Автокорреляция и авторегрессия дискретного ряда дозирования сыпучих материалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 666.97.03.028-52:681.3

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ И АВТОРЕГРЕССИЯ ДИСКРЕТНОГО РЯДА ДОЗИРОВАНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ

AUTOCORRELATION AND AUTOREGRESSION DISCRETE SERIES DOSING

OF BULK MATERIALS

Поляков С.И. (ВГЛТА, г.Воронеж, РФ) Polyakov S.I. (The Voronezh state academy of forestry engineering)

Рассмотрено дискретное весовое дозирование сыпучего материала. Моделирование процесса связано с анализом автокорреляции и авторегрессии дискретного ряда.

Consider the discrete weight dosing bulk material. Modeling of the process associated with the analysis of the autocorrelation and autoregressive discrete series.

Ключевые слова: дискретный ряд, авторегрессия, автокорреляция Key words: discrete series, autoregression, autocorrelation

Рассматривается дискретное дозирование сыпучего материала на одном и том же весовом оборудовании с динамической погрешностью ô. При этом наблюдаемые погрешности дозирования образуют ряд дискретных величин в равноотстоящие моменты времени, являющиеся циклами дозирования. В проблеме прогнозирования погрешности ôt в текущий момент времени (цикл дозирования) t и погрешности ôt-1, ôt-2>... , ôt-n в предыдущие циклы могут быть использованы для прогноза погрешности с упреждением l=2,3,. n цикл

лов. Обозначим через St(l) сделанный в момент дозирования t прогноз погрешности ôt+l в некоторый момент t+l в будущем, то есть с упреждением l.

л

Функция St(l), 1=1,2,3,..., дающая в момент t прогнозы для всех будущих циклов дозирования упреждения будет называться прогнозирующей функцией в определенный цикл дозирования. Таким образом, требуется получить такую прогнозирующую функцию, для которой сумма квадратов отклонения

л

ôt+i - $t(l) истинного от прогнозируемого значения является наименьшим для

n

ЕЛ 2

(St+1~St(l)) ^™n- [1]. Получение такой модели прогноза связано с

l=i

анализом автокорреляции величин дискретного ряда дозирования. Воспользуемся экспериментальными данными, полученными в результате дискретного дозирования цемента [2].

20

Л [V

\ V

0 10 20 30

t

0

z

Рисунок 1 - Дискретный ряд 3

Диаграмма ряда динамических погрешностей дозирования 3 для п=20 представлена на рисунке 1. Автокорреляцию рк определим по оценке

гк = % , где к- задержка в циклах дозирования, к= 0,1,2,...; Оценка автоковариации ук

К-к

C:= NS (zt "#t+k

t = i

ц- среднее значение дискретного ряда:

N

ц:=N 'S (zt)

t = i

rk

-i

10 k

20

Рисунок 2 - Автокорреляция rk

Отсюда автокорреляционная функция показана на рисунке 2. Автокорреляционная функция характеризуется знакопеременной корреляцией с тенденцией к затуханию. Рассмотрим дискретный ряд как образованный синусоидами и косинусоидами:

S(i,t) := sin(2TTf(i)t) C1(i,t) :=cos(2тгf(i)t) Коэффициенты a и b определяются как

N

2 х-* b(i) := -S z 'S(i,t) N ¿—I t

NN

a(i) := TT'S zt'C1(i,t)

N ^ t

N

t = 1

t = 1

График пери одограммы показан на рисунке 3.

L(i) := N'[(a(i))2 2

+ (b(i))2_J

1000

L(i) 500

A

J \Л Л fV

0 2 4 6 8 10

1

0

0

Рисунок 3 - Периодограмма

Периодограмма позволяет обнаружить и оценить амплитуды синусоидальной компоненты неизвестной частоты скрытой в шуме. Процесс авторегрессии первого порядка для дискретного ряда характеризуется начальным значением параметра фь который на практике оценивается по наблюдениям и, в частности, р1=ф1. Для описания процесса воспользуемся аналогом периодограммы - спектром мощности, являющегося эквивалентом автоковариационной функции. Спектр необходим для определения распределения дисперсии в диапазоне частот:

2-С

Р1(1) :=■

1 -

1 + (ф1) - 2-ф1 • ео8 (2л £(1))

Автокорреляционная функция:

гк :=ф1 - гк-1

Графики проиллюстрированы на рисунках 4 и 5. Автокорреляционная функция спадает к нулю по экспоненциальному закону. В спектре преобладают низкие частоты.

200

Р 1(1) 150

100

0.6

02 0.4 £(1)

Рисунок 4 - Спектр АР(1)

1

Гк 0.5

\

10

20

30

Рисунок 5 - Коэффициенты автокорреляции

Процесс авторегрессии второго порядка описывается начальными значениями параметров ф1и ф2, которые определяются по оценкам г1и г2. Дисперсия равна

Б :=

с0-

(1 -ф2)2

(1 + ф2)

1 - ф2

и спектр имеет вид

0

0

к

2

Р2(1) :=■

2- В

2 2

1 + (фх) + (ф2) - 2-фх-(1 - ф2)-С0Б (2-л-Щ)) - 2-ф2-соБ

Автокорреляционная функция:

Гк :=ф1-Гк-1 + ф2-Гк-2 Спектральная плотность и автокорреляция процесса авторегрессии второго порядка на рисунках 6 и 7.

400 300 РЭД 200 100 0

0 02 0.4

ад

0.6

Рисунок 6 - Спектр АР(2)

гк

10

20

Рисунок 7 - Коэффициенты автокорреляции

На основании рисунка 6 заключаем, что дисперсия ряда обусловлена частотами, близкими к Г=0,2.

Значение параметра ©1 процесса скользящего среднего первого порядка для к=1 определяется через коэффициент автокорреляции рк решением уравнения

©2 + ©/ р1 +1 = 0

Спектр процесса имеет вид

Р11(1) := 2-ста

1 + (©1) - 2-0гсо8(2-я-Щ))

График представлен на рисунке 8.

Здесь 01= - 0,119 (г1=0.117) и в спектре доминируют низкие частоты. Значения параметров 01 и 02 для процесса скользящего среднего второго порядка (к=2) возможно находить по данным р1 и р2 диаграммы С [1]. Формула спектра процесса имеет вид

Р22® := 2-ста

2 2

1 + (©1) + (©2) - 2 01(1 - 02)-со8 (2л Щ)) - 2-02-соб (4-те-£(1))

0

0

к

Р11(1) 150

100

0 0.2 0.4

«О

0.6

Рисунок 8 - Спектр СС(1)

300

200

Р22^)

100

/* /

/ / \

0 02 0.4 0.6

Рисунок 9 - Спектр СС(2) График представлен на рисунке 9.

Процесс авторегрессии первого порядка - скользящего среднего первого порядка определяется нахождением параметров по начальным значениям ф! и ©1. Как и в предыдущем случае воспользуемся диаграммой Э и значениями р! и р2. Спектр смешанного процесса и дисперсия

Р 12(1) :=аа

1 - 01-е

(- 1- 2-я-ед)

1 - ф1-е

(- 1- 2-я-ВД)

С„

1 -

ая :=

1 + (©1)2 - 2-ф1-01

График спектральной плотности представлен на рисунке 10.

100 90

Р121) 80

70 60

0 0.2 0.4 0.6

£(1)

Рисунок 10 - Спектр АРСС(1,1)

2

2

2

Заключение. Описана линейная стационарная стохастическая модель дискретного ряда дозирования, при этом ряд генерируется совокупностью случайных импульсов, начиная от нажатия кнопки на включение дозирования

до срабатывания исполнительного механизма и высыпания материала. Рассмотренные процессы (авторегрессии и скользящего среднего первого-второго порядка и смешанный процесс авторегрессии-скользящего среднего) позволят создать предпосылки и рассчитать начальные значения параметров ф1 и 01 для построения линейных нестационарных моделей, которые имеют место при исследовании процессов дискретного дозирования.

Список использованных источников

1. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Прогноз и упр. - М.: Мир, 1974. -Вып.1.- 406с.

2. Поляков С.И. Метрологические характеристики процесса дозирования сыпучих тел / Химико-лес. компл. - проблемы и решения. Сб. стат. по матер. Всероссийск. науч. -практ. конф. Том 2.- Красноярск: СибГТУ, 2002.-С.130-135.