Параметрическое возбуждение неустойчивости в задаче о колебаниях тела в жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.582; 517.929.5

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

© 2008 г. С.А. Гуда

The paper deals with small torsion oscillations of a solid in a container filled with viscous incompressible fluid. Besides viscous friction torque the solid is affected by elastic torque with periodic in time stiffness coefficient. Floquet spectrum is investigated. Stability and instability domains in parameter space are calculated.

Исследуется совместная задача о крутильных колебаниях твердого тела вращения внутри сосуда произвольной формы, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. При таком движении область течения жидкости не меняется со временем. Помимо силы вязкого трения, на тело действует периодический по времени упругий вращательный момент, безразмерная форма которого имеет вид Melastic = + t))р, где р - угол отклонения тела от положения равновесия р = 0 ; h(r) - 2 л -периодическая относительная модуляция жесткости с нулевым средним: j^h(r)dr = 0 ; а - круговая частота

модуляции. Данную ситуацию нетрудно реализовать в эксперименте. Сила упругости создается тонким подвесом, влиянием которого на жидкость можно пренебречь. Периодическое изменение жесткости подвеса создается путем изменения длины его закручивания при помощи небольшого зажима. При этом относительная модуляция h не превосходит по модулю единицы. Однако мы будем считать, что функция h может принимать любые значения.

В [1] рассмотрена задача о крутильных колебаниях тела в вязкой жидкости под действием упругой силы с постоянной жесткостью, доказана глобальная асимптотическая устойчивость состояния покоя. Модуляция жесткости может привести к параметрическому возбуждению неустойчивости. Это явление изучалось в [2-4].

Здесь проводится качественное исследование линеаризованной в состоянии покоя задачи в случае произвольных форм сосуда и тела и произвольных значений вязкости. Доказано, что при некоторых условиях (например, для гармонической модуляции h(r) = b cosr + b sin г) спектр Флоке состоит из счетной последовательности мультипликаторов рп 1 е (rn 1; rn\ ), где n = 2,3,..., r"1 = e'T^n < 1,

T = 2л/а, 0 <Л1 <Л2 <... - собственные значения

-i -i

которые могут быть комплексно сопряженной парой, вместе лежать на отрицательном луче действительной

1_1;+»), k1;

оператора Стокса, и еще двух чисел: P0 1 и P1 1

оси или на одном из интервалов (r, 1;+^), (r2 1; r, 1 )

(r31;r2 1 ),... Таким образом,

выходить за пределы единичного круга, т.е. вызывать неустойчивость состояния покоя, могут только мультипликаторы р-1 и р-1. Это позволяет установить некоторые топологи-

ческие свойства нейтральных кривых (кривых в пространстве параметров (ю;|| к ||¿2), для которых спектр

Флоке содержит мультипликатор на единичной окружности). Это существенно сокращает трудоемкие вычисления - нам не приходится искать нейтральные кривые в тех областях пространства, где их заведомо быть не может. В трудных для расчетов областях (частота с мала или амплитуда || к ||^ велика) знание закономерностей расположения нейтральных кривых позволяет быстро браковать графики, полученные с неудовлетворительной точностью вычислений.

Постановка задачи

Об устойчивости состояния покоя будем судить по спектру Флоке линеаризованной задачи, несмотря на отсутствие обоснования линеаризации для задач такого типа. Монография В.И. Юдовича [5] о методе линеаризации для течений с неподвижной границей, а также статья [1], в которой линеаризация обосновывается для задачи с постоянной жесткостью упругой силы, позволяют надеяться на то, что метод линеаризации применим и в этом случае.

Линеаризованные уравнения, описывающие совместное движение жидкости и тела, имеют вид

ди

— = -Ур + уА и, йы и = 0, (1)

д t

и = гф ф и = 0

ф-уМ (и) + (1 + И(аО)ф = 0. (2)

Здесь и - поле скорости жидкости; р - давление; у - безразмерная вязкость жидкости; , - поверхности тела и сосуда; 5-

и 5с = дБ^, Бу - область течения жидкости; модуляция к е Х2[0;2^]. Безразмерный момент М (и) силы вязкого трения вычисляется по формуле

du du j

M(u) = - Jr Yij n^jdS, Yij = -rj- + .

Sr dxj

dx¡

Интегродифференциальное уравнение

Задача (1), (2) имеет много общего с ее упрощенной моделью - маятником с трением, движение которого описывается дифференциальным уравнением ф-Уфф + (1 + й(®0)ф = 0. (3)

Подобное уравнение, описывающее эволюцию лишь угла поворота р тела в задаче (1), (2), оказывается интегродифференциальным. Для его вывода выразим из уравнений (1) скорость жидкости и и подставим в уравнение движения тела (2). Избавимся от неоднородности в краевом условии, сделав замену и(х,г) = р(г)х(х)+ 0(х, 0, p = (р Рх + Pв , где стационарное поле х и соответствующее ему давление р% определяются из задачи -Урх + уАх = 0, Лгу% = 0,

х к = ^ х к = 0

Раскладывая вектор-функцию 0 в ряд по собственным функциям Фп оператора Стокса 5, действующего в пространстве соленоидальных полей 52(Ду) по правилу 5и = Ур -уАи и имеющего область

определения 0(5) = |и е №220) |и|ао = °, ¿гуи =

определяя коэффициенты разложения из уравнения (1), придем к выражению

¿X + Z(u0 -ф(0)у)ек

u = фх + ZK

n=l

t i да - ,

(t-T) ,

Ф,

-II Ze

0 V o=1

Хпфп \<P(T)dT.

Здесь Лп > 0 - собственные значения оператора

СгОЮЗ, Xп = (х,Фп )ь2 (Вг ) , иП = (и°, Фп )х2 (вг ) '

и° = и 1г=°. Подстановка найденного поля и в (2) дает интегродифференциальное уравнение для угла поворота тела р

г

ф + туф +1Jl(t - т)ф(т)¿т + (1 + к(аг))р = -32(г). (4)

0

В (4) т = -М(х) > 0 [1, формула (2.7)], ядро инте-

грального оператора J1(t) = Z^=K„X„

2 -Kt

положи-

финитных гладких соленоидальных полей в . Доказано, что спектр оператора О^ : Н ^ Н чисто точечный, следовательно, устойчивость системы (1), (2) определяется его характеристическими числами. Доказана полнота собственных и присоединенных решений Флоке системы (1), (2). Таким образом, любое решение задачи Коши можно аппроксимировать равномерно по / е [0;+да) линейными комбинациями решений Флоке.

Разложим Т-периодические функции у(х,г), \у(Г) в формуле (6) в ряды Фурье

+С , , N +СЮ , > \

и = Тукг~(а-гак), р= . (6)

к=—с к=—с

Чтобы прийти к спектральной задаче, данное представление можно сразу же подставить в интегро-дифференциальное уравнение (4). При этом, однако, следует учитывать, что решения Флоке (6) удовлетворяют особому начальному условию. Второй способ заключается в подстановке выражений (6) в уравнения (1), (2) и применении тех же выкладок, которые были сделаны при выводе интегродифференциально-го уравнения. В результате придем к соотношениям

Л.к(°)Ук + 2 Ьк-= 0, к = 0+1,+2,... , (7)

j=-

где dk(а) = d0(a-iak); d0(а) = а2 + а2 Z

K у

оЛо 1Kn -а

тельно, функция 32^) = Хп%п (ф(0)^„ - и° )е Кп

определяется начальными скоростями жидкости и тела и экспоненциально убывает при t ^ +с .

Спектральная задача

Мы будем изучать решения Флоке

и(х,г) = в~стгу(х,г), р(г) = в~стгу(г) , (5) где (-ст) - показатель Флоке; у(х, г) и у(}) - Т -периодические по времени функции, Т = 2^/®. Каждому решению (5) отвечает мультипликатор Флоке р- = е~стТ так, что и(х,г + Т) = р_1и(х,г), р(г + Т) = = р ^р(г). Таким образом, р есть характеристическое число (т.е. р"1 - собственное значение) оператора монодромии О0Т задачи (1), (2), ставящего в соответствие начальному условию (и(х,0),р(0),(ф(0)) решение в момент времени t = Т : (и(х,Т),р(Т),рф(Т)). Фазовым пространством системы жидкость-тело является декартово произведение Н = 52() х К2, где 52(Бу.) - замыкание по норме Ь2(В^) множества

-туст+1 - дисперсионная функция задачи с постоянной жесткостью, исследованная в [1]. Для маятника с трением (3) получается аналогичная спектральная задача с функцией d0 (ст) = ст2 -у_,,ст +1. Требуется найти те значения параметра ст , при котор^1х бесконечная система линейных уравнений (7) имеет нетривиальное решение, определяющее коэффициенты Фурье функции е ¿2[0;Т].

Дисперсионное уравнение

Г.В. Хилл, изучая движение лунного перигея [6, 7], использовал для отыскания показателей Флоке бесконечный определитель. Следуя ему, разделим к -е уравнение (7) на dk (0) и составим определитель полученной системы

О(ст) = ]!Ш Оп (ст), где Бп (ст) = (8)

d-n (а) h-n+1 h-n h-n-1 h-2n

d-n(0) d-n(0) d-n(0) d-n(0) d-n(0)

hn-1 d-i(a) h-1 h-2 h-n-1

d-i(0) d-i (0) d-1 (0) d-1 (0) d-1 (0)

hn hi d0(a) h-1 h-n

do(0) d0(0) d0(0) d0(0) d0(0)

hn+1 h2 h d1(a) h-n+1

di(0) di(0) d1(0) d1(0) d1(0)

h2n hn+1 hn hn-1 dn (а)

dn (0) dn (0) dn (0) dn (0) dn (0)

со

Здесь учтено равенство h0 = 0. Таким образом, спектральная задача (7) сводится к решению дисперсионного уравнения D(a) = 0.

Теорема 1. Последовательность усеченных определителей Dn сходится к мероморфной функции D равномерно на произвольном ограниченном замкнутом множестве, не содержащем полюсов функций dk, к е Z . Корни дисперсионного уравнения и устранимые особые точки функции D составляют спектр задачи (7).

Функция D - im -периодическая, это позволяет сделать замену переменных р = eTu и перейти к исследованию функции D(p) = D(T 1 ln р).

Разложение определителя Хилла на простейшие дроби

Определитель линейного дифференциального уравнения n -го порядка с периодическими коэффициентами имеет структуру: D(a) = е~т"а2P(eTa), где P - полином степени n [7]. Определитель Хилла

упрощенной модели маятника с трением (3)

~ ~ cs

Ds (р) = Ds (T- 1ln р) есть Ds (р) = + c0 + c/р. Верх-

р

ний индекс s - первая буква слова «simple». Определитель Ds строится по формуле (8) с той лишь разницей, что вместо функций dk (а) здесь используется

dsk(а) = d0(а -imk), d0 (а) = а2 -vsa +1. Аналог данной формулы для определителя (8) имеет вид

С ю (

D(p) = + Со + Z c„ Р n=\

1

\

(9)

ненулевой элемент. Раскладывая полученный определитель по этой строке, придем к определителю блочной матрицы, блоки которой комплексно сопряжены друг к другу (так как dк (а)* = d-k (а) при а е Я), следовательно

2

с = Л3 г2

сп 4пЛп

det

Г 4(4,) h-i 0

4(0) di(0)

hi d24n ) h-i

d 2(0) d2(0) d 2(0)

0 hi ds(4 )

ds(0) ds(0)

> 0.

V rn_Р rn J

где rn = eTÄ". Это разложение функции D на простейшие дроби. Доказательство формулы (9) проводится при помощи теоремы Коши. Важную роль при этом играют асимптотика функции на бесконечности, построенная в [8], и теория определителей операторов [9]. Заметим, что в отличие от Ds (р) определитель D(p) при р—да является бесконечно малой величиной по сравнению с р (в секторе, не содержащем полюсов rn).

Вычеты в полюсах определителя Хилла

Доказано, что вычет c_j не зависит от модуляции h и всегда положителен. Коэффициенты cn (n > 1) неотрицательны для гармонической модуляции вида h(rnt) = h_ eш + h1e'M при любых, сколь угодно больших h_j и h . Действительно, си = - res D =

P=rn

= Trn lim (An -a)D(a).

Внося множитель (An -а) в нулевую строку определителя D и переходя к пределу, получим определитель, в нулевой строке которого будет всего один

Данный результат обобщается на случай модуляции И(С) = к-ев~'са + к1е'сл с нечетным I. В случае произвольной формы модуляции отрицательность вычетов удается доказать, лишь когда амплитуда || к || ^ достаточно мала (или частота ю велика, или

вязкость у велика, и т.д.). Примечательно, что для любой модуляции коэффициенты с с достаточно большим номером п неотрицательны.

Расположение мультипликаторов Флоке

Теорема 2. Пусть все коэффициенты сп в разложении (9) положительны. Тогда множество корней уравнения Б(р) = 0 состоит из бесконечной последовательности чисел р2, р3,..., рп е (гп-1;гп), п > 2, а также двух корней р0 и р1, которые могут располагаться вместе на отрицательном луче действительной оси; быть комплексно сопряженной парой р** = р1; находиться вместе на одном из интервалов (0; - ) , (г1; г2), (г2; г3),. . Других случаев нет.

Нейтральные кривые

Введем обозначение а =|| к ||^ , к = ак . Будем

рассматривать задачу об устойчивости в пространстве параметров (с;а). Назовем нейтральной кривой множество точек (ю0;а0) плоскости (ю;а), для которых спектр Флоке содержит показатель а на мнимой оси. Выделяют три типа нейтральных кривых: синхронный (а = 0), субгармонический (а = 'ю/2) и комбинационный (а ='Я, Л е (0;ю /2)).

В случае гармонической модуляции все коэффициенты си в разложении (9) неотрицательны. Следовательно, в соответствии с теоремой 2 вызывать неустойчивость состояния покоя (т.е. проникать внутрь единичной окружности) могут лишь два корня: р0 и р1. Все остальные корни рп (п > 2) больше единицы. В связи с этим можно сделать следующие выводы о топологической структуре нейтральных кривых: нейтральные кривые синхронного и субгармонического типа не пересекаются, хотя им разрешено иметь общие точки с комбинационными нейтральными кривыми; внутри любой области, ограниченной кривой

синхронного (или субгармонического) типа, не существует других нейтральных кривых.

Нейтральные кривые представляют собой чередующиеся языки синхронного и субгармонического типов (рис. 1).

отличаются от соответствующих для упрощенной модели (3). В области небольших частот субгармонические кривые начинают расширяться и сливаются ниже кончиков синхронных языков, вытесняя их наверх (рис. 2). Иногда (рис. 1) субгармонические кривые, расширяясь, передавливают синхронные языки выше кончиков и разрывают их на две части.

Рис. 1. Параметры: К = 1, К2 = 2, у = 0,1, к (г) = ->/2 cosг

На бесконечности они имеют параболическую форму а(ю) ~ аю2 с коэффициентом а - критическим числом задачи для уравнения Матье ф + аcosтр = 0 с периодическими краевыми условиями р(г + 2п) = р(г) для синхронных нейтральных кривых и антипериодическими р(г + 2ж) = -р(г) -для субгармонических.

Для упрощенной модели (3) промежутки между языками всегда принадлежат области устойчивости, так как произведение мультипликаторов

Р-Р-1 = е~у"т меньше единицы. Однако в задаче о вращении тела в вязкой жидкости это не так. Расчеты показывают, что все промежутки, начиная со второго, неустойчивы при достаточно больших а . Неустойчивые промежутки отделяются от области устойчивости нейтральной кривой комбинационного типа (рис. 1).

Что касается средних значений амплитуды модуляции а , то в случае, когда задача о колебаниях тела в жидкости близка по свойствам к своей упрощенной модели (3), нейтральные кривые обеих задач почти совпадают. Так происходит, если влияние последействия на движение тела мало, т.е. интеграл в формуле (4) мал по сравнению с остальными членами. Тогда коэффициент вязкости уж в уравнении (3) следует положить равным у5 = уm . Последействие не оказывает заметного влияния на движение тела при сильно вязкой жидкости (у велико) или при маленьком зазоре между телом и сосудом.

Когда же система жидкость-тело обладает большой «памятью», нейтральные кривые существенно

Рис. 2. Параметры: К = 1, К2 = 10 , у = 0,1,

к (г) = л/2cosг . Серым закрашена область субгармонической неустойчивости В случае ангармонической модуляции порядок в расположении собственных значений, описанный в теореме 2, может нарушаться. Нули определителя Хилла р2, р3,... не обязаны перемежаться с его полюсами г, Г, . • • Например, для модуляции ~(г) = C _1(0,4со8г + 0,6 соб2г) (константа С подбирается из условия || к ||= 1) нуль р2 иногда «перепрыгивает» через полюс г и проникает внутрь единичного круга, что влечет за собой потерю устойчивости состоянием покоя. На рис. 3 описанному явлению соответствует нейтральная кривая синхронного типа £ . Для параметров (а;ю) в нижней части этой кривой р2 = 1, а корни р0 и р1 находятся на отрицательном луче действительной оси слева от -1 .

Рис. 3. Параметры: К = 1, К2 = 20, у = 0,1, ~(г) = C _1(0,4со8г + 0,6соб2г)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№07-01-00099-а) и гранта президента РФ по поддержке ведущих научных школ (НШ-5747.2006.1).

Литература

1. Гуда С.А., Юдович В.И. // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48. № 3. С. 556-576.

2. Шкуренко Е.Ю. Совместная задача о движении твердого цилиндра и заполняющей его вязкой жидкости. Деп. ВИНИТИ, Ростов н/Д, 26.08.2006. № 1105-В 2006.

3. Цывенкова О.А. // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. X междунар. конф. 5-9 декабря. Ростов н/Д, 2006 г. Т. 1. С. 276-279.

4. Юдович В.И. Колебания твердого шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы и параметрический резонанс. Деп. ВИНИТИ, Ростов н/Д, 29.11.2006. № 1482-В 2006.

5. Юдович В.И. Метод линеаризации в теории гидродинамической устойчивости. Ростов н/Д, 1984.

6. Hill G. W. // Acta Mathematica. 1886. Vol. 8. Р. 1-36.

7. Валеев К.Г. // ПММ. 1960. Т. 24. № 6. С. 979-987.

8. Гуда С.А., Юдович В.И. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 2. С. 26-30.

9. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М., 1965.

Южный федеральный университет_4 июня 2007 г.