984. № 11. S. 17-29.

21. Ivanov V.T. Teoriya informatsionnykh sistem i sistem upravleniya s raspredelennymi parametrami: tez. dokl. Vsesoyuzn. konf.: Ch. 1. Ufa: BFAN SSSR, 1976. S. 19-20.

22. Ivanov V.T. Metody rascheta trekhmernykh elektricheskikh polei v elektrolitakh // Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki i ikh prilozheniya. Ufa: BFAN SSSR, 1976. S. 18-53.

23. Ivanov V.T., Glazov N.P., Makhmutov M.M. Raschet trekhmernykh elektricheskikh polei v neodnorodnoi srede s protyazhennymi tonkimi tsilindricheskimi elektrodami // Elektrichestvo. 1985. № 6. S. 48-52.

24. Samarskii A.A. Vvedenie v chislennye metody. M.: Nauka, 1982. 271 s.

25. Dmitriev V.I., Zakharov E.V. Metod resheniya zadach elektrodinamiki neodnorodnykh sred // Zhurnal vychisl. matem. i matem. fiz. 1970. № 6. S. 1458-1464.

26. Sakharnikov N.A. Pole tochechnogo istochnika v srede, sostoyashchei iz klinovidnykh neodnorodnostei // Uchenye zapiski LGU. Ser. fiz. i geol. nauk. 1966. Vyp. 16. № 329. S. 129-170.