CC BY
18Линия пересечения двух однополостных гиперболоидов вращения разной формы
О)
о
сч
О Ш
m
X
3
<
m о х
X
Ваванов Дмитрий Алексеевич
преподаватель кафедры начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), kohi-nor51@yandex.ru
Иващенко Андрей Викторович
кандидат технических наук, доцент кафедры Начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), ivashchenko_a@inbox.ru
В настоящей статье рассматриваются варианты пересечения однополостных гиперболоидов вращения, полученных при различных вариантах начальных параметров формы и их взаимного расположения.
Параметром формы является отношение радиуса горловой окружности гиперболоида к величине угла его асимптотического конуса.
Параметрами взаимного расположения двух гиперболоидов являются: расстояния между центрами гиперболоидов, расстояния между осями вращения гиперболоидов или угол между проекциями осей на плоскость, параллельную общему перпендикуляру к осям.
В статье подробно анализируется форма пространственной кривой, полученной в результате пересечения двух поверхностей, и приводится классификация получаемых при этом форм.
Необходимые расчеты проводились в программе Wolfram Mathematica, версия 11.2, и еще использовалась программа Maple.
Данная статья является начальной стадией изучения формы пространственных кривых, получающихся в результате пересечения двух поверхностей второго порядка. Актуальность статьи вызвана широким повсеместным использованием этих форм в архитектуре и дизайне и в технике. Ключевые слова: Однополостной гиперболоид вращения, пространственная кривая четвертого порядка, параметры формы, пакет символьной математики.
В настоящей статье мы рассматриваем взаимное пересечение двух однополостных гиперболоидов вращения разной формы (параметрами формы однополостного гиперболоида вращения мы называем радиус горловой окружности и угол асимптотического конуса).
Напомним, что однополостной гиперболоид вращения выделяется среди прочих поверхностей второго порядка особыми свойствами, в числе которых можно назвать разнообразие получающихся в плоском сечении кривых (можно получить эллипс (в частности, окружность), гиперболу, параболу, пару параллельных прямых и пару пересекающихся прямых). В этом отношении однополостной гиперболоид «превосходит» конус, в сечении которого невозможно получить параллельные прямые. Кроме того, од-нополостные гиперболоиды вращения нашли многообразное применение в строительстве и архитектуре (вспомним хотя бы башни Шухова), и продолжают использоваться поныне. Поэтому актуальность изучения однополостных гиперболоидов и форм кривых их пересечения не вызывает сомнения. Однополостной гиперболоид может быть получен разным образом. Например, наиболее распространен вариант получения этой поверхности в результате вращения гиперболы относительно ее мнимой оси симметрии. Другой способ получения заключается во вращении одной из скрещивающихся прямых относительно другой (интерпретируемой как ось). Третий вариант получения - движение окружности непрерывно меняющегося радиуса вдоль прямой, при этом значение радиуса меняется по квадратичному закону, достигая минимуму в точке, соответствующей горловой окружности. Еще один вариант получения поверхности связан с тем, что однополостной гиперболоид является поверхностью с тремя направляющими.
Рассмотрим подробнее процесс получения кривой пересечения двух однополостных гиперболоидов вращения.
Рис.1 Обсерватория в Штутгарте, 2001. Башня Торнадо, Катар, 2008. Canton-башня, Китай, 2010.
Допустим, что первый гиперболоид вращения приведен к стандартному виду, а именно, его ось совпадает с осью OZ, радиус горловой окружности равен одной условной единица, и угол асимптотического конуса при вершине равен 90 градусов (такой формы всегда можно добиться трехмерными афинными преобразованиями тела). Тогда форма пространственной кривой пересечения двух однополостных гиперболоидов вращения будет полностью определяться, во-первых, параметрами формы второго гиперболоида вращения, и, во-вторых, параметрами его расположения относительно первого гиперболоида.
Таким образом, параметрическое пространство формы пространственной линии пересечения гиперболоидов состоит из двух подмножеств - параметров формы второго гиперболоида, а также параметров взаимного расположения гиперболоидов.
Итак, всего имеется 6 параметров:
- радиус горловой окружности второго гиперболоида;
- угол при вершине асимптотического конуса второго гиперболоида;
- расстояние между осями гиперболоидов;
- расстояния между центрами гиперболоидов;
- угол наклона оси второго гиперболоида к OX (здесь существенное значение имеет тот факт, что мы рассматриваем именно гиперболоиды вращения, а не просто трехосные гиперболоиды, и таким образом достаточно рассмотреть угол его наклона только к одной оси);
- угол наклона оси второго гиперболоида к OZ.
Поскольку линия пересечения гиперболоидов
является пространственной линией 4-го порядка, то возможны разные варианты вырождения этой кривой, а именно - кривая может распадаться на 4 прямые; на 2 коники; на прямую и скрученную кубику; на конику и 2 прямые. Кроме того, в каждом из этих вариантов имеются различные разновидности, отличающиеся взаимным расположением прямых.
Методика исследования:
Вначале в пакете символьной математики Wolfram Mathematica производилось построение
однополостных гиперболоидов с фиксированными параметрами. Затем последовательно перебирались такие пары гиперболоидов, у которых все параметры кроме какого-то одного, совпадали, и строилась их линия пересечения. По изменению внешнего вида кривой пересечения делались выводы о поведении кривой. На приведенных иллюстрациях показаны варианты получающейся кривой. Иллюстрации также сделаны в программе Wolfram Mathematica.
Первый гиперболоид - неподвижный, со стандартными параметрами формы (Рис. 1).
Рис.1 Первый гиперболоид.
Рассмотрены два варианта формы второго гиперболоида (Рис.2).
Рис.2 Второй гиперболоид.
Варианты формы линии пересечения: - Пересечение однополостных гиперболоидов вращения с совпадающими осями и центрами (Рис. 3).
Рис.3 Оси и центры гиперболоидов совпадают.
Пересечение однополостных гиперболоидов вращения разной формы с совпадающими осями и различающимися центрами (Рис. 4).
- Пересечение двух однополостных гиперболоидов одинаковой формы с параллельными осями и разнесенными центрами (Рис. 5).
х
X
о
го А с.
X
го m
о
м о
to
-J
Рис. 4 Оси гиперболоидов совпадают, центры различаются.
Рис.5 Гиперболоиды одинаковой формы, оси параллельны, центры разнесены в пространстве.
Пересечение двух однополостных гиперболоидов разной формы с параллельными осями и разнесенными в пространстве центрами (Рис. 6).
Рис.8 Гиперболоиды с одинаковыми горловыми окружностями.
Пересечение двух гиперболоидов с разными параметрами формы - линия пересечения может состоять из нескольких компонент связности (Рис. 9).
Рис.6 Гиперболоиды разной формы, оси параллельны, центры разнесены в пространстве.
Пересечение двух идентичных гиперболоидов с пересекающимися осями и совпадающими центрами (Рис. 7).
Рис.7 Два идентичных гипербооида.
- Пересечение двух гиперболоидов с одинаковыми горловыми окружностями, но разными углами асимптотического конуса с пересекающимися осями и совпадающими центрами (Рис. 8).
Рис.9 Гиперболоиды с разными параметрами формы.
Заключение
В результате проведенного анализа появилась возможность создать интерактивную программу исследования формы пространственной кривой пересечения в зависимости от изменяемых параметров. При этом форма гиперболоидов определяется не уравнением, а исключительно параметрами формы. Форма кривой пересечения определяется также параметрами взаимного расположения гиперболоидов.
В дальнейшем планируется расширить набор рассматриваемых объектов, добавив трехосные гиперболоиды в качестве исследуемых.
Литература
1. Ваванов Д.А., Иващенко А.В. Пересечение двух идентичных однополостных гиперболоидов вращения в архитектуре. // Инновации и инвестиции. 2018. №2. С. 179-185.
2. Ваванов Д.А., Тепляков А.А. Преобразование некоторых линейчатых поверхностей в нелинейчатые высших порядков. // М.: Вестник МГСУ 2013 №9. С.149-152.
3. Иванов В.Н., Кривошапко С.Н., Халаби С.Н. Аналитические поверхности. М.: Наука. 2006. С. 124-131.
4. Кривошапко С.Н., Мамиева И.А. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий. М.: Книжный дом «ЛИБРО-КОМ». 2012. С. 221-227.
5. Кривошапко С.Н., Мамиева Мамиева И.А. Стержневые системы в форме однополостного гиперболоида вращения// Монтажные и специальные работы в строительстве. 2011. № 11. С. 19-23.
6. Замятин А.В. Конструирование циклических поверхностей на основе аппарата кинематики поверхностей 2-го порядка// Вестник Иж-ГТУ. 2007. № 3. С. 132-134.
7. Замятин А.В. Алгоритм построения линии пересечения поверхностей общего вида// Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Технические науки. 2011. № 2. С. 100-102.
8. Романова В. А, Оськина Г.Н., Жильулбе-Матье. Визуализация образования поверхностей вращения// Вестник Российского университета дружбы народов, серия Инженерные исследования. М.: Изд-во РУДН. 2014. № 2. С. 8287.
9. Романова В.А., Оськина Г.Н. Визуализация кинематического способа задания поверхности гиперболического параболоида// Труды международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2010». М.: Изд-во РУДН. 2010. С. 196-200.
10. Дьяконов В.П.. Mathematica 5.1/5.2/6. Программирование и математические вычисления. М.: ДМК Пресс. 2008. С. 203-214.
Line of crossing two universe hyperboloids of rotation of a
different form Vavanov D.A., Ivashchenko A.V.
NRU MGSU
This article discusses options for the intersection of single-cavity rotation hyperboloids obtained with different variants of the initial shape parameters and their mutual arrangement. The shape parameter is the ratio of the radius of the throat circle
of the hyperboloid to the angle of its asymptotic cone. The parameters of the mutual arrangement of two hyperboloids are: the distances between the centers of the hyperboloids, the distances between the axes of rotation of the hyperboloids or the angle between the projections of the axes on a plane parallel to the common perpendicular to the axes. The article analyzes in detail the shape of the spatial curve resulting from the intersection of two surfaces, and provides a classification of the resulting shapes. The necessary calculations were carried out in the program Wolfram Mathematica, version 11.2, and the Maple program was also used.
This article is the initial stage of studying the shape of spatial curves, resulting from the intersection of two surfaces of the second order.
The relevance of the article is caused by the widespread use of
these forms in architecture and design and technology. Keywords: one-sheet hyperboloid of revolutions, space curve of 4-th degrees, forms parameters, symbolic mathematics package. References
1. Vavanov DA, Ivashchenko A.V. The intersection of two identi-
cal monopolar rotation hyperboloids in architecture. // Innovation and investment. 2018. №2. pp. 179-185.
2. Vavanov DA, Teplyakov A.A. Convert some ruled surfaces to
higher non-ruled surfaces. // M .: Vestnik MGSU 2013 No. 9. pp.149-152.
3. Ivanov V.N., Krivoshapko S.N., Halabi S.N. Analytical surfaces. M .: Science. 2006. pp. 124-131.
4. Krivoshapko S.N., Mamieva I.A. Analytical surfaces in the architecture of buildings, structures and products. M .: Book house "LIBROCOM". 2012. pp. 221-227.
5. Krivoshapko S.N., Mamieva Mamieva I.A. Rod systems in the
form of a single-cavity rotation hyperboloid // Mounting and special works in construction. 2011. No. 11. pp. 19-23.
6. Zamyatin A.V. Designing cyclic surfaces based on the appara-
tus of kinematics of surfaces of the 2nd order // Vestnik IzhSTU. 2007. No. 3. pp. 132-134.
7. Zamyatin A.V. Algorithm for constructing a line of intersection
of surfaces of a general form // Proceedings of higher educational institutions. North Caucasus region. Technical science. 2011. № 2. pp. 100-102.
8. Romanov V.A., Oskina G.N., Giloulbe-Mathieu. Visualization of
the formation of surfaces of revolution // Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia, Engineering Research Series. M .: Publishing house of RUDN. 2014. № 2. pp. 82-87.
9. Romanova V.A., Oskina G.N. Visualization of the kinematic
method of defining the surface of a hyperbolic paraboloid // Proceedings of the international scientific-practical conference "Engineering Systems - 2010". M .: Publishing house of RUDN. 2010. pp. 196-200.
10. Diakonov V.P. Mathematica 5.1 / 5.2 / 6. Programming and mathematical calculations. M .: DMK Press. 2008. pp. 203214.
X X О го А С.
X
го m
о
to о
to
