CC BY
54
УДК 681.268 + 519.87
ПРОГНОЗ ДИСКРЕТНОГО РЯДА ДОЗИРОВАНИЯ С.И. Поляков
Рассмотрен процесс дозирования как случайный нестационарный процесс со стационарными приращениями. Описана методика весового автоматического дозирования с помощью статистического прогнозирования и упреждения погрешности. Для практики приведён выбор модели смешанного процесса авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего
Ключевые слова: погрешность дозирования, статистическое прогнозирование, упреждение
Исследуется дискретное дозирование сыпучего материала на одном и том же весовом оборудовании с динамической погрешностью S. При этом наблюдаемые погрешности дозирования образуют ряд дискретных величин в равноотстоящие моменты времени, являющиеся циклами дозирования. В проблеме прогнозирования погрешности St в текущий момент времени (цикл дозирования) t и погрешности St—1, St—2,... , St—п в предыдущие циклы могут быть использованы для прогноза погрешности с упреждением l = 2,3,... п циклов. Обозначим
Л
через St (l) сделанный в момент дозирования t прогноз погрешности St+l в некоторый момент t +1 в будущем, то есть с упреждением l. Функция €t(l), l = 1,2,3,..., дающая в момент t прогнозы для всех будущих циклов дозирования упреждения будет называться прогнозирующей функцией в определенный цикл дозирования. Таким образом, требуется получить такую прогнозирующую функцию, для которой
сумма квадратов отклонения 8t+1 — €t (l) истинного от прогнозируемого значения является наименьшим для каждого l:
п
^(dt+l —§t(l))2 ^min. Прогноз последующих
l=1
значений ряда относительно момента t может быть определён по нескольким предыдущим значениям ряда. Это особенно важно при практическом прогнозировании.
Получение такой модели прогноза связано с анализом автокорреляции, процессов авторегрессии и скользящего среднего дискретного ряда дозирования. Воспользуемся экспериментальными данными, полученными в результате дискретного дозирования сыпучего материала.
Поляков Сергей Иванович - ВГЛТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 253-70-50
В основе методики прогнозирования дискретного временного ряда предполагается использование модели авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС). Модель может быть представлена при помощи разностного уравнения, либо как бесконечная взвешенная сумма предыдущих наблюдений [1,2].
Общая модель АРПСС имеет вид
Ф( В) Zt = 0( Е)а,, (1)
где ф(В) = Ф(В) Vй, V - разностный оператор со сдвигом назад, V = 1 - В, В - оператор сдвига назад, а( - случайные величины с фиксированным распределением.
Для процесса АРПСС (1, 1, 1) стационарный оператор авторегрессии имеет вид
Ф( В) = 1 -ФД оператор скользящего среднего имеет вид
0(В) = 1 -01В.
С другой стороны также известно, что оператор ф(В) может быть записан следующим образом
Ф(В) = (1 -л1В-п2В2 -...)0(В). (2)
Веса п необходимы для расчёта прогноза как сумма предыдущих наблюдений
ад
Zt+l = ^ ПiZt+l-] + ^+1.
1 =1
Формулы (1) и (2) представляют собой модель для описания стационарных и нестационарных рядов.
Анализ дискретных значений дозирования, образующих временной ряд, позволяет выбрать для многочленов операторов первый порядок. Таким образом, для прогноза последующих значений ряда достаточно определения начальных значений 0 и Ф по предыдущим значениям ряда.
Рассмотрим прогнозирование для процесса АРПСС (1, 1, 1) с использованием представления модели разностным уравнением. В этом случае модель представлена выражением
(1 - фв)(1 - В^(+1 = (1 -ФВ)а+1,
где I - упреждение для прогноза в момент I.
Для известных значений операторов 0 и Ф , определённых по данным исходного ряда, можно найти последующие значения ряда в текущий момент времени с упреждением I.
Например, для Ф = - 0,779 и 0 = - 0,4782 вычисленных для исходного временного ряда т1 прогнозируемое значение ряда в момент t =50 с упреждением I = 1, 2, ... имеет вид (1 - 0,221В - 0,779В 2)(1 - В)€(+1 = (1 + 0,4782В)а
“ґ+1
“ґ+1 -1
t+і і ^,-г / ¿І^ґ+І ?
\+1 -2 = Щ+1 + 0,4782а+,-і;
Zt+l = 0,221Zt+l-1 + 0,779Zt+l-2 + at+l + 0,4782а^+1-1;
Прогнозирующая функция для I =1
€50 (1) = 0,221^ + 0,779Zt-1 + 0,4782^;
для I =2
€50 (2) = 0,221 € 50 (1) + 0,779Zt;
и т.д.
Видно, что последующие прогнозы легко вычисляются через предыдущие.
Прогнозирование процесса (1, 1, 1) можно также выполнить через представление модели (1) в проинтегрированном виде. Для практического прогнозирования значений ряда представляет интерес другая форма записи прогнозирующей функции. В ней отсутствуют случайные величины а1 и прогнозирующая функция вычисляется через предшествующие Z [1]:
€ (I)={1 -0^Ф (1 -ф 1 )к +
і-о
+ І0-0 (1 -о1 ) —-I (0),
(3)
[ 1 -Ф
где -1 (0) - экспоненциально взвешенное
скользящее среднее,
ад
(0) = (1 -0)£01-Х;. (4)
1=1
При определении ЭВСС прогнозирующей функции воспользуемся первыми десятью членами ряда -1, -2,... -10.
Применение этого математического аппарата позволит, прежде всего, выявить характер прогноза для конкретного момента, в котором делается прогноз на определенный промежуток времени в будущем (упреждении). На рис. 1 приведены прогнозы, выполненные в моменты времени t = 11, 20, 30, 40, 50, 60 и 65 для упреждений I = 1, 2,. 20.
Рис. 1. Временной ряд ті (ряд 1) с прогнозами на моменты ґ = 11, 20, 30, 40, 50 и 60 (ряд 3, 5, 4, 6, 2, 7 соответственно) для упреждений I =1, 2, ... 20
На рис. 2 приведен прогноз Z30 (1) для упреждений I = 1, 2,. 20. Прогнозирующая
функция записана через веса прогноза для упреждения I из общей модели прогноза в обращённой форме.
= 1, 2,
20
Так t - е значение процесса может быть найдено как взвешенное среднее предшествующих значений, то есть
Zt+1 = П1-^+1 -1 +П 2Zt+1 -2 +п3Zt+1 -3 + ...
Для I = 1 имеем
— (1) = П1—ґ + П2—ґ-1 + n3Zt-2
+ ...
Веса п были вычислены по методике [1,3] *1 = Ф + (1 -0); п2 = (0-Ф)(1 -0); п = (0-Ф)(1 -0)01 -2.
1 п 1 1 п 1
1 0,699 6 0,023
2 0,445 7 - 0,011
3 - 0,213 8 0,005317
4 0,102 9 -0,002543
5 - 0,049 10 0,001216
Результаты расчета представлены на рис. 3. Одновременно по формулам (3, 4) был составлен прогноз на один шаг вперед, выраженный через предшествующие значения ряда —.
^ у, на один шаг вперед, выраженной через веса прогноза п 1 (ряд 1) и исходный тг- (ряд 2)
На рис. 4 представлен график данных ряда и прогноза на один шаг вперед.
через веса прогноза пи выраженное через
предшествующие данные ряда совпадают.
Процессы авторегрессии, скользящего среднего первого, второго порядка и смешанный процесс авторегрессии - скользящего среднего позволят создать процедуру автоматизированного расчёта упреждения динамической погрешности на основе ее статистического прогнозирования и адаптации к процессам истечения материалов.
Таким образом, рассмотренная методика автоматического дозирования использует условие минимизации отклонений динамической погрешности, которая представлена как последовательность значений дискретного временного ряда нестационарного случайного процесса. Применение этого способа прогнозирования динамической погрешности создает условие для экспресс-анализа случайной составляющей погрешности и соответствующей корректировки задания по результатам предыдущих циклов дозирования. Причем анализ погрешности должен выполняться на этапе комплексного опробования технологического оборудования и настройки АСУ ТП на дозирование соответствующих компонентов. Выявляемая погрешность систематически должна уточняться в процессе эксплуатации дозирующего оборудования.
Литература
1. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Прогноз и управление - М.: Мир, 1974. - Вып. 1.- 406 с.
2. Поляков С.И. Автоматизация дозирования и учета компонентов бетонных смесей // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук / Воронежская государственная лесотехническая академия. Воронеж, 1994. - 17с.
Zt(l) на один шаг вперед, выраженной через предшест- 3. Поляков С.И. Статистическое прогнозирование и
вующие Z (ряд 1) и исходный m (ряд 2) упреждение динамической п°грешности дозирования //
Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. Спецвыпуск. С. 77-78.
Сопоставляя последние два рисунка можно заключить, что практическое прогнозирование
Воронежская государственная лесотехническая академия
PREDICTION OF DISCRETE SERIES OF DOSING
S.I. Polyakov
The process of issuing a non-stationary random process with stationary components. A method of automatic dosing using a statistical forecasting and anticipation errors. To practice is to select the model of a mixed autoregressive process - inte-graed moving average
Key words: dosing errors, statistical forecasting, pre-emption
