Асимптотика спектра малых крутильных колебаний твердого тела в вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.516.5; 517.958

АСИМПТОТИКА СПЕКТРА МАЛЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

© 2007 г С.А. Гуда, Щ.И. Юдович

The paper deals with small torsion oscillations of a solid in a container filled with viscous incompressible fluid. Eigenvalue problem is reduced to dispersion equation. The large rigidity asymptotic of its roots is built.

Введение

В настоящей работе исследуется задача о крутильных колебаниях твердого тела вращения с закрепленной осью внутри сосуда произвольной формы, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. При таком движении область течения жидкости не меняется со временем. Момент упругой силы, действующий на тело, заставляет его совершать колебания около положения равновесия.

Система жидкость-тело исследуется в малой окрестности состояния покоя при помощи метода линеаризации. Исключая скорость жидкости в задаче на собственные значения, приходим к дисперсионному

def 2

уравнению f(ст) = 0, f(ст) = ст +цаИ(уст) + k, где М - момент силы вязкого трения; k - безразмерная жесткость упругой силы; п - отношение плотности жидкости к плотности тела; \ст = х-оЯах; Яст = (ст1 - Б)-1 - резольвента оператора Стокса £ ;

Х- стационарное течение жидкости, возникающее вследствие вращения тела с единичной угловой скоростью.

В [1] проведено исследование дисперсионной функции f (ст). Доказана устойчивость спектра, изучена смена монотонной и колебательной устойчивости системы жидкость-тело. Установлено, что дисперсионное уравнение имеет не более одной пары комплексно сопряженных корней. Здесь рассматривается поведение невещественных собственных значений при k ^ +ж. Строится асимптотика поля уст при | ст ж, | а^ст |> а > 0. На основе этого для невещественных корней устанавливается асимптотическая формула (k ^ +ж)

= ^ +—mf(1-г)4к ("I + 2m0 )+Ojk

(1)

где m1 < 0,

- константы, зависящие (известным

ст2-с + к = 0.

(2)

стве масштаба времени выбирается так называемое вязкое время. В результате этого в задаче о вращении тела в жидкости остаются лишь два безразмерных параметра: п и k, а в упрощенной модели один - k .

Оказывается, что при увеличении параметра к декремент затухания колебаний тела Яест(к) увеличивается пропорционально ^к при k ^ж (см. (1)). В то время как в упрощенной модели (2) он остается постоянным и равным 0,5 .

1. Постановка задачи

Рассмотрим совместную задачу о движении твердого тела Бг в ограниченном контейнере, заполненном вязкой несжимаемой жидкостью (рис. 1).

образом) от поверхности тела.

В упрощенных моделях вязкое трение берется пропорциональным угловой скорости вращения тела ф. Дисперсионное уравнение в таком случае вместо члена пстМ(уст) содержит слагаемое -ст :

Обычно дисперсионное уравнение упрощенной модели записывают в виде ст2 -vст + к = 0, где V -коэффициент вязкого трения. В данной работе в каче-

Рис. 1

Тело подчинено связи - закреплено на своей оси симметрии 00' таким образом, что может лишь вращаться вокруг нее. Предположим также, что, помимо силы вязкого трения, на тело действует упругий вращательный момент по закону Гука: Ме[ах(^с =-кф, где к > 0 - коэффициент жесткости; ф - угол отклонения от положения равновесия ф = 0. В эксперименте такая ситуация реализуется, когда тело подвешено на столь тонком стержне, что его влиянием на движение жидкости можно пренебречь. Упругий момент Ме1ахас возникает из-за сопротивления стержня кручению.

"

0

Поле скорости жидкости и и давление р подчиняются уравнению Навье-Стокса и условию несжимаемости

— + (и -У)и = —— Ур + vАu, йы и = 0. (3)

д1 р,

Здесь р,, V - плотность и кинематическая вязкость жидкости. Для вектор-функции и имеем краевые условия прилипания

и к = г(ф eф, и к = 0 (4) где еф - один из трех координатных ортов ег,еф,ег в цилиндрической системе координат (г, ф, г), связанной с телом. Угловая скорость ф вращения тела и угол поворота р считаются неизвестными. Должно выполняться уравнение движения тела

Зф = М~(и) - ~р . (5)

Здесь З - момент инерции тела; М(и) - момент силы вязкого трения, выражающийся через компоненты тензора вязких напряжений

(

= р

\

du, du —— + —;

дх, дх. V j i у

по формуле [3, гл. 2, § 15]

М(u) = -J"г ТуЩвф^ .

Здесь и далее принято обычное соглашение о суммировании по I, у от 1 до 3.

Таким образом, получается замкнутая система уравнений (3) - (5) с неизвестными и, р, р . Она имеет

нулевое решение - состояние покоя и = 0 , р = 0 . Будем изучать малые колебания системы около этого равновесия.

Линеаризованные уравнения запишем в безразмерных переменных. Для этого достаточно выбрать масштабы длины Ь и времени Т. Пусть заданы параметры v,ру, З, к и средняя плотность тела рг. Масштаб длины Ь выберем так, чтобы выполнялось равенство З = ргЬЬ . За единицу измерения времени

примем так называемое вязкое время Т = Ь2^1.

После перехода к безразмерным переменным:

ь рЬ

г = Ьги г = Ь2Ъ / = пи и = р Р1 и

линеаризации система (3) - (5) принимает вид (индексы опущены)

du

— = -Vp + Au, div u = 0, д t

u lsr = гФ V u lsc = 0, & - rjM(u) + kp = 0.

Здесь п = — - 1

(6)

(7)

(8)

п = ^^ - отношение плотностей жидкости и

рг

тела; k = —- - безразмерный коэффициент жест-

v2 Lpr

кости. Безразмерный момент М(u) силы вязкого

трения вычисляется по формуле

ди дм,-

М (и) = -1 г пгеф]й%, = дХг + ~дХТ. (9)

5г ] '

2. Асимптотика корней дисперсионного уравнения

Избавимся от давления в уравнении (6), подействовав на него гидродинамическим проектором Вейля П [2, гл. 1, § 5]. Будем искать решение задачи (6) - (8) в виде и(х,г) = -ав~а'уа(х), р(г) = в~а', где а е С -неизвестное собственное значение. Подставляя данное представление в уравнение (8) и сокращая на в~а', придем к дисперсионному уравнению

/ (а) = 0, / (а) = а2 + ЛаМ (ует) + к, (10)

Вектор-функция уа есть решение задачи

ауа + ПАуа = 0, й1у у а = 0, (11)

у а 5 = гeф, уа 5 = 0. (12)

Избавимся от неоднородности в краевом условии (12) при помощи замены уа = 0^+х, где поле х определяется из задачи ПАх = 0, = 0, х = геф,

хк = 0

Вектор-функция 0 удовлетворяет однородным краевым условиям и уравнению

ст0-80=-ох (13)

где 8 - оператор Стокса, действующий по правилу 5и = -ПАи с областью определения Б(5) = {и е Г22 (Б,) | й1Уи = 0, и ^= 0}.

Допустим, что число а не принадлежит спектру оператора Стокса. Тогда задача (13) имеет единственное решение 0^= -о^0х, и определена вектор-функция

Уа= х-°я0х (14)

Здесь Яа=(а1 - 5)-1 - резольвента оператора Стокса. Таким образом, дисперсионная функция /

определена всюду вне спектра {Лп оператора 5 .

В [1] исследовалась зависимость корней дисперсионного уравнения от параметра к . Запишем уравнение (10) в виде 3(а) = к, 3(а) = -а2 - цаМ(уа).

При возрастании к его корни перемещаются по линиям нулевого уровня функции 1т 3 в направлении увеличения Яе$ . Это позволило доказать [1], что при малых к > 0 уравнение (10) имеет два корня а0 (к) и а1 (к) на интервале (0; Л1) и по одному корню а} (к) на интервалах (Л,-; Л}), } = 2,3... (0 < Л1 <Л2 <... - собственные значения оператора Стокса 5). Таким образом, спектр линеаризованной задачи расположен на положительной вещественной полуоси, так что система жидкость-тело устойчива монотонно.

При увеличении параметра к корни а0 (к) и а1 (к), сближаясь, сливаются и превращаются в комплексно сопряженную пару а0(к) = а1(к), т.е. монотонная устойчивость сменяется колебательной. Если функция 3 немонотонна на интервале (; Л2), то

г

при дальнейшем увеличении к пара комплексно сопряженных корней ст0(к) и o"j(k) возвращается на вещественную ось, образуя на интервале (Я1 ; Я2) три вещественных корня ст0 (к) < а (к) < ст2 (к). Таким образом, система жидкость-тело повторно становится монотонно устойчивой. Как показал численный расчет, данное, несколько неожиданное явление действительно имеет место, в частности, в задаче о крутильных колебаниях шара в концентрическом сферическом сосуде при радиусах сфер R1 = 1 и R2 = 20, П= 1.

При дальнейшем увеличении параметра к корни ст1(к) и а2(к) сливаются и образуют комплексно сопряженную пару. Так может произойти и на следующих интервалах, но не более конечного числа раз. В данном параграфе показано, что при к ^ +ж комплексно сопряженные корни неограниченно удаляются от вещественной оси.

Построим асимптотику мнимых собственных значений при бесконечно большом параметре к. Для этого нам потребуется асимптотическое разложение момента силы вязкого трения M(va) при а^ж в секторе | arg а |> а , где va есть решение задачи (11), (12), а е (0;п/2) - произвольно фиксированное число. Данное разложение представляет самостоятельный интерес. Его можно использовать для вычисления силы трения в линейной задаче о высокочастотных вибрациях тела в вязкой жидкости, где в роли числа а выступает ю , причем частота ю >> 1.

Введем параметр Я = ^-а . Здесь и далее знак « yf » соответствует корню с неотрицательной вещественной частью. Будем считать, что | Я |> b, | arg Я |< (п-а)/2, числа ае (0;п/2), b > 0 произвольно фиксированы.

Лемма. Пусть граница тела Sr класса Cж. Тогда справедливо асимптотическое разложение

M(va) = Ят1 + m0 +... + Я Nm-N + £N(Я), m1 =-jr2dS < 0, m0 =-2 \r2ydS - 3| Dr

(15)

1 =1 j(r 2f2 + 6rynr - 3n2 )dS. 8 S

Здесь ^(г, х) - гладкая срезающая функция, равная 1 в окрестности границы 8г и 0 - в окрестности 8С (ширина окрестностей будет определена ниже); функция v(г, х) - решение задачи

v 1 Av —--Я^ = 0,

V |Sr = r, V L =

(17)

Функцию у(г,х) будем искать в виде V = е Як^, экспоненциально затухающем внутрь области Бf. Здесь к - расстояние до поверхности тела Бг. Чтобы построить асимптотическое разложение функции £, введем вблизи границы Бг специальные криволинейные ортогональные координаты и запишем в них оператор Лапласа Д. В качестве первой координаты к точки X = (хь х2, х3) (рис. 2) введем расстояние от X

до ближайшей точки X0 поверхности Бг. Вторые две координаты фиксируют точку X0 на границе Бг. Так как Бг есть тело вращения, на его поверхности удобно ввести координатную сетку, образованную меридианами и параллелями. В соответствии с этим второй и третьей координатами будут полярный угол ф и длина 5 дуги меридиана в плоскости 0X0', отсчитываемая от некоторой фиксированной параллели до точки X0 так, чтобы координатные орты ек = -п,

еФ и е, = т =-

аг

ÖS

образовывали правую тройку.

т-1 =

Здесь п = пгег + пхе х - внешняя по отношению к жидкости нормаль, записанная в разложении по ортам ег,еф,е2 цилиндрической системы координат; у -

кривизна меридиана (у = — > 0 для шара радиуса Я);

Я

| Бг | - объем тела. Погрешность

8Ы(Я) < С(N,а,Ь)Я~ы-\ N > 0 - целое.

Доказательство. 1. Построение асимптотики. Асимптотическое решение задачи (11), (12) будем искать в виде

Рис. 2

Пусть (г0,ф0,х0) и (г,ф,х) - координаты точек

X0 и X в цилиндрической системе координат; (х1, х2, х3) - координаты точки X в декартовой системе координат; п = пгег + пхех - внешняя по отношению к жидкости нормаль. Тогда справедливы следующие правила перехода от новых координат (к, ф, 5) к декартовым (х1, х2, х3):

v а =#(r, z)v(r, z )еф.

(16)

x1 = r cos ф = (r0 (,) - hnr (,)) cos ф, x2 = r sinф = (r0(s) - hnr (s))sinф,

(18)

r

xi = zo(s) -hnz(s).

Вычислим коэффициенты Ламэ данного преобразования [4, гл. 2, § 18]

Hi =

H з =

дХ

dh

дХ

= 1, H 2 =

дХ

= г = r0(s) - hnr (s),

ds

= V (r0- hn'r )2 + (z0- hn'z )2 = 1 + Yh.

При вычислении третьего коэффициента Н 3 были использованы определение касательного вектора к меридиану т= г0ег + г'0ег (| т | =1) и формула Френе п' = -у т, где у - кривизна меридиана (у > 0, если вектор т при движении вдоль меридиана в сторону увеличения параметра 5 поворачивает по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора еф, у < 0 - в

противном случае; у шара радиуса Я у = Я-1 > 0).

Якобиан З(И, 5) = Н1Н2 Н3 = (г0 - кпг )(1 + у И) замены (18) определяет окрестность границы 5г , в которой данное преобразование биективно (( Ф 0). Если тело выпуклое, т.е. всюду на границе у > 0 и пг < 0, то параметр к в (18) может пробегать все значения к > 0 . В противном случае 0 < к < И*, где И* определяется равенством

h* = min<| inf

ro(s) ^ -1

inf

таля, выводим lim -

> 0,

L1v -Ä2v = 0, v |h=0 = r, v |h=<*>= 0, Lv=d!v+_LJ dL+1 д

1V = dh2 J dh dh J ds

(19)

f S- dv.л

V H 3 ds

v 12.

Асимптотическое решение уравнения (19) будем искать в виде

v(k, 5) = в-ЛИ (^ (И, 5) + Л^ (И, 5) + Л-2^2 (И, 5) + .) .

Подставляя в (19) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Л, получаем серию задач Коши для линейных дифференциальных уравнений первого порядка

й л + и

'дИ + З И' (20)

И=0 = г,

= ЬСп-1, п = 1,2,3 к Сп1И=0 = 0.

Так как поверхность тела 5г класса Сш, то правые части уравнений (21) определены для всех п.

L2Z0 = 0, L2 f = 2^- + -—f,

(21)

Решения уравнений имеют вид Z0(h, s) = r0(s)

J(0,s)

J (h, s)'

1 и ■-

Сп(k,5) = I „ ИЗ(П 5)Ь\Сп-\ (п5)п =1,2.. 2^З(к, 5) 0

2. Вычисление момента силы вязкого трения. Преобразуем выражение (9), взяв в качестве вектор-функции и сдвиговое течение и = у(г,г)еф, удовлетворяющее краевому условию V |5 = г

du dx du

'nieФj =■

du

dej,

Ф

• n = r—— • n = -er • n = -nr,

1 дeф дeф

пг (5)>0 пг (5) /(5)<0 7(5)

Так как граница тела 8г е С2, то И* > 0 . Действительно, сомнение вызывают лишь точки границы, в которых г0 (5) = 0 . Это такие точки пересечения оси 00 с границей тела, что в их окрестности пг > 0 (на рис. 2 это точка 0'). Пусть какой-нибудь из них соответствует значение 5 = 5 . Используя правило Лопи-гр(5) = г0(?) = Тг(5) =-1

dx,

Ъ" Ф1

du dn

eФ=-

öv_ dn

öv_ dn

öv_ dh'

Теперь формула (9) примет вид

М(u) = J r

Sr dh

dS - Jr (-nr )dS.

h=0 Sr

(22)

5^5пг (5) п'г (5) -утг (5 ) у где тг - радиальная компонента касательной т к меридиану.

Гладкую срезающую функцию ¡(И, 5) в выражении (16) для асимптотического решения подберем так, чтобы 0 < 1,

¿¡(И, 5) = 1, 0 < И < 3 т1п(к*, й15г(5г, 5С)}, 2

¿¿(И, 5) = 0, И > - тт{к*, й15Г(5г, 5С)}.

Здесь й[51 (5г, 5С) - расстояние от тела до сосуда; И* = , если тело выпуклое.

Уравнение (17) в новых координатах примет вид [4, гл. 2, § 5]

Вычитаемое в правой части формулы - это удвоенный объем тела

Iг(-пг)й5 = |(-п) • гегй5 = |й^(гег)йх = 2 | Бг |.

5р 5г Бр

Положим и = уN, где асимптотическое решение уN определяется равенством

у N еф=£в-Лк (^ +Л-1^1 + . + Л-мСм )еф . (23)

Расписывая первое слагаемое в формуле (22) по степеням Л , приходим к выражению

(

М(Vn) = -äJrZ |h=0 dS + J r

dh

\

dS - 2 | Dr |

h=0

+

+ Г1 J

w r dZL

dh

dS +... + Ä-N J r

dZ

N

h=0

dh

dS.

h=0

В силу краевого условия (19) Z |h=o = r . Из урав нения (20) выражаем производную

dZ0 dh

1 dJ

h=0

2J dh

h=0

r = - 1(ry - nr), а из уравнения (21)

для n = 1 выводим

dh

h=0

i 2 А

2 n

ry + 6ynr - 3— r

V у

Таким путем приходим к формуле (15). 3. Обоснование асимптотики. Для всех а = -Л2 , принадлежащих сектору ^ща^ а > 0, задача (11),

г

г

г

(12) имеет единственное точное решение (см. (14)). Покажем, что момент силы вязкого трения асимптотического решения VN (см. (23)) отличается

от точного на величину порядка 0(ЯN-1). Для этого составим разность wN = va- VN . Она является решением задачи ^ + ЯЯw = ^ еф, ёы w N = 0,

WN |5г^ = 0 где

fN = Я- Ne-Як^LlZN + VN Д4- Второе и

третье слагаемое в выражении для fN экспоненциально малы. Оценивая первое слагаемое в Lp (В^), приходим к неравенству

||fNllLp < С | Я |-N . (24)

Погрешность аппроксимации момента силы вязкого трения (Я) = М (w N) оценим, пользуясь определением (9) и теоремой вложения Соболева [5, гл. 1, § 8, теорема 1]

| ^ (Я) |< С] || WN ||с1(В/)< С2 || wN ), р > 3.

Таким образом, с учетом (24) погрешность (Я) не превышает | 51Я (Я) |< С | Я |-N .

Пользуясь теперь оценкой +1 (Я), выводим

| SN (Я) |= М(N+1 +{е-ЯкЯ-^^ф) < < С1 | Я |^-1 +С2 | Я |^-1 .

Таким образом, погрешность имеет порядок о(я~N-1) при Я ^ ж . Лемма доказана.

В качестве проверки формулу (15) можно сравнить с точным значением момента силы вязкого трения, действующей на шар радиуса Я , который вращается в неограниченной жидкости с единичной угловой скоростью

8 3

M (Va) = - jnR3

f

3 +

Я2Я2 ^ 1+ ЯЯ

= - -тЯЛЯЯ+2 +— +. 3 I ЯЯ

существование и формулу (25). Для этого преобразуем уравнение (10) к виду

д(с) = 14к, (26)

где q(a) = а^ 1 + g(а), g(а) = —M(va). Решениями

Доказанная лемма позволяет построить асимптотику мнимых корней дисперсионного уравнения.

Теорема. Существует число К > 0 такое, что при всех к > К уравнение (10) имеет ровно два комплексно сопряженных корня сг(к) и сг*(к), и справедлива асимптотика (к ^ +ж)

с = ¡4к + -тп(1 - 1)4к -п( + 2т0) + о| . (25) 2л/2 4 ^ук)

Доказательство. Единственность пары комплексно сопряженных корней доказана в [1]. Установим

уравнения (26) являются лишь собственные значения в верхней полуплоскости. Согласно (15), функция g допускает асимптотическое разложение в секторе | arg а |> а , (а е (0,п/2) - произвольно фиксирова-

f

но) g (а) = -п

m.

+

+

m_

\

-а -а ( -а )

3/2

+...

Таким образом, q(а) ~ а при | а ж . Отсюда следует, что существуют числа K > 0 и B > 0 такие, что для любых к > K уравнение (26) имеет единственное в области {а е C | | arg а |> 8, | а |> B} решение

а(к), причем а(к) ~ при к ^ ж . Это известная теорема об асимптотическом решении трансцендентного уравнения [6, гл. 1, §6, теорема 6.1].

Далее запишем уравнение (26) в виде

л/1 + g (а)'

Применим метод последовательных приближений

¡4к

а =

по формуле ап+1 =

л/1+g а)

а0 = . В

. За начальное прибли-

жение примем с0 = 1у/к . В результате трех итераций

придем к (25). Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой помощи гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ (НШ-5747.2006.1).

Литература

1. Юдович В.И., Гуда С.А. // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. 9 междунар. конф. г. Ростов н/Д, 2005. Т. 2. С. 232-236.

2. Юдович В.И. Метод линеаризации в теории гидродинамической устойчивости. Ростов н/Д, 1984.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М., 1986.

4. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., 1965.

5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

6. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М., 1990.

Ростовский государственный университет

26 сентября 2006 г.

m

0