CC BY
5Автоматизация построения множества общих точек трехосных гиперболоидов
Ваванов Дмитрий Алексеевич,
преподаватель кафедры начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, vavanovda248@gmail.com
Иващенко Андрей Викторович,
кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, ivashchenkoav@mail.mgsu.ru
В данном исследовании изучаются различные случаи получения множества общих точек трехосных гиперболоидов, в многообразии параметров формы и положения в пространстве. Соотношение величины эксцентриситета горлового эллипса к углу при вершине асимптотического конуса будет определять очертание изучаемой поверхности. Положение в пространстве рассматриваемой пары поверхностей определяется расстояниями между их центрами, а также между их осями.
В работе приводится форма, задаваемая множеством общих точек этих поверхностей; полученные очертания классифицируются по некоторым ключевым признакам. Все вычисления выполнены с помощью комплекса 1№№е-matica.
В связи с распространенностью форм гиперболоида в строительной практике и механике, данные разработки представляют определенный интерес. Ключевые слова: трехосный однополостной гиперболоид, пространственная линия пересечения, компьютерная система символьных вычислений, стереометрия, трехмерная компьютерная графика, нелинейные системы.
Рассмотрим однополостной гиперболоид. Уравнение:
х1
где х,у,г - координаты трехмерного пространства, а а,Ь,с - коэффициенты, в общем виде описывает трехосный однополостный гиперболоид.
Если два коэффициента а и Ь равны между собой, то гиперболоид является гиперболоидом вращения.
Рассматривая поверхность с точки зрения описывающего ее аналитического уравнения, а кривую пересечения - как систему двух квадратичных переменных с тремя неизвестными, получаем в итоге пространственную кривую 4-го порядка, в некоторых частных случаях распадающуюся на 2 компоненты (например, две кривые 2-го порядка, или прямую и скрученную кубику). Все эти варианты формы кривой явным образом зависят от параметров формы и взаимного расположения исходных поверхностей. Во всем этом процессе наибольшая алгоритмическая сложность относится к получению решения системы нелинейных уравнений.
Получение кривых проводилось следующим образом:
Во-первых, определялся набор факторов, влияющих на форму кривой, параметры формы и взаимного расположения. Этот набор факторов представляет собой п-мерное пространство параметров.
Во-вторых, при фиксированных п-1 факторах менялся один из факторов, при этом анализировалась динамика изменения формы кривой.
Поскольку невозможно перебрать все варианты формы кривой пересечения, то задавался ряд признаков, по которым можно было бы классифицировать кривую.
1) Один из гиперболоидов фиксируется (например, таким фиксированным гиперболоидом пусть будет гиперболоид вращения), у второго меняется один из параметров, а именно - либо параметр формы (угол асимптотического конуса, эксцентриситет горлового эллипса), либо параметр взаимного расположения (смещение от центра первого гиперболоида, либо угол наклона к одной из координатных осей, либо расстояние между осями).
х
X
о
го А с.
X
го т
о
ю 3
м о
О)
о
см
О!
О Ш
т
X
<
т О X X
2) в Mathematica-11 рассчитывается уравнение гиперболоида с измененным параметром.
3) Рассчитывается изображение линии пересечения.
Приведем полученные результаты при следующих значениях параметров первого (фиксированного) гиперболоида: образующие очерка расположены под прямым углом, и горловой эллипс является окружностью.
Проведем исследование влияния на форму кривой угла наклона второго гиперболоида
Первый гиперболоид будет гиперболоидом
02
вращения, с осью, совпадающей с осью (Рис. 1), описываемый уравнением: -1 1-Х* +у1-%1=о
Рис. 1 Гиперболоид вращения.
Второй гиперболоид - трехосный, повернут на п/12 (15 градусов) относительно оси ОУ (Рис. 2), описывается уравнением:
^(-50 + (4 + з^гуу' - вух + <;4 - з-^') = о
Рис. 2 Трехосный гиперболоид.
Множество общих точек вырождается в эллипсы, лежащие в пространстве под прямым углом друг к другу. (Рис. 3).
Рис. 3 Пересекающиеся гиперболоиды и их линия пересечения.
На рисунках представлены две ортогональные проекции линии персечения, и перспективная проекция с точкой наблюдения (с координатами (1,1,1)).
Эллипсы выделены на рисунке увеличением толщины линий, по сравнению с образующими и линиями контура исходных гиперболоидов.
При изменении угла поворота второго гиперболоида до 30 градусов (Рис. 4) уравнение соответствующим образом изменится :
Рис. 4 Гиперболоид повернут на 30°.
Линия пересечения распадается, как и в предыдущем варианте, на две коники, но теперь вместо одного из эллипсов будет гипербола (Рис. 5).
Рис. 5 Пересечение двух гиперболоидов, один из которых повернут на 30°.
Таким образом, в зависимости от угла наклона второго гиперболоида мы можем получить в качестве второй компоненты линии пересечения либо эллипс, либо гиперболу, либо пару параллельных прямых.
Теперь рассмотрим пересечение двух однотипных трехосных однополостных гиперболоидов, причем второй получен вращением первого гиперболоида относительно вертикальной оси 02. В пересечении получается пара гипербол, лежащих во взаимно пересекающихся под прямым углом горизонтально проецирующих плоскостях (Рис. 6).
Рис. 6 Пересечение двух соосных гиперболоидов с разным углом поворота.
В этой серии (Рис 6) тип кривых не меняется (постоянно получаются гиперболы), меняется только параметры их взаимного расположения, и эксцентриситеты.
Расмотрим теперь вращение второго гиперболоида относительно первого относительно
прямой У = % на угол тт/12 (15градусов).
Гиперболоид расположен под небольшим углом к вертикали (Рис. 7).
Рис. 7 Повернутый трехосный гиперболоид.
Соответствующая линия пересечения представлена ниже ,в разных ракурсах (Рис. 8).
Рис. 8 Пересечение гиперболоидов, образующих пространственную и нераспадающуюся кривую.
На иллюстрациях видно, что кривая начинает «соскальзывать» с объединения эллипса и гиперболы, и приобретает неправильную форму, которая будет все более «неправильной» по мере увеличения угла наклона оси гиперболоида к вертикали.
Рассмотрим угол поворота второго гиперболоида относительно первого относительно оси у=х, равный п/4 (т.е. 45 градусам).
Ниже показан этот гиперболоид (Рис. 8).
Рис. 8 Гиперболоид, повернутый на п/4.
Линия пересечения показана ниже (Рис. 9), в разных ракурсах.
Рис. 9 Линия пересечения двух гиперболоидов в разных ракурсах.
Заключение
Рассмотренная методика позволяет генерировать различные варианты серий кривой пере-
х
X
о
го А
с.
X
го т
о
ю 3
м о
О)
о
CS
fO Ol
сечения, отличающихся последовательным изменений какого-либо выбранного параметра в пространстве параметров формы и взаимного расположения двух трехосных однополостных гиперболоидов вращения, и представляющей собой пространственную кривую четвертого порядка (в общем случае неправильную, но в частных случаях вырождающуюся и распадающуюся на компоненты кривой второго порядка).
Используемый в качестве рабочего инструмента пакет Wolfram Mathematica позволяет достаточно оперативно менять различные параметры , и работать не с коэффициентами общего уравнения поверхности второго порядка, а с параметрами формы и взаимного расположения объектов. Это дает возможность проводить исследование формы получающейся кривой и классифицировать ее по различным основаниям.
Литература
1. Кривошапко С.Н., Мамиева И.А. Выдающиеся пространственные сооружения последних 20 лет// Монтажные и специальные работы в строительстве. 2012. № 12. С. 8-14.
2. Кривошапко С.Н. Анализ современного состояния исследований в области формообразования, прочности и динамики висячих конструкций и покрытий: Пленарный доклад// Современные проблемы механики, энергоэффективность сооружений и ресурсосберегающие технологии. М.: Изд-во РУДН. 2015. С. 100-115.
3. Замятин А.В. Алгоритмы визуализации нелинейчатых поверхностей // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2010. № 6. С. 30-39.
4. Математическая энциклопедия. В 5 т. Т.1/ под ред. Виноградова И.М. М.: Советская энциклопедия. 1977. С.328.
5. Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1973. С.466.
6. Воробьев Е.М. Введение в систему Математика. М.: Финансы и статистика. 1997. С.137.
7. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Наука. 1988. С.212.
8. Пеклич В.А. Начертательная геометрия. М. 1999. С. 117.
Automation of construction of the set of joint points of
three-heavy hyperboloids Vavanov D.A., Ivashchenko A.V.
NRU MGSU
In this article, we study various cases of obtaining a set of common points of triaxial hyperboloids in a variety of shape and position parameters in space. The ratio of the eccentricity of the throat ellipse to the angle at the vertex of the asymptotic cone will determine the shape of the surface under study. The position in space of the considered pair of surfaces is determined by the distances between their centers, as well as between their axes. The paper presents the form given by the set of common points of these surfaces; The resulting outlines are classified according to some key features. All calculations are performed using the Mathematica programm complex.
Due to the prevalence of hyperboloid forms in building practice and mechanics, these developments are of particular interest.
Keywords: Three-axis unistracted hyperboloid, spatial intersection line, computer system of symbolic calculations, stereometry, three-dimensional computer graphics, nonlinear systems. References
1. Krivoshapko S.N., Mamieva I.A. Outstanding spatial structures of the last 20 years // Installation and special works in construction. 2012. № 12. pp. 8-14.
2. Krivoshapko S.N. Analysis of the current state of research in
the field of shaping, strength and dynamics of hanging structures and coatings: Plenary report // Modern problems of mechanics, energy efficiency of structures and resource-saving technologies. M .: Publishing house of RUDN. 2015. pp. 100-115.
3. Zamyatin A.V. Algorithms for the visualization of non-linear
surfaces // Proceedings of the higher educational institutions. North Caucasus region. Technical science. 2010. No. 6. pp. 30-39.
4. Mathematical encyclopedia. In 5 t. T.1 / ed. Vinogradova I.M.
M .: Soviet Encyclopedia. 1977. p.328.
5. Postnikov MM Analytic geometry. M .: Science. 1973. P.466.
6. Vorobiev E.M. Introduction to the Mathematics system. M .:
Finance and Statistics. 1997. p.137.
7. Gordon V.O., Sementsov-Ogievsky M.A. The course of de-
scriptive geometry. M .: Science. 1988. p. 212.
8. Peklitch V.A. Descriptive geometry. M. 1999. p. 117.
О Ш
m x
3
<
m о x
X
