АВТОИЗОМЕТРИИ И АВТОПОДОБИЯ АЛГЕБРЫ ЛИ $\mathcal{A}(1)\oplus \mathcal{R}2$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.81 + 514.12 DOI 10.24147/2222-8772.2020.1.25-36

АВТОИЗОМЕТРИИ И АВТОПОДОБИЯ АЛГЕБРЫ ЛИ

Л(1) ФП2

М.Н. Подоксенов

к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой ГиМА, e-mail: [email protected]

В.В. Черных студентка, e-mail: [email protected]

Витебский государственный университет им. П.М. Машерова, Витебск, Республика Беларусь

Аннотация. Рассматривается четырёхмерная алгебра Ли Л(1) Ф^2, снабжённая лоренцевым скалярным произведением. Находятся все однопара-метрические группы изометрий и подобий, являющиеся одновременно автоморфизмами алгебры Ли, а также условия существования таких одно-параметрических групп. Условия существования связаны с расположением идеалов алгебры Ли относительно конуса изотропных векторов.

Ключевые слова: алгебра Ли, лоренцева метрика, автоморфизм, подобие, изометрия.

1. Постановка задачи

Линейное преобразование алгебры Ли F : Q ^ Q называется автоморфизмом, если оно сохраняет операцию скобки: [FX, FY] = F [X,Y] 4X,Y e Q. Пусть в алгебре Ли Q задано евклидово или лоренцево скалярное произведение {,). Преобразование F : Q ^Q называется подобием c коэффициентом если (FX, FY) = e2^(X,Y), 4X,Y eQ .В случае ^ = 0 преобразование F называется изометрией.

Преобразование, являющееся одновременно подобием и автоморфизмом, будем называть автоподобием или гомотетическим автоморфизмом. Преобразование, являющееся изометрией и автоморфизмом, будем называть автоизометри-ей.

Риманово или лоренцево многообразие (М,д) называется самоподобным, если оно допускает существенную однопараметрическую группу подобий. Пусть рассматриваемое многообразие G представляет односвязную экспоненциальную группу Ли, и пусть Q — соответствующая ей алгебра Ли. Тогда задача поиска левоинвариантных лоренцевых метрик на группе Ли G, при которых она является самоподобным многообразием, сводится к следующей задаче: необходимо найти все однопараметрические группы автоподобий F(t) : Q ^ Q (см. [1]).

В работе [2] были найдены все способы задания лоренцева скалярного произведения на четырёхмерной алгебре Ли при которых эта алгебра

Ли допускает однопараметрическую группу автоподобий или автоизометрий. Цель данной работы: найти все автоподобия и автоизометрии четырёхмерной алгебры Ли <у4 = Л(1) Ф относящейся к VI типу Бианки (подтип VII), при условии задания на ней лоренцева скалярного произведения. Для случая евклидова скалярного произведения эта задача решена в работе [3].

Задача нахождения однопараметрических групп автоизометрий рассматриваемой алгебры Ли и условий на скалярное произведение, при выполнении которых такие группы существуют, представляет интерес по следующей причине. Её решение позволит в дальнейшем выяснить размерность группы движений однородного лоренцева многообразия соответствующей связной группы Ли.

2. Основные результаты

В подходящем базисе (Ех, Е2, Е3, Е4) коммутационные соотношения алгебры Ли = Л(1) Ф'Я2 задаются одним равенством: [Е1,Е2] = Е2. Будем называть такой базис каноническим. Эта алгебра Ли содержит трёхмерный коммутативный идеал С, являющийся линейной оболочкой векторов Е2,Е3,Е4, а также двумерный центр 2, являющийся линейной оболочкой векторов Е3,Е4. Одномерное подпространство №Е2 является производной алгеброй Ли: КЕ2 = Й2) = [&, &].

Все указанные выше векторные подпространства должны быть инвариантными относительно автоморфизмов алгебры Ли. Поэтому любой автоморфизм алгебры Ли Р : ^ в каноническом базисе задаётся матрицей

( 1 0 0 0 \

р а 0 0

1 0 £ V

\ 5 0 X V )

где а = 0,

= 0, а все остальные коэффициенты могут принимать любые

значения. Итак, полная группа автоморфизмов алгебры Ли <уА восьмимерная.

В дальнейшем обозначаем Е[ = Р(Е^,г = 1, 2, 3,4, где Р : 9а ^ Оа — преобразование алгебры Ли <уА; скалярное произведение будем называть метрикой и обозначать X • У, а обозначение {Х,У) будем использовать для линейной оболочки векторов Х,У. Вектор, скалярный квадрат которого равен 1 или —1, будем называть единичным.

В следующей теореме сигнатура характеризует метрику, которая индуцируется на указанном идеале, матрица Грама и матрица группы преобразований указаны в каноническом базисе; во всех случаях е> 0,^ = 0,^ = 0 и Ь Е Я. Например, запись Е2 : (+) означает, что вектор Е2 является пространственно-подобным, а запись Е2 : (0) означает, что вектор Е2 является изотропным. Если для группы автоподобий положить ^ = 0, то получим группу автоизометрий.

Теорема 1. Пусть на алгебре Ли Я4 = Л(1)Ф^2 задано лоренцево скалярное произведение сигнатуры (+, +, +, —). Тогда эта алгебра Ли допускает однопараметрические группы автоподобий и автоизометрий только в следующих случаях, указанных в таблицах 1 и 2.

Таблица 1. Автоизометрии

Условие Матрица Грама Матрица, задающая однопараметрическую группу преобразований

С :(+, +, +), Е2 е г± Г1 = 1-е 0 0 0 \ 0 10 0 0 0 10 У 0 0 0 1 у = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 сое Ь — вт Ь у 0 0 вт Ь со$,Ь у

С :(+, +, —), Е2 : (—), е2 е гх Г2 = ( е 0 0 0 N 0 —10 0 0 0 10 У 0 0 0 1 у ад = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 сое Ь — вт Ь \ 0 0 вт Ь собУ у

С :(+, +, —), Е2 : (+), е2 е гх Гз = ( е 0 0 0 \ 0 1 0 0 0 0 —10 0 0 0 1у ЯМ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 сЫ ъЪг У 0 0 ъЪг сЫ у

С :(+, +, —), 2 :(+, +), Е2 : (0) Г4 = ( £ 0 0 0 \ 0010 0 10 0 у 0 0 0 1 у ад = 1 0 0 0 0 е^ 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Для доказательства теоремы нам понадобится одна лемма. Пусть Ь — трёхмерное пространство, на котором заданы евклидова, лоренцева или вырожденная метрики сигнатуры (+, +,0), Н — его двумерное подпространство, на котором индуцируется невырожденная метрика. Тогда, как показано в [3], в Ь можно выбрать базис (£1 ,Е2,Е3), состоящий из единичных векторов, такой что Е1 </ Н,Е1 е Н±,Е3 е Н,Е3 • Е1 = Е3 • Е2 = 0, при этом Е2 сонаправлен ортогональной проекции вектора Е1 на двумерное подпространство Н. Важно отметить, что такой базис можно выбрать даже в случае, когда метрика является вырожденной. Там же доказана следующая лемма.

Лемма 1. Пусть линейное преобразование Е : Ь ^ Ь сохраняет скалярное произведение. Если вектор Е1 является собственным вектором этого преобразования, а подпространство Н инвариантно относительно этого

преобразования, то Р действует по формулам:

Р(Е1) = вЕ1,Р(Е2) = 9Е2, Р(Е3) = ±Е3, в = ±1.

Таблица 2. Автоподобия

Условие Матрица Грама Матрица, задающая однопараметрическую группу преобразований

£ : (+, +, 0), 2 :(+, 0), Е2 : (+) е2 е гх Г5 = 0010 0100 10 0 0 У 0 0 0 1 у *5(*) = 1 0 0 0 0 е^ 0 0 0 0 е2^ 0 у 0 0 0 е^ )

£ : (+, +, 0), 2 :(+, 0), Е2 : (+) е2 е гх Гб = ( 0 0 — 1 0 \ 0100 — 10 0 0 у 0 0 0 1 у ад = ( 1 0 0 0 \ 0 10 0 ¿2/2 0 1 Ь У г 0 0 1 у

£ : (+, +, 0), 2 :(+, 0), Е2 : (+) е2 е Zх Гт = 0 0 —1 0 0 1 0 1+е — 10 0 0 0 1 + £ 0 £ ) ад = ( 1 0 0 0 \ —г 100 ¿2/2 0 1 Ь У г 0 0 1 у

£ : (+, +, 0), 2 :(+, +), Е2 : (0) Г8 = 0100 1000 0 0 10 У 0 0 0 1 у ад = 1 0 0 0 0 е2^ 0 0 0 0 е^ сое £ — е^ вт £ у 0 0 е^ вт £ е^ сов Ь у

Замечание 1. Матрица Грама выбранного базиса имеет вид:

/1 912 0 \ 912 10 . V 0 0 1 /

Если скалярное произведение является вырожденным, то её определитель должен быть равен нулю. Следовательно, д\2 = ±1. Изменив, при необходимости, направление одного из векторов Е\ или Е2, получим д\2 = 1. Тогда вектор Е\ — Е2 является изотропным. Для пространства с невырожденной метрикой дх2 может быть произвольным, отличным от ±1.

Лемма верна и в случае, когда вектор Ех является изотропным, только в матрице Грама будет дп = 0.

Необходимо отметить некоторые свойства трёхмерного пространства Ь с вырожденной метрикой. Пусть метрика имеет сигнатуру (+, +,0), и относительно базиса (Е1,Е2,Е3) скалярное произведение векторов X(х1,х2,х3),У (у1, у2, у3) задаётся формулой X •У = х2у2 + х3у3. Если двумерное подпространство Р не содержит вектор Е1, то на нём индуцируется положительно определённая метрика и Р± = 'КЕ1. Если двумерное подпространство Р содержит вектор Е1, то на нём индуцируется вырожденная метрика и Р± есть двумерное подпространство, которое тоже содержит Е1.

3. Доказательство теоремы

Доказательство. Рассмотрим несколько случаев расположения идеалов алгебры Ли <у4 относительно конуса изотропных векторов. Идеалы С, 2, ~КЕ2 = должны быть инвариантны относительно любого автоподобия или автоизомет-рии алгебры Ли <у4. Согласно лемме автоизометрии сводятся только к симмет-риям, в тех случаях, когда Е2 не ортогонален 2 и при этом на 2 индуцируется невырожденная метрика. Поэтому мы такие случаи из рассмотрения исключаем. Базис, который мы выбираем, всегда предполагается каноническим, если не оговорено противное.

Случай 1. На идеале Ь индуцируется положительно определённое скалярное произведение. Мы можем выбрать базис так, что Е1^С,Е22 = 1 (см. рис. 1 а)). Любое автоподобие £ : Я4 —у У4 должно оставлять инвариантным идеал С. Поэтому сохраняет направление вектора Е1, а, значит, выполнено Е'1 = Е1. Поэтому автоподобий при таком способе задания метрики быть не может.

Пусть Е2±Е. Тогда можем дополнить Е2 до ортонормированного базиса (Е2,Е3,Е4) в С. Тогда матрица Грама базиса (Е1,Е2,Е3,Е4) имеет вид Г1 (см. табл. 1), а алгебра Ли <у4 допускает автоизометрии, действие которых задаётся с помощью одной из следующих матриц:

1 0 0 0

0 ±10 0

0 0 сое Ь — вт Ь

у 0 0 вт Ь соъЬ у

(1)

1 0 0 0

0 ±1 0 0

0 0 сое Ь вт Ь

\ 0 0 вт Ь — сое Ь у

Ь е Я. Однопараметрическую группу образуют только изометрии, действие которых описывается матрицей (1) со знаком «+» во второй строке, т. е. матрицей (см. табл. 1).

Случай 2. На идеале £ индуцируется знаконеопределённое скалярное произведение. Мы можем выбрать канонический базис так, что Е\±£. Так же, как и в случае 1, для любого автоподобия выполнено Е[ = Ех.

а) б) Рис. 1. Расположение базисных векторов

2.1. Пусть вектор Е2 времениподобный и Е2±2 (см. рис. 1 б)). Точно также, как и в случае 1, алгебра Ли допускает автоизометрии, действие которых описывается с помощью одной из матриц (1) или (2). Однопараметрическую группу образуют только изометрии, действие которых описывается матрицей (1) со знаком «+» во второй строке. Это значит, мы имеем матрицу ^(¿); матрица Грама имеет вид Г2 (см. табл. 1).

2.2. Пусть вектор Е2 пространственноподобный и Е2±2 (см. рис. 2 а)). Точно также, как и в случае 1, алгебра Ли допускает только автоизометрии, действие которых описывается с помощью матрицы

1 0 0 0 0 ±1 0 0

0 0 всЫ твЫ

у 0 0 ввЫ тсЫ

,0 = ±1,т = ±1,* е Я.

Однопараметрическую группу образуют только преобразования при в = т = 1. Таким образом, мы имеем матрицу Е3(Ь); матрица Грама имеет вид Г3 (см. табл. 1).

2.3. Пусть вектор Е2 не изотропный, и на 2 индуцируется вырожденная метрика (см. рис. 2 б)). Тогда в Е существует единственное изотропное направление, которое равно 2х П £. Поэтому Е2 е 2±. Выберем Е3 принадлежащим этому направлению, а Е4±Е2, причём можем сделать Е4 и Е2 единичными.

Матрица Грама имеет вид

( £ 0 0 0 \

0 ±1 23 0

0 23 0 0

0 0 0 1

При этом д23 = Е2 • Е3 = 0. Любая автоизометрия сохраняет направления И.Е2, ИЕ3, ИЕ4, и поскольку д23 = 0, она действует по формулам Е[ = Е1,Е'2 = 9Е2,Е'3 = 6Е3,Е'4 = ±Е4,в = ±1. Следовательно, однопарамет-рические группы автоизометрий отсутствуют.

2.4. Пусть вектор Е2 изотропный, и на 2 индуцируется вырожденная метрика. Выберем Е3 и Е4 так же, как и в случае 2.3 (см. рис. 3 а)). В этом случае, любая изометрия имеет два инвариантных изотропных собственных вектора, лежащих в идеале £. Хорошо известно, что преобразование, действующее на двумерном подпространстве (Е2,Е3) по формулам Е2 = еи1Е2,Е'3 = е-и1Е3, является изометрией. В итоге мы имеем полную группу изометрий, которая задаётся матрицами вида

= 0, = ±1.

Однопараметрическую группу образуют только преобразования, для которых 6=1 и Е'4 = Е4, т. е. задающиеся матрицей ^(¿).

За счёт умножения векторов Е2 и Е3 на числа, отличные от нуля, мы можем добиться, что Е2 • Е3 = 1. Заметим, что на рисунке 3 а) изображён для удобства вектор — Е2. В итоге матрица Грама принимает вид Г4 (таблица 1).

/ 1 0 0 0 \

0 веиЬ 0 0

0 0 ве-иЬ 0

V 0 0 0 ±1 )

Случай 3. На идеале С индуцируется вырожденное скалярное произведение.

Рис. 3. Расположение базисных векторов

3.1. Вектор Е2 не изотропен, и на центре 2 индуцируется евклидово скалярное произведение (см. рис. 3 б)). Тогда Е2 ф Z±.

Подпространство 2± двумерно, и на нём индуцируется лоренцево скалярное произведение. Это подпространство инвариантно относительно действия любых автоподобий и автоизометрий, а значит, два его изотропных направления тоже должны быть инвариантны. Выберем Е Ф %Ф С,Е\ = 0 так, чтобы сохранялась операция скобки Ли, и пусть вектор X принадлежит второму изотропному направлению в 2^. Подпространство Е± содержит Е и 2, причём

П С = 2. Поэтому не может содержать Е2. Значит, д\2 = Е • Е2 = 0. Дополним Е2 до базиса во всём С так, чтобы Е3,Е4 образовывали ортонорми-рованный базис в 2 и Е3 был коллинеарен ортогональной проекции единичного вектора Е2 на 2. Согласно замечанию, матрица Грама примет вид

( 0 2 0 0 \

2 1 1 0

0 1 1 0

\ 0 0 0 1 )

Согласно лемме любое автоподобие должно действовать по формулам

Е' = ЕЪЕ2 = квЕ2}Е'3 = квЕ3,Е'А = ±кЕ4,в = ±1,к> 0.

Такое преобразование будет подобием, только если X = к2Х. С другой стороны, X = кОХ, поскольку X коллинеарен Е2 — Е3. Следовательно, к = 1; тем самым алгебра Ли допускает только автоизометрии типа симметрий, т. е. однопараметрические группы автоизометрий отсутствуют.

3.2. Вектор Е2 не изотропен, на центре 2 индуцируется вырожденное скалярное произведение. Тогда в 2 существует только одно изотропное направление, и оно ортогонально Е2. Выбираем Е3, принадлежащим этому направлению

(см. рис. 4 а)). При любой изометрии или подобии вектор Е3 является собственным.

а) б)

Рис. 4. Расположение базисных векторов

Следует рассмотреть два варианта: автоподобие имеет два изотропных собственных направления или оно имеет только одно такое направление.

Пусть автоподобие Р имеет ещё одно изотропное собственное направление 3. Выберем Е\, принадлежащим этому направлению, а Е4±Е\. Согласно [4] относительно некоторого базиса (еь е2, е3, е4), Р задаётся матрицей вида

( е. *

0 0

0 0 0 Л

е-г* 0 0 0

V

00

* *

* *

,и = 0,^ = 0,в = ±1,* е И,

(3)

/

где звёздочками обозначена ортогональная матрица Q; матрица Грама данного базиса имеет вид

0100 1000 0010 0 0 0 1

В этом случае можем считать, что Е1 = Л\е\,Е3 = Л2е2, и, учитывая общий вид автоморфизмов, имеем ^ = — и, т. е. Е[ = Е1. Если отбросить тривиальный случай ^ = V = 0, преобразование вида (3) имеет собственный вектор, не принадлежащий подпространству V = {Ех,Е3), только если матрица Q пропорциональна единичной матрице и Е2 е V±.

Поскольку дх3 = Ег • Е3 = 0, то направление вектора Е3 не может меняться на противоположное. В результате общий вид матриц всех автоподобий в выбранном базисе:

1 0 0

0 ве^ 0 0 0 е2^ 0 0 0

Однопараметрическую группу образуют преобразования с 9 = 1, т. е. задающиеся матрицей Умножая Е3 на число, можем добиться, что д\3 = 1; так же нормируем Е2 и Е4, причём можем выбрать Е4 ф Е2. Матрица Грама принимает вид Г5 (см. табл. 2).

Пусть автоподобие £ имеет только одно изотропное собственное направление И.Е3. Тогда, согласно [4], существует базис (е 1, е 2, е3, е4) в 04, в котором матрица однопараметрической группы гомотетий и матрица Грама имеют вид

/ 1 е/2 0 \ / 0 0 —1 0 \

0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 —1 0 0 0

V 0 0 0 1 ) V 0 0 0 1 /

Важно отметить, что переход к базису (ав!, е2,[е3, е4),а[ = 1, не меняет ни матрицу Грама, ни общий вид матрицы преобразования.

Единственное изотропное инвариантное направление И.е 1 должно совпадать с И.Е3. Неизотропное инвариантное направление И.е4 должно совпадать с И.Е2. Очевидно, мы имеем два двумерных инвариантных подпространства с вырожденной метрикой: (е 1, е 2) и (е 1, е4). Однако можно убедиться, что инвариантными являются все подпространства (е 1,ае2 + [е4),а2 + [2 = 0, и любое из них может выступать в качестве 2, кроме (ее4).

Сначала предположим, что 2 = (еь е 2). Выберем Е Ф Ке3, Е2 = е4, е3 Ф И.еьЕ4 = е2. За счёт умножения вектора Е3 на число добьёмся, чтобы Е • Е3 = —1. В новом каноническом базисе получим ту же матрицу Грама, а матрица однопараметрической группы преобразований примет вид £б(£) (см. табл. 2). Расположение базисных векторов отличается от рисунка 4 а) только направлением вектора Е3.

Предположим теперь, что 2 = (еьае2 + [е4),а = 0 (поскольку Е2 ф 2). Выберем Е, Е2, Е3, Е4 так же, как и выше. Временно наш базис не является каноническим, и 2 = (е\,[Е2 + аЕ4). Сначала мы заменим Е4 на Е4,0 = [/аЕ4. Тогда в матрице Грама изменится только д44 = е > 0, а матрица £в(£) не изменится. Теперь окончательно выберем новый вектор Е4 = Е2 + Е4,0. Пересчитаем матрицу Грама и матрицу £6(£) для нового базиса. Получим матрицы Г7 и £7(£) (см. табл. 2).

3.3. Вектор Е2 изотропен, на центре 2 индуцируется невырожденное скалярное произведение. Тогда Е2 ф 2±. Выберем канонический базис, как показано на рисунке 4 б), причём Е3 и Е4 образуют ортонормированный базис в 2 и 012 = 1.

0 0 0

ве^

^ = 0,в = ±1,* ф И.

Матрица Грама принимает вид Г8 (см. табл. 2). Общий вид матрицы автоподобий:

/ 1 0 0 0

0 ±е2^ 0 0

0 0 е cost — еsint

у 0 0 е siní е cosí

/

(4)

Однопараметрическую группу образуют только преобразования, которые задаются матрицей (4) со знаком «+» во второй строке, т. е. имеем матрицу Р8(Ь) (см. табл. 2). ■

Заключение

В данной работе мы нашли полную группу автоморфизмов четырёхмерной алгебры Ли Л(1) Ф В2, определили канонический вид лоренцевых метрик в этой алгебре Ли, при которых она допускает однопараметрическую группу ав-тоизометрий или автоподобий, и указали матрицы, которые задают эти группы преобразований. Полученные результаты будут использованы при построении самоподобных однородных лоренцевых многообразий группы Ли А+(1) х (И+)2.

Литература

1. Подоксёнов М.Н. Подобия и изометрии однородного многообразия группы Гейзен-берга, снабжённой левоинвариантной лоренцевой метрикой // Вестник Вщебского гос. ун-та. 2011. № 5. С. 10-15.

2. Подоксёнов М.Н., Гаджиева Ф.С. Автоподобия и автоизометрии одной четырёхмерной алгебры Ли VI типа Бианки // Вестник Полоцкого гос. ун-та. Серия С. 2019. № 4. С. 124-130.

3. Подоксёнов М.Н., Гуц А.К. Автоизометрии алгебры Ли Д(1) ® // Наука - образованию, производству, экономике: материалы 72-й Региональной научно-практической конференции преподавателей, научных сотрудников и аспирантов, Витебск, 20 февраля 2020 г. Витебск : ВГУ им. П.М. Машерова, 2020. С. 27-29.

4. Alekseevski D. Self-similar Lorentzian manifolds // Ann. of Global Anal. Geom. 1985. V. 3, No. 1. P. 59-84.

AUTOISOMETRIES AND AUTOSIMILARITIES OF LIE ALGEBRA ^(1) ®K2

M.N. Podoksenov

Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, Head of the Department "Geometry & Analysis", e-mail: [email protected] V.V. Chernykh Student, e-mail: [email protected]

Masherov Vitebsk State University, Vitebsk, Belarus'

Abstract. We consider four-dimensional Lie algebra ^.(1) © R2 endowed with Lorentzian scalar product. We find all the one-parameter groups of isometries and similarities, which are simultaneously automorphisms of Lie algebra, and also we find the conditions of existence of such one-parameter group. Conditions of existence are associated with the location of ideals with respect to isotropic cone.

Keywords: Lie algebra, Lorentzian metrics, automorphism, similarity, isometry.

References

1. Podoksenov M.N. Podobiya i izometrii odnorodnogo mnogoobraziya gruppy Geizen-berga, snabzhennoi levoinvariantnoi lorentsevoi metrikoi. Vestnik Vitsebskogo gos. unta, 2011, no. 5, pp. 10-15. (in Russian)

2. Podoksenov M.N. and Gadzhieva F.S. Avtopodobiya i avtoizometrii odnoi chetyrekhmernoi algebry Li VI tipa Bianki. Vestnik Polotskogo gos. un-ta, Seriya S, 2019, no. 4, pp. 124-130. (in Russian)

3. Podoksenov M.N. and Guts A.K. Avtoizometrii algebry Li Л(1) ®~R2. Nauka - obra-zovaniyu, proizvodstvu, ekonomike: materialy 72-i Regional'noi nauchno-prakticheskoi konferentsii prepodavatelei, nauchnykh sotrudnikov i aspirantov, Vitebsk, 20 fevralya 2020 g., Vitebsk, VGU im. P.M. Masherova Publ., 2020, pp. 27-29. (in Russian)

4. Alekseevski D. Self-similar Lorentzian manifolds. Ann. of Global Anal. Geom., 1985, vol. 3, no. 1, pp. 59-84.

Дата поступления в редакцию: 08.03.2020